专题02 立体几何中的异面直线的夹角、线面角、二面角问题5种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版必修第二册

专题02 立体几何中的异面直线的夹角、线面角、二面角的问题 目录 类型一、异面直线所成角的综合应用 类型二、线面角的综合应用 类型三、二面角的综合应用 类型四、异面直线所成角、线面角及二面角的探索性问题 类型五、最大角定理与最小角定理的应用问题 压轴专练 类型一、异面直线所成角的综合应用问题 解题技巧： 1、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线) 例1-1．已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 例1-2．如图，四边形中，，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体（如图），现从某城楼中抽象出一几何体，其中是边长为的正方形，为矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，，，，且平面与平面的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 变式1-2．若正三棱台中上底的边长为1，下底的边长为2，侧棱长为1，则它的表面积为 ，与所成角的余弦值为 ．    变式1-3．已知正方体中，为内一点，且，设直线与所成的角为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1-4．如图，是棱长为2的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于点． (1)试用反证法证明直线与是异面直线； (2)设，将长表示为的函数，并求此函数的值域； (3)当最小时，求异面直线与所成角的正弦值． 类型二、线面角的综合应用问题 解题技巧： 1、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 2、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长 例2-1．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，分别为线段和线段的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 例2-2．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，，记与平面所成角为，求的最大值. 变式2-1．已知圆锥的底面半径与高均为5，用平行于该圆锥底面的平面截这个圆锥，得到的小圆锥的高为2.设和分别为圆和圆圆周上的两点，当直线与圆锥底面所成角的大小不超过时，线段长度的取值范围是____________. 变式2-2．如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形． (1)若面ABCD，，，求证：； (2)若二面角的大小为，，且，设直线BD和平面QCB所成角为，求的最大值． 变式2-3．如图，在直三棱柱中，，，．D，E分别是棱的中点，点F在线段上． (1)若，求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正切值． 变式2-4．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围. 类型三、二面角的综合应用问题 解题技巧： 二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. (4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）. 例3-1．已知在矩形中，，，P为AB的中点，将沿DP翻折，得到四棱锥，则二面角的余弦值最小是 . 例3-2．如图，在三棱柱中，，为中点，侧面为矩形．    (1)求证：； (2)若，四棱锥的体积为，求侧棱与底面所成角； (3)令，若，求二面角的正弦值的取值范围． 变式3-1．（多选）已知空间四边形中，，，且，设AC与平面BCD所成角为α，二面角的平面角为β，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 变式3-2．如图，四棱锥中，底面，，，. (1)求点B到面PAC的距离； (2)若，证明：平面； (3)若，且二面角的正弦值为，求AD. 变式3-3．已知在多面体中，，，. (1)若，，，四点共面，求证：多面体为棱台； (2)在（1）的条件下，平面平面，，，，且. ①求多面体的体积； ②求二面角正切值. 变式3-4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且．    (1)求证：； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围． 类型四、异面直线所成角、线面角及二面角的探索性问题 解题技巧： 1、逆向定角法：先明确目标角的几何本质（异面→相交角、线面→线与射影的角、二面→棱的垂线夹角），再倒推满足角度的点必须满足的位置约束，从“找角”变成“找满足条件的点”。 2、平移投影化归：用中位线/平行四边形平移异面直线，用作垂线找射影处理线面角，用棱上作双垂线构造二面角，把所有空间角都转化为平面内的三角形问题，用初中平面几何知识解决。 3、动中抓不变量：先标出题目中固定不变的线、面、垂直/平行关系，再分析动点如何改变角度，缩小思考范围，避免被“动点”干扰。 4、特殊点试探法：先试端点、中点、等分点，若满足则直接得解；若不满足，观察角度随动点的单调变化趋势，判断目标角度是否存在于取值区间内。 5、范围与单调性判断：先明确三类角的取值范围，再分析角度随动点移动的增减性，若目标角度不在范围内或单调性不支持，可直接判定“不存在”。 例4-1．如图1是一个由菱形和两个直角三角形和所组成的平面图形，其中，现将和分别沿折起，使得点与点重合于点，连接，得到如图2所示的四棱锥. (1)求证：平面； (2)若为棱上一点，记 （i）若，求直线与平面所成角的正切值； （ii）是否存在点使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由. 例4-2．如图，四棱锥中，平面ABCD，PB与底面所成的角为，底面ABCD为直角梯形， (1)求证：平面平面PCD： (2)在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为？若存在，求出有的值：若不存在，说明理由. 例4-3．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，是边上一点，且满足是正方形，.    (1)求证：平面平面； (2)已知：，二面角的平面角为.是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由. 变式4-1．如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，. (1)证明：三棱柱是直三棱柱； (2)若，求平面截三棱柱所得截面的面积； (3)是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 变式4-2．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面， (1)证明：平面平面； (2)若平面，证明：为的中点； (3)若，在上是否存在点，使得平面，若存在点，则为何值时？直线与底面所成角为 变式4-3．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点、不重合）．    (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 变式4-4．如图，在直三棱柱中，是上一动点，是的中点，是的中点. (1)当时，证明: 平面; (2)在答题卡的题 (2) 图中作出平面与平面的交线 (保留作图痕迹,无需证明); (3)是否存在，使得平面与平面所成二面角的余弦值为? 若存在求满足条件的值，若不存在，则说明理由. 类型五、最大角定理与最小角定理的应用问题 解题技巧： 一、概念 1、最小角定理（三余弦定理）：平面的斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线与平面内任意一条直线所成角中的最小值。 2、应用场景：比较异面直线所成角、求线线角的最小值。 操作：先过斜线端点作平面垂线，找到射影，射影与平面内直线的夹角即为“基准角”，斜线与平面内直线的夹角一定大于等于线面角。 3、 最大角定理（三正弦定理）：在锐二面角中，一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所成的线面角，其最大值等于该二面角的平面角。 4、 应用场景：比较线面角与二面角大小、求线面角的最大值。 操作：找到二面角的平面角，当平面内直线垂直于二面角的棱时，线面角达到最大值（即等于二面角）。 2、 实战解题步骤 1、作图找射影：处理线面角时，必过动点作平面的垂线，连接垂足与线面交点，得到射影，线面角即藏于此直角三角形中。 2、构造二面角：处理二面角相关的线面角时，在公共棱上取点，分别在两个面内作棱的垂线，确定二面角的平面角。 3、用定理比大小：若求“最小线线角”→ 用最小角定理，转化为线面角。 若求“最大线面角”→ 用最大角定理，转化为二面角的平面角。 4、特殊值验证：动点问题中，优先验证端点、中点、垂足等特殊位置，快速判断角的极值是否存在。 例5-1．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙的前方点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小．若，，，则的最大值是______．（仰角为直线AP与平面ABC所成角） 例5-2．如图所示，在四棱锥中，平面，，，是线段中点，是线段上的点，且，，且.比较与的大小. 变式5-1．如图，在正四面体中，点满足，点在棱上运动，设与平面所成角为，则的最大值为 ． 变式5-2．三余弦定理是空间角的重要结论之一，如图1：设点为平面外一点，过点的斜线在平面上的射影为为平面上的任意直线，则.    (1)证明以上三余弦定理； (2)如图2，在平行六面体中，，. ①证明：平面平面； ②若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 变式5-3．在立体几何中，三面角余弦定理是求解二面角大小的一种重要的方法．三余弦定理：如图甲，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为θ，则．如图乙，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)请利用三余弦定理求二面角的余弦值． 变式5-4．三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理． (1)证明三余弦定理； (2)如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值； (3)已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：． 压轴专练 1.如图，四棱锥中，，，，⊥，则该四棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为（    ） A．1 B． C． D． 2.在空间中，三个平面PAB，PBC，PAC相交于一点P，已知，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值等于（    ） A． B． C． D． 3.如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成的角为，顶点在平面内的射影为，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值等于（    ）    A． B． C． D． 4.（多选）在正四棱柱中，点M，N分别为面和面的中心.已知与点关于平面对称的点在棱柱的内部（不含表面），并记直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，对所有满足上述条件的正四棱柱，下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5.已知正四面体的棱长为2，动平面交线段AB，AC（含端点）于点E，F，且平面平面．若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为 ． 6.在长方体中，，，点为的中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为__________. 7.如图，在矩形中，，，，分别为，的中点，将沿直线翻折成，与，不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为______. 8.已知正四棱锥的底面边长与高均为2，设是正方形及其内部的点构成的集合，点是正方形的中心，若集合，则直线与平面所成角的正切值的最小值为________． 9.如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）．    (1)当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值； (3)在翻折过程中，求二面角的最大值． 10.在三棱锥中，，点P在平面ABC内的投影为H，连接AH. (1)如图1，证明：； (2)如图2，记，直线AP与平面ABC的夹角为，，求证：，并比较θ和的大小； (3)如图3，已知AB=10，AP=8，BC=12，M为平面PBC内一点，且AM=8，求异面直线AM与直线BC夹角的最小值. 11.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值． 12.类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点． (1)求的值； (2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：； (3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值． 13.如图，直四棱柱中，是边长为的等边三角形，，，棱的中点为. (1)求证：平面； (2)现在将矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，解答下列问题： （i）在旋转过程中，是否存在，使得直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出满足条件的；若不存在，请说明理由； （ii）在旋转过程中，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 立体几何中的异面直线的夹角、线面角、二面角的问题 目录 类型一、异面直线所成角的综合应用 类型二、线面角的综合应用 类型三、二面角的综合应用 类型四、异面直线所成角、线面角及二面角的探索性问题 类型五、最大角定理与最小角定理的应用问题 压轴专练 类型一、异面直线所成角的综合应用问题 解题技巧： 1、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线) 例1-1．已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的几何性质，作出平面，找到线线角的平面角，即可求解. 【详解】如图所示，连接，交平面于点. 设正方体的棱长为a，根据正方体的性质可得，平面， 则平面与平面平行或重合，在线段上取点P，使， 则为满足题意的其中一个直线， 正方体绕体对角线旋转的过程可认为是正方体不动，绕体对角线旋转，， ，所以BC与直线所成的角即与直线所成的角， 可得当P在线段上时，与直线所成的角最小， 由正方体的性质可得，则， 所以 . 故选：B. 例1-2．如图，四边形中，，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二面角的平面角易作图，但异面直线的夹角不好作图，这里用了向量和以及求模思想，来求这两条异面直线的夹角余弦值. 【详解】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为． 因为，所以．又，所以， 取中点，连接，，则，， 所以，又因为，． 所以在中，，即， 又由，． 因为，所以 ． 所以，即 又因为，所以． 因为异面直线所成角范围为， 所以直线与所成角的余弦值取值范围是． 故选：D. 变式1-1．我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体（如图），现从某城楼中抽象出一几何体，其中是边长为的正方形，为矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，，，，且平面与平面的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】补形为正方体，利用正方体的性质以及异面直线所成角的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】如图，把此六面体补成正方体，连接AH，AC， 由题可知， 所以是异面直线与所成角或其补角， 在中，，，， 则． 故选：A 变式1-2．若正三棱台中上底的边长为1，下底的边长为2，侧棱长为1，则它的表面积为 ，与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】根据题目所给边长，直接求表面积即可得解，延长交于点， 作中点，中点，连接， ，则与所成角即为和所成角，在中解三角形，即可得解. 【详解】   根据题意正三棱台的上下底面为等边三角形， 上底面为边长为1的等边三级形，下底为边长为2的等边三角形， 侧面为等腰梯形上底边长为1，下底边长为2，腰长为1，所以高， 所以面积， 延长交于点， 由上底的边长为1，下底的边长为2， 所以分别为中点， 作中点，中点，连接， ，则与所成角即为和所成角， 连接，在底面的投影为，为底面的中心且在上， 作于，显然 由，， 所以， 所以，， 所以，， 在等腰梯形 上底边长为1，下底边长为2，腰长为1， 所以，， 在中，， 根据线线所成角的范围，则与所成角的余弦值为. 故答案为：，. 变式1-3．已知正方体中，为内一点，且，设直线与所成的角为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合线面垂直的判定定理和性质定理可证平面，分析可得点为的中心，结合可得，从而可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，转化为是底面半径为､高为的圆锥的母线，分析求得的范围，即可求解. 【详解】如图1，设与平面相交于点，连接交于点，连接， ∵平面，平面，则， ，，平面 ∴平面， 由平面，则， 同理可证：， ，平面， ∴平面， ∵，由正三棱锥的性质可得：为的中心， 连接， ∵为的中点，∴交于点，连接， 由平面，平面，则，即是的高， 设，，则，且的内切圆半径， 则，， ∵，即，则， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. ∵平面，平面，则， ∴， 故为底面半径为，高为的圆锥的母线，如图2所示， 设圆锥的母线与底面所成的角，则， 所以，即直线与平面所成的角为. 直线在平面内，所以直线与直线所成角的取值范围为， 因为，所以直线与直线所成角的取值范围为，即， 所以. 故选：C. 变式1-4．如图，是棱长为2的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于点． (1)试用反证法证明直线与是异面直线； (2)设，将长表示为的函数，并求此函数的值域； (3)当最小时，求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，值域 (3) 【分析】（1）假设直线与共面，利用公理2及长方体的相邻两个面不重合证明； （2）设，利用平行线解线段成比例求得，得到，进一步求得，再由勾股定理列式求解，结合二次函数求值域； （3）当时，最小，此时，由于，又，为异面直线与所成角的平面角，通过解直角三角形得答案． 【详解】（1）证明：假设直线与是共面直线， 设直线与都在平面上，则A、、、． 因此，平面、平面都与平面有不共线的三个公共点， 即平面和平面重合（都与平面重合）， 这与长方体的相邻两个面不重合矛盾， 于是，假设不成立， 直线与是异面直线. （2）解：正方体的棱长为2，， 设，则，得，， ，得， ， 当时，有最小值为， 当趋近于时，趋近于2，当趋近于0时，趋近于， 函数的值域为； （3）当时，最小，此时， 在底面中，，，， 又，为异面直线与所成角的角， 在中，为直角，， ∴异面直线与所成角的正弦值为． 类型二、线面角的综合应用问题 解题技巧： 1、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 2、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长 例2-1．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，分别为线段和线段的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）应用线面垂直判定定理及面面垂直的判定定理证明即可； （2）应用等体积得出再根据线面角定义得出正弦值即可；空间向量法得出线面角正弦. 【详解】（1）连结． 因为四边形为菱形，所以．因为，所以为正三角形． 因为为中点，所以． 因为且为中点，所以． 又因为，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面． 法一：延长交于点，连结． 因为四边形为菱形，所以且． 因为为中点，所以且，所以为中点． 因为为中点，所以， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角． ． 设到平面的距离为， ，所以． 在中，，则． 设与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 例2-2．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，，记与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，设，连接，通过证明以及得到为等腰三角形，进而可得结论； （2）取的中点,通过证明平面以及平面可得面面平行，即可求证； （3）利用体积法求点到平面的距离，设与平面所成的角为，表示出，求其最值。 【详解】（1）连接，设，连接.    因为，平面，平面，故， 而，，平面， 故平面，而平面，故， 由四边形为平行四边形可得， 故为等腰三角形，即； （2）取的中点，连结，    由中位线性质可得，且，所以， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面， 因为平面平面， 所以平面//平面；. 又平面, 所以//平面, （3）设，， 由（1）可得平面，而平面，故， 故四边形为菱形，而，故. 因为平面，平面，故， 故，同理. 而，故. 设为点到平面的距离，与平面所成的角为， 故. 又， 而， 故，故， 故， 当且仅当即时等号成立， 所以 变式2-1．已知圆锥的底面半径与高均为5，用平行于该圆锥底面的平面截这个圆锥，得到的小圆锥的高为2.设和分别为圆和圆圆周上的两点，当直线与圆锥底面所成角的大小不超过时，线段长度的取值范围是____________. 【答案】 【分析】过点作底面圆，连接，根据线面角的概念可知即为直线与圆锥底面所成角的平面角，结合已知条件即可得解. 【详解】过点作底面圆，连接， 设半径为，半径为，则，解得， 所以即为直线与圆锥底面所成角的平面角， 由题意可知，，即，解得， 又因为， 其中，当且仅当共线时等号成立， 所以， 所以线段长度的取值范围是， 故答案为： 变式2-2．如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形． (1)若面ABCD，，，求证：； (2)若二面角的大小为，，且，设直线BD和平面QCB所成角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）问题转化为证明平面，即证明和，转化为证明平面， 而则只需证明 （2）作出二面角的平面角以及直线与平面所成的角，列出的表达式，最后把问题转化为函数最值问题. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，在中，， 则，，所以，，由，，所以， 所以，又因为，，平面， 所以平面，又因为平面，所以. （2） 在平面中，过点作，因为为矩形，所以， 所以为二面角的平面角，且， 又，平面，所以平面，在平面中，过点作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角，即，，又因为， 所以，由可得，， 设，，则，， 所以，当且仅当时等号，所以的最大值为. 变式2-3．如图，在直三棱柱中，，，．D，E分别是棱的中点，点F在线段上． (1)若，求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先证明得A，F，三点共线，再证即得； （2）过点B作,证平面，可得就是直线与平面所成的角，利用体积求出点F到平面的距离，证，继而求出即得. 【详解】（1） 连接,在直三棱柱中，，所以． 又因为，， 所以， 故，即A，F，三点共线． 因点D，E分别是棱、的中点， 故，又平面，平面， 所以平面． （2） 过点B作，垂足为点H，连接FH，FB． 在直三棱柱中，平面，又平面，所以， 又，，所以平面． 故是斜线在平面上的射影， 所以就是直线与平面所成的角． 记点F到平面的距离为， ，得．因, 故得F为的中点，即． 在中，因,则, 于是，，，． 求得，故． 所以直线与平面所成角的正切值为． 变式2-4．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）首先证明，再利用线面平行的判定即可； （2）利用勾股定理的逆定理得，，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）合理作出辅助线，求出点到平面的距离为，再求出两极限位置的最值即可. 【详解】（1）分别为的中点，． 平面平面平面． （2）如图，连接．易得. ， . 平面平面， 平面. （3）将直三棱柱补成直四棱柱， ，设的中点分别为，，连接， 设与的交点为． ， 四边形是平行四边形，． ，即，，，四点共面． ， 四边形是平行四边形，． 由（2）可知平面平面， 由，得，即点到平面的距离为， 当点在的三边上运动时， ， 易得， 当与重合时，取得最大值，则取得最小值，最小值为， 此时取得最小值，最小值为．如图，过作，垂足为。 易得， 则， . 当与重合时，取得最大值，则取得最大值，最大值为． 故的取值范围为． 类型三、二面角的综合应用问题 解题技巧： 二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. (4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）. 例3-1．已知在矩形中，，，P为AB的中点，将沿DP翻折，得到四棱锥，则二面角的余弦值最小是 . 【答案】 【分析】作出辅助线，证明线面垂直，找到即为二面角的平面角，设，表达出各边长，得到，求出，由函数单调性得到余弦值的最小值. 【详解】矩形，连接，与相交于点， 因为，，P为AB的中点， 所以，则∽，所以， 则，故⊥， 将将沿DP翻折，则由⊥，⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 过点作⊥于点，则⊥， 又，平面，所以⊥平面， 过点作⊥于点，连接， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故即为二面角的平面角，显然为锐角， 在矩形中，，故，， 设，则，， 故， 因为，所以，    则， 设，，则， 所以，即， 解得，即， 因为，所以， 当时，， 因为，所以，故，时，等号成立， 因为在上单调递减， 所以二面角的余弦值最小值为. 故答案为： 例3-2．如图，在三棱柱中，，为中点，侧面为矩形．    (1)求证：； (2)若，四棱锥的体积为，求侧棱与底面所成角； (3)令，若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明平面，再应用线面垂直的性质得出线线垂直即可； （2）应用线面角定义得出即为侧棱与底面所成角，再应用等体积得出，即可求出角的值； （3）应用二面角定义结合面面垂直的性质定理得出即为二面角的平面角，再结合正切函数的值域计算求解. 【详解】（1）取中点，连接、、，    由题知，，则，又，则， ∵平面，∴平面． ∵平面．∴． （2）∵，为中点，∴， ∵，∴点到三顶点距离相等，∴点在底面的射影为的外心． ∵为直角三角形，为斜边中点， ∴平面，∴即为侧棱与底面所成角， 又∵，∴ 由， ∴，又∵，∴． ∴侧棱与底面所成角为． （3）由（1）知平面．平面，    ∴平面平面． ∵平面平面， 过作于，则平面，平面， 过作于，连接， 则即为二面角的平面角． ∵， ∴，，中，，得． ∴． ∵，∴，∴． ∴二面角的正弦值的取值范围． 变式3-1．（多选）已知空间四边形中，，，且，设AC与平面BCD所成角为α，二面角的平面角为β，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，分别在中，利用余弦定理求判定A；作平面于点，设得到，作于点得到为二面角的平面角，求得判定 B；根据直线与平面所成角的定义和最小角定理判定D；由且，结合三角函数的基本关系式可判定C. 【详解】由题设中， 在中，则，A对； 过作平面于点（注意其位置不定），设， 则为直线AC与平面BCD所成角，故， 过作于点，由平面，平面，则， 且都在平面内，则平面，平面，则， 综上，为二面角的平面角， 在中，故，B对； 由，其中为AC与平面BCD所成角， 结合线面角的定义及最小角定理有，即，D错； 由且，则， 所以，即，C对. 故选：ABC 变式3-2．如图，四棱锥中，底面，，，. (1)求点B到面PAC的距离； (2)若，证明：平面； (3)若，且二面角的正弦值为，求AD. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）过点作于，利用定义法求出点到平面的距离. （2）利用线面垂直的判定性质，结合（1）中信息证得，再利用线面平行的判定定理推理得证. （3）作出二面角的平面角，再利用直角三角形边角关系列出方程求出. 【详解】（1）在四棱锥中，在平面内过点作于， 由底面，平面得， 而平面， 则平面，长即为点B到面PAC的距离， 由，得，即，， 所以点B到面PAC的距离为. （2）由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 而平面，于是，由（1）知，因此， 又平面，平面，所以平面. （3）在平面内过点D作于，在平面内过点作于，连接， 由平面，而平面，故，而平面， 则平面，又平面，于是，而平面， 因此平面，又平面，则，即为二面角的平面角， 且为锐角，，，， 设，由，得，则， ，由，得，， 因此，解得，所以. 变式3-3．已知在多面体中，，，. (1)若，，，四点共面，求证：多面体为棱台； (2)在（1）的条件下，平面平面，，，，且. ①求多面体的体积； ②求二面角正切值. 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】(1)利用面面平行的定义可以证明上下底面的两个面平行，接着证明三条侧棱交于一点. (2)求棱台的体积转化为求两个棱锥的体积即可；求二面角的正切值做出二面角的正切值，利用解三角形求解即可. 【详解】（1）因为，平面，平面, 所以平面. 同理可证：平面. 又因为，平面，平面. 所以平面平面，而，故共面. 因为，设. 而，且平面， 所以平面，同理可证平面， 所以面面. 又因平面平面，所以， 则交于同一点，又因为平面平面. 所以多面体为棱台. （2）三棱台中，由(1)知侧棱交于同一个点，连结. 在侧面梯形中，有，. 所以梯形为直角梯形. 又因为，， 所以，所以，故. 又因面面，面面，面. 所以平面，即的长度等于点到平面的距离. 在三棱台中，有，即,所以, 侧面梯形中，，，，. 所以侧面梯形的面积. 又，解得. 故. 所以. 因为. 故. 所以所求棱台的体积为 ②在内，过点作，记垂足为，连接. 由①知平面，又平面，所以，. 又因为，，所以平面. 又因为平面，所以, 又，所以的值等于二面角的值. 在中，，，. 所以. 故. 解得，故由即知. 所以二面角的正切值为. 变式3-4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且．    (1)求证：； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质推理得证. （2）证明平面，再利用面面垂直的性质求出点到平面的距离即可. （3）作出二面角的平面角，利用几何法求出该角正切的函数关系，进而求出范围. 【详解】（1）由，得，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 又，则， 又，平面，因此平面， 又平面， 所以. （2）在中，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离等于点到平面的距离， 在平面内过作于， 由（1）知，平面， 在中，， 则，， 所以点到平面的距离为.    （3）在平面内过作于M，作于N，连接， 由（1）得平面平面，平面平面，则平面， 又平面，则， 又平面，则平面， 又平面，因此， 则即为二面角的平面角， 设，，由（1）得， 则， 在中，由，得， 在中，由，得， 在中，， 因此， 由，得，则， 所以二面角的正切值的取值范围为. 类型四、异面直线所成角、线面角及二面角的探索性问题 解题技巧： 1、逆向定角法：先明确目标角的几何本质（异面→相交角、线面→线与射影的角、二面→棱的垂线夹角），再倒推满足角度的点必须满足的位置约束，从“找角”变成“找满足条件的点”。 2、平移投影化归：用中位线/平行四边形平移异面直线，用作垂线找射影处理线面角，用棱上作双垂线构造二面角，把所有空间角都转化为平面内的三角形问题，用初中平面几何知识解决。 3、动中抓不变量：先标出题目中固定不变的线、面、垂直/平行关系，再分析动点如何改变角度，缩小思考范围，避免被“动点”干扰。 4、特殊点试探法：先试端点、中点、等分点，若满足则直接得解；若不满足，观察角度随动点的单调变化趋势，判断目标角度是否存在于取值区间内。 5、范围与单调性判断：先明确三类角的取值范围，再分析角度随动点移动的增减性，若目标角度不在范围内或单调性不支持，可直接判定“不存在”。 例4-1．如图1是一个由菱形和两个直角三角形和所组成的平面图形，其中，现将和分别沿折起，使得点与点重合于点，连接，得到如图2所示的四棱锥. (1)求证：平面； (2)若为棱上一点，记 （i）若，求直线与平面所成角的正切值； （ii）是否存在点使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在，. 【分析】（1）利用，，可得到平面，从而得到，再利用菱形可得，最后就可得到平面； （2）①由平面，可知直线与平面所成角就是，从而利用已知数据进行计算即可； ②由可得或其补角为直线与直线所成角，再利用余弦定理解得,利用勾股定理得，最后由已知角的余弦定理得到关于的方程，从而可解得. 【详解】（1）连结AC，交BD于点O，又∵底面为菱形，∴, 由题可得，，且，平面 ，平面， ∴平面，又平面，∴， ∵，平面 ，平面， ∴平面． （2）（i）连结SO交CE于点G，由（1）得平面, ∴为直线CE与平面SBD所成角, ∵，，, ∴, ∵，∴， 在三角形中，由，，所以由余弦定理得： ， ， ∴，即 ， ∴， ∴直线与平面所成角的正切值为． （ii）连结，∵, ∴或其补角为直线与直线所成角,则假设存在点，满足， 由得，, 在三角形中，由，所以由余弦定理得： ， 过点作，交于， 由平面，平面，得，所以， 由可得，因为，所以，， 在三角形中，由余弦定理得： ， 再由，平面可得平面， 又因为平面，所以， 在直角三角形中，由勾股定理得： ． 在三角形中，又因为，，所以由余弦定理得： , 解得, ∴存在使得直线与直线所成角为． 例4-2．如图，四棱锥中，平面ABCD，PB与底面所成的角为，底面ABCD为直角梯形， (1)求证：平面平面PCD： (2)在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为？若存在，求出有的值：若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析； 【分析】（1）方法一.利用线面垂直的性质定理及线面角的定义，再利用锐角三角函数及余弦定理，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可求解； （2）方法一.利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，再利用线面角的定义及锐角三角函数即可求解. 【详解】（1）方法一. 由，得， 因为平面，是在平面内的射影， 所以是与平面所成的角，即， 在中，,解得， 因为所以 在中，, 因为所以 在中，由余弦定理得，即. 由，得， 因为平面，平面,所以, 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）存在，理由如下， 方法一.取的中点，连接，如图所示， 因为，所以， 因为所以,所以四边形为矩形， 所以, 因为平面，平面,所以, 又，平面， 所以平面，所以是在平面内的射影， 所以是与平面所成的角，即， 由（1）知，,且是的中点， 所以.在中，， 因为平面，平面,所以, 在中，， 由,得，在中，, 取的中点为，连接,又, 所以,在中，, 所以，解得,所以, 所以,,所以. 所以线段上存在点，使CE与平面PAD所成的角为，此时. 例4-3．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，是边上一点，且满足是正方形，.    (1)求证：平面平面； (2)已知：，二面角的平面角为.是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】 （1）根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）过作于，连接，利用二面角的定义可求得的值，再根据线线关系即可得的值，从而得符合条件的的值. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以 因为正方形，所以 又平面，所以平面 因为平面，所以平平面平面； （2）过作于，连接    因为平面，平面，所以 因为，平面，所以平面 又平面，所以，则为二面角的平面角 所以，则 又因为正方形中，有，又，所以此时与重合 因为，所以，则，所以，故 故存在使得. 变式4-1．如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，. (1)证明：三棱柱是直三棱柱； (2)若，求平面截三棱柱所得截面的面积； (3)是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）在上任取一点，过作交于，在上任取一点，过作交于，可证平面，证明可得结论； （2）过作，交于点，连接，截面为直角梯形，求得面积即可； （3）延长交于点，过作于，所以平面，连接，为与平面所成的角，可得，进而可求的值. 【详解】（1）如图： 在上任取一点，过作交于， 在上任取一点，过作交于， 由平面平面，平面平面，平面 所以：平面， 同理有平面，从而有， 平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，平面， 从而有，即平面. 从而三棱柱是直三棱柱. （2） 当时，连接延长交直线于，所以， 又因为，所以，所以为线段上靠近的一个三等分点， 过作，交于点，连接， 因为三棱柱为直棱柱，所以平面平面， 又，平面，平面平面， 所以平面，所以平面， 从而截面为直角梯形，， 所以， 从而直角梯形的面积为. （3） 延长交于点，过作于， 因为三棱柱为直棱柱，所以平面平面， 又平面，平面平面， 所以平面，连接， 则为与平面所成的角， 由，，可知，， 若直线与平面所成角的正切值为，即， 从而，即，，从而易得， 即点为上靠近的一个三等分点，. 变式4-2．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面， (1)证明：平面平面； (2)若平面，证明：为的中点； (3)若，在上是否存在点，使得平面，若存在点，则为何值时？直线与底面所成角为 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）依题意可得、，即可得到平面，从而得证； （2）设，连接，即可得到为的中点，根据线面平行的性质得到，即可得证； （3）由线面平行的判定定理得出点在靠近点的三等分点处，再证得平面，所以即为与底面所成角，求解即可得出答案. 【详解】（1）底面平面， 又底面为正方形，， 而，平面，平面， 又平面平面平面； （2）设，连接，因为为正方形，所以为的中点， 又平面，平面，平面平面， 所以， 又为的中点，所以为的中点； （3）存在点在靠近点的三等分点处，即，使得平面． 在线段上取点，使，连接，，． ∵中，，即， ∴且， 在正方形中，点在靠近点的三等分点处，∴且， ∴且，∴为平行四边形， ∴，又平面，平面，∴平面， 取靠近点的三等分点为，连接． 中，点，分别为的三等分点，∴，且， ∵平面，∴平面， ∴在平面上的射影， ∴即为与底面所成角，                           在中，，若，所以，∴， 变式4-3．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点、不重合）．    (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为上靠近的四等分点 【分析】（1）证明出平面，可得出，结合可得出平面，可得出，推导出，可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）过作在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，分析可知为二面角的平面角，设，则，在中，设，由以及二面角的正切值求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：翻折前，因为，，为的中点， 所以，且， 又因为，则四边形为正方形，所以，， 翻折后，则，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）解：假设存在点满足题意，如图，过作在平面内作，垂足为点，    在平面内，因为，，所以， 由（1）知，平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 不妨设，则，在中，设， 因为，, 所以，，所以， 所以，得， 所以，解得， 即此时为线段上靠近点的四等分点． 综上，存在点，使得二面角的正切值为，此时为线段上靠近的四等分点． 变式4-4．如图，在直三棱柱中，是上一动点，是的中点，是的中点. (1)当时，证明: 平面; (2)在答题卡的题 (2) 图中作出平面与平面的交线 (保留作图痕迹,无需证明); (3)是否存在，使得平面与平面所成二面角的余弦值为? 若存在求满足条件的值，若不存在，则说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）构造平行四边形，利用平行四边形对边平行得线线平行，再用线面平行的判定定理即可. （2）一个平面内的直线，不平行则相交，将相关线段延长至相交即可. （3）做出二面角的平面角，由题意易得，再由等面积法计算出，由余弦值可得正切值，即可求解. 【详解】（1）时，为的四等分点（靠近）， 取中点为，取的四等分点（靠近）为，连接. 分别为的中点， ，且， 分别为的四等分点（靠近）， ，且， ，且，则四边形为平行四边形， 又平面，平面， 平面 （2）如图，平面中，与不平行，故与一定相交，设与交于点，连接，则点既在平面上，又在平面上，则为平面与平面的交线. （3）过作，垂足为，过作，垂足为，连接，设与交于点, 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又平面，，又，， 平面，又平面，， 又，，平面，又平面，. 所以为平面与平面所成的二面角. 假设存在满足条件的，即， 由已知可求得，所以， 所以，又， ，所以， 所以，， ， ， ，故， 由得， 又，所以，解得， 即存在使得平面与平面所成二面角的余弦值为. 类型五、最大角定理与最小角定理的应用问题 解题技巧： 一、概念 1、最小角定理（三余弦定理）：平面的斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线与平面内任意一条直线所成角中的最小值。 2、应用场景：比较异面直线所成角、求线线角的最小值。 操作：先过斜线端点作平面垂线，找到射影，射影与平面内直线的夹角即为“基准角”，斜线与平面内直线的夹角一定大于等于线面角。 3、 最大角定理（三正弦定理）：在锐二面角中，一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所成的线面角，其最大值等于该二面角的平面角。 4、 应用场景：比较线面角与二面角大小、求线面角的最大值。 操作：找到二面角的平面角，当平面内直线垂直于二面角的棱时，线面角达到最大值（即等于二面角）。 2、 实战解题步骤 1、作图找射影：处理线面角时，必过动点作平面的垂线，连接垂足与线面交点，得到射影，线面角即藏于此直角三角形中。 2、构造二面角：处理二面角相关的线面角时，在公共棱上取点，分别在两个面内作棱的垂线，确定二面角的平面角。 3、用定理比大小：若求“最小线线角”→ 用最小角定理，转化为线面角。 若求“最大线面角”→ 用最大角定理，转化为二面角的平面角。 4、特殊值验证：动点问题中，优先验证端点、中点、垂足等特殊位置，快速判断角的极值是否存在。 例5-1．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙的前方点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小．若，，，则的最大值是______．（仰角为直线AP与平面ABC所成角） 【答案】 【分析】利用最大角定理求解即可 【详解】由最大角定理得，的最大值为二面角的平面角． 如图，过点B作CM的垂线交CM于点D，过点B作AC的垂线，垂足为E，连接DE． 由平面平面BCD，知平面ABC，由三垂线定理知，， 所以是二面角的平面角． 由题意得，，所以， 故的最大值是． 例5-2．如图所示，在四棱锥中，平面，，，是线段中点，是线段上的点，且，，且.比较与的大小. 【答案】 【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，再由最小角定理，即可得到结果. 【详解】因为平面，面，所以， 又，，平面， 所以平面，所以是直线在平面内的射影， 根据最小角定理，是直线与平面内任意直线所成的一切角中最小的角，所以. 变式5-1．如图，在正四面体中，点满足，点在棱上运动，设与平面所成角为，则的最大值为 ． 【答案】## 【分析】利用最大角定理将线面角的最大值转化为二面角，再作出辅助线，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出其余弦值，最后结合同角三角函数的基本关系求出正弦值即可. 【详解】设二面角的平面角为， 由最大角定理知，当且仅当时取等号． 如图，取的中点O，连接， 在正四面体中，得到，由三线合一性质得， 同理可得，则是二面角的平面角． 设三棱锥的棱长为，则，由勾股定理得, 由余弦定理得， 而，得到，由同角三角函数的基本关系得， 解得（负根舍去），故，即的最大值为． 故答案为： 变式5-2．三余弦定理是空间角的重要结论之一，如图1：设点为平面外一点，过点的斜线在平面上的射影为为平面上的任意直线，则.    (1)证明以上三余弦定理； (2)如图2，在平行六面体中，，. ①证明：平面平面； ②若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）在射线上任取不同于点的点，作图将分别置于直角三角形内，再利用直角三角形边角关系推理得证. （2）①连接，连接，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证；②利用线面角的正弦，结合①求出，利用（1）的结论求出，再利用等体积法求出距离. 【详解】（1）在射线上任取不同于点的点，设点在平面上的射影点为， 则平面，，在平面内过点作于点，连接， 因为平面，平面，则， 因为，，平面， 则平面，又平面，因此， ， 所以.    （2）①在平行六面体中，连接，连接， 由，得是菱形，则，为中点， 又，则≌，，因此， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面.    ②由①得，在平面内射影为，令在平面内射影为， 则平面，是直线与平面所成角， 即，，由①得平分，即， 由（1）得，， ， 由平面平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离， 由，得，又， 因此，解得， 所以点到平面的距离为. 变式5-3．在立体几何中，三面角余弦定理是求解二面角大小的一种重要的方法．三余弦定理：如图甲，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为θ，则．如图乙，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)请利用三余弦定理求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)0． 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. （2）连接，利用几何法求出异面直线与所成角的余弦值. （3）求出三余弦定理的相关量，再利用三余弦定理列式求解. 【详解】（1）由侧面是正三角形，M是的中点，得， 侧面平面，侧面平面，平面，， 则侧面，而侧面，因此， 又平面，所以平面. （2）如图，连接，连接，由底面是正方形，得是中点， 则，与所成角也是与所成角，即或其补角， 由（1）知，平面，平面，则， 由侧面，，得侧面，而侧面，则， 令，则，，在中，， 在中，，，， 所以异面直线与所成角的余弦值是. （3）设二面角为θ，，由（2）知， 在中，，， 在中，，， 如图，， 即，解得 所以二面角的余弦值为0. 变式5-4．三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理． (1)证明三余弦定理； (2)如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值； (3)已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设在平面的射影为，则，过点作交直线于点，连接，然后由线面角定义可确定命题中所涉及，，，最后由三角函数定义可完成证明； （2）取中点为，连接，，，，通过证明平面平面，可得直线与底面所成角为，然后由三垂线定理可得答案； （3）设，，，，，．直线与底面所成角为，由对称性及三余弦定理可得.然后结合体积，表面积表达式，运用作差法配方后可证明结论. 【详解】（1）如图，不妨设在平面的射影为，则，过点作交直线于点，连接， 即为斜线与平面所成角， 即为斜线在平面的射影直线与平面内的直线所成角，即为斜线与平面内的直线所成角， ，，， 又，，，平面， 平面， 平面，， 根据几何关系可得，， ． （2）取中点为，连接，，，，易知， ，． 又，，，平面，平面， 平面， 平面平面， 直线在平面上的射影必在交线上， 直线与底面所成角为， ，， 由三余弦定理得，得， ， 即直线与底面所成角的正弦值为． （3）证明：设，，，，，，直线与底面所成角为，直线在底面投影与AB夹角为，在底面投影与AC夹角． 由平行六面体的对称性，不妨令，， 由三余弦定理， 则. 由题意得， ， ， ， 由，可得： 则 ， 当且仅当且时等号成立． 压轴专练 1.如图，四棱锥中，，，，⊥，则该四棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过勾股定理逆定理得到线线垂直，证明出⊥平面，并根据勾股定理得到相关线段长度，再依据最小角定理确定最小线面角，最后求出该角的正弦值. 【详解】因为，， 所以，由勾股定理逆定理得⊥， 同理可得⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为，⊥， 由勾股定理得， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 由勾股定理得， 根据最小角定理，直线和下底面的夹角最小. ， 故选：C. 2.在空间中，三个平面PAB，PBC，PAC相交于一点P，已知，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，作，作A点在平面PBC射影为O，连接OE，OF，设，由题目条件可得，即可得答案. 【详解】如图，作，作A点在平面PBC射影为O，连接OE，OF，设. 因，则. 因平面PFOE，平面PFOE，则，且为PA与平面PBC所成角， 又，，平面AOE，平面AOF， 则平面AOE，平面AOF. 又平面AOE，平面AOF，则. 又，，，则， 故，结合，得. 又，则，故PA与平面PBC所成角的正弦值等于. 故选：A 3.如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成的角为，顶点在平面内的射影为，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可得当四边形为平面四边形时，点到点的距离最大，作平面,垂足为，点作平面，垂足为，则可求，进而可求解. 【详解】取中点，连接，    当四边形为平面四边形时，点到点的距离最大， 此时，因为平面，平面， 所以平面平面， 过作平面，垂足为， 则为正三角形的重心， 设正四面体的边长为1，则, 因为直线BC与平面所成角为即,且， 所以, 所以点到平面的距离等于， 过点作平面，垂足为， 则， ∴在中，，即直线与平面所成角的正弦值等于. 故选：D. 4.（多选）在正四棱柱中，点M，N分别为面和面的中心.已知与点关于平面对称的点在棱柱的内部（不含表面），并记直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，对所有满足上述条件的正四棱柱，下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】不妨设，，分别取棱，，，的中点为，，，，则点关于平面对称的点，即为与点关于直线对称的点，记为，再分、、三种情况讨论，从而确定的位置，即可得到的范围，即可判断A、B；根据正四棱柱的性质可知为直线与平面所成的角，即可得到，从而判断C；（或补角）即为直线与所成的角，再由锐角三角函数求出的范围，即可判断D. 【详解】由题意，不妨设，，分别取棱，，，的中点为，，，， 易知，，，，五点共面，且为线段的中点. 因为平面，且平面平面， 又平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面平面， 所以点关于平面对称的点，即为与点关于直线对称的点，记为. 当时，即为棱的中点，在棱柱表面，不符题意，舍去； 当时，，由对称性，，此时在矩形外，故在棱柱外部，不符题意，舍去； 当时，，由对称性，. 且由平面几何知识易得在内，所以在棱柱内部，符合题意. 综上所述，，所以，A选项错误. 因为，所以B选项正确. 在正四棱柱中，平面与平面平行， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，则为直线与平面所成的角， 所以. 所以在中，. 因为，，，，， 所以，C选项正确. 在正四棱柱中，. 所以（或补角）即为直线与所成的角且，，， 则在等腰中，取棱的中点为，， 因为，，，， 所以，而，所以D选项错误. 故选：BC. 5.已知正四面体的棱长为2，动平面交线段AB，AC（含端点）于点E，F，且平面平面．若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为 ． 【答案】## 【分析】首先确定棱锥的高平面，直线PO与平面PBC所成的角为，由最小角定理知，再构造二面角，并得到，并说明等号成立的条件，即可求解. 【详解】如图，设点P在平面上的射影为O， 因为平面ABC，且平面平面ABC，所以平面PEF． 设直线PO与平面PBC所成的角为，由最小角定理知． 取BC的中点D，连接OD，PD，则， 因为平面，平面，所以， ，且平面，所以平面PDO． 又平面PBC，所以平面平面PBC，是PO与平面PBC所成的角． 因为正四面体的棱长为2，点P在平面上的射影为O， 所以，， 所以， 所以．． 设平面平面，当且仅当时取等号． 因为平面，平面，所以， 若l与BC相交，则平面，矛盾，故． 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面平面， 所以，故， 所以E，F分别是AB，AC上靠近B，C的三等分点．故的最大值为． 故答案为： 6.在长方体中，，，点为的中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为__________. 【答案】 【分析】分析题目条件，点在线段的中垂面与底面的交线上，取中点，中点，中点，证明得平面，从而点在线段上；再由平面，为直线与平面所成的角，当取得最小时，利用相似可得此时取得最大值为. 【详解】 如图，连接，取中点，中点，中点， 因为，则点在线段的中垂面与底面的交线上. 可求得，所以，所以. 又知，所以. 又，直线和直线都在平面内， 所以平面，从而点在线段上. 易得，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 设为，则. 设的最小值为点到的距离为，取得最小时， 易得与相似，可知，所以，又， 所以的最大值为. 故答案为： 7.如图，在矩形中，，，，分别为，的中点，将沿直线翻折成，与，不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意可发现始终垂直平面，则只需过点作出平行的直线，找到该线与平面的交点，连接该点与即可得到与平面所成角，而后通过计算研究该角的正切值即可得. 【详解】连接、，设其交点为，连接，由矩形中，，， 故四边形为正方形，且，， 又由点关于折叠而来，故，且， 又、平面，且， 故平面，过点作于点， 由、，故，又平面， 故平面，连接，则为与平面所成角， 由平面，故， 故与平面所成角的正切值即为， 由，，， 故与全等，故， ， 过点作于点，则有， 设，则， 当点在线段上（可在点，不可在点）时，则， 有， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 故， 当点在线段上（不在两端）时，， 则， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 此时， 综上所述，， 即在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为. 故答案为：. 8.已知正四棱锥的底面边长与高均为2，设是正方形及其内部的点构成的集合，点是正方形的中心，若集合，则直线与平面所成角的正切值的最小值为________． 【答案】2 【分析】根据题意得到点的范围，根据几何关系得到与平面所成角最小即为最大时，找到最大距离位置后，计算得到答案. 【详解】如图，在正方形内，分别是的中垂线在正方形内部分， 由，则点在五边形及其内部， 同理，，，点在相应的五边形及其内部， 综上，点在正方形及其内部， 可设与平面所成角为，由图可得：， 因为，所以要让最小，只需最大， 由几何关系可知点在正方形的顶点时，，此时取得最小值2. 故答案为：2. 9.如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）．    (1)当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值； (3)在翻折过程中，求二面角的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形边长性质以及三角形相似可得，再由面面垂直性质证明可证明平面，结合线面角定义即可求得结果； （2）根据线面垂直判定定理可证明平面，结合性质定理可得平面，作出线面角的平面角并得出正切值的表达式，再结合三角函数值域求得，可得结论. （3）根据二面角定义利用线面垂直性质作出二面角的平面角，结合三角函数最值求出正切值的最大值，即可求得结果. 【详解】（1）连接交于点，如下图所示：    则， 因为，所以，即， 又，所以，可得， 同理易证，所以， 翻折后当平面平面时，平面平面，且， 又平面，所以平面； 可知即为直线与平面所成的角， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）过点作，垂足为，如下图所示：    因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面， 即即为直线与平面所成的角， 在翻折过程中，设，由（1）可知，， 在中，， 所以， 设，则， 所以，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，又易知，所以， 即直线与平面所成角的最大值为； （3）过作于点，连接，如下图所示：    由（2）知平面，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为，，所以，可得， 结合（2）可得， 在中，, 令，则， 即，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，结合，可知， 因此二面角的最大值为. 10.在三棱锥中，，点P在平面ABC内的投影为H，连接AH. (1)如图1，证明：； (2)如图2，记，直线AP与平面ABC的夹角为，，求证：，并比较θ和的大小； (3)如图3，已知AB=10，AP=8，BC=12，M为平面PBC内一点，且AM=8，求异面直线AM与直线BC夹角的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）取的中点为，连接，利用线面垂直的判定和性质推理即得结论. （2）过点向作垂线，垂足为点，利用线面垂直的性质，结合直角三角形边角关系及余弦函数性质推理即得结论. （3）利用（1）的信息，结合等体积法求出点到平面的距离，进而求出线面角，再利用（2）的结论求出最小值. 【详解】（1）取的中点为，连接， 由，为的中点，得， 由，为的中点，得， 而，平面，则平面， 又平面，所以. （2）因为点P在平面ABC内的投影为H，所以平面， 平面，则，由（1）知， 又，平面，于是平面， 而平面，因此，又，为锐角， 过点向作垂线，垂足为点，连接，则， 由点P在平面ABC内的投影为H，，得， 由平面，平面，得， 而，，平面，则平面， 由平面，则，于是，显然， 因此，当时，重合，等式成立， 所以，由，得， 又函数在上单调递减，所以； （3）设点到平面的距离为，直线与直线的夹角为， 直线与平面的夹角为， 由（1）知， ，， ， 设到平面的距离为，所以， 由，得，解得，又， 所以，即， 由（2）知，直线AM与直线BC夹角， 所以异面直线AM与直线BC夹角的最小值为. 11.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）利用等体积法求出点到平面的距离； （3）连接，，取的中点，连接，确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值. 【详解】（1）连接，取的中点，连接，因为底面为菱形，且， 所以、为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以，， 又，，，所以， 所以， 又，所以， 设点到平面的距离为，则，即， 解得，即点到平面的距离. （3）连接，，则且， 又平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，即，所以， 取的中点，连接，则且， 又为中点，所以，又，所以， 由平面，平面，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，平面，所以平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 为直线与平面所成的角，即， 所以， 所以， 又，设，， 所以， 所以， 令，则， 所以 ， 因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为， 所以. 12.类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点． (1)求的值； (2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：； (3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，即可证明平面平面，即二面角的大小为，求出，再由所给三面角余弦定理计算可得； （2）依题意可得，设平面内任一条直线为，分过点与不过点两种情况，当过点，记与的夹角为（），则，结合余弦函数的性质即可得证； （3）连接，，首先证明平面平面，从而得到平面平面，再由面面平行的性质得到，从而得到，即可得解. 【详解】（1）连接，由已知得平面，， 又平面，所以平面平面， 所以二面角的大小为，因为为菱形，， 所以，又，所以， 在中，， 由三面角余弦定理可得 . （2）依题意可得，设平面内任一条直线为， 若过点时，记与的夹角为（）， 则，因为， 所以， 又，所以； 若不过点时，过点作使得，记与的夹角为（）， 则，因为， 所以， 又，所以； 综上可得. （3）连接，， 因为，平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面平面， 所以平面平面， 又平面平面，又平面平面， 所以，又即， 所以四边形为平行四边形， 所以，显然在的延长线上， 因为，所以， 所以，即. 13.如图，直四棱柱中，是边长为的等边三角形，，，棱的中点为. (1)求证：平面； (2)现在将矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，解答下列问题： （i）在旋转过程中，是否存在，使得直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出满足条件的；若不存在，请说明理由； （ii）在旋转过程中，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①存在，且；② 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可证得，推导出，可得出，由直棱柱的性质得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）①连接、、、，分析可知异面直线与所成的角为或其补角，由余弦定理求出的长，然后在中利用余弦定理求出的值，即可得出角的值； ②过点在底面内作，垂足为点，连接、，求出、的长，，利用换元法、基本不等式以及对勾函数的单调性可求得的最大值，即为所求. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理可得， 即，解得， 由勾股定理可得，故， 在底面中，因为，故，则， 在直四棱柱中，平面，平面，所以， 因为，、平面，因此，平面. （2）①连接、、、，如图所示： 因为，，为的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 故异面直线与所成的角为或其补角， 在矩形中，， 故为等腰三角形，且为锐角，故， 由余弦定理得，解得， 因为平面，，故平面， 因为平面，，故， 因为四边形为平行四边形，所以， 在中，，，, 由余弦定理可得， 因为，故，故，所以， 故存在满足条件的，使得直线与直线所成角的余弦值为，且； ②过点在底面内作，垂足为点，连接、， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为，， 当时，即当时，， 所以， 此时， 所以 ， 所以，， 令，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立； 当时，，则， 令，则， ， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减， 此时， 由于，故的最大值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $