专题01 空间几何体与空间中点、线、面的位置关系证明问题5种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版必修第二册

专题01 空间几何体与点、线、面的位置关系 目录 类型一、斜二测画法的计算问题 类型二、三点共线、三线共点的证明 类型三、四点共面的证明 类型四、线面平行的性质定理应用 类型五、面面垂直的性质定理应用 类型六、利用全等、相似条件证明垂直问题 类型七、证明平行和垂直的探索性问题 压轴专练 类型一、斜二测画法的计算问题 解题技巧： 水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 例1-1．已知的直观图是一个边长为4的等边三角形，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直观图的性质还原并求出的高即可求解. 【详解】如图， 是边长为4的直观图，, O为中点，在轴上，过作交轴于点D，    则，轴， 又， 所以由正弦定理可得， 又由题意可知， 所以由三角形相似性得：， 所以由直观图特点得， 所以. 故选：D. 例1-2．（多选）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法的规则，利用数形结合，即可求解. 【详解】在轴上取，即，所以A正确； 在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取， 过点作轴，并使，如图②所示： 于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确； 在直观图中作于点，， ，所以D错误； ，所以B正确． 故选：ABC． 变式1-1．如图，为水平放置的的直观图，的面积为，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜二测画法规则还原直观图，根据面积比例关系求解可得. 【详解】由，则， 如图，作出还原后，则， 故，所以. 故选：C.   变式1-2．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（   ）    A．2 B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】过作轴，交轴于，求出的长，由斜二测画法的规则可知，即为的边上的高. 【详解】如图，过作轴，交轴于， 在中，因为与轴垂直，且，， 所以， 由斜二测画法知：，所以的边上的高为8. 故选：D.    变式1-3．（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【详解】A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误；        B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，C正确；    D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误． 故选：BC. 变式1-4．（多选）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【分析】斜二测画法对应的平行关系、长度关系还原平面图，然后逐一验算各个选项即可得解. 【详解】对于AB：还原平面图如下图，    则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 类型二、三点共线、三线共点的证明问题 解题技巧： 一、三点共线证明技巧（3 条） 1.公理 3 法（平面交线法） ①辅助线：证明三点分别在两个相交平面内。 ②方法：根据公理 3（两个不重合平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线），若三点都是两平面的公共点，则三点必在交线上，即三点共线。 2.公理 1 + 公理 2 法（共线传递法） ①辅助线：先由两点确定一条直线，再证明第三个点在这条直线上。 ②方法：根据公理 2，两点确定一条直线；再根据公理 1，若第三个点也在该直线上，则三点共线（常通过证明点在某条直线所在的平面内，且在两平面交线上实现）。 3.平行 / 相交传递法 ①辅助线：构造平行或相交的辅助直线。 ②方法：先证明其中两点在某直线上，再证明第三点与该直线上的点共线（如通过中位线、平行四边形传递平行关系，或通过交点传递位置）。 二、三线共点证明技巧（3 条） 1.公理 3 法（交线共点法） ①辅助线：先证明其中两条直线相交于一点，再证明该点在第三条直线上。 ②方法：先证两线交于一点，再证明该点是两个平面的公共点，根据公理 3，该点必在两平面的交线（即第三条直线）上，故三线共点。 2.公理 1 + 公理 2 法（点在线上法） ①辅助线：先确定两条直线的交点，再证明该点在第三条直线所在的平面内，且在平面的交线上。 ②方法：由公理 2确定平面，由公理 1证明点在直线上，最终得到三线共点。 3.中位线 / 平行四边形法（几何构造法） ①辅助线：构造三角形中位线或平行四边形，利用对边平行、对角线相交的性质。 ②方法：先证两条线交于一点，再由平行关系或中点性质，证明该点在第三条线上，实现三线共点。 ✨ 核心口诀： 三点共线：找两平面，证点在交线 三线共点：先证两线交，再证交线在第三线 例2-1．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 【答案】(1)相交，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用中位线和棱台的结构特征，证明，可得以E，F，G，H四点共面，进而得出为梯形，则与必相交； （2）由为梯形，则与必相交，证明交点在上即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， 因为为正四棱台，所以， 又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，， 则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以， 所以为梯形，则与必相交． （2）因为为梯形，则与必相交． 设，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面平面， 所以，则，，交于一点． 例2-2．已知正方体中，G，H分别是，的中点，求证：，，延长后相交于一点. 【答案】证明见解析 【分析】由题意易得G，H，B，D四点共面，延长，后必交于点P，利用点线、点面关系，结合平面的基本性质判断P与的位置关系，即可证结论. 【详解】∵，， ∴，又， ∴. ∴G，H，B，D四点共面，且四边形为梯形. 延长，后必交于点P，如图. 由，平面， ∴平面，同理平面. ∴P在面和面的交线上，又面面， ∴. ∴，，延长后相交于一点. 变式2-1．如图，在长方体中，分别是和的中点．    证明：，，三线共点． 【答案】证明见解析 【分析】由直线和相交，延长，，设它们相交于点，然后再论证平面，平面即可． 【详解】∵，且， ∴直线BE和DF相交． 延长BE，DF，设它们相交于点P，    ∵直线BE，直线平面， ∴平面， ∵直线DF，直线平面， ∴平面， ∵平面平面， ∴， ，，三线共点． 变式2-2．如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】由题意可证平面，平面，进而，即可证明. 【详解】因为，且平面，所以平面， 同理平面， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面∩平面，所以成立． 所以点三点共线． 变式2-3． 若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：    (1)和、和、和分别在同一平面内； (2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间中直线与平面、点与平面的位置关系即可判断； （2）证明三点分别在平面与平面的交线上即可. 【详解】（1）∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面， ∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面， ∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面； （2）∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， ∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， ∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， 所以三点共线. 变式2-4．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【详解】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 类型三、四点共面的证明问题 解题技巧： 一、四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 • 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（推论：平行 / 相交直线确定一个平面）。 • 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 • 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（可用于辅助证明平行关系） 二、证明技巧 1.公理 2（平行直线法） ① 辅助线：连接两点构造中位线或平行四边形。 ②方法：证明两组对边分别平行，由公理 2（平行直线确定一个平面），可知这两条平行直线共面，故四点共面。 2.公理 2（相交直线法） ①辅助线：连接对角线或对边，证明它们相交。 ②方法：证明两条直线相交，由公理 2（相交直线确定一个平面），可知这两条相交直线共面，故四点共面。 3.公理 1 + 公理 3（三点定面法） ①辅助线：先由任意三点，依据 ** 公理 3（不共线三点确定一个平面）** 确定一个平面。 ②方法：证明第四个点在该平面内（或在平面的某条直线上），依据公理 1（直线上两点在平面内，则直线在平面内），得四点共面。 4.公理 1（线在面内法） ①辅助线：连接两点得到一条直线。 ②方法：证明另外两个点都在这条直线上，依据公理 1，直线在平面内则直线上所有点都在平面内，故四点共面。 5.公理 1 + 公理 2（传递包含法） ①辅助线：先由两点确定一条直线，再证明这条直线在由另外两点确定的平面内。 ②方法：依据公理 2确定平面，再用公理 1证明直线在平面内，从而四点都在同一平面内。 6.公理 3 + 公理 1（辅助平面法） ①辅助线：依据公理 3，由不共线的三点构造一个辅助平面。 ②方法：证明第四个点在该平面的某条直线上，依据公理 1，得第四个点也在平面内，故四点共面 例3-1．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．证明：//平面，且，，，四点共面； 【答案】证明见解析 【分析】由中位线得，结合线面平行的判定定理即可证得∥平面，要证，，，四点共面，只需，只需，连接，结合条件证明四边形是平行四边形即可； 【详解】证明：因为F，G分别为的中点， 所以， 又平面CFG，平面， 所以平面． 连接HE，在中，， 所以，且， 因为，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形． 所以， 又，所以， 故C，E，F，G四点共面． 例3-2．证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内． 已知：如图，直线两两相交，且不共点．求证：直线在同一平面内. 【答案】证明见解析 【分析】证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1．先证某两线确定平面，然后证其它直线也在内． 【详解】图①中，没有三条直线交于一点， 因为，所以确定平面， 又因，所以， 所以， 同理可得， 所以直线在同一平面内； 图②中，三条直线交于一点， 因为又因，所以， 所以， 同理， 所以直线在同一平面内， 综上所述，所以直线在同一平面内. 变式3-1．（多选）如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（   ） A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 【答案】ACD 【分析】根据平面的性质的公理及推论逐个进行判断. 【详解】对于A：因为正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心， 所以是的中点，所以在平面内，故A正确； 对于B:因为E，G，F在平面内，D不在平面内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误； 对于C：因为分别为的中点，所以∥ 因为∥，所以∥，所以A，E，F，四点共面，故C正确； 对于D：连接并延长，交于H，则H为的中点，连接，则∥， 因为分别为的中点，所以∥， 因为∥，所以∥，所以G，E，，四点共面，故D正确． 故选：ACD. 变式3-2．已知分别是正方体中和的中点. (1)证明：四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明，得到四点共面. （2）设和交于点P，证明点P在平面与平面的交线上. 【详解】（1）连接，因为是正方体， 分别是和的中点，所以. 又，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面. （2）由（1）知，且， 所以和必交于一点. 设， 因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面. 又平面平面，所以， 所以交于一点. 变式3-3．如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得且，由此可得结论； （2）由，可证得四边形为平行四边形，结合（1）的结论可得，，由此可知四边形为平行四边形，得到，由此可得四点共面. 【详解】（1）因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，， 所以四边形是平行四边形. （2）因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则， 即，所以四点共面. 变式3-4．空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线段成比例证∥，∥即可； （2）先证四边形EFGH为梯形其腰交于一点，再证该点同属于面BDC和面ABD即可. 【详解】（1）， ∥ ∥ ∥，所以四点共面； （2）∥，且，， ， 四边形EFGH为梯形， 设，则，而平面ABD，所以平面ABD , 又，平面BCD，所以平面BCD， 而平面平面， ， EH，FG，BD三线共点. 类型四、线面平行的性质定理应用问题 解题技巧： 性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 例4-1．设m，n是不同的直线，，β是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，且，则 【答案】A 【分析】由线面平行的性质定理可判断A；由面面平行、线面平行的性质定理可判断B，C；由面面垂直的性质定理可判断D. 【详解】对于A，若，，，则，由线面平行的性质定理可知A正确； 对于B，若，，则可能，故B错误； 对于C，若，，则可能，故C错误； 对于D，若，，且，则可能，故D错误. 故选：A. 例4-2．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，要判定平面，只需判定平行于平面内的一条直线即可证明. （2）根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理进行证明. 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中，，且. 因为为四棱锥，所以，且. 所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以平面. （2）连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面,在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 变式4-1．如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，、、分别为、、的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)求证：平面； 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）取中点，证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）.证明如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 因为四边形为平行四边形，所以且， 因为为的中点，所以且， 所以，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面. 变式4-2．如图，在正三棱柱中，分别是棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)过点的平面交于点，交于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线线平行证得平面平面，进而利用面面平行的性质可得结论； （2）利用已知可证平面，进而利用线面平行的性质可证. 【详解】（1）连接，因为分别是棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为分别是棱的中点，又且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以∥平面； （2）记过过点的平面为平面，平面交于点，交于点， 因为分别是棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以. 变式4-3．图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． (1)证明：平面； (2)证明：． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）先利用三角形的中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理即可证明. 【详解】（1） 设，连接， ，Q为侧棱的中点，为的中点， 又是正四棱锥，为的中点， 在中有， 平面，平面， 平面； （2）在正四棱锥中，有， 平面，平面，平面； 又平面，平面平面， 由线面平行的性质定理可得． 变式4-4．如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)点M为的中点 【分析】（1）取的中点N，连接，先证明四边形为平行四边形，得出，即可证明； （2）设过三点的平面与交于点N，连接，由线面平行的性质证明出四边形为平行四边形，即可证明点M为的中点． 【详解】（1）证明：如图，取的中点N，连接， 因为分别为的中点，所以，且CD，    又底面是矩形，且E是的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面． （2）设过三点的平面与交于点N，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以， 因为底面是矩形，所以， 又平面平面，所以平面， 同理得，所以四边形为平行四边形， 所以， 又，且，所以， 且，所以点M为的中点．    类型五、面面垂直的性质定理应用问题 解题技巧： 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 例5-1．已知是相交的两个平面，交线为，记一条直线为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则与必然无交点 B．若，则与必然无交点 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举反例可说明选项ABC中的命题为假命题，由线面平行的判定定理可说明D为真命题. 【详解】对于A，当且仅当时无交点，但当不与垂直时，显然两者不平行，即与必然有交点；当时，还可能在内，故A错误. 对于B，当时，显然，但此时与有无数个交点，故B错误. 对于C，若，由知应有，而选项未有该条件，即当不与垂直时，由推不出，故C错误. 对于D，由知，由得，故D正确. 故选：D. 例5-2．如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.证明：； 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理及性质定理，并结合图形进行证明即可. 【详解】在平面中，过点作的垂线，垂足为. 则，又平面平面，且平面平面，平面，故平面. 又平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，故. 变式5-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，，平面平面.求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】先应用面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直判定定理得出线面垂直最后应用面面垂直判定定理证明. 【详解】取PB的中点M，连接AM.∵，∴. 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴. ∵底面ABCD是直角梯形，且， ∴，∴. 又，，平面，∴平面. 又平面，∴平面平面. 变式5-2．如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点.证明：平面平面.    【答案】证明见解析. 【分析】根据已知有，结合面面垂直的性质有平面，进而有，取的中点M，连接，易得，最后由线面、面面垂直的判定证结论. 【详解】如图，因为四边形是等腰梯形，点G为的中点，点H为的中点， 所以，又平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 又平面， 所以， 取的中点M，连接， 则四边形是边长为2的菱形， 所以， 又， 所以， 因为且都在面内， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面.    变式5-3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果； （2）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果； 【详解】（1）由题意， 连接，易知，， ∴点为的中点，∵为为的中点， 在中，，， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由题意证明如下， 取棱的中点，连接， 在等边三角形中，， ∵平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，故， 又已知，，平面,所以平面． 变式5-4．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由菱形的性质可得，再由面面垂直的性质定理即可证明. （2）连接，由线线垂直可得线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可证明. （3）连接，，，可证平面平面，再由面面垂直可得平面，由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2）如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3）如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. 类型六、利用全等、相似条件证明垂直问题 解题技巧： 1.构造全等三角形，证线线垂直 ①辅助线：在立体图形中截取等长线段，或连接棱上的中点、端点，构造全等三角形。 ②方法：通过 SSS/SAS/ASA 证明三角形全等，得到对应角相等，结合已知直角或平角关系，推导出两直线夹角为 90°，证明线线垂直。 2.构造相似三角形，证线线垂直 ①辅助线：作平行线或延长棱，构造含公共角的相似三角形（常见于棱锥、棱柱中）。 ②方法：通过 AA/SAS 证明三角形相似，得到对应角相等，将已知直角转化到目标线段，证明两线垂直。 3.全等 + 线面垂直判定，证线面垂直 ①辅助线：在目标平面内找两条相交直线，分别用全等证明它们与已知直线垂直。 ②方法：先通过全等得到两组线线垂直，再依据 “垂直于平面内两条相交直线 ⇒ 线面垂直”，证明直线与平面垂直。 4.相似 + 线面垂直判定，证线面垂直 ①辅助线：在平面内作两条相交直线，通过相似得到它们与已知直线的夹角为直角。 ②方法：由相似得到角的等量关系，证明已知直线垂直于平面内两条相交直线，进而得到线面垂直。 5.全等 / 相似 + 面面垂直判定，证面面垂直 ①辅助线：在一个平面内作另一个平面的垂线，用全等或相似证明该垂线垂直于平面。 ②方法：先证线面垂直，再依据 “一个平面过另一个平面的垂线 ⇒ 面面垂直”，证明两个平面垂直。 6.全等 / 相似 + 三垂线定理，证线线垂直 ①辅助线：作平面的垂线，找到斜线在平面内的射影，构造全等或相似三角形。 ②方法：通过全等 / 相似证明射影与平面内直线垂直，再由三垂线定理得到斜线与该直线垂直。 ✨核心思路：立体几何中，先通过全等 / 相似把空间垂直问题转化为平面内的角或边关系，再利用线线垂直→线面垂直→面面垂直的逻辑链完成证明 例6．四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.证明：平面；    【答案】证明见解析 【分析】借助等腰三角形三线合一可得线线垂直，再结合相似三角形的性质与线面垂直判定定理及性质定理即可证明. 【详解】因为为线段的中点，所以， 在等腰梯形中，作于， 则由得， 所以，所以， 因为，所以，则， 所以，所以，所以， 因为，平面，所以平面， 因为在平面内，所以， 因为在平面内，所以平面    变式6-1．如图所示四棱锥，其中交于点.    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理来证得平面. 【详解】（1）因为， 所以均在的垂直平分线上，所以， 因为， 所以， 因为，所以， 又因为平面平面， 所以平面， 变式6-2．如图，直角三角形ABC所在平面外有一点，且，为斜边的中点.求证:平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】证明如下：因为，为斜边的中点， 所以， 在直角中，有，已知， 所以，所以，即. 又平面， 所以平面. 变式6-3．如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，结合中位线性质先证明面面平行，再根据性质得到线面平行； （2）已知线面平行，利用线面平行的性质得到线线平行，再结合向量关系求出的值. 【详解】（1）取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，. 又因为平面，平面，所以平面     又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到， 又因为平面，平面，所以平面. 并且，平面，则平面平面，且平面， 所以平面. （2）连接交于点，连接. 因为，所以.由， 根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得. 因为平面，平面，平面平面， 根据直线与平面平行的性质所以. 所以在中，. 因为，则. 又因为，即，所以.   变式6-4．如图，在四棱锥中，，，底面是直角梯形，，，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接、，即可得到，再说明，即可得到平面，从而得证； （2）由（1）可知，再说明，得到平面，即可得证； 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为，所以，又，所以， 因为底面是直角梯形，，， 所以，又，所以，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）由（1）可知平面，平面，所以， 在梯形中，，，， 所以，所以， 又，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； 类型七、证明平行和垂直的探索性问题 解题技巧： 1.先猜后证，定位特殊点 ①辅助线：优先尝试中点、三等分点、端点等特殊位置，先猜想结论，再严格证明。 ②思路：比如先猜 F 是 AB 中点，再验证垂直关系。 2.证线面平行：找中位线 / 平行四边形 ①辅助线：取中点连线、连接对角线，构造三角形中位线或平行四边形。 ②方法：证明「线线平行」→ 推出「线面平行」。 3.证面面平行：找两组相交平行线 ①辅助线：在一个平面内作两条相交直线，分别平行于另一平面内的直线。 ②方法：证明两组「线面平行」→ 推出「面面平行」。 4.证线线垂直：用三线合一 / 勾股逆定理 ①辅助线：作等腰三角形的中线 / 高，或构造直角三角形。 ②方法：利用「等腰三角形三线合一」或「勾股定理逆定理」证明垂直，也可由「线面垂直」推「线线垂直」。 5.证线面垂直：找两条相交垂线 ①辅助线：在平面内作两条相交直线，分别证明与已知直线垂直。 ②方法：证明「线线垂直」→ 推出「线面垂直」。 6.证面面垂直：找一个平面的垂线 ①辅助线：在一个平面内作另一个平面的垂线（常过交线作垂线）。 ②方法：证明「线面垂直」→ 推出「面面垂直」 例7-1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F． (1)求证：平面； (2)求证：F为的中点； (3)在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在N使得平面，，理由见解析. 【分析】（1）连接交于，连接，易知，再由线面平行的判定证结论； （2）由，根据线面平行的判定有面，再由线面平行的性质可得，结合已知即可证结论. （3）为中点，连接，由已知易证为平行四边形，则，再由线面平行可证面，即可判断存在性. 【详解】（1）连接交于，连接，如下图： 由为平行四边形，则为中点，又E为棱的中点， 所以为中位线，则， 又面，面，故平面； （2）由题设知：，面，面， 所以面，又面，面面， 所以，又E为棱的中点，即是△的中位线， 故F为的中点； （3）存在N使得平面且，理由如下： 为中点，连接， 由题设且，由（2）知且， 所以且，即为平行四边形， 所以，而面，面， 所以面，故所求点即为点， 则上存在点N使得平面，且. 例7-2．如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；点为线段中点. 【分析】（1）利用锥体的体积公式即可求解； （2）通过添加相应辅助线，然后结合面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）设四棱锥的体积为，正方形的面积为， 则：. 故四棱锥的体积为：. （2）存在，点为线段中点，理由如下： 取的中点，取中点，连接、，如下图： 因为、分别为、的中点，所以：，， 所以：，所以：四边形为平行四边形，所以：， 因为底面，平面，所以：， 又因为底面为正方形，所以：，且，平面， 所以：平面，因为：平面，所以：， 又因为：，点为中点，所以：， 又因为：，平面，所以：平面， 又因为：，所以：平面， 又因为：平面，所以：平面平面. 故当点为的中点时，平面平面. 变式7-1．在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，平面，．    (1)求证：； (2)若为的中点，问线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）下结论：线段上存在点，使得平面，且，然后证明结论成立，取中点，连接、，在线段上取点，使得，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）证明：在等腰梯形中，，， 则，且， 因为，则，同理可得， 所以，，即， 因为平面，平面，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，. （2）解：线段上存在点，使得平面，且. 下面证明结论：如图，取中点，连接、， 在线段上取点，使得，连接，    由（1）知，在中，，，则， 所以，，所以， 因为，，所以且， 因为为中点，为的中点，所以且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 所以线段上存在点，使得平面，且. 变式7-2．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，窟盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍的字面意思为茅草屋顶．”现有一个“刍甍”如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，． (1)设过点且与直线垂直的平面为平面，且平面与直线、分别交于、两点，求的周长； (2)求四面体的体积； (3)点在线段上且满足．试问：在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点分别作，，连接，所以平面即为平面，分别求出，即可求出求的周长； （2）利用等体积转化，再求解点到平面的距离，即可求解体积； （3）当点在线段上时，分别利用线线，线面平行关系求得的值. 【详解】（1）过点分别作，，分别交，于，，连接， 所以平面即为平面， 因为四边形为正方形，， 所以，， 由已知得，， 所以的周长为． （2）过点作，垂足为． 因为，平面，平面， 所以平面．因为，， 所以．因为，平面， 所以平面．因为平面，所以． 因为，，平面， 所以平面，所以为三棱锥的高，． 因为，所以， 所以 （3）假设存在点． 当点在线段上时，连接交于， 则，因为， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以． 综上，在直线上存在点，使平面，的值为． 变式7-3．如图，斜三棱柱中，，四边形是菱形，为的中点，平面，． (1)求证：四边形为矩形； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若分别为，的中点，求此斜三棱柱被平面所截的截面面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理求解即可； （2）过点作的垂线交于点，由线面垂直的性质定理和判定定理可知平面，过点作的平行线交于点，所以平面，再在平面中以为原点，为轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示求解即可； （3）延长，交于点，连接交于点，连接，，则四边形即为所得截面，利用线面垂直的判断定理和性质定理，结合余弦定理求该截面面积即可. 【详解】（1）斜三棱柱中，侧面是平行四边形， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以平面， 又因为平面，所以，所以四边形为矩形. （2）如图，过点作的垂线交于点， 因为平面，平面，所以， 又因为，，，所以平面， 过点作的平行线交于点，连接，所以平面， 由斜三棱柱的性质易知， 在平面中以为原点，为轴建立平面直角坐标系， 所以，，，，， 设，则，所以，， 因为，所以， 即，解得， 在上是存在点，当时，平面. （3）延长，交于点，连接交于点，连接，， 则四边形即为所得截面， 因为四边形是菱形，为的中点，平面，平面， 所以，是等边三角形，则， 因为，所以， 过作交于， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，， 在中，因为， 由余弦定理可知， 因为分别为，的中点，，易知与全等， 所以，，， 在直角三角形中，由可得， 在中，由余弦定理可知， 所以， 所以， 设截面面积为，由于，， 所以 . 即所求截面面积为. 变式7-4．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，再利用线面垂直的性质判定推理作答. （2）取的中点，的中点，连接，再作出直二面角，并探讨线段长度关系，借助比例式求解作答. 【详解】（1）由侧面是正三角形，M是的中点，得， 由正方形，得，而平面平面，平面平面， 且平面，则平面，又平面，于是， 而平面， 所以平面. （2）取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接，    于是，由正方形，得，则，令， 显然是正的中心，，， 又平面平面，平面平面，则平面， 平面，即有，而平面， 则平面，平面，在平面内过作交于， 显然，而平面，因此平面， 连接并延长交于，连接，于是平面平面， 过作，则有，，， ，，则，又，， 从而点是线段的中点，，过作交于， 于是，即，显然，因此， 所以在棱上存在点N使平面平面成立，. 压轴专练 1.如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【答案】D 【分析】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 2.将正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据斜二测画法得出相应边的长度和角的大小；再利用余弦定理分别求出和，进而可求出 【详解】设正三角形的边长为， 则. 根据斜二测画法可得：；；；. 在中，由余弦定理可得：； 在中，由余弦定理可得：； 在中，由余弦定理可得： ； 故选：A 3.如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【答案】D 【分析】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 4.（多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】AB 【分析】利用平面的基本性质，通过寻找两个平面的公共点来确定交线，从而判断点共线或共面，再结合异面直线的判定方法分析其他选项. 【详解】因为，平面，所以平面．因为，平面， 所以平面，所以是平面和平面的公共点． 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， 所以，，三点在平面与平面的交线上，即，，三点共线，故A，B正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故C不正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故D不正确． 故选：AB． 5.（多选）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【分析】斜二测画法对应的平行关系、长度关系还原平面图，然后逐一验算各个选项即可得解. 【详解】对于AB：还原平面图如下图， 则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则，， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 6.如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是 ．（填写所有符合要求的结论序号） ①三点共线；        ②四点共面； ③四点共面；    ④四点共面． 【答案】①②③ 【分析】对于①，利用公理，证明为两个平面的公共部分即可； 对于②，③，利用“直线和直线外一点确定一个平面”判断； 对于④，根据异面直线的定义，判定直线，直线为异面直线后可知其错误. 【详解】对于①，两条平行线确定一个平面，即共面，显然平面平面，结合公理三：两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，设平面，平面的交线为，注意到是的中点，矩形对角线互相平分，故也是的中点，即，平面，故平面，又，平面，故平面，即；由，平面，即平面，由题干直接可知，平面，故，故三点共线； 对于②，由直线和直线外一点可确定一个平面，结合①正确可知，故确定的直线和共面，故②正确； 对于③，类似②，确定的直线和共面，故③正确； 对于④，平面，平面，平面，且，根据异面直线的定义，直线，直线为异面直线，故不可能四点共面，故④错误. 故答案为：①②③ 7.如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 【答案】(1)证明见祥解 (2)证明见祥解 【分析】（1）连接，利用中位线定理得到，再根据正方体的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，从而得到，由此可证四点共面； （2）先证平面，且平面ABCD，又平面平面， 所以，进而得到A，O，D三点共线. 【详解】（1）证明：如图，连接.    在正方体中，，所以， 又，且， 所以四边形是平行四边形，所以， ，所以四点共面； （2）证明：由，，又平面，平面， 同理平面ABCD，又平面平面， ，即A，O，D三点共线. 8.如图，在三棱锥中，且的中点分别为，且． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析， 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）法1，根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证；法二，根据给定条件，借助空间向量数量积，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. 【详解】（1）在中，是的中点，则，同理， 因此，而平面，平面，所以平面. （2）法一：由，，得，， 由勾股定理得，在中，由， 得，则，同理， 则，由，得， 则，即，又，得， 在中，，则， 于是，由平面，得平面， 又平面，所以平面平面. 法二：由，，得， 由勾股定理得，在中，由， 得，由， 得 得，又平面，得平面， 又由面，所以平面平面. 9.如图，在五面体中，，，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)若点、分别为、的中点，证明：平面平面； (3)求该五面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过线面平行的判定定理，先证平面，再由交线性质得，结合线面平行判定得平面； （2）先由正三角形和余弦定理求出，再由勾股定理得，结合证得平面，从而得平面平面，再通过中位线和平行四边形证得平面，进而得平面平面； （3）通过作辅助线构造三棱柱，利用平行四边形和线面垂直关系求出高，再计算三棱柱体积，最后说明三棱锥体积相等，得出五面体体积. 【详解】（1）因为平面平面，所以平面， 又因为平面且平面平面， 所以，又平面，平面， 所以平面． （2）因为，所以为正三角形， 所以，又， 所以，又， 所以在中，由余弦定理，得，解得或（舍去）， 因为，所以， 又，且， 所以平面，又平面，所以平面平面． 因为，所以为正三角形， 因为为正三角形，所以， 由梯形中位线，可得，且， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，即，所以， 又平面平面， 所以平面，所以平面，又平面， 所以平面平面． （3）过作直线，延长与交于点M，与交于点N，连接． 因为为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，同理，所以． 又，所以，所以， 所以多面体为三棱柱过作于H点，因为平面平面，所以平面， 所以线段的长即三棱柱的高，在中， ， 所以三棱柱的体积为． 因为三棱锥与的体积相等，所以所求多面体的体积为． 10.如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，为线段上一点． (1)当平面，求证：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，当时， 【分析】（1）由题意可知为的中点，由线面平行的性质定理可得，即可得证； （2）由面面垂直的性质定理可得，只需满足，即可得平面，从而有平面平面，故只需找出成立时，求出点的位置即可. 【详解】（1）证明：因为为正方形，， 所以为的中点， 又因为平面，平面平面，平面， 所以， 又因为为的中点，所以为的中点； （2）存在，当时，平面平面， 理由如下： 设， 因为为正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为在矩形中，设， 因为，，设， 在矩形中，因为，， 当时，即，此时 因此，又因为， 所以，在中，，故， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 在线段上是存在点，当为的一个三等分点（靠近A点）时， 平面平面. 11.如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【详解】（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，    又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； （2）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接，     为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间几何体与点、线、面的位置关系 目录 类型一、斜二测画法的计算问题 类型二、三点共线、三线共点的证明 类型三、四点共面的证明 类型四、线面平行的性质定理应用 类型五、面面垂直的性质定理应用 类型六、利用全等、相似条件证明垂直问题 类型七、证明平行和垂直的探索性问题 压轴专练 类型一、斜二测画法的计算问题 解题技巧： 水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 例1-1．已知的直观图是一个边长为4的等边三角形，则的面积是（    ） A． B． C． D． 例1-2．（多选）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 变式1-1．如图，为水平放置的的直观图，的面积为，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 变式1-2．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（   ）    A．2 B．4 C． D．8 变式1-3．（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 变式1-4．（多选）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 类型二、三点共线、三线共点的证明问题 解题技巧： 一、三点共线证明技巧（3 条） 1.公理 3 法（平面交线法） ①辅助线：证明三点分别在两个相交平面内。 ②方法：根据公理 3（两个不重合平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线），若三点都是两平面的公共点，则三点必在交线上，即三点共线。 2.公理 1 + 公理 2 法（共线传递法） ①辅助线：先由两点确定一条直线，再证明第三个点在这条直线上。 ②方法：根据公理 2，两点确定一条直线；再根据公理 1，若第三个点也在该直线上，则三点共线（常通过证明点在某条直线所在的平面内，且在两平面交线上实现）。 3.平行 / 相交传递法 ①辅助线：构造平行或相交的辅助直线。 ②方法：先证明其中两点在某直线上，再证明第三点与该直线上的点共线（如通过中位线、平行四边形传递平行关系，或通过交点传递位置）。 二、三线共点证明技巧（3 条） 1.公理 3 法（交线共点法） ①辅助线：先证明其中两条直线相交于一点，再证明该点在第三条直线上。 ②方法：先证两线交于一点，再证明该点是两个平面的公共点，根据公理 3，该点必在两平面的交线（即第三条直线）上，故三线共点。 2.公理 1 + 公理 2 法（点在线上法） ①辅助线：先确定两条直线的交点，再证明该点在第三条直线所在的平面内，且在平面的交线上。 ②方法：由公理 2确定平面，由公理 1证明点在直线上，最终得到三线共点。 3.中位线 / 平行四边形法（几何构造法） ①辅助线：构造三角形中位线或平行四边形，利用对边平行、对角线相交的性质。 ②方法：先证两条线交于一点，再由平行关系或中点性质，证明该点在第三条线上，实现三线共点。 ✨ 核心口诀： 三点共线：找两平面，证点在交线 三线共点：先证两线交，再证交线在第三线 例2-1．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 例2-2．已知正方体中，G，H分别是，的中点，求证：，，延长后相交于一点. 变式2-1．如图，在长方体中，分别是和的中点．    证明：，，三线共点． 变式2-2．如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    变式2-3． 若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：    (1)和、和、和分别在同一平面内； (2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）. 变式2-4．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 类型三、四点共面的证明问题 解题技巧： 一、四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 • 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（推论：平行 / 相交直线确定一个平面）。 • 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 • 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（可用于辅助证明平行关系） 二、证明技巧 1.公理 2（平行直线法） ① 辅助线：连接两点构造中位线或平行四边形。 ②方法：证明两组对边分别平行，由公理 2（平行直线确定一个平面），可知这两条平行直线共面，故四点共面。 2.公理 2（相交直线法） ①辅助线：连接对角线或对边，证明它们相交。 ②方法：证明两条直线相交，由公理 2（相交直线确定一个平面），可知这两条相交直线共面，故四点共面。 3.公理 1 + 公理 3（三点定面法） ①辅助线：先由任意三点，依据 ** 公理 3（不共线三点确定一个平面）** 确定一个平面。 ②方法：证明第四个点在该平面内（或在平面的某条直线上），依据公理 1（直线上两点在平面内，则直线在平面内），得四点共面。 4.公理 1（线在面内法） ①辅助线：连接两点得到一条直线。 ②方法：证明另外两个点都在这条直线上，依据公理 1，直线在平面内则直线上所有点都在平面内，故四点共面。 5.公理 1 + 公理 2（传递包含法） ①辅助线：先由两点确定一条直线，再证明这条直线在由另外两点确定的平面内。 ②方法：依据公理 2确定平面，再用公理 1证明直线在平面内，从而四点都在同一平面内。 6.公理 3 + 公理 1（辅助平面法） ①辅助线：依据公理 3，由不共线的三点构造一个辅助平面。 ②方法：证明第四个点在该平面的某条直线上，依据公理 1，得第四个点也在平面内，故四点共面 例3-1．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．证明：//平面，且，，，四点共面； 例3-2．证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内． 已知：如图，直线两两相交，且不共点．求证：直线在同一平面内. 变式3-1．（多选）如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（   ） A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 变式3-2．已知分别是正方体中和的中点. (1)证明：四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 变式3-3．如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 变式3-4．空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 类型四、线面平行的性质定理应用问题 解题技巧： 性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 例4-1．设m，n是不同的直线，，β是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，且，则 例4-2．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 变式4-1．如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，、、分别为、、的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)求证：平面； 变式4-2．如图，在正三棱柱中，分别是棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)过点的平面交于点，交于点．求证：． 变式4-3．图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． (1)证明：平面； (2)证明：． 变式4-4．如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 类型五、面面垂直的性质定理应用问题 解题技巧： 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 例5-1．已知是相交的两个平面，交线为，记一条直线为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则与必然无交点 B．若，则与必然无交点 C．若，则 D．若，则 例5-2．如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.证明：； 变式5-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，，平面平面.求证：平面平面； 变式5-2．如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点.证明：平面平面.    变式5-3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 变式5-4．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 类型六、利用全等、相似条件证明垂直问题 解题技巧： 1.构造全等三角形，证线线垂直 ①辅助线：在立体图形中截取等长线段，或连接棱上的中点、端点，构造全等三角形。 ②方法：通过 SSS/SAS/ASA 证明三角形全等，得到对应角相等，结合已知直角或平角关系，推导出两直线夹角为 90°，证明线线垂直。 2.构造相似三角形，证线线垂直 ①辅助线：作平行线或延长棱，构造含公共角的相似三角形（常见于棱锥、棱柱中）。 ②方法：通过 AA/SAS 证明三角形相似，得到对应角相等，将已知直角转化到目标线段，证明两线垂直。 3.全等 + 线面垂直判定，证线面垂直 ①辅助线：在目标平面内找两条相交直线，分别用全等证明它们与已知直线垂直。 ②方法：先通过全等得到两组线线垂直，再依据 “垂直于平面内两条相交直线 ⇒ 线面垂直”，证明直线与平面垂直。 4.相似 + 线面垂直判定，证线面垂直 ①辅助线：在平面内作两条相交直线，通过相似得到它们与已知直线的夹角为直角。 ②方法：由相似得到角的等量关系，证明已知直线垂直于平面内两条相交直线，进而得到线面垂直。 5.全等 / 相似 + 面面垂直判定，证面面垂直 ①辅助线：在一个平面内作另一个平面的垂线，用全等或相似证明该垂线垂直于平面。 ②方法：先证线面垂直，再依据 “一个平面过另一个平面的垂线 ⇒ 面面垂直”，证明两个平面垂直。 6.全等 / 相似 + 三垂线定理，证线线垂直 ①辅助线：作平面的垂线，找到斜线在平面内的射影，构造全等或相似三角形。 ②方法：通过全等 / 相似证明射影与平面内直线垂直，再由三垂线定理得到斜线与该直线垂直。 ✨核心思路：立体几何中，先通过全等 / 相似把空间垂直问题转化为平面内的角或边关系，再利用线线垂直→线面垂直→面面垂直的逻辑链完成证明 例6．四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.证明：平面；    变式6-1．如图所示四棱锥，其中交于点.    (1)求证：平面； 变式6-2．如图，直角三角形ABC所在平面外有一点，且，为斜边的中点.求证:平面. 变式6-3．如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 变式6-4．如图，在四棱锥中，，，底面是直角梯形，，，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； 类型七、证明平行和垂直的探索性问题 解题技巧： 1.先猜后证，定位特殊点 ①辅助线：优先尝试中点、三等分点、端点等特殊位置，先猜想结论，再严格证明。 ②思路：比如先猜 F 是 AB 中点，再验证垂直关系。 2.证线面平行：找中位线 / 平行四边形 ①辅助线：取中点连线、连接对角线，构造三角形中位线或平行四边形。 ②方法：证明「线线平行」→ 推出「线面平行」。 3.证面面平行：找两组相交平行线 ①辅助线：在一个平面内作两条相交直线，分别平行于另一平面内的直线。 ②方法：证明两组「线面平行」→ 推出「面面平行」。 4.证线线垂直：用三线合一 / 勾股逆定理 ①辅助线：作等腰三角形的中线 / 高，或构造直角三角形。 ②方法：利用「等腰三角形三线合一」或「勾股定理逆定理」证明垂直，也可由「线面垂直」推「线线垂直」。 5.证线面垂直：找两条相交垂线 ①辅助线：在平面内作两条相交直线，分别证明与已知直线垂直。 ②方法：证明「线线垂直」→ 推出「线面垂直」。 6.证面面垂直：找一个平面的垂线 ①辅助线：在一个平面内作另一个平面的垂线（常过交线作垂线）。 ②方法：证明「线面垂直」→ 推出「面面垂直」 例7-1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F． (1)求证：平面； (2)求证：F为的中点； (3)在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 例7-2．如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 变式7-1．在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，平面，．    (1)求证：； (2)若为的中点，问线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 变式7-2．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，窟盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍的字面意思为茅草屋顶．”现有一个“刍甍”如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，． (1)设过点且与直线垂直的平面为平面，且平面与直线、分别交于、两点，求的周长； (2)求四面体的体积； (3)点在线段上且满足．试问：在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式7-3．如图，斜三棱柱中，，四边形是菱形，为的中点，平面，． (1)求证：四边形为矩形； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若分别为，的中点，求此斜三棱柱被平面所截的截面面积． 变式7-4．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 压轴专练 1.如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 2.将正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则（    ） A． B． C． D． 3.如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 4.（多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 5.（多选）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 6.如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是 ．（填写所有符合要求的结论序号） ①三点共线；        ②四点共面； ③四点共面；    ④四点共面． 7.如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 8.如图，在三棱锥中，且的中点分别为，且． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； 9.如图，在五面体中，，，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)若点、分别为、的中点，证明：平面平面； (3)求该五面体的体积. 10.如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，为线段上一点． (1)当平面，求证：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 11.如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $