第3章 复数（知识清单）数学湘教版必修第二册

第3章 复数 清单1 复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． (2)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔ (a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔ (a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作 或 |，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ (r≥0，a，b∈R)． 清单2 复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 清单3 复数的运算 (1)复数的加、减 、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 1 加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ； 2 减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ； 3 乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ； ④除法：＝＝＝ (c＋di≠0)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ ，(z1＋z2)＋z3 ＝ ． 常用结论 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. 3．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 4．|z|2＝||2＝z·. 易错点1复数的分类把握不准致误 【例1】已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【变式1-1】如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【变式1-2】已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则 . 【变式1-3】当实数为何值时，复数，是实数？纯虚数？零？ 易错点2 对复数的几何意义理解有误 【例2】如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-1】设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【变式2-2】设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-3】下列命题正确的是（    ） A．若复数满足，则或 B． C．若是方程的一个根，则该方程的另一个根是 D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则 易错点3复数相等与共轭复数概念把握不牢致误 【例3】已知，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则正确的有（    ） A．该方程不存在实数根 B．， C．对应的点在第四象限 D． 【变式3-1】已知，则 . 【变式3-2】设复数（，为虚数单位），若为纯虚数，则的值为 ． 【变式3-3】已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】若（，）与互为共轭复数，则 ， ． 1．设z＝，则z的虚部为(　　) A．－1　　　　　　　 　　 B．1 C．－2 D．2 2．已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝(　　) A. B．－ C．2 D．－2 3．设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　) A. B． C. D．2 4．已知复数z＝(i为复数单位)，那么z的共轭复数为(　　) A.＋i B．－i C.＋i D.－i 5．已知复数z＝(其中i为虚数单位)，则在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第三象限 C．直线y＝－x上 D．直线y＝x上 6．复数z满足(1＋i)z＝|1－i|，则z＝(　　) A．1－i B．1＋i C.－i D.＋i 7．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　) A．1＋i B．＋i C．1＋i D．1＋i 8．若实数a，b，c满足a2＋a＋bi<2＋ci(其中i2＝－1)，集合A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，则A∩(∁RB)为(　　) A．∅ B．{0} C．{x|－2<x<1} D．{x|－2<x<0或0<x<1} 8．若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值是(　　) A. B． C. D. 9．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝________． 10．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________． 11．计算：(1)； (2)＋； (3). 12．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位． (1)求复数z； (2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围． 13．若虚数z同时满足下列两个条件： ①z＋是实数； ②z＋3的实部与虚部互为相反数． 这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 复数 清单1 复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． (2)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ (r≥0，a，b∈R)． 清单2 复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 清单3 复数的运算 (1)复数的加、减 、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3 ＝z1＋(z2＋z3)． 常用结论 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. 3．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 4．|z|2＝||2＝z·. 易错点1复数的分类把握不准致误 【例1】已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可. （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可. （3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可. 【详解】（1）若z是实数，则，解得或． （2）若z是虚数，则，解得且． （3）若z是纯虚数，则解得． 【变式1-1】如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【详解】解：是纯虚数， 则，解得． 故选：B． 【变式1-2】已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则 . 【答案】/ 【分析】根据复数类型，结合同角三角函数关系，即可求得结果. 【详解】由题意，，且，所以，且； 又，所以. 故答案为：. 【变式1-3】当实数为何值时，复数，是实数？纯虚数？零？ 【答案】当时是实数；当时是纯虚数；当时是零 【分析】根据复数的分类可列方程，即可得解. 【详解】当复数为实数时，，解得或，即当时是实数； 当复数为纯虚数时，，解得，即当时是纯虚数； 当复数为零时，，解得，即当时是零. 易错点2 对复数的几何意义理解有误 【例2】如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后画图求解即可． 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 【变式2-1】设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的表达式，根据为实数的条件求出的值，进而得到和，再根据向量与复数的对应关系求出向量对应的复数； （2）利用中点坐标公式求出中点对应的复数，最后根据复数的模的计算公式求出 【详解】（1）． 可与任意实数比较大小，为实数， ，解得．，， 向量对应的复数为． （2）的中点Z对应的复数为，． 【变式2-2】设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求解其共轭复数，最后求出对应点的坐标即可得解. 【详解】由题意，所以， 则复数在复平面内对应的点在第四象限. 故选：D. 【变式2-3】下列命题正确的是（    ） A．若复数满足，则或 B． C．若是方程的一个根，则该方程的另一个根是 D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则 【答案】CD 【分析】由复数模长的几何意义可判断A；由向量加法和减法的几何意义可判断BD；根据复数范围内，两个虚数根互为共轭复数可判断C. 【详解】解：对于，若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心， 1为半径的圆，有无数个点与复数对应，故选项A错误； 对于B，设所对应的向量分别为， 由向量加法的几何意义可知，故选项B错误； 对于，根据复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式知， 两个虚数根互为共轭复数，所以若是方程的根， 则该方程的另一个根是，故选项C正确； 对于D，若，则复平面内以为邻边的平行四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等和复数加法､减法的几何意义可知，选项D正确， 故选：CD. 易错点3复数相等与共轭复数概念把握不牢致误 【例3】已知，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则正确的有（    ） A．该方程不存在实数根 B．， C．对应的点在第四象限 D． 【答案】ABD 【分析】根据相等复数求得，即可判断B；根据计算即可判断A；根据韦达定理求出，结合共轭复数的概念和几何意义即可判断C；根据复数的乘、除法运算即可判断D. 【详解】由是方程的根，得， 整理得，因此，解得， 所以方程为，故B正确； 对于A，根据方程，可得， 所以方程无实数根，故A正确； 对于C，D，方程，由韦达定理可知，得， 对应的点为，在第四象限，的共轭复数不在第四象限. ， 所以，故C错误，D正确． 故选：ABD 【变式3-1】已知，则 . 【答案】 【分析】根据复数的运算法则及几何意义计算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式3-2】设复数（，为虚数单位），若为纯虚数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】先对化简，然后利用其为纯虚数，求出，从而可求出的值 【详解】解：因为（，为虚数单位）， 所以， 因为为纯虚数，所以且，解得， 所以， 所以， 故答案为：2 【变式3-3】已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设复数，利用共轭复数、模长的定义及复数的四则运算判断各项正误. 【详解】设复数，且， ，A正确； ，B正确； ， ， 所以与不一定相等，C错误； 令，则，D错误． 故选：AB 【变式3-4】已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据虚数单位的性质可得，进而可得以及的虚部. 【详解】因为，则， 所以的虚部为. 故选：A. 【变式3-4】若（，）与互为共轭复数，则 ， ． 【答案】 3 【分析】根据复数代数形式的乘法、除法运算，结合共轭复数的概念求参数的值. 【详解】，， （a，）与互为共轭复数，，． 故答案为：； 1．设z＝，则z的虚部为(　　) A．－1　　　　　　　 　　 B．1 C．－2 D．2 解析：选B.由已知得z＝＝＝＝i，所以z的虚部为1，故选B. 2．已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝(　　) A. B．－ C．2 D．－2 解析：选D.z＝(1＋2i)(1＋ai)＝(1－2a)＋(2＋a)i，因为z∈R，所以2＋a＝0，即a＝－2，故选D. 3．设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　) A. B． C. D．2 解析：选B.因为z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，所以|z|＝＝. 4．已知复数z＝(i为复数单位)，那么z的共轭复数为(　　) A.＋i B．－i C.＋i D.－i 解析：选B.由题意知z＝＝＝＋i，所以＝－i，故选B. 5．已知复数z＝(其中i为虚数单位)，则在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第三象限 C．直线y＝－x上 D．直线y＝x上 解析：选C.z＝＝＝＝－1－i，所以＝－1＋i，则在复平面内对应的点为(－1，)，所以在复平面内对应的点在第二象限，排除A，B.又(－1，)满足方程y＝－x，所以在复平面内对应的点在直线y＝－x上，故选C. 6．复数z满足(1＋i)z＝|1－i|，则z＝(　　) A．1－i B．1＋i C.－i D.＋i 解析：选C.方法一：因为(1＋i)z＝|1－i|，所以z＝＝＝＝－i，故选C. 方法二：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，因为(1＋i)z＝|1－i|， 所以a－b＋(a＋b)i＝，所以 解得所以z＝－i，故选C. 7．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　) A．1＋i B．＋i C．1＋i D．1＋i 解析：选B.因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B. 8．若实数a，b，c满足a2＋a＋bi<2＋ci(其中i2＝－1)，集合A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，则A∩(∁RB)为(　　) A．∅ B．{0} C．{x|－2<x<1} D．{x|－2<x<0或0<x<1} 解析：选D.由于只有实数之间才能比较大小，故a2＋a＋bi<2＋ci⇔解得因此A＝{x|－2<x<1}，B＝{0}，故A∩(∁RB)＝{x|－2<x<1}∩{x|x∈R，x≠0}＝{x|－2<x<0或0<x<1}． 8．若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值是(　　) A. B． C. D. 解析：选D.因为(x－2)＋yi是虚数， 所以y≠0， 又因为|(x－2)＋yi|＝， 所以(x－2)2＋y2＝3. 因为是复数x＋yi在复平面内对应点与原点连线的斜率， 所以＝tan∠AOB＝， 所以的最大值为. 9．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝________． 解析：由题意得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0， 即2(5－12i)－3p＋2pi＋q＝0， 即(10－3p＋q)＋(－24＋2p)i＝0， 所以解得p＝12，q＝26，所以p＋q＝38. 答案：38 10．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________． 解析：方法一：设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x＋y＝x＋y＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x＋y＋x＋y＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝()2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝＝ ＝＝2. 方法二：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝－a＋(1－b)i，则即所以|z1－z2|2＝(2a－)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4×(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝2. 方法三：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(，1)，求|a－b|.因为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2，即|z1－z2|＝2. 方法四：设z1＋z2＝z＝＋i，则z在复平面上对应的点为P(，1)，所以|z1＋z2|＝|z|＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z1－z2|＝2××2＝2. 答案：2 11．计算：(1)； (2)＋； (3). 解：(1)＝ ＝＝＝＋i. (2)＋＝＋＝＋＝－1. (3)＝＝＝ ＝－－i. 12．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位． (1)求复数z； (2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围． 解：(1)因为z＝bi(b∈R)， 所以＝＝ ＝＝＋i. 又因为是实数，所以＝0， 所以b＝－2，即z＝－2i. (2)因为z＝－2i，m∈R， 所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2 ＝(m2－4)－4mi， 又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，所以解得m＜－2， 即m∈(－∞，－2)． 13．若虚数z同时满足下列两个条件： ①z＋是实数； ②z＋3的实部与虚部互为相反数． 这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i. 设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋ ＝＋i. 因为z＋是实数，所以b－＝0. 又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.①　　　　　　　　 又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数， 所以a＋3＋b＝0.②　　　　　　　　 由①②得 解得或 故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $