专题01 复数及其运算5种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版必修第二册

专题01 复数及其运算问题 目录 类型一、与复数相关的复杂运算与求参问题 类型二、与复数模有关的最值或范围问题 类型三、复数范围内方程的根 类型四、复数的三角表示问题 类型五、与复数有关的阅读理解与新定义问题 压轴专练 类型一、与复数相关的复杂运算与求参问题 解题技巧： 1.复数的加法法则和复数的减法法则 ①运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. ②加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. ③运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数. 2.复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3） 3.复数的除法运算 设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 4.复数的乘方 ①对于一些复杂的复数运算,可以利用 的幂次的性质,如 , , , ,以及一些常见的运算技巧来简化计算 ②计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 例1-1．若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 例1-2．（多选）设，为复数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则在复平面对应的点在一条直线上 变式1-1．已知复数满足条件，则复数________． 变式1-2．若为虚数单位，则计算__________. 变式1-3．已知复数，其中i为虚数单位． (1)若，求； (2)若，求的值． 变式1-4．意大利数学家卡尔达诺发明了三次方程的代数解法，17世纪人们把卡尔达诺的解法推广，并整理为四个步骤： 第一步，把方程中的用来替换，得到方程； 第二步，利用公式将因式分解； 第三步，求得、的一组值，得到方程的三个根：、、（其中，为虚数单位）； 第四步，写出方程的根：，，． 某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是______． ①；②；③；④． 类型二、与复数模有关的最值或范围问题 解题技巧： 1.向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 2.()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 3.对于一些与复数模的不等式相关的问题,同样通过代入复数的实部和虚部,转化为平面区域问题进行求解,确定其表示的图形。 例2-1．已知复数满足，则的最大值是__________. 例2-2．已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为________． 变式2-1．若复数满足为虚数单位，则的最大值为______． 变式2-2．如果复数满足，那么的最大值是___________. 变式2-3．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______. 变式2-4．已知，且，为虚数单位，则的最大值是__________． 类型三、复数范围内方程的根 解题技巧： 1.对于实系数一元二次方程 ,当判别式 时,方程的根为 。 2.利用复数相等的条件来求解方程,若方程中含有复数系数,根据方程的根代入方程后实部与虚部分别为零列出方程组求解。 3.对于一些涉及复数方程根的性质的题目,如根与系数的关系(韦达定理), , 在复数范围内仍然成立,合理运用这些性质解题。 例3-1．（多选）在复数范围内，关于的方程的其中一个根为，另一根为，则下列结论正确的是（   ） A．， B． C． D． 例3-2．已知关于x的方程． (1)若（为虚数单位）是该方程的一个根，求b与c的值； (2)已知是该方程的两个复数根，且，若，求b的值． 变式3-1．（多选）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．若方程有一根为0，则且 B．方程可能有两个实数根 C．时，方程可能有纯虚数根 D．若方程存在实数根，则或 变式3-2．在英语中，实数是Real Number，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Number，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：，；，．已知复数z是方程的解． (1)若，且（a，，i是虚数单位），求； (2)若，复数，，且，，求实数t的取值范围． 变式3-3．已知虚数是关于的方程的一个根（i是虚数单位，）． (1) 求的值； (2)求证：；并求的值． 变式3-4．设为关于x的方程的虚根，i为虚数单位． (1)当复数时，求m，n的值； (2)若，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数所对应的点为Q，试求的取值范围． 类型四、复数的三角表示问题 解题技巧： 1.复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 2.牢记欧拉公式 ,当 时, (被誉为数学中最优美的公式之一)。 3.利用欧拉公式进行复数的指数形式与三角形式的转换,在进行复数运算时,若遇到指数形式的复数,可以根据欧拉公式将其转化为三角形式,然后利用三角函数的性质进行计算。 4.在解决一些涉及到复数的辐角、模以及三角函数关系的问题时,合理运用欧拉公式及其相关性质,将问题转化为熟悉的三角函数问题进行求解。 5.（1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. （2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 例4-1．（多选）设i为虚数单位，已知复数，（其中），设，则（    ） A．当时， B．对任意，都有 C．存在，使得 D．存在，使得 例4-2．欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即.欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. (1)证明：若，则与互为共轭复数； (2)已知，欧拉公式在复数集内可推广为，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数，.证明：； (3)若，令，证明：. 变式4-1．任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 变式4-2．（多选）任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（    ） A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 变式4-3．如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数 . 变式4-4．我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 类型五、与复数有关的阅读理解与新定义问题 解题技巧： 1.读懂定义：仔细阅读题目给出的新定义，明确其在复数范畴内的运算规则、对象范围与核心逻辑，将陌生定义“翻译”为熟悉的复数运算语言 2.复数标准化：将题目中的复数统一化为代数形式(a+bi)或三角形式，便于后续按新定义运算。 3.按定义运算：严格依据新定义的规则进行运算，注意区分与常规复数运算（如加减乘除、共轭、模长）的差异，避免惯性思维导致错误。 4.实虚分离：运算后将结果整理为实部与虚部分离的形式，利用“复数相等则实部、虚部分别相等”的充要条件建立方程或方程组。 5.几何意义辅助：结合复数的几何意义（复平面上的点、向量），理解新定义的几何内涵，辅助判断运算结果的合理性。 6.参数求解：若涉及参数，通过复数相等的条件、模长公式或共轭性质，列方程求解参数的取值或范围。 7.特例验证：选取简单的特殊复数（如纯实数、纯虚数）代入新定义运算，验证规则是否成立，辅助理解定义本质。 8.性质迁移：尝试将新定义运算与复数的基本性质（如交换律、结合律、共轭性质）进行对比，判断新运算是否满足相关性质，拓展解题思路。 例5-1．若复数（a，，为其共轭复数），定义：.则对任意的复数，有下列命题：：；：；：；：若，则为纯虚数.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例5-2．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ） A． B． C． D． 变式5-1．定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式5-2．（多选）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 变式5-3．类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，且，. (1)当时，解关于的方程：. (2)当时，①若，求的最小值. ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数和实数，使得恒成立，求的取值范围. 变式5-4．对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 压轴专练 1.复数是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知为虚数单位，以下选项不正确的是（    ） A．若，则的充要条件是 B．若复数满足，则 C． D．若复数满足，则的最大值为6 4.已知复数是虚数，且是实数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 6.定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且），称．若且，称．其余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则下列各式一定错误的是（ ） A． B． C． D． 7.（多选）已知，下列说法中正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 8.（多选）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．当时，则 D．当时，则 9.（多选）欧拉公式是瑞士数学家欧拉在复变函数领域的突出成就，它是最完美的数学公式之一．在这个公式中，当时，它就是欧拉恒等式，它将这五个神奇的数字包含其中，在数学爱好者眼里，宛若一行诗，道尽了数学的美好． 复数可以用表示出来，称为复数的指数形式（其中称为复数的模，是以实轴非负半轴为始边，以表示的向量为终边的角，称为复数的辐角），利用复数的指数形式，可以求诸如方程的根．如，设，则，由两个复数相等的条件可知，所以，当时，，当时，，方程的的根是．依此方法可以求得方程的三个根是1，，则下列结论正确的是（   ） A． B．复平面上表示，的点关于虚轴对称 C． D．，互为共轭复数 10.计算：______． 11.已知复数z满足，则的最大值是______. 12.在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个复数，，“”当且仅当“”或“且”. 按上述定义的关系“”，给出下列命题： ①若，则； ②若，，则； ③若，则对于任意，. 其中正确的命题为______.（填序号） 13.已知关于的实系数一元二次方程 (1)若，求方程的两个根； (2)若方程有两虚根，，求的值； (3)若方程的两根为，其在复平面上所对应的点分别为，点关于轴的对称点为（不同于点），如果，求的取值范围. 14.已知复数，，其中i是复数单位. (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，a是正实数，求的值. 15.虚数、满足. (1)若、又是一个实系数一元二次方程的两个根，求、； (2)把（1）中虚部大于零的根记作，对任意整数，计算； (3)若为虚数单位，为实数），，复数，求的取值范围. 16.已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． (1)试将写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 复数及其运算问题 目录 类型一、与复数相关的复杂运算与求参问题 类型二、与复数模有关的最值或范围问题 类型三、复数范围内方程的根 类型四、复数的三角表示问题 类型五、与复数有关的阅读理解与新定义问题 压轴专练 类型一、与复数相关的复杂运算与求参问题 解题技巧： 1.复数的加法法则和复数的减法法则 ①运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. ②加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. ③运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数. 2.复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3） 3.复数的除法运算 设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 4.复数的乘方 ①对于一些复杂的复数运算,可以利用 的幂次的性质,如 , , , ,以及一些常见的运算技巧来简化计算 ②计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 例1-1．若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】， 因为为纯虚数， 所以，且， 所以. 例1-2．（多选）设，为复数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则在复平面对应的点在一条直线上 【答案】BD 【分析】对于选项A，令，，可判断A选项正误；对于选项B，设复数，，根据讨论判断；对于选项C，令，，可判断C选项正误；对于选项D，求出复数对应点的轨迹判断. 【详解】对于A，令，，则，此时，A错误； 对于B，设，，则， 所以，，即，则； 若，则成立，此时； 若，，由知；由知：，此时； 同理可知：当，时，； 若，，由得：，则，此时； 综上所述：若，则或，B正确； 对于C，令，，则，此时，C错误； 对于D，因为，且时， 设，，， 则，， 由，可得， 所以，又、不全为零， 所以表示一条直线， 即在复平面对应的点在一条直线上.故D正确. 故选：BD 变式1-1．已知复数满足条件，则复数________． 【答案】 【分析】设，根据条件可得，解方程即可求解. 【详解】设，则由条件得． 由复数相等的充要条件得， 解得或（无解）， 即解得 故或． 故答案为： 变式1-2．若为虚数单位，则计算__________. 【答案】 【分析】由虚数的周期性质结合并项求合法分组分析计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以 . 故答案为： 变式1-3．已知复数，其中i为虚数单位． (1)若，求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的模和共轭复数的运算结果代入已知表达式，利用复数相等的条件：实部和虚部相等，建立方程组求解； （2）利用错位相减法，结合复数虚数单位的幂的运算求解. 【详解】（1）首先，复数的模长平方 ，共轭复数 . 代入方程得：， 展开并整理得：， 根据复数相等的条件得：， 解得，， 因此，复数； （2）考虑， 则， 相减得：， 其中，（因为），且. 因此： 解得：， 因此，，即，， 故. 变式1-4．意大利数学家卡尔达诺发明了三次方程的代数解法，17世纪人们把卡尔达诺的解法推广，并整理为四个步骤： 第一步，把方程中的用来替换，得到方程； 第二步，利用公式将因式分解； 第三步，求得、的一组值，得到方程的三个根：、、（其中，为虚数单位）； 第四步，写出方程的根：，，． 某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是______． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】 依题意可知是次项系数，所以，故①正确. 第一步，把方程中的，用来替换， 得， 第二步，对比与， 可得，解得，故②正确. 所以，故③正确. ，故④错误. 故答案为：①②③ 类型二、与复数模有关的最值或范围问题 解题技巧： 1.向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 2.()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 3.对于一些与复数模的不等式相关的问题,同样通过代入复数的实部和虚部,转化为平面区域问题进行求解,确定其表示的图形。 例2-1．已知复数满足，则的最大值是__________. 【答案】6 【分析】根据复数的几何意义和目标式的几何意义，即可求得结果. 【详解】由题意，复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而表示复数对应的点到点的距离， 最大的距离为， 即的最大值是. 故答案为：. 例2-2．已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为________． 【答案】/ 【分析】确定复数的轨迹，结合点到线的距离公式即可求解. 【详解】设，则， 由，得，化简得， 所以或， 的几何意义为射线上的点与的距离，    结合图象可知：到的距离即为最小值， 最小值为. 故答案为：. 变式2-1．若复数满足为虚数单位，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】设，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，求出坐标原点到圆心的距离，即可求出的最大值. 【详解】设，因为，即， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，而表示点到原点的距离， 又，所以的最大值为. 故答案为： 变式2-2．如果复数满足，那么的最大值是___________. 【答案】 【分析】首先将看作是点到两点距离之和为3，然后判断点的轨迹，然后将看作是点到点的距离，最后根据图象即可计算的最大值. 【详解】复数满足， 将其可以看作是点到两点距离之和为3. 因为，所以点的轨迹为线段. 而表示的是点到点的距离， 要求其距离的最大值，则根据图象可知点到点的距离最大， 即. 故答案为：. 变式2-3．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______. 【答案】 【分析】利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果. 【详解】复数满足，即 即复数对应的点到点的距离满足 设，表示复数对应的点到点的距离 数形结合可知的最大值 故答案为： 变式2-4．已知，且，为虚数单位，则的最大值是__________． 【答案】 【分析】设，根据得出满足的关系，表示出后根据复数的几何意义求解. 【详解】设，由， 则，表示的是圆心为，半径为的圆， 而，表示的是圆上一点到的距离， 如图所示，显然最大距离是与圆心的连线加上半径长， 即最大值为. 故答案为： 类型三、复数范围内方程的根 解题技巧： 1.对于实系数一元二次方程 ,当判别式 时,方程的根为 。 2.利用复数相等的条件来求解方程,若方程中含有复数系数,根据方程的根代入方程后实部与虚部分别为零列出方程组求解。 3.对于一些涉及复数方程根的性质的题目,如根与系数的关系(韦达定理), , 在复数范围内仍然成立,合理运用这些性质解题。 例3-1．（多选）在复数范围内，关于的方程的其中一个根为，另一根为，则下列结论正确的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A将代入方程求解即可判断，对于B利用A选项得方程，求方程的根即可求，对于C计算即可判断，对于D先计算，最后利用即可求解. 【详解】对于A：是方程的根，则， 即，那么，所以，，故A错误； 对于B：由A知，，所以，，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，所以，故D正确． 故选：BCD． 例3-2．已知关于x的方程． (1)若（为虚数单位）是该方程的一个根，求b与c的值； (2)已知是该方程的两个复数根，且，若，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理即可得解； （2）讨论两根是实数、虚数两种情况，当两根为虚数时，设，则，再根据韦达定理结合复数的模的计算公式求解即可. 【详解】（1）因为是方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 则，解得； （2）当都是实数时，则， 故， 又因为， 所以，解得或， 经检验，当时，不符题意，所以； 当都是虚数时，设，则， 则， 所以，所以， 又，则，解得， 经检验，不符合题意，所以. 综上所述，或. 变式3-1．（多选）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．若方程有一根为0，则且 B．方程可能有两个实数根 C．时，方程可能有纯虚数根 D．若方程存在实数根，则或 【答案】ACD 【分析】将方程进行等价变形为，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当且时，有纯虚根判断C. 【详解】解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有，则有，，即且，故A正确； B选项：方程可变形为：， 即，则，只有一解，故B错误； C选项：当且时，方程为，是该方程的一个纯虚根，故C正确； D选项：若方程存在实数根，则，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正确 故选：ACD 变式3-2．在英语中，实数是Real Number，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Number，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：，；，．已知复数z是方程的解． (1)若，且（a，，i是虚数单位），求； (2)若，复数，，且，，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先求解方程得到复数，再结合条件根据复数相等求解； （2）根据复数的运算，结合条件列出不等式组的求解. 【详解】（1）由z是方程的根，， 解得． 因为，所以，所以， 则， 所以解得 所以． （2）因为，所以． 又， 所以． 因为，， 所以解得， 所以实数t的取值范围为． 变式3-3．已知虚数是关于的方程的一个根（i是虚数单位，）． (1)求的值； (2)求证：；并求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析；. 【分析】（1）由虚数是关于的方程的一个根，代入由复数相等求解即可； （2）由（1）可知，，然后证明即可，由，即可求得. 【详解】（1）虚数是关于的方程的一个根，， 所以，整理得：， ，由，解得， 所以. （2）证明：由（1）可知，，， ， 所以， ， 所以 变式3-4．设为关于x的方程的虚根，i为虚数单位． (1)当复数时，求m，n的值； (2)若，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数所对应的点为Q，试求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可知：方程的两根分别为：，结合韦达定理分析求解； （2）设，利用韦达定理可得，设，，，根据两点间距离公式结合三角函数的最值分析求解. 【详解】（1）当时，则， 可得方程的两根分别为：， 则，解得，. （2）当时，方程为， 设，则，， 可得，为方程的两根， 则， 设，，， 由复数的几何意义可知：， 则， 其中，， 因为，可得， 所以的取值范围为． 类型四、复数的三角表示问题 解题技巧： 1.复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 2.牢记欧拉公式 ,当 时, (被誉为数学中最优美的公式之一)。 3.利用欧拉公式进行复数的指数形式与三角形式的转换,在进行复数运算时,若遇到指数形式的复数,可以根据欧拉公式将其转化为三角形式,然后利用三角函数的性质进行计算。 4.在解决一些涉及到复数的辐角、模以及三角函数关系的问题时,合理运用欧拉公式及其相关性质,将问题转化为熟悉的三角函数问题进行求解。 5.（1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. （2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 例4-1．（多选）设i为虚数单位，已知复数，（其中），设，则（    ） A．当时， B．对任意，都有 C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】ABC 【分析】应用复数的除法及乘法运算判断A，应用复数的乘法除法运算结合特殊角的三角函数值及三角函数值域判断B，C，D. 【详解】对于A：当时， ，则，A正确； 对于B：， 则对任意，都有，B选项正确； 对于C：， 所以， 存在，， 使得，C正确； 对于D：若存在，使得， 则， 则， 又因为， 设， 在单调递增， 所以的最大值为， 所以不成立， 所以不存在使得，D错误； 故选：ABC. 例4-2．欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即.欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. (1)证明：若，则与互为共轭复数； (2)已知，欧拉公式在复数集内可推广为，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数，.证明：； (3)若，令，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据欧拉公式展开复数，得出与实部相同，虚部相反，满足共轭复数定义；（2）运用双曲函数和三角函数的转换关系，，应用三角函数加法公式计算；（3）把已知条件代入复数表达式，分离实部和虚部，利用构造方程，得出结论. 【详解】（1）证明：， 的实部为，虚部为 又的实部为，虚部为 与实部相同，虚部相反，互为共轭复数. （2）代入双曲函数定义，应用三角函数加法公式： （3）代入已知复数表达式并分离实部与虚部： 由， ， 得， 由，整理得 变式4-1．任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【分析】由题意可得， 故， 所以， 故选：C. 变式4-2．（多选）任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（    ） A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 【答案】ABD 【分析】根据复数三角函数形式即可判断A;通过解方程求解验证即可判断B,利用复数用三角函数形式表示复数，然后根据模的公式求出模，最后利用余弦函数的有界性求出范围即可判断C；根据复数的几何意义求出交点即可判断D; 【详解】对于A；由， 复数 位于第二象限，其辐角为， 所以，故A对； 由得或， 由得， 因为是方程的虚数根， 不妨设， 所以，故B对； 因为，令， 则 ， 又，故C错； 的解是单位圆上的 2025 次单位根， 即所有复数 z满足且辐角为，其中， 所以，这些点均匀分布在单位圆上， 令，所以是6 次单位根： ， 所以， 这些点是以 −1 为中心、半径为 1 的圆上的 6 个点， 因为， 所以，即， 在，中，满足的为：， 此时 或， 综上，满足条件的复数共2个；故D对； 故选：ABD 变式4-3．如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数 . 【答案】 【分析】设，先相继求出、、对应的复数，再求，由条件列方程求，由此可得结论； 【详解】设，设对应的复数为，对应的复数为，则， ， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以， 又，所以， 所以， 故答案为：. 变式4-4．我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 【答案】(1)， (2)（ⅰ）存在，；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数，. （2）（ⅰ）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. （ⅱ）根据，把表示成与有关的三角函数，结合角的取值范围，求函数值域即可. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. （2）设，，则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为，， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以，所以. （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以，所以，又， 所以，所以的范围为. 类型五、与复数有关的阅读理解与新定义问题 解题技巧： 1.读懂定义：仔细阅读题目给出的新定义，明确其在复数范畴内的运算规则、对象范围与核心逻辑，将陌生定义“翻译”为熟悉的复数运算语言 2.复数标准化：将题目中的复数统一化为代数形式(a+bi)或三角形式，便于后续按新定义运算。 3.按定义运算：严格依据新定义的规则进行运算，注意区分与常规复数运算（如加减乘除、共轭、模长）的差异，避免惯性思维导致错误。 4.实虚分离：运算后将结果整理为实部与虚部分离的形式，利用“复数相等则实部、虚部分别相等”的充要条件建立方程或方程组。 5.几何意义辅助：结合复数的几何意义（复平面上的点、向量），理解新定义的几何内涵，辅助判断运算结果的合理性。 6.参数求解：若涉及参数，通过复数相等的条件、模长公式或共轭性质，列方程求解参数的取值或范围。 7.特例验证：选取简单的特殊复数（如纯实数、纯虚数）代入新定义运算，验证规则是否成立，辅助理解定义本质。 8.性质迁移：尝试将新定义运算与复数的基本性质（如交换律、结合律、共轭性质）进行对比，判断新运算是否满足相关性质，拓展解题思路。 例5-1．若复数（a，，为其共轭复数），定义：.则对任意的复数，有下列命题：：；：；：；：若，则为纯虚数.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】A选项，利用复数模长公式计算出； B选项，利用复数加法法则计算得到； C选项，利用复数乘法法则计算得到； D选项，利用复数除法法则计算得到，当，此时不一定是纯虚数. 【详解】，，， 则，，， 故，正确； ，正确； ， ， 则，错误； ， 若，且，此时为实数， 故错误； 故选：B 例5-2．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设各选项的一一计算各项所得到的列值，再结合收敛点的定义即可判断. 【详解】对A，由可得列值，，，…不合题意，故A错误； 对B，由可得列值，，，…不满足题意，故B错误； 对C，由可得列值，，，…不满足题意，故C错误； 对D，由可得列值… 因为， 存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确； 故选：D 变式5-1．定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由已知运算和复数的运算化简即可. 【详解】由题意可得， 即， 所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限， 故选：B. 变式5-2．（多选）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BCD 【分析】根据题设新定义，利用共轭复数的定义、复数的运算及复数相等，得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】设，由题意知， 即，则，解得，所以， 对于选项A，因为的虚部为1，所以A错误； 对于选项B，因为，所以B正确； 对于选项C，因为，故C正确， 对于选项D，因数在复平面内对应的点在第二象限，所以D正确， 故选：BCD. 变式5-3．类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，且，. (1)当时，解关于的方程：. (2)当时，①若，求的最小值. ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数和实数，使得恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）由题设得，将方程化为求解即可； （2）①令（，且），进而得到，且，结合求最值；②令（且，，），进而得到得代数形式，结合复数的性质有，进而有，即可得范围. 【详解】（1）当时，，则. 由，整理得，则； （2）①令（，且），因为，所以. ， 因为，所以. 因为，当时，. ②当时 令（且，，）， 则 ， 要使的恒成立，所以，即， 所以，则对应点在以为圆心，1为半径的圆周上(不含横坐标为5，纵坐标为12的点)， 所以. 变式5-4．对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“差比模”定义代入复数，由复数的代数运算及求模可得； （2）由，利用共轭复数的性质与模的性质可得，利用基本不等式可得可知不存在，使得关于的“差比模”是协调的； （3）设，由平方整理再结合辅助角公式可得，利用三角函数有界性可得关于的不等式，由此可解得，结合韦达定理与题意关于的“差比模”是协调的，化简可求. 【详解】（1）由题意得， 故关于的“差比模”为. （2）先证明共轭复数有如下性质：若任意，则. 证明：设， 则， 而， 故. ； ； 故. 综上，共轭复数的性质得证. 记当“差比模”取最大值时的复数为，即. 由已知发现， 由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得 因为， 所以若当时取得，则时取到， 故可知， 由取遍，不恒为常数，则， 故由基本不等式可得， 故不存在，使得关于的“差比模”是协调的. （3）且，设， 则， 平方整理可得： 所以， 即， 平方整理得：， 令，设方程， 则， 故方程有两个不等的实数根，设为，不妨设. 由题意知， ， 则，且， 故方程有两不等的正实数根， 由关于的不等式， 解得， 则，， 由已知关于的“差比模”是协调的，则， 所以， 利用韦达定理，， 则有， 化简可得， 故． 【点睛】结论点睛：有关共轭复数及模的常用性质有： （1）任意，则； （2）任意，则. 压轴专练 1.复数是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先判断当时，是否等于，以确定充分性是否成立；再判断当时，是否一定等于，以确定必要性是否成立，进而确定条件类型. 【详解】当时， 再计算： ， 所以当时，成立，充分性成立. 由，则：， 即或，所以当时，不一定等于，必要性不成立. 因为充分性成立，必要性不成立，所以复数是成立的充分不必要条件， 故选：A. 2.若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数运算结合复数相等概念可得，然后结合可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以，解得，.因为，所以， 解得或. 故选：A. 3.已知为虚数单位，以下选项不正确的是（    ） A．若，则的充要条件是 B．若复数满足，则 C． D．若复数满足，则的最大值为6 【答案】B 【分析】对于A，利用复数的相等易得；对于B，通过举反例排除即可；对于C，利用的乘方的周期性计算即得；对于D，利用复数的几何意义结合动点轨迹知识易得. 【详解】对于A： 因，则等价于， 等价于，即，故A正确； 对于B： 由可得， 当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误； 对于C： 因对于， ， 则， 于是，故C正确； 对于D： 由可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆， 而可看成点到该圆上点的距离， 易得的最大值即，故D正确. 故选：B. 4.已知复数是虚数，且是实数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是实数，可得，则，然后由a的范围可得答案. 【详解】因为是虚数，则， 所以． 因为是实数，所以，解得或． 因为，所以， 则． 因为，且，所以，所以， 所以，则， 即的取值范围是． 故选：D 5.任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据复数新定义计算，再结合纯虚数定义列式求解. 【详解】， 由棣莫弗定理可得， 因为复数为纯虚数， 所以且，所以，，得，， 所以正整数m的最小值为4. 故选：A. 6.定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且），称．若且，称．其余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则下列各式一定错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设所给定义结合复数定义和运算法则分析、计算判断即可. 【详解】设复数，若，则，则无解， 所以，将代入，可得， ，即， 所以，解得，所以， 又因为， 设，所以， 所以，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 所以，从而最大，故B错误； 若，，则， 所以当，或， 时，则，C正确； 若，此时，则，A正确； 若，此时，则，D正确； 故选：B. 7.（多选）已知，下列说法中正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】BCD 【分析】设，根据赋值的四则运算即模长公式等可逐项判断. 【详解】设， ， ， ， 即或，故A错误； ，， 即， 所以，故B正确； ， ， 则或， 所以，则或，故C正确； ，， 即，故D正确； 故选：BCD. 8.（多选）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．当时，则 D．当时，则 【答案】ACD 【分析】利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，可判断AB选项；复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值，在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断CD选项. 【详解】设在复平面内的对应点分别为， 由得，所以在直线上. 由得，所以在圆上. 如图所示： 对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故B错误； 对于CD：因为是方程在复数范围内的两根， 所以. 若，即或，此时， 由得或， ∴当或时，； 当时，，故C正确； 若，即，此时，为一对共轭虚根， ，故D正确. 故选：ACD. 9.（多选）欧拉公式是瑞士数学家欧拉在复变函数领域的突出成就，它是最完美的数学公式之一．在这个公式中，当时，它就是欧拉恒等式，它将这五个神奇的数字包含其中，在数学爱好者眼里，宛若一行诗，道尽了数学的美好． 复数可以用表示出来，称为复数的指数形式（其中称为复数的模，是以实轴非负半轴为始边，以表示的向量为终边的角，称为复数的辐角），利用复数的指数形式，可以求诸如方程的根．如，设，则，由两个复数相等的条件可知，所以，当时，，当时，，方程的的根是．依此方法可以求得方程的三个根是1，，则下列结论正确的是（   ） A． B．复平面上表示，的点关于虚轴对称 C． D．，互为共轭复数 【答案】ACD 【分析】根据题干所给出的新定义判断各个选项即可． 【详解】A．设，因为，所以，所以， 所以．所以．所以，， 所以，，因此A正确． B．复平面上表示，的点关于实轴对称，因此B不正确； C．，因此C正确； D．由A的解析可知：互为共轭复数，因此D正确． 故选：ACD． 10.计算：______． 【答案】 【分析】由复数的定义有，利用复数的四则运算即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 11.已知复数z满足，则的最大值是______. 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，将问题化为求点与点的距离，即可得. 【详解】由的几何意义知，对应点在以点与点为端点的线段上， 由的几何意义知，对应点到点的距离， 所以所求最大值为点与点的距离，由勾股定理得. 故答案为： 12.在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个复数，，“”当且仅当“”或“且”. 按上述定义的关系“”，给出下列命题： ①若，则； ②若，，则； ③若，则对于任意，. 其中正确的命题为______.（填序号） 【答案】②③ 【分析】对于①举出反例即可；对于②利用已知的定义进行判断即可；对于③同样利用定义进行判断. 【详解】对于①，复数，，满足， 但，，不满足，故①不正确； 对于②，设，，， 由，可得“”或“且”，所以，故②正确； 对于③，设，，， 由可得“”或“且”， 显然有“”或“且”， 从而，故③正确. 故答案为：②③. 13.已知关于的实系数一元二次方程 (1)若，求方程的两个根； (2)若方程有两虚根，，求的值； (3)若方程的两根为，其在复平面上所对应的点分别为，点关于轴的对称点为（不同于点），如果，求的取值范围. 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】（1）利用求根公式计算可得； （2）由求出的取值范围，依题意可得、互为共轭复数，则，即可求出的值； （3）分和两种情况讨论，结合求根公式及数量积的坐标表示，即可得到不等式，解得即可. 【详解】（1）当时方程为，则， 所以方程的根为、 （2）因为方程有两虚根，所以， 解得， 此时方程有两个共轭复根、，故，又，所以， 所以，解得或（舍去）. （3）若，即或时， 此时，， 则，，， 显然， 所以， 则 ， 即，解得或， 所以或； 若，即时， 设，（）， 则，，， 所以，， 所以，即，又，， 所以，解得或，所以； 综上可得的取值范围为. 14.已知复数，，其中i是复数单位. (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，a是正实数，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用复数的乘法法则及复数相等的条件列式求解即可. （2）利用除法运算化简，根据纯虚数的概念知，则然后根据的周期性求和即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 所以，解得实数a的值为2. （2）由题意得， 因为是纯虚数，所以，解得或， 又因为a是正实数，所以，所以， 所以 15.虚数、满足. (1)若、又是一个实系数一元二次方程的两个根，求、； (2)把（1）中虚部大于零的根记作，对任意整数，计算； (3)若为虚数单位，为实数），，复数，求的取值范围. 【答案】(1)，或，； (2)0； (3). 【分析】（1）设出的代数形式，利用实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数列式求解作答. （2）利用复数的加减及乘法运算计算作答. （3）根据给定条件，求出的范围，再将表示为的函数，求出函数的值域作答. 【详解】（1）设，则，又是虚数，即有， 因为、是一个实系数一元二次方程的两个根，则、互为共轭复数， 因此，解得， 所以，或，. （2）由（1）知，，则， 对任意整数，. （3）由知，又，即，则， ， 所以. 16.已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． (1)试将写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 【答案】(1)，其中. (2)的最大值为3，最小值为0. (3)证明见解析 【分析】（1）根据复数三角形的定义可得复数的三角表示形式； （2）设，利用乘法的性质可得，根据余弦函数的性质可求最值； （3）利用题设复数三角形式的乘法结合复数的乘法可证三倍角公式. 【详解】（1）设， 则，故， 故，其中. （2）因为，故设， 故 ， 因为，故， 故的最大值为3，此时，最小值为0，此时. （3）设，则 ， 但 ， 故，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $