专题01 实数及其运算（复习讲义）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 实数及其运算 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点 实数及其运算（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：正负数的意义 题型二：相反数 题型三：绝对值 题型四：数轴 题型五：科学记数法 题型六：无理数 题型七：实数的大小比较 题型八：实数的运算 必备知识 知识1 相反数 知识2 绝对值 知识3 科学记数法 知识4 实数的运算 命题预测 命题 透视 命题形式： 多以文字、图表为载体，结合新情境，渗透数学文化，侧重运算、推理与建模能力考查。 命题内容：聚焦实数概念、相反数与绝对值、数轴应用、科学记数法、实数混合运算，基础题为主且年年必考，注重运算准确性与工具性应用。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 实数的概念 T1：正负数的定义 T1：正负数的实际应用 T1：无理数的识别 T1：无理数的识别 T1：实数的分类 相反数与绝对值 T1：求相反数 T1：求相反数 T1：求已知实数的绝对值 T2：求相反数 T1：求一个数的绝对值 T1：求相反数 T1：由绝对值求实数 T1：相反数的概念与大小 T14：含字母的绝对值化简 数轴的应用 T1：数轴上的点表示有理数 T6：由数轴上的点判断不等关系是否成立 T3：数轴与相反数、绝对值的综合 T11：由数轴上的点判断不等关系是否成立 T1：数轴上两点间的距离 科学记数法 T1：科学记数法表示较大的数 T4：科学记数法表示较小的数 T2：科学记数法表示较大的数 T2：科学记数法表示较小的数 T4：科学记数法表示较大的数 T11：科学记数法表示较小的数 T1：科学记数法表示较小的数 T11：科学记数法表示较大的数 T4：科学记数法表示较大的数 T3：科学记数法表示较小的数 实数的运算 T19：实数的混合运算 T13：实数的混合运算 T17：实数的混合运算 T15：实数的混合运算 T15：实数的混合运算 命题预测 1. 考情预测 · 实数及其运算： · 基础题：（概念识别、简单计算、科学记数法）将保持稳定，是必须拿满的分数。 · 中档题：（混合运算、估算比较、数轴应用）是核心区分点，混合运算的准确性和规范性是重中之重。 · 工具性：渗透到几乎所有数学问题的解决中，计算能力是取得高分的根本保障。 2. 备考建议 · 夯实基础：基础概念要烂熟于心（理解+记忆），基础运算要形成条件反射（速度+准确）。 · 突破中档：混合运算要分步拆解、死磕符号、勤练精练、反思错题（方法+熟练）。 · 强化综合：综合应用中要时刻绷紧“计算准确”这根弦，将实数运算能力视为解决一切数学问题的底层支撑（意识+实践）。 · 关注创新：数式新定义规律探究，方程不等式建模参数综合。 考点 实数及其运算 题型一 正负数的意义 用正负数表示相反意义的量，判定正负需先完成乘方、绝对值、根式化简。 混淆负数奇偶次幂的符号，误判带运算符号的数的正负属性。 1．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，，是负数， 故选：D ． 2．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可． 【详解】解：A、是正数，符合题意； B、是负数，不符合题意； C、是负数，不符合题意； D、是负数，不符合题意； 故选：A． 3．（2021·山东济宁·中考真题）若盈余2万元记作万元，则万元表示（    ） A．盈余2万元 B．亏损2万元 C．亏损万元 D．不盈余也不亏损 【答案】B 【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量解答． 【详解】解：∵盈余2万元记作 +2 万元， ∴-2万元表示亏损2万元， 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数的意义，熟练掌握正数与负数的意义是解题的关键． 题型二 相反数 紧扣 “只有符号不同的两个数互为相反数”，a 的相反数是 - a，0 的相反数是 0。 未先化简含绝对值、乘方的数就求相反数，导致结果出错。 1．（2018·山东日照·中考真题）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、相反数，根据绝对值的定义可知，根据相反数的定义可知，的相反数是，所以可得的相反数是. 【详解】解：，的相反数是， 的相反数是． 故选：A． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：实数的相反数是， 故选：． 3．（2023·山东青岛·中考真题）的相反数是（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数， 0的相反数是0． 题型三 绝对值 正数绝对值是本身，负数是相反数，其几何意义是数轴上点到原点的距离。 忽略绝对值非负性，数轴综合题中绝对值方程的解易漏情况。 1．（2022·山东聊城·中考真题）实数a的绝对值是，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义直接进行解答 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，即在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 2．（2023·山东淄博·中考真题）的运算结果等于（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B； 【点睛】本题考查去绝对值符号，解题的关键是熟练掌握负数的绝对值等于它的相反数． 3．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 题型四 数轴 通过数轴上点的位置判断数的正负、绝对值大小，两点距离用绝对值表示。 根据数的范围判断式子符号时，弄错不等号方向，动点表示的数计算错误。 1．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键． 观察数轴得到表示的点即可． 【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示的点是M． 故选：A． 2．（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【答案】(1)过4秒或6秒 (2)3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是： （1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； （2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 3．（2023·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的性质可得，，据此逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，． A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、， ，则此项正确，符合题意； D、， ，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 题型五 科学记数法 规范写成 a×10ⁿ（1≤|a|＜10），大数 n 为整数位数减 1，小数 n 为负整数。 带单位的数未先换算单位，a 的取值范围不符规范，n 的正负号弄反。 1．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 2．（2025·山东青岛·中考真题）2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将374000000用科学记数法表示为． 故选：B． 3．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． 故选：A． 题型六 无理数 紧扣 “无限不循环小数” 定义，常见类型有开方开不尽的数、含 π 的数。 误将带根号的数都归为无理数，忽略能开尽方的根式属于有理数。 1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为________． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴实数的整数部分为， 故答案为： 3．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 题型七 实数的大小比较 常用数轴法、性质法、平方法，正数＞0＞负数，两个负数绝对值大的反而小。 无理数估算失误，未先化简带符号的数就直接比较大小。 1．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 2．（2024·山东德州·中考真题）在0，，，这四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的比较大小，熟练掌握实数比较大小的规则即可．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，判断即可． 【详解】解：因为和大于0，小于0， 所以最小， 故选：C． 3．（2023·山东临沂·中考真题）在实数中，若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据相反数的性质即可判断①，根据已知条件得出，即可判断②③，根据，代入已知条件得出，即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵ ∴，故①错误， ∵ ∴， 又 ∴，故②③错误， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故④正确 或借助数轴，如图所示，    故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的性质，实数的大小比较，借助数轴比较是解题的关键． 题型八 实数的运算 严格遵循 “先乘方开方，再乘除，最后加减” 的顺序，熟记特殊幂、三角函数值。 符号运算失误，运算顺序混乱，特殊值记忆错误导致结果偏差。 1．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 2．（2025·山东威海·中考真题）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的运算，掌握零指数幂、负整指数幂的运算法则是解决此题的关键． 先根据零指数幂及负整指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为： 知识1 相反数 1、 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，任意实数 a 的相反数是 - a，0 的相反数固定为 0。 2、 性质，一是互为相反数的两个数和为 0；二是几何层面，数轴上互为相反数的两个点，分布在原点两侧，且到原点的距离完全相等。 高频易错提醒：最常见的失分点是未先化简复杂运算式，直接对原式求相反数导致结果错误；其次是易混淆相反数与倒数的定义，出现概念性基础失分。 知识2 绝对值 1、 代数意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0； 2、 几何意义，绝对值指数轴上表示数的点到原点的距离，这也决定了绝对值的核心属性 ——非负性，也就是 |a|≥0。拓展来看，数轴上两点间的距离，可表示为对应两数差的绝对值，若 A、B 对应数为 a、b，则 AB=|a-b|，这是数轴动点综合题的核心公式。 高频易错提醒：一是忽略绝对值的非负性，在综合化简中符号处理错误；二是解绝对值方程时，漏掉负数解的情况；三是数轴综合题中，未先判断绝对值内式子的正负，直接去绝对值符号导致变形错误。 知识3 科学记数法 定义：把一个数改写为 a×10ⁿ的形式，其中必须满足1≤|a|＜10，n 为整数，。针对中考两类必考场景，大数表示时，n 为正整数，数值等于原数的整数位数减 1；小数表示时，n 为负整数，绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有 0 的总个数。 高频易错提醒：一是带单位的数未先做单位换算，直接改写导致 n 值计算错误；二是 a 的取值范围不符合规范，出现格式失分；三是表示极小数字时，n 的正负号弄反，或绝对值计数错误。 知识4 实数的运算 1.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 2.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1．（2025·山东泰安·模拟预测）下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关运算，涉及绝对值，乘方，二次根式以及相反数的知识，熟练掌握负数的概念是解决本题的关键． 根据绝对值，乘方，二次根式以及相反数的知识化简选项判断即可． 【详解】解：A选项，，是正数，排除，不符合题意； B选项，，是负数，符合，符合题意； C选项， ，是正数，排除，不符合题意； D选项，，是正数，排除，不符合题意； 故选：B． 2．（2025·安徽·二模）两千多年前．中国人就开始使用负数．若收入100元记作元，则元表示（  ） A．支出50元 B．支出150元 C．收入50元 D．收入150元 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数、负数的意义，掌握正数和负数表示相反的意义是解题的关键． 利用正数和负数表示相反的意义即可解答． 【详解】解：∵收入100元记作元， ∴元表示支出50元． 故选：A． 3．（2025·山东青岛·三模）如图数轴上点表示的数为，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴可知：点表示的数，然后根据绝对值的性质进行计算即可． 本题主要考查了数轴和绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 【详解】解：观察数轴可知：点表示的数， ， 故选：C． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握把有理数表示在数轴上和有理数的加减法则． 先观察数轴可知，且，然后根据互为相反数的定义、有理数的除法法则和加减法则，判断各个选项的正误即可． 【详解】由数轴可知，且， ，故A错误； ，故B错误； ，即，故C错误； ，故D正确． 故选：D． 5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）下面数轴上点分别表示数，，，那么下列运算结果一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、有理数的加法、减法与乘法、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴可得，，则，，再根据有理数的加法、减法与乘法、绝对值的性质逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，． A、，则此项一定是正数，符合题意； B、，则此项一定是负数，不符合题意； C、，则此项一定是负数，不符合题意； D、，则此项一定是负数，不符合题意； 故选：A． 6．（2025·山东济南·模拟预测）下列说法中，正确的是（   ） A．的倒数是 B．两个数比较，绝对值大的反而小 C．不一定是负数 D．符号相反的两个数互为相反数 【答案】C 【分析】本题考查了倒数、相反数、有理数及其大小比较，根据有理数、倒数、绝对值、相反数的定义解答即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、的倒数是，该选项说法错误，不合题意； 、两个负数比较，绝对值大的反而小，该选项说法错误，不合题意； 、不一定是负数，该选项说法正确，符合题意； 、只有符号不同的两个数互为相反数，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 7．（2025·山东淄博·三模）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据“绝对值相等且符号不同的两个数互为相反数”逐一化简各选项中的数对并判断即可求解. 【详解】解：A. ，，两数相等，不是相反数，不符合题意； B. ，，两数相等，不是相反数，不符合题意； C. ，，与0.01绝对值相等且符号相反，互为相反数，符合题意； D. ，的绝对值为0.3，两者绝对值不等，不是相反数，不符合题意. 故选：C. 8．（2025·山东泰安·模拟预测）下列各数，、、0、、中，负有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了化简多重符号，立方根，负整数幂，有理数的分类，小于0的有理数即为负有理数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∴负有理数有数、、、共个， 故选：C． 9．（2025·山东济南·模拟预测）实数，，，1在数轴上对应的点距离原点最远的是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的几何意义，实数的比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．一个数的绝对值是这个数到原点的距离，求出每个数的绝对值比较大小即可解答． 【详解】解：，，，， ， ∴在数轴上对应的点距离原点最远． 故选：C． 10．（2025·北京朝阳·一模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，不等式，理解并正确运用是解题的关键． 利用数轴的特征，及正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知， A、因为，所以，故，原说法正确，该选项不符合题意； B、因为，所以，故原说法正确，该选项不符合题意； C、因为，那么，所以故原说法正确，该选项不符合题意； D、从数轴上看，在左侧，所以，而不是，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 11．（2025·山东济南·二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 12．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，再根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故选C． 13．（2025·山东枣庄·二模）手机通用的信号强度单位是（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强，下列信号最强的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值及实数的大小比较，熟练掌握绝对值的实际意义是解题的关键．根据绝对值的实际意义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得各数的绝对值分别为，，，， ∵， ∴信号最强的是． 故选：B． 14．（2025·山东淄博·一模）团队在人工智能研发过程中坚持自主创新．实验数据显示，他们的模型训练效率达到了惊人的次浮点运算/秒．若某次连续训练持续了秒，则总共完成了多少次浮点运算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘和科学记数法，根据题意计算，即可解答，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故选：C． 15．（2025·陕西咸阳·一模）被誉为“古都明珠，华夏宝库”的陕西历史博物馆以171万件藏品展示着陕西历史文化和中国古代文明．数据“171万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵万， 故选：B． 16．（2025·福建泉州·一模）石墨烯是由石墨烯纤维纺织而成的，是目前已知世界上最薄、最坚硬，同时也是导热性和导电性最好的纳米材料．其厚度约为厘米．将数据用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握其一般形式是解题的关键．用科学记数法可以表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其使用的是负指数幂，指数由原数左边第一个不为零的数字前面的的个数决定，据此即可获得答案． 【详解】解：数据可以用科学记数法表示为， 故选：C． 17．（2025·山东青岛·模拟预测）数学小组为调查标准重量为千克/袋的某产品的重量，随机抽取了袋进行称量，并将数据绘制成条形统计图（规定：超过标准重量记为“”，等于标准重量记为“”，低于标准重量记为“”），则抽取的袋产品平均每袋重量为________千克． 【答案】 【分析】根据超过或不足的部分分别用正、负数来表示，可得每袋的质量，根据有理数的加法，可得总质量，再根据总质量除以袋数可得平均质量． 【详解】解： （千克） ∴抽取的袋产品平均每袋重量为千克． 故答案为：． 【点睛】本题考查正数和负数，有理数加减的实际应用，平均数，理解题意，正确利用正负数的加减法列式是解题关键． 18．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是______个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 19．（2025·江苏扬州·一模）若m、n为实数，且，则为_______． 【答案】 【分析】， 本题考查了绝对值与算术平方根的非负性质，负整数指数幂，求代数式的值；利用非负性求出m与n的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 20．（2025·陕西咸阳·一模）在下列五个实数①、②、③、④，⑤…（相邻两个之间的个数依次加）中，无理数的个数有______个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，常见的无限不循环小数有三种表达方式：开不尽方的数；有特殊规律的数；用特殊字母表示的数，例如和有关的数． 【详解】解：数，是有理数， 是无限循环小数，是有理数， 是分数，是有理数， 是开不尽方的数，是无理数， …（相邻两个之间的个数依次加）是有特殊规律的无限不循环小数，…（相邻两个之间的个数依次加）是无理数 ． 综上所述，无理数的个数有个． 故答案为：． 21．（2025·安徽合肥·一模）比较大小：________（填“>”或“<”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，不等式的性质，利用作差法得到，再证明即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（2025·全国·一模）阅读理解：记表示不超过的最大整数，如，，应用：已知，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的求解．由题意，表示不超过的最大整数（根据例子 ，可知），已知且 ，得 ，，进而确定，，，解不等式组得到即可由定义得到答案． 【详解】解：且 ， ， ，， ， 故， 故答案为：2023． 23．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； (2)a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；图见解析；2；2． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干表示出的几何意义，仿照题干结合数轴作答即可． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和， 当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （2）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2． 24．（2025·广东湛江·一模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，利用相关公式及性质进行正确化简各数是解题的关键．根据负整数指数幂，立方根，化简绝对值，特殊角的三角函数值，进行计算，即可求解． 【详解】解： ． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数及其运算 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点 实数及其运算（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：正负数的意义 题型二：相反数 题型三：绝对值 题型四：数轴 题型五：科学记数法 题型六：无理数 题型七：实数的大小比较 题型八：实数的运算 必备知识 知识1 相反数 知识2 绝对值 知识3 科学记数法 知识4 实数的运算 命题预测 命题 透视 命题形式： 多以文字、图表为载体，结合新情境，渗透数学文化，侧重运算、推理与建模能力考查。 命题内容：聚焦实数概念、相反数与绝对值、数轴应用、科学记数法、实数混合运算，基础题为主且年年必考，注重运算准确性与工具性应用。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 实数的概念 T1：正负数的定义 T1：正负数的实际应用 T1：无理数的识别 T1：无理数的识别 T1：实数的分类 相反数与绝对值 T1：求相反数 T1：求相反数 T1：求已知实数的绝对值 T2：求相反数 T1：求一个数的绝对值 T1：求相反数 T1：由绝对值求实数 T1：相反数的概念与大小 T14：含字母的绝对值化简 数轴的应用 T1：数轴上的点表示有理数 T6：由数轴上的点判断不等关系是否成立 T3：数轴与相反数、绝对值的综合 T11：由数轴上的点判断不等关系是否成立 T1：数轴上两点间的距离 科学记数法 T1：科学记数法表示较大的数 T4：科学记数法表示较小的数 T2：科学记数法表示较大的数 T2：科学记数法表示较小的数 T4：科学记数法表示较大的数 T11：科学记数法表示较小的数 T1：科学记数法表示较小的数 T11：科学记数法表示较大的数 T4：科学记数法表示较大的数 T3：科学记数法表示较小的数 实数的运算 T19：实数的混合运算 T13：实数的混合运算 T17：实数的混合运算 T15：实数的混合运算 T15：实数的混合运算 命题预测 1. 考情预测 · 实数及其运算： · 基础题：（概念识别、简单计算、科学记数法）将保持稳定，是必须拿满的分数。 · 中档题：（混合运算、估算比较、数轴应用）是核心区分点，混合运算的准确性和规范性是重中之重。 · 工具性：渗透到几乎所有数学问题的解决中，计算能力是取得高分的根本保障。 2. 备考建议 · 夯实基础：基础概念要烂熟于心（理解+记忆），基础运算要形成条件反射（速度+准确）。 · 突破中档：混合运算要分步拆解、死磕符号、勤练精练、反思错题（方法+熟练）。 · 强化综合：综合应用中要时刻绷紧“计算准确”这根弦，将实数运算能力视为解决一切数学问题的底层支撑（意识+实践）。 · 关注创新：数式新定义规律探究，方程不等式建模参数综合。 考点 实数及其运算 题型一 正负数的意义 用正负数表示相反意义的量，判定正负需先完成乘方、绝对值、根式化简。 混淆负数奇偶次幂的符号，误判带运算符号的数的正负属性。 1．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 2．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2021·山东济宁·中考真题）若盈余2万元记作万元，则万元表示（    ） A．盈余2万元 B．亏损2万元 C．亏损万元 D．不盈余也不亏损 题型二 相反数 紧扣 “只有符号不同的两个数互为相反数”，a 的相反数是 - a，0 的相反数是 0。 未先化简含绝对值、乘方的数就求相反数，导致结果出错。 1．（2018·山东日照·中考真题）的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东青岛·中考真题）的相反数是（    ） A． B． C． D．7 题型三 绝对值 正数绝对值是本身，负数是相反数，其几何意义是数轴上点到原点的距离。 忽略绝对值非负性，数轴综合题中绝对值方程的解易漏情况。 1．（2022·山东聊城·中考真题）实数a的绝对值是，的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东淄博·中考真题）的运算结果等于（    ） A．3 B． C． D． 3．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四 数轴 通过数轴上点的位置判断数的正负、绝对值大小，两点距离用绝对值表示。 根据数的范围判断式子符号时，弄错不等号方向，动点表示的数计算错误。 1．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 2．（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 3．（2023·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型五 科学记数法 规范写成 a×10ⁿ（1≤|a|＜10），大数 n 为整数位数减 1，小数 n 为负整数。 带单位的数未先换算单位，a 的取值范围不符规范，n 的正负号弄反。 1．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·中考真题）2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 题型六 无理数 紧扣 “无限不循环小数” 定义，常见类型有开方开不尽的数、含 π 的数。 误将带根号的数都归为无理数，忽略能开尽方的根式属于有理数。 1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为________． 3．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 题型七 实数的大小比较 常用数轴法、性质法、平方法，正数＞0＞负数，两个负数绝对值大的反而小。 无理数估算失误，未先化简带符号的数就直接比较大小。 1．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 2．（2024·山东德州·中考真题）在0，，，这四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 3．（2023·山东临沂·中考真题）在实数中，若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型八 实数的运算 严格遵循 “先乘方开方，再乘除，最后加减” 的顺序，熟记特殊幂、三角函数值。 符号运算失误，运算顺序混乱，特殊值记忆错误导致结果偏差。 1．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 2．（2025·山东威海·中考真题）计算：___________． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）计算：________． 知识1 相反数 1、 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，任意实数 a 的相反数是 - a，0 的相反数固定为 0。 2、 性质，一是互为相反数的两个数和为 0；二是几何层面，数轴上互为相反数的两个点，分布在原点两侧，且到原点的距离完全相等。 高频易错提醒：最常见的失分点是未先化简复杂运算式，直接对原式求相反数导致结果错误；其次是易混淆相反数与倒数的定义，出现概念性基础失分。 知识2 绝对值 1、 代数意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0； 2、 几何意义，绝对值指数轴上表示数的点到原点的距离，这也决定了绝对值的核心属性 ——非负性，也就是 |a|≥0。拓展来看，数轴上两点间的距离，可表示为对应两数差的绝对值，若 A、B 对应数为 a、b，则 AB=|a-b|，这是数轴动点综合题的核心公式。 高频易错提醒：一是忽略绝对值的非负性，在综合化简中符号处理错误；二是解绝对值方程时，漏掉负数解的情况；三是数轴综合题中，未先判断绝对值内式子的正负，直接去绝对值符号导致变形错误。 知识3 科学记数法 定义：把一个数改写为 a×10ⁿ的形式，其中必须满足1≤|a|＜10，n 为整数，。针对中考两类必考场景，大数表示时，n 为正整数，数值等于原数的整数位数减 1；小数表示时，n 为负整数，绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有 0 的总个数。 高频易错提醒：一是带单位的数未先做单位换算，直接改写导致 n 值计算错误；二是 a 的取值范围不符合规范，出现格式失分；三是表示极小数字时，n 的正负号弄反，或绝对值计数错误。 知识4 实数的运算 1.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 2.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1．（2025·山东泰安·模拟预测）下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·二模）两千多年前．中国人就开始使用负数．若收入100元记作元，则元表示（  ） A．支出50元 B．支出150元 C．收入50元 D．收入150元 3．（2025·山东青岛·三模）如图数轴上点表示的数为，则是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）下面数轴上点分别表示数，，，那么下列运算结果一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东济南·模拟预测）下列说法中，正确的是（   ） A．的倒数是 B．两个数比较，绝对值大的反而小 C．不一定是负数 D．符号相反的两个数互为相反数 7．（2025·山东淄博·三模）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（2025·山东泰安·模拟预测）下列各数，、、0、、中，负有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2025·山东济南·模拟预测）实数，，，1在数轴上对应的点距离原点最远的是（    ） A． B． C． D．1 10．（2025·北京朝阳·一模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山东济南·二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 12．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 13．（2025·山东枣庄·二模）手机通用的信号强度单位是（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强，下列信号最强的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·山东淄博·一模）团队在人工智能研发过程中坚持自主创新．实验数据显示，他们的模型训练效率达到了惊人的次浮点运算/秒．若某次连续训练持续了秒，则总共完成了多少次浮点运算（   ） A． B． C． D． 15．（2025·陕西咸阳·一模）被誉为“古都明珠，华夏宝库”的陕西历史博物馆以171万件藏品展示着陕西历史文化和中国古代文明．数据“171万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·福建泉州·一模）石墨烯是由石墨烯纤维纺织而成的，是目前已知世界上最薄、最坚硬，同时也是导热性和导电性最好的纳米材料．其厚度约为厘米．将数据用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·山东青岛·模拟预测）数学小组为调查标准重量为千克/袋的某产品的重量，随机抽取了袋进行称量，并将数据绘制成条形统计图（规定：超过标准重量记为“”，等于标准重量记为“”，低于标准重量记为“”），则抽取的袋产品平均每袋重量为________千克． 18．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是______个单位． 19．（2025·江苏扬州·一模）若m、n为实数，且，则为_______． 20．（2025·陕西咸阳·一模）在下列五个实数①、②、③、④，⑤…（相邻两个之间的个数依次加）中，无理数的个数有______个． 21．（2025·安徽合肥·一模）比较大小：________（填“>”或“<”）． 22．（2025·全国·一模）阅读理解：记表示不超过的最大整数，如，，应用：已知，且，则的值为______． 23．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 24．（2025·广东湛江·一模）计算： 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $