第01讲 实数及其运算（复习讲义，6命题点+18题型+4重难突破）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“实数及其运算”核心模块，覆盖实数分类、有关概念、科学记数法、大小比较、平方根立方根及混合计算等中考必考考点，通过“考情剖析-知识导航-考点解析-题型预测”的系统架构，帮助学生梳理知识网络，结合真题训练突破运算难点。 亮点在于“命题前瞻”与“重难突破”的深度结合，如通过实数规律性运算探究培养推理意识，利用非负性计算和数轴动点问题发展抽象能力与几何直观。分层设计“基础巩固-能力提升-全国新趋势”练习，配合5分钟限时真题训练，助力学生高效掌握考点，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞察·题型预测 9 命题点一 实数的分类 题型01正负数的意义 题型02无理数的识别 题型03实数的分类 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 题型01相反数 题型02求绝对值 题型03带字母的绝对值化简求值 题型04实数与数轴 题型05倒数 命题点三 科学记数法 近似数 题型01科学记数法 题型02近似数 命题点四 实数大小的比较 题型01无理数的大小估算 题型02实数的大小比较 命题点五 平方根 立方根 题型01平方根的概念与计算 题型02立方根的概念与计算 命题点六 实数的计算 题型01实数的简易计算 题型02实数的混合计算 题型03新定义下的实数计算 题型04实数的程序性计算 05·重难突破·思维进阶 20 突破一 实数规律性运算探究 突破二 利用非负性计算 突破三 数轴上的动点 突破四 绝对值的几何意义 06·优题精选·练能提分 24 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 实数的分类 / / 嘉兴卷T1 了解无理数和实数的概念，知道实数由有理数和无理数组成；知道实数与数轴上的点一一对应；能求实数的相反数与绝对值 实数有关的概念 浙江卷T1 / 杭州卷T2 丽水卷T1 1. 数轴 能用数轴上的点表示实数，能比较实数大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义 2. 相反数 掌握求实数相反数的方法；理解相反数的几何意义：关于原点对称 3. 倒数 理解乘除互逆关系，掌握求非零实数倒数的方法 4. 绝对值 掌握求实数绝对值的方法；理解绝对值的几何意义：点到原点的距离 科学记数法 近似数 浙江卷T3 浙江卷T3 杭州卷T1 湖州卷T3 金华卷T3 宁波卷T3 温州卷T3 1.科学记数法 会用科学记数法表示数 (包括还原) 2.近似数 了解近似数概念，会按要求进行近似计算 掌握精确度概念，能按要求取近似数 实数的大小比较 浙江卷T1 宁波卷T1 台州卷T1 衢州卷T1 能比较实数大小 (正数> 0 > 负数；两负数比绝对值) 能用有理数估计无理数的大致范围 平方根 立方根 / / 嘉兴卷T11 丽水卷T17 宁波卷T17 温州卷T17 平方根 了解平方根、算术平方根概念，会用根号表示；理解平方根性质：正数有两互为相反数的根，0 的根是 0，负数无平方根 会用平方运算求百以内完全平方数的平方根 立方根 了解立方根概念，会用根号表示；理解立方根性质：正数有正根，负数有负根，0 的根是 0；会用立方运算求千以内完全立方数的立方根 实数的运算 浙江卷17 浙江卷17 湖州卷17 金华卷17 衢州卷17 台州卷17 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单混合运算 (三步以内) 理解运算律，能运用简化运算 了解二次根式概念及运算法则，会进行简单四则运算 命题预测 近三年浙江中考数学实数考点呈现 "基础必考、题型固定、分值稳定" 特点。实数概念（相反数、绝对值）、大小比较、实数计算为必考内容，科学计数法、平方根 / 立方根、实数分类为轮考点。每套试卷约 2-3 题，总分 6-10 分，占整卷 5%-8%，趋势这一块，1）题型固定化：基础概念（选择第 1-2 题）、计算题（解答前 3 题）；2）考查综合化：单一考点减少，多知识点融合（如计算 + 绝对值 + 平方根）；3）应用生活化：科学计数法、大小比较与实际问题结合。对于26年中考预测：必考项（实数概念、大小比较、计算）不变，科学计数法考查概率大，实数分类、平方根 / 立方根可能轮考，难度维持基础，侧重概念理解与运算准确性。复习重点：强化相反数、绝对值几何意义理解，熟练实数混合运算，掌握科学计数法表示法及实际应用。 考点一 实数的分类 1．（1）按照定义分类 （2）按照正负分类 0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如，等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等； （3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等； （4）某些三角函数，如sin60°等. 1．（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．2 2．（2021·浙江金华·中考真题）实数，，2，中，为负整数的是（    ） A． B． C．2 D． 3．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 4．（2022·浙江宁波·中考真题）写出一个小于2的无理数： ． 考点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应. 2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0. 3．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|. 4．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1. 1．（2025·浙江·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．（2021·浙江衢州·中考真题）21的相反数是（　　） A．21 B．-21 C．- D． 3．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．  B．   C．   D．   5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）计算： ． 6．（2025·山东青岛·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 考点三 科学记数法 近似数 1．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 2．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 1．（2025·浙江·中考真题）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·中考真题）2024年浙江经济一季度为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 4．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 5．（2022·山东济宁·中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（  ） A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02 考点四 平方根 立方根 1．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根. （2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根. （3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为. （4） 2．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根. （2）表示：a的立方根表示为. （3）. 1．（2018·浙江杭州·中考真题）化简：＝（    ） A．±2 B．－2 C．4 D．2 2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）﹣8的立方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在 3．（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（    ） A．9 B．9和 C．3 D．3和 4．（2022·浙江杭州·中考真题）计算： ； ． 5．（2025·浙江·中考真题） ． 考点五 实数的大小比较 1. 数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等. 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）在1，0，，这四个数中，最大的数是（   ） A．1 B．0 C． D． 2．（2021·浙江绍兴·中考真题）实数，，，中，最小的数是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·四川甘孜·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 5．（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 考点六 实数的计算 1．实数的运算： （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律. （2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. 1．（2023·浙江湖州·中考真题）计算：． 2．（2023·浙江台州·中考真题）计算：． 3．（2022·浙江金华·中考真题）计算：． 4．（2021·浙江丽水·中考真题）计算：． 5．（2025·陕西·中考真题）计算：． 6．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 7．（2022·浙江台州·中考真题）计算：． 命题点一 实数的分类 ►题型01 正负数的意义 【典例】1．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）下列叙述中，数学关系正确的有（　　） 不是正数也不是负数；正数都不小于；负数都不大于；负数小于；正数大于； 大于的数一定是正数；小于的数一定是负数． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式】1-1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）下列说法不正确的是（   ） A．0既不是正数，也不是负数 B．当时，总是大于0 C．正数的绝对值是它本身 D．正数和负数互为相反数 【变式】1-2．（2025九年级下·浙江湖州·专题练习）下列说法正确的是 （    ） A．有最大的负数，没有最小的正数 B．有最小的负数，没有最大的正数 C．没有最大的有理数和最小的有理数 D．有最小的负整数和最大的正整数 ►题型02 相反意义的量 【典例】2．（2025·浙江丽水·二模）若收入5元记为，则支出3元记为（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式】2-1．（2025·浙江衢州·二模）若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷藏室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 【变式】2-2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）为了丰富校园活动学校在七年级开展足球比赛，如果赢局记为，那么输3局记为 ． ►题型03 实数的分类 常见的无理数类型为下面三类 （1） 含根号且开方开不尽的数，例如根号2、根号3、根号5等等； （2） 含有圆周率π的式子，例如2π、8π等等； （3） 无限不循环的小数，例如0.01001000100001000001……、0.12345678910……等等 【典例】3．（2023·浙江宁波·模拟预测）下列各数为负数的是（    ） A． B．0 C． D． 【变式】3-1．（2023·浙江温州·三模）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（　　）    A．； B．； C．； D．； 【变式】3-2．（2023·浙江杭州·二模）下列四个数中属于负整数的是（    ） A． B． C． D． 【变式】3-3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）用序号将下列各数填入相应的大括号内 ①，②，③，④，⑤，⑥ 正分数{_____________________________．．．．．．}； 负整数{_____________________________．．．．．．}； 无理数{_____________________________．．．．．．}． 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) ►题型01 相反数 【典例】1．（2023·西藏·中考真题）有理数7的相反数是（    ） A．7 B． C． D． 【变式】1-1．（2022·浙江舟山·二模）表示（   ） A．2023的绝对值 B．2023的倒数 C．的相反数 D．2023的相反数 【变式】1-2．（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（   ） A．2025 B． C． D． ►题型02 求绝对值 【典例】2．（2025·浙江·模拟预测）实数的绝对值是（　　） A．-2020 B． C． D．2020 【变式】2-1．（2025·浙江杭州·模拟预测）一个数的绝对值等于3，则这个数是（    ） A． B． C．3 D． 【变式】2-2．（2025·浙江杭州·一模）如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．P B．Q C．M D．N ►题型03 带字母的绝对值化简求值 找零点：令绝对值内的每个代数式等于 0，求出未知数的值（零点）； 划区间：将零点按从小到大的顺序排列，把未知数的取值范围划分为若干个不重叠的区间（包括零点本身）； 判符号：在每个区间内，判断每个绝对值内代数式的正负； 去绝对值化简：根据符号去掉绝对值符号，合并同类项； 总结结果：将各区间的化简结果汇总。 【典例】3．（2025·浙江·模拟预测）若，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式】3-1．（2025·浙江·模拟预测）已知，则的最小值为（     ） A． B． C． D．1 【变式】3-2．（2024·浙江宁波·二模）对于整数，，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．已知，其中是负数，则（    ） A． B． C． D． 【变式】3-3．（2023·浙江·模拟预测）已知、为抛物线与x轴交点的横坐标，则的值是（    ） A． B． C．或 D．0 【变式】3-4．（2025·浙江杭州·模拟预测）当取得最小值时，x满足 ►题型04 实数与数轴 1．数轴形象地反映了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.在中考中通常借助于数轴这一数与形的相互转化的特点来呈现或解决数学问题； 2.利用数轴可以形象直观地理解相反数、绝对值的意义（代数意义、几何意义）. 【典例】4．（2025·浙江杭州·三模）如图，数轴上的点A表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式】4-1．（2025·浙江杭州·二模）如图，在数轴上点A表示数，点B表示数1，O是原点，点P表示的数是t．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式】4-2．（2025·浙江·二模）如图，若数轴上点A与点的距离约为（为正整数）个单位长度，则为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式】4-3．（2025·浙江·模拟预测）在复习不等式时，李老师给出一条没有标注原点的数轴（如图），，两数分别落在的两侧，且更靠近．同学们经过探究后，得到以下两个结论：①；②，则下列判断正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【变式】4-4．（24-25九年级下·浙江台州·期末）如图，数轴上点表示的数是（    ） A． B． C． D． ►题型05 倒数 【典例】5．（2023·浙江宁波·模拟预测）实数的倒数是（    ） A．4 B． C． D．2 【变式】5-1．（2025·河北沧州·模拟预测）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【变式】5-2．（2023·辽宁盘锦·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 命题点三 科学记数法 近似数 ►题型01 科学记数法 用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值． (1)a值的确定：1≤|a|<10；(2)n值的确定：①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1；②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)；③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等． 【典例】1．（2025·浙江丽水·二模）人民网2024年12月29日消息：国家粮食和物资储备局最新数据显示，2024年全年粮食收购量保持在较高水平，预计达到8400亿斤左右．数8400用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式】1-1．（2025·浙江丽水·二模）杭州某AI实验室训练模型时，单日处理数据量约为1200亿条，“1200亿”这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式】1-2．（2024·浙江·模拟预测）2023年5月28日，进行了商业载客首飞，这标志着国产大飞机的商业运营正式起步，的最大航程约公里．数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式】1-3．（2025·浙江·模拟预测）我国在新能源电池技术领域取得新的突破，研发出一款高性能的固态电池，其内部的某种电解质离子的直径仅为，将数用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． ►题型02 近似数 【典例】2．（22-23九年级上·浙江台州·期末）下表中记录了某种文旦树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数n 200 500 800 2000 12000 成活的棵数m 183 456 732 1798 10812 成活的频率 0.915 0.912 0.915 0.899 0.901 由此估计这种文旦树苗移植成活的概率（精确到0.01）约为（    ） A．0.89 B．0.90 C．0.91 D．0.92 【变式】2-1．（2023·浙江宁波·三模）神舟十八号载人飞船是中国载人航天工程发射的第十八艘载人飞船，神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体，总重量多吨，总高度近60米，于2024年4月25日20时58分57秒在酒泉卫星发射中心发射，取得圆满成功．截至目前，有关神舟十八号的相关浏览次数已高达次，将精确到万位并用科学记数法表示的结果为 ． 【变式】2-2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）对一批衬衫进行抽检，统计合格衬衫的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 合格频率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.905 0.901 估计任抽一件衬衫是合格品的概率是 ．（结果精确到0.1） 命题点四 实数的大小比较 ►题型01 无理数的大小估算 无理数的估算在近年的中考试卷中频频出现，无理数的估算既不是估计、也不是猜测，它是一种科学的计算方法，往往通过逐步逼近的方法确定一个数的大小或范围. 【典例】1．（2015·浙江杭州·一模）下列各数中，整数部分为3的数是（   ） A． B． C． D． 【变式】1-1．（2022·福建·中考真题）如图，数轴上的点表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式】1-2．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式】1-3．（2025·云南·模拟预测）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（    ） A．和之间 B． 和之间 C．和之间 D． 和之间 ►题型02 实数的大小比较 比较实数的大小时，选择正确的方法比较大小是解题的关键.常用的有： （1）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b． （2）移动因数法：利用a＝(a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小． （3）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b． （4）作商法：若，则A＝B；若＞1，则A＞B；若＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0). （5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。 【典例】2．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）在下列数，，，中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【变式】2-1．（2025·浙江金华·模拟预测）以下四个数中最大的是（    ） A． B．2 C．0 D． 【变式】2-2．（2025·浙江杭州·二模）下列各数：，0，，，其中最大的数是（   ） A． B．0 C． D． 【变式】2-3．（2025·浙江绍兴·二模）在这四个数中，最大的数是（   ） A． B．0 C． D．1 命题点五 平方根 立方根 ►题型01 平方根的概念与计算 【典例】1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1-1．（2025·浙江台州·一模）若，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【变式】1-2．（2025·浙江温州·模拟预测）若m为小于1的正数，则m与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 ►题型02 立方根的概念与计算 【典例】2．（2020·江苏常州·中考真题）8的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 【变式】2-1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】2-2．（2024·浙江·一模）下列各数中立方根为的是（    ） A．1 B． C． D． 命题点六 实数的计算 ►题型01 实数的简易计算 【典例】1．（2025·浙江·模拟预测）我市某日的气温是，这天的最高气温与最低气温的差是（   ） A． B． C． D． 【变式】1-1．（2025·浙江衢州·一模）某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式】1-2．（2025·浙江·模拟预测）小明的手机上步行记录显示：10012步，估计他行走10012步的距离是（　　） A．0.7公里 B．7公里 C．70公里 D．700公里 【变式】1-3．（2024·浙江台州·模拟预测）已知，设，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 实数的混合计算 实数的运算关键是依据正确运算顺序解答，另外还要熟记有关的运算性质，即：（1）；（2）；（3）的奇次幂为，偶次幂为1. 【典例】2．（2025·浙江丽水·二模）计算： 【变式】2-1．（2025·浙江·模拟预测）计算： 【变式】2-2．（2025·浙江台州·三模）计算：． 【变式】2-3．（2025·浙江·一模）计算： ►题型03 新定义下的实数计算 【典例】3．（2025·浙江·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【变式】3-1．（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 (     ) A． B．1 C． D．2 【变式】3-2．（2025·浙江杭州·模拟预测）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为 ． 【变式】3-3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知a，b均为实数，定义一种新运算：，若，，，，则的值为 ． 【变式】3-4．（2024·浙江·模拟预测）对于实数，定义新运算“”，规定如下： 如 (1)求的值； (2)若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明． ►题型04 实数的程序性计算 【典例】4．（2020·河北唐山·一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【变式】4-1．（23-24八年级下·广东韶关·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（   ） A．24 B． C．25 D． 【变式】5-2．（2025·湖北·三模）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为，则输出的的值为．若输入的的值为，则输出的的值为 ． 【变式】4-3．（2020·辽宁沈阳·二模）有一个数值转换器，原理如下：    当输入的时，输出的y等于 ． 突破一 实数规律性运算探究 【典例】1．（2020·浙江金华·一模）求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（    ） A． B． C． D． 【变式】1-1．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【变式】1-2．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【变式】1-3．（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 突破二 利用非负性计算 【典例】2．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 【变式】2-1．（2025·四川成都·三模）已知实数，满足，则 ． 【变式】2-2．（2025·四川成都·模拟预测）若实数满足,则 ． 【变式】2-3．（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为 ． 【变式】2-4．（2025·山西临汾·模拟预测）若，则，的值分别为 ． 突破三 数轴上的动点 【典例】3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (1)填空： ______， ______； (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 【变式】3-1．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【变式】3-2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 突破四 绝对值的几何意义 【典例】4．（2025·重庆·二模）若，为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在，，，中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选，作差并求其绝对值，即．则下列说法中： 所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数； 若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为； 若，，，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式】4-1．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【变式】4-2．（2025·山东·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 1．（2024·浙江·中考真题）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（    ） 北京 济南 太原 郑州 A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州 2．（2022·浙江湖州·中考真题）实数的相反数是（    ） A．5 B． C． D． 3．（2022·浙江舟山·中考真题）若收入3元记为+3，则支出2元记为（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 4．（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（2025·浙江丽水·二模）在人体血液中红细胞的直径约为，数据0.00077用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知实数，定义运算：，若，则 ． 7．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：，若，则的值为 ． 8．（2025·浙江丽水·二模）计算：． 9．（2025·浙江·一模）计算：． 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，数轴上的点、、、分别表示数、、、．若，，，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，数轴上的点A和点 B分别在原点的左侧和右侧．若点A，B对应的实数分别为a，b，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江·模拟预测）从到连续自然数的平方和的个位数是（     ） A．0 B．3 C．4 D．9 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）设是有理数，用表示不超过的最大整数，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．等于0或 C． D．等于0或1 5．（2025·浙江·模拟预测）定义一种新的运算“F”：①当n为奇数时结果为，②当n为偶数时结果为（其中k是使为正奇数的正整数），反复运算．例如， 那么当时，第2025次“F”运算的结果是 ． 1．（2025·陕西·中考真题）的绝对值是（    ） A．8 B． C． D． 2．（2025·四川·中考真题）下列各数中，最大的是(    ) A． B． C．0 D．1 3．（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 6．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 7．（2025·江苏镇江·中考真题）如果汽车加油30升记作升，那么用去油10升，记作 ． 8．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 9．（2025·江西·中考真题）化简： 10．（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 11．（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 21 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞察·题型预测 16 命题点一 实数的分类 题型01正负数的意义 题型02无理数的识别 题型03实数的分类 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 题型01相反数 题型02求绝对值 题型03带字母的绝对值化简求值 题型04实数与数轴 题型05倒数 命题点三 科学记数法 近似数 题型01科学记数法 题型02近似数 命题点四 实数大小的比较 题型01无理数的大小估算 题型02实数的大小比较 命题点五 平方根 立方根 题型01平方根的概念与计算 题型02立方根的概念与计算 命题点六 实数的计算 题型01实数的简易计算 题型02实数的混合计算 题型03新定义下的实数计算 题型04实数的程序性计算 05·重难突破·思维进阶 44 突破一 实数规律性运算探究 突破二 利用非负性计算 突破三 数轴上的动点 突破四 绝对值的几何意义 06·优题精选·练能提分 58 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 实数的分类 / / 嘉兴卷T1 了解无理数和实数的概念，知道实数由有理数和无理数组成；知道实数与数轴上的点一一对应；能求实数的相反数与绝对值 实数有关的概念 浙江卷T1 / 杭州卷T2 丽水卷T1 1. 数轴 能用数轴上的点表示实数，能比较实数大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义 2. 相反数 掌握求实数相反数的方法；理解相反数的几何意义：关于原点对称 3. 倒数 理解乘除互逆关系，掌握求非零实数倒数的方法 4. 绝对值 掌握求实数绝对值的方法；理解绝对值的几何意义：点到原点的距离 科学记数法 近似数 浙江卷T3 浙江卷T3 杭州卷T1 湖州卷T3 金华卷T3 宁波卷T3 温州卷T3 1.科学记数法 会用科学记数法表示数 (包括还原) 2.近似数 了解近似数概念，会按要求进行近似计算 掌握精确度概念，能按要求取近似数 实数的大小比较 浙江卷T1 宁波卷T1 台州卷T1 衢州卷T1 能比较实数大小 (正数> 0 > 负数；两负数比绝对值) 能用有理数估计无理数的大致范围 平方根 立方根 / / 嘉兴卷T11 丽水卷T17 宁波卷T17 温州卷T17 平方根 了解平方根、算术平方根概念，会用根号表示；理解平方根性质：正数有两互为相反数的根，0 的根是 0，负数无平方根 会用平方运算求百以内完全平方数的平方根 立方根 了解立方根概念，会用根号表示；理解立方根性质：正数有正根，负数有负根，0 的根是 0；会用立方运算求千以内完全立方数的立方根 实数的运算 浙江卷17 浙江卷17 湖州卷17 金华卷17 衢州卷17 台州卷17 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单混合运算 (三步以内) 理解运算律，能运用简化运算 了解二次根式概念及运算法则，会进行简单四则运算 命题预测 近三年浙江中考数学实数考点呈现 "基础必考、题型固定、分值稳定" 特点。实数概念（相反数、绝对值）、大小比较、实数计算为必考内容，科学计数法、平方根 / 立方根、实数分类为轮考点。每套试卷约 2-3 题，总分 6-10 分，占整卷 5%-8%，趋势这一块，1）题型固定化：基础概念（选择第 1-2 题）、计算题（解答前 3 题）；2）考查综合化：单一考点减少，多知识点融合（如计算 + 绝对值 + 平方根）；3）应用生活化：科学计数法、大小比较与实际问题结合。对于26年中考预测：必考项（实数概念、大小比较、计算）不变，科学计数法考查概率大，实数分类、平方根 / 立方根可能轮考，难度维持基础，侧重概念理解与运算准确性。复习重点：强化相反数、绝对值几何意义理解，熟练实数混合运算，掌握科学计数法表示法及实际应用。 考点一 实数的分类 1．（1）按照定义分类 （2）按照正负分类 注意：0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如，等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等； （3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等； （4）某些三角函数，如sin60°等. 1．（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据无理数的定义判断即可； 【详解】解：∵-2，，2是有理数，是无理数， 故选： C． 【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π． 2．（2021·浙江金华·中考真题）实数，，2，中，为负整数的是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】按照负整数的概念即可选取答案． 【详解】解：是负数不是整数；是负数不是整数；2是正数；是负数且是整数 故选D． 【点睛】本题考查了实数的分类，比较简单． 3．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 4．（2022·浙江宁波·中考真题）写出一个小于2的无理数： ． 【答案】（不唯一） 【分析】根据无理数的大小判断即可； 【详解】∵＜2； 故答案为（不唯一）． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键． 考点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应. 2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0. 3．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|. 4．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1. 1．（2025·浙江·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：的相反数是 故选A． 2．（2021·浙江衢州·中考真题）21的相反数是（　　） A．21 B．-21 C．- D． 【答案】B 【分析】依据相反数的定义求解即可． 【详解】21的相反数是-21， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的知识；解题的关键是熟练掌握相反数的性质，从而完成求解． 3．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 4．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴ A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）计算： ． 【答案】2023 【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解． 【详解】解：的相反数是2023， 故， 故答案为：2023． 【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 6．（2025·山东青岛·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，掌握a，b在数轴上对应点的位置得出a距离原点的距离比b距离原点的距离小是关键． 根据数轴判断出a距离原点的距离比b距离原点的距离小，即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 考点三 科学记数法 近似数 1．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 2．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 1．（2025·浙江·中考真题）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，将大数用科学记数法表示时，需将其写成的形式，其中，为整数，据此进行作答即可． 【详解】解：， 故选 ：B． 2．（2024·浙江·中考真题）2024年浙江经济一季度为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】201370000用科学记数法表示为． 故选：D． 3．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 4．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． 故选：A． 4．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 【答案】B 【分析】本题主要考查了精确度，判断近似数的精确位数，需观察其最后一位数字所在的数位．十分位对应小数点后第一位，据此求解即可． 【详解】选项A：24，无小数点，末位4位于个位，精确到个位． 选项B：24.0，末位0在小数点后第一位（十分位），精确到十分位． 选项C：24.00，末位0在小数点后第二位（百分位），精确到百分位． 选项D：240，末位0在个位（若原数四舍五入到十位则为十位），精确到个位． 故选：B． 5．（2022·山东济宁·中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（  ） A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02 【答案】B 【分析】利用四舍五入的方法，从万分位开始四舍五入取近似值即可． 【详解】解：0.0158≈0.016． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字，正确利用四舍五入法取近似值是解题的关键． 考点四 平方根 立方根 1．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根. （2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根. （3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为. （4） 2．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根. （2）表示：a的立方根表示为. （3）. 1．（2018·浙江杭州·中考真题）化简：＝（    ） A．±2 B．－2 C．4 D．2 【答案】D 【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）﹣8的立方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在 【答案】C 【分析】根据立方根的定义进行解答． 【详解】∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故选C． 【点睛】本题主要考查了立方根，解决本题的关键是数积立方根的定义． 3．（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（    ） A．9 B．9和 C．3 D．3和 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根和平方根，正确理解题意是解题的关键． 先求出，再求9的平方根即可． 【详解】解：， 则9的平方根为， 故选：D． 4．（2022·浙江杭州·中考真题）计算： ； ． 【答案】 2 4 【分析】根据算术平方根的性质，乘方的运算法则，即可求解． 【详解】解：；． 故答案为：2，4 【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，乘方运算，熟练掌握算术平方根的性质，乘方的运算法则是解题的关键． 5．（2025·浙江·中考真题） ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 考点五 实数的大小比较 1. 数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等. 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）在1，0，，这四个数中，最大的数是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是实数的大小比较，结合四个数在数轴上从左至右的排列是，，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴四个数中，最大的数是， 故选：C． 2．（2021·浙江绍兴·中考真题）实数，，，中，最小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴所给的实数中，最小的数是-3； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正数负数，即可进行解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴比1小的正无理数是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数． 4．（2023·四川甘孜·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 【答案】> 【分析】该题考查了实数比较大小．根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根越大． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：>． 5．（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据即可推出． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 考点六 实数的计算 1．实数的运算： （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律. （2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. 1．（2023·浙江湖州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】根据实数的运算顺序进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的运算，掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．（2023·浙江台州·中考真题）计算：． 【答案】2 【分析】根据绝对值的性质和算术平方根分别进行化简，再按照有理数加减混合运算即可求出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键在于熟练掌握绝对值的性质、算术平方根，乘方的相关运算． 3．（2022·浙江金华·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可； 【详解】解：原式 ； 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 4．（2021·浙江丽水·中考真题）计算：． 【答案】2020 【分析】先计算绝对值、零指数幂和算术平方根，最后计算加减即可； 【详解】解： ， ． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序及相关运算法则． 5．（2025·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 6．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 7．（2022·浙江台州·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】先化简各数，然后再进行计算． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值、有理数的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则． 命题点一 实数的分类 ►题型01 正负数的意义 【典例】1．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）下列叙述中，数学关系正确的有（　　） 不是正数也不是负数；正数都不小于；负数都不大于；负数小于；正数大于； 大于的数一定是正数；小于的数一定是负数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了正数，负数，，根据正数，负数，定义逐一排除即可，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解： 是正数，原叙述错误； 不小于0的数有正数和0，0既不是正数也不是负数，原叙述错误； 不大于0的数有负数和0，0既不是正数也不是负数，原叙述错误； 负数小于，原叙述正确； 正数大于，原叙述正确； 大于的数一定是正数，原叙述正确； 小于的数一定是负数，原叙述正确； 综上可得：正确，共个， 故选：． 【变式】1-1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）下列说法不正确的是（   ） A．0既不是正数，也不是负数 B．当时，总是大于0 C．正数的绝对值是它本身 D．正数和负数互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查绝对值、有理数的分类、相反数的定义，熟记知识点是解决本题的关键． 根据相关概念逐一判断即可． 【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，该选项正确，不符合题意； B、当时，总是大于0，该选项正确，不符合题意； C、正数的绝对值是它本身，该选项正确，不符合题意； D、绝对值相等的正数和负数互为相反数，该选项错误，符合题意． 故选D． 【变式】1-2．（2025九年级下·浙江湖州·专题练习）下列说法正确的是 （    ） A．有最大的负数，没有最小的正数 B．有最小的负数，没有最大的正数 C．没有最大的有理数和最小的有理数 D．有最小的负整数和最大的正整数 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的有关概念和性质．根据有理数的有关概念和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、没有最大的负数，也没有最小的正数，故本选项错误，不符合题意； B、没有最小的负数，也没有最大的正数，故本选项错误，不符合题意； C、没有最大的有理数和最小的有理数，故本选项正确，符合题意； D、没有最小的负整数，也没有最大的正整数，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． ►题型02 相反意义的量 【典例】2．（2025·浙江丽水·二模）若收入5元记为，则支出3元记为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若收入5元记为，则支出3元记为， 故选：D． 【变式】2-1．（2025·浙江衢州·二模）若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷藏室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对， 所以，若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷藏室的温度零下记作． 故选D． 【变式】2-2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）为了丰富校园活动学校在七年级开展足球比赛，如果赢局记为，那么输3局记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反意义的量，准确分析判断是解题的关键． 赢的局数用正数表示，输的局数用负数表示． 【详解】赢6局记为，输的局数与赢的局数是相反意义的量，因此输局应记为； 故答案为． ►题型03 实数的分类 常见的无理数类型为下面三类 （1） 含根号且开方开不尽的数，例如根号2、根号3、根号5等等； （2） 含有圆周率π的式子，例如2π、8π等等； （3） 无限不循环的小数，例如0.01001000100001000001……、0.12345678910……等等 【典例】3．（2023·浙江宁波·模拟预测）下列各数为负数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，平方根，立方根的性质，根据绝对值的性质，平方根的性质，立方根的性质“正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0”，由此即可求解． 【详解】解：A、，是正数，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，不符合题意； C、是正无理数，不是负数，不符合题意； D、是负数，符合题意； 故选：D ． 【变式】3-1．（2023·浙江温州·三模）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（　　）    A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【分析】根据实数的分类判断各项，即可得到答案． 【详解】解：A．是负整数，是负无理数，故A选项符合题意； B．是正整数，是负无理数，故B选项不符合题意； C．是负整数，是负整数，故C选项不符合题意； D．是正整数，是负整数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的分类，掌握基本概念是解题的关键． 【变式】3-2．（2023·浙江杭州·二模）下列四个数中属于负整数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数的分类和负整数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是负小数，故此选项不符合题意； B、是负无理数，故此选项不符合题意； C、是负分数，故此选项不符合题意； D、是负整数，故此选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查实数的分类，熟知小于0的整数是负整数是解答的关键． 【变式】3-3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）用序号将下列各数填入相应的大括号内 ①，②，③，④，⑤，⑥ 正分数{_____________________________．．．．．．}； 负整数{_____________________________．．．．．．}； 无理数{_____________________________．．．．．．}． 【答案】答案见解析 【分析】本题主要考查了实数分类，准确分析判断是解题的关键． 根据正分数、负整数和无理数的定义，对每个数进行计算和判断，然后分类． 【详解】根据已知实数可得： 正分数：，； 负整数：，； 无理数：，； 正分数； 负整数； 无理数． 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) ►题型01 相反数 【典例】1．（2023·西藏·中考真题）有理数7的相反数是（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数． 【详解】解：有理数7的相反数是， 故选B． 【变式】1-1．（2022·浙江舟山·二模）表示（   ） A．2023的绝对值 B．2023的倒数 C．的相反数 D．2023的相反数 【答案】D 【分析】本题考查相反数和绝对值的基本概念，根据相反数的定义，一个数的相反数是在其前面添加负号，而绝对值表示数到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：A、2023的绝对值是2023，故本选项不符合题意； B、2023的倒数是，故本选项不符合题意； C、的相反数是2023，故本选项不符合题意； D、2023的相反数是，故本选项符合题意， 故选：D． 【变式】1-2．（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键； 根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案. 【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数； 2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义； A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意； 故选B. ►题型02 求绝对值 【典例】2．（2025·浙江·模拟预测）实数的绝对值是（　　） A．-2020 B． C． D．2020 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质，若，则，若， 【详解】解： ； 故答案为：D． 【变式】2-1．（2025·浙江杭州·模拟预测）一个数的绝对值等于3，则这个数是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质即可求得答案． 【详解】解：∵一个数的绝对值等于3， ∴这个数是， 故选：B． 【变式】2-2．（2025·浙江杭州·一模）如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值的意义，掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义以及绝对值的意义得出点的绝对值的范围，然后比较范围即可解答． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是， 故选：A． ►题型03 带字母的绝对值化简求值 找零点：令绝对值内的每个代数式等于 0，求出未知数的值（零点）； 划区间：将零点按从小到大的顺序排列，把未知数的取值范围划分为若干个不重叠的区间（包括零点本身）； 判符号：在每个区间内，判断每个绝对值内代数式的正负； 去绝对值化简：根据符号去掉绝对值符号，合并同类项； 总结结果：将各区间的化简结果汇总。 【典例】3．（2025·浙江·模拟预测）若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简绝对值、二次根式的性质、完全平方公式等知识，根据题意可得，，将整理为，根据绝对值的性质和二次根式的性质，化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式】3-1．（2025·浙江·模拟预测）已知，则的最小值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，将绝对值函数分段讨论，求出各区间内的表达式，通过二次函数顶点公式或区间端点分析最小值． 【详解】解：当时，，，则．此时，随趋近于负无穷而增大，最小值趋近于． 当时，，，则．此时． 当时，，，则．此时，随增大而增大，最小值趋近于． 对于二次函数，其顶点横坐标为， 当时，最小值为： ∴中间区间的最小值为，其他区间的最小值均大于此值． 因此，的最小值为， 故选：B． 【变式】3-2．（2024·浙江宁波·二模）对于整数，，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．已知，其中是负数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，去绝对值，整式的加减运算，根据定义新运算的法则，列出一元一次方程，进行求解即可，注意进行分类讨论． 【详解】解：∵为偶数，是负数， ∴， ∴， 当为偶数时， 则：， ∴， 解得：； 当为奇数时， 则：， ∴， 解得：（舍去）； 故选C． 【变式】3-3．（2023·浙江·模拟预测）已知、为抛物线与x轴交点的横坐标，则的值是（    ） A． B． C．或 D．0 【答案】A 【分析】 由题意可作二次函数图象，当时，，由图象可得，进而可化简绝对值． 【详解】解：由题意可作如图：    当时，， 由图可知：， 则， 则的值是， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、化简绝对值，根据题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【变式】3-4．（2025·浙江杭州·模拟预测）当取得最小值时，x满足 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义．通过求每个绝对值表达式的零点，再由根据绝对值的意义可得表示数x的点到表示数的六个点距离之和，从而得到当x取这些点中间的值时，距离之和最小，即可求解． 【详解】解：令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 根据绝对值的意义得：表示数x的点到表示数的六个点距离之和， ∴当x取这些点中间的值时，距离之和最小， 把这六个数按从小到大排序为：，位于中间的两个数为， ∴当 时，原式取得最小值． 故答案为 ． ►题型04 实数与数轴 1．数轴形象地反映了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.在中考中通常借助于数轴这一数与形的相互转化的特点来呈现或解决数学问题； 2.利用数轴可以形象直观地理解相反数、绝对值的意义（代数意义、几何意义）. 【典例】4．（2025·浙江杭州·三模）如图，数轴上的点A表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是利用数轴比较大小，掌握数轴上的点表示的数从左至右逐渐变大是解题关键． 由数轴可知：点A表示的数比大，比小，然后根据有理数的比较大小即可得出结论． 【详解】解：由数轴可知：点A表示的数比大，比小， ，，， 各个选项中，只有A选项符合题意 故选A． 【变式】4-1．（2025·浙江杭州·二模）如图，在数轴上点A表示数，点B表示数1，O是原点，点P表示的数是t．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的概念，数轴点之间的距离，根据各个选项给出的的取值范围，得到Q所表示的数的取值范围，即可解答，熟知数轴上的点的距离计算是解题的关键． 【详解】解：A、当时， Q所表示的数为，，故A正确，符合题意； B、当时，Q所表示的数为，此时，故B不正确，不符合题意； C、当时，Q所表示的数为，此时，故C不正确，不符合题意； D、若，Q所表示的数为，此时，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 【变式】4-2．（2025·浙江·二模）如图，若数轴上点A与点的距离约为（为正整数）个单位长度，则为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点的距离，熟练掌握用数轴上的点表示实数是解题的关键． 设点A表示的数为，点B表示的数为，由数轴得出，，则，再根据两数轴上两点的距离，且为正整数，即可求解． 【详解】解：设点A表示的数为，点B表示的数为， 由图可知：，， ∴， ∵， ∴， ∵为正整数， ∴． 故选：C． 【变式】4-3．（2025·浙江·模拟预测）在复习不等式时，李老师给出一条没有标注原点的数轴（如图），，两数分别落在的两侧，且更靠近．同学们经过探究后，得到以下两个结论：①；②，则下列判断正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，有理数的加法，因式分解的应用．数b表示的点比点a表示的点到表示的点的距离小即可判断①；根据可判断②． 【详解】因为，所以，故①正确； 因为，而，， 所以，故②正确， 故选A． 【变式】4-4．（24-25九年级下·浙江台州·期末）如图，数轴上点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴的一一对应关系，勾股定理的计算，运用勾股定理得到，结合数轴的特点即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∴点表示的数是， 故选：D ． ►题型05 倒数 【典例】5．（2023·浙江宁波·模拟预测）实数的倒数是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了一个数的倒数的求法，实数的性质，解题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积是1． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：实数的倒数是． 故选：B． 【变式】5-1．（2025·河北沧州·模拟预测）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【详解】解：的倒数是， 故选：B. 【变式】5-2．（2023·辽宁盘锦·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可. 【详解】解：∵， ∴3的倒数是， ∴ 的倒数是， 故选：B 命题点三 科学记数法 近似数 ►题型01 科学记数法 用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值． (1)a值的确定：1≤|a|<10；(2)n值的确定：①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1；②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)；③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等． 【典例】1．（2025·浙江丽水·二模）人民网2024年12月29日消息：国家粮食和物资储备局最新数据显示，2024年全年粮食收购量保持在较高水平，预计达到8400亿斤左右．数8400用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式】1-1．（2025·浙江丽水·二模）杭州某AI实验室训练模型时，单日处理数据量约为1200亿条，“1200亿”这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：1200亿． 故选：C． 【变式】1-2．（2024·浙江·模拟预测）2023年5月28日，进行了商业载客首飞，这标志着国产大飞机的商业运营正式起步，的最大航程约公里．数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解： 故选：B． 【变式】1-3．（2025·浙江·模拟预测）我国在新能源电池技术领域取得新的突破，研发出一款高性能的固态电池，其内部的某种电解质离子的直径仅为，将数用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的一般形式为：，其中，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． ►题型02 近似数 【典例】2．（22-23九年级上·浙江台州·期末）下表中记录了某种文旦树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数n 200 500 800 2000 12000 成活的棵数m 183 456 732 1798 10812 成活的频率 0.915 0.912 0.915 0.899 0.901 由此估计这种文旦树苗移植成活的概率（精确到0.01）约为（    ） A．0.89 B．0.90 C．0.91 D．0.92 【答案】B 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用总数量乘以成活频率的稳定值即可． 【详解】解：∵根据表格数据：成活的频率分别有0.915、0.912、0.915、0.899、0.901 ∴由此估计这种文旦树苗移植成活的概率（精确到0.01）约为0.90 故答案为：B 【变式】2-1．（2023·浙江宁波·三模）神舟十八号载人飞船是中国载人航天工程发射的第十八艘载人飞船，神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体，总重量多吨，总高度近60米，于2024年4月25日20时58分57秒在酒泉卫星发射中心发射，取得圆满成功．截至目前，有关神舟十八号的相关浏览次数已高达次，将精确到万位并用科学记数法表示的结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法表示后，再利用四舍五入即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式】2-2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）对一批衬衫进行抽检，统计合格衬衫的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 合格频率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.905 0.901 估计任抽一件衬衫是合格品的概率是 ．（结果精确到0.1） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此可解． 【详解】解：抽取件数为1000时，合格频率趋近于，估计衬衣合格的概率为． 故答案为：． 命题点四 实数的大小比较 ►题型01 无理数的大小估算 无理数的估算在近年的中考试卷中频频出现，无理数的估算既不是估计、也不是猜测，它是一种科学的计算方法，往往通过逐步逼近的方法确定一个数的大小或范围. 【典例】1．（2015·浙江杭州·一模）下列各数中，整数部分为3的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数大小，正确记忆π的近似值是解题关键． 直接利用，进而求出即可． 【详解】解：∵， ∴π的整数部分为3． 故选：A． 【变式】1-1．（2022·福建·中考真题）如图，数轴上的点表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点表示无理数、无理数估算等知识，根据数轴上的点的位置得到当令点表示的无理数为，则，根据选项中各个无理数，估算其范围即可得到答案．熟练掌握无理数估算方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，令数轴上的点表示的无理数为，则， A、由可得，则数轴上的点表示的无理数可能是，符合题意； B、由可得，则，故数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意； C、由可得，则数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意； D、由可知数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意； 故选：A． 【变式】1-2．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 【变式】1-3．（2025·云南·模拟预测）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（    ） A．和之间 B． 和之间 C．和之间 D． 和之间 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割、无理数的估算，掌握估算无理数大小的非负数解题的关键． 根据，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． ►题型02 实数的大小比较 比较实数的大小时，选择正确的方法比较大小是解题的关键.常用的有： （1）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b． （2）移动因数法：利用a＝(a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小． （3）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b． （4）作商法：若，则A＝B；若＞1，则A＞B；若＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0). （5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。 【典例】2．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）在下列数，，，中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据实数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题关键． 【详解】解：∵， ∴根据实数大小比较方法可知，， ∴最小的数是， 故选：． 【变式】2-1．（2025·浙江金华·模拟预测）以下四个数中最大的是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数比较大小，先根据无理数的估算方法得到，再由正数大于0，0大于负数比较出四个数的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴四个数中，最大的数为， 故选：B． 【变式】2-2．（2025·浙江杭州·二模）下列各数：，0，，，其中最大的数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数比较大小，掌握实数比较大小的方法是关键 ． 根据实数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴最大的数是， 故选：C ． 【变式】2-3．（2025·浙江绍兴·二模）在这四个数中，最大的数是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了实数大小比较，根据正数大于零大于负数即可解答．解决本题的关键是熟记实数的大小比较． 【详解】解：， 最大的数是， 故选：C． 命题点五 平方根 立方根 ►题型01 平方根的概念与计算 【典例】1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数平方根、算术平方根和立方根，二次根式的化简，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义．根据平方根、算术平方根和立方根的定义计算即可． 【详解】解：A.，故A错误，不符合题意； B. ，故B错误，不符合题意； C.，故C正确，符合题意； D.，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式】1-1．（2025·浙江台州·一模）若，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键． 将原式利用完全平方公式进行变形，，然后利用平方根求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式】1-2．（2025·浙江温州·模拟预测）若m为小于1的正数，则m与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，求一个数的算术平方根，结合题意，举出例子进行分析，即可作答． 【详解】解：∵m为小于1的正数， ∴ ∴， ∴ 故选：C． ►题型02 立方根的概念与计算 【典例】2．（2020·江苏常州·中考真题）8的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立方根的定义解答即可． 本题考查了立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得8的立方根是2． 故选：A． 【变式】2-1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的性质计算，掌握算术平方根、立方根的性质进行计算是解题的关键．根据算术平方根、立方根的性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，选项说法不正确，不符合题意； B、，选项说法正确，符合题意； C、，选项说法不正确，不符合题意； D、，选项说法不正确，不符合题意． 故选：B． 【变式】2-2．（2024·浙江·一模）下列各数中立方根为的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的立方根，求出各选项的立方根，即可判断解答． 【详解】A选项：1的立方根是1，故本选项不合题意； B选项：的立方根是，故本选项符合题意； C选项：，1的立方根是1，故本选项不合题意； D选项：，1的立方根是1，故本选项不合题意． 故选：B． 命题点六 实数的计算 ►题型01 实数的简易计算 【典例】1．（2025·浙江·模拟预测）我市某日的气温是，这天的最高气温与最低气温的差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的减法的实际应用，熟练掌握有理数减法法则是解题的关键，用最高气温减去最低气温即可． 【详解】解：， 即这天的最高气温与最低气温的差是， 故选：C． 【变式】1-1．（2025·浙江衢州·一模）某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减法的实际应用．求出的值，确定筷子中合格的长度，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴零件的尺寸标准在之间， 故四双筷子中合格的长度是． 故选：B． 【变式】1-2．（2025·浙江·模拟预测）小明的手机上步行记录显示：10012步，估计他行走10012步的距离是（　　） A．0.7公里 B．7公里 C．70公里 D．700公里 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘除法的应用，正确列出运算式子是解题关键．先根据生活常识、结合四个选项可得按每步米来估算，再根据1公里等于1000米计算即可得． 【详解】解：∵通常情况下，成年人步行每步约为米， ∴观察四个选项可知，是按每步米来估算的， ∴估计他行走10012步的距离是（公里）， 故选：B． 【变式】1-3．（2024·浙江台州·模拟预测）已知，设，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法，除法，解题的关键是将无限循环小数表示成分数的形式进行计算，表示出即可求解． 【详解】解：A．，正确，不符合题意； B．，正确，不符合题意； C．，正确，不符合题意； D．，错误，符合题意； 故选：D． ►题型02 实数的混合计算 / 实数的运算关键是依据正确运算顺序解答，另外还要熟记有关的运算性质，即：（1）；（2）；（3）的奇次幂为，偶次幂为1. 【典例】2．（2025·浙江丽水·二模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，有理数乘方，化简绝对值，最后再计算加减法即可． 【详解】解： 【变式】2-1．（2025·浙江·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】先根据负整数指数幂、算术平方根、绝对值的性质化简，再合并即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：                【变式】2-2．（2025·浙江台州·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、乘方、立方根的定义是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，乘方和立方根定义进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式】2-3．（2025·浙江·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用算术平方根的定义，绝对值的性质，零指数幂计算后再算加减即可． 【详解】解： ． ►题型03 新定义下的实数计算 【典例】3．（2025·浙江·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算以及分式方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法进行求解． 根据新定义运算将方程转化为分式方程，然后通过去分母、求解整式方程、检验等步骤得到方程的解． 【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为： ， 化简分母为，方程变为：， 两边同乘（注意，即），得： 解得：， 验证分母，且代入原方程左边为，符合等式．因此解为， 故选：C． 【变式】3-1．（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 (     ) A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，涉及有理数的运算，数字类规律等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先确定末尾有4个0，再确定能被9整除，则各个数字之和也能被9整除，即可求解． 【详解】解：在中，的倍数有共4个，因此中，末尾共有4个0，故； ∵中的因数有9， ∴能被9整除，其各位数字之和也能被9整除， ∴是9的倍数，即， ∴， 故选：A． 【变式】3-2．（2025·浙江杭州·模拟预测）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 根据定义的新运算可得，然后进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得， ， 值为， 故答案为：． 【变式】3-3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知a，b均为实数，定义一种新运算：，若，，，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义求出各数的值，然后相加解题即可． 【详解】解：，，，， ∴， 故答案为：2． 【变式】3-4．（2024·浙江·模拟预测）对于实数，定义新运算“”，规定如下： 如 (1)求的值； (2)若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明． 【答案】(1)3⊕5的值是19 (2)的值是否与的取值无关，证明见解析 【分析】此题考查了整式加减方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行计算、辨别． （1）按照题目运算定义进行代入、求解； （2）先运用运算定义表示出，的值，再通过计算进行辨别． 【详解】（1）由题意得， 3⊕ ， 即3⊕5的值是19； （2）的值是否与的取值无关， 证明：由题意得， ⊕3 ； ⊕ ， ， 的值是否与的取值无关． ►题型04 实数的程序性计算 【典例】4．（2020·河北唐山·一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，求算术平方根， 根据无理数生成器的计算流程可得输出值为的输入值，即可判断①；再将16输入按要求得出答案并判断②；然后以输出值为例说明③；随后将正整数1输入说明④即可. 【详解】解：当输入3时，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入9时，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入81时，取算术平方根为9，不是无理数，再输入9，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输出值为时，输入值为3或9或81或， 所以①不正确； 当输入16时，取算术平方根为4，不是无理数，再输入4，取算术平方根为2，不是无理数，再输入2，取算术平方根为，是无理数输出. 所以②正确； 当输入，取算术平方根为，是无理数，输出，但是不是正整数. 所以③不正确； 当输入正整数1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值. 所以④正确. 则不正确的有①③. 故选：D. 【变式】4-1．（23-24八年级下·广东韶关·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（   ） A．24 B． C．25 D． 【答案】B 【分析】本题以程序计算考查实数的运算，将代入计算，再判断即可． 【详解】解：将代入计算，第一次：， 进行第二次计算， 第二次：， ∴输出结果， 故选：B． 【变式】5-2．（2025·湖北·三模）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为，则输出的的值为．若输入的的值为，则输出的的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用程序求函数值，直接利用已知代入得出的值，进而求出输入时，得出的值．正确理解程序图并求出的值是解题的关键． 【详解】解：∵输入的的值为，输出的的值为，， ∴， 解得：， ∴当时，；当时，， ∵， ∴当输入的的值为时，， ∴输出的的值为． 故答案为：． 【变式】4-3．（2020·辽宁沈阳·二模）有一个数值转换器，原理如下：    当输入的时，输出的y等于 ． 【答案】 【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、立方根，有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算术平方根运算，立方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案． 【详解】解：当输入的时，则取立方根为：， 4是有理数，取算术平方根为：， 2取立方根为：， 是无理数， 即， 故答案为：． 突破一 实数规律性运算探究 【典例】1．（2020·浙江金华·一模）求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知S＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①，就可求出S的值． 【详解】解：设S＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020① 则2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021② 由②－①得： 2019S＝20202021－1 ∴． 故答案为：C． 【点晴】本题主要考查探索数与式的规律，有理数的加减混合运算． 【变式】1-1．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； （2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； （3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【详解】解：（1）； （2）根据以上等式的规律可得，； （3）① ； ② ． 【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 【变式】1-2．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 【变式】1-3．（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干即可求解； （3）将原式变形为，再运用结论求解． 【详解】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）解：原式 ． 突破二 利用非负性计算 【典例】2．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查非负性和勾股定理，非负性求出的值，分为直角边和为斜边两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当为直角边时，第三边的长为； 当为斜边时，第三边的长为； 故答案为：或． 【变式】2-1．（2025·四川成都·三模）已知实数，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式和绝对值的非负性，掌握二次根式和绝对值的非负性的应用是解题关键．根据非负数的性质求出，，然后代入计算． 【详解】解：∵，由非负性可得，，， 只有当且时等式才成立， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式】2-2．（2025·四川成都·模拟预测）若实数满足,则 ． 【答案】9 【分析】本题考查非负数性质、算术平方根，根据非负数性质列出方程求出的值,代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵, ∴根据题意得:,解得, ∴． 故答案为：9． 【变式】2-3．（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，非负数的性质，根据相反数的定义得到，根据非负数的性质，可求出x、y的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式】2-4．（2025·山西临汾·模拟预测）若，则，的值分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法的运用及非负数的性质，解题的关键是将原式进行配方．已知等式左边利用完全平方公式变形后，利用非负数的性质求出与的值． 【详解】解：， ，， 解得：， 故答案为：，． 突破三 数轴上的动点 【典例】3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (1)填空： ______， ______； (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或秒 (3)存在，的值为或或 【分析】此题考查的是绝对值与平方的非负性，数轴与动点问题，线段的中点，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键． （1）根据绝对值与平方的非负性，求出，，则，再由点为中点，得到，即，即可解答； （2）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，分类讨论：当点在点右侧时， 当点在点左侧时，逐个求解即可； （3）先讨论点的运动时间，再讨论点的运动时间，继而分阶段讨论是否存在：当从到，从到时，即，从到，从到时，即，从到，从返回时，， 从返回，从返回时，，从返回，从返回时，，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 点为中点， ， 即， 故答案为：，； （2）解：设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， ，之间相距个单位长度， 则可分两种情况讨论， 当点在点右侧时， ， 解得； 当点在点左侧时， ， 解得； 综上，或秒之后，，之间相距个单位长度； （3）解：分阶段讨论是否存在： 先讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 再讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 当从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得； 从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得不满足，舍去； 从到，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 此时方程无解； 综上，的值为或或． 【变式】3-1．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1)5 (2)，，0，1，2，3； (3)点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数即可； （3）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ， 故答案为：5； （2）∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3； （3）①当P在之间时，， ∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍， ∴， ，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：，此时． 综上所述，点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时． 【变式】3-2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 突破四 绝对值的几何意义 【典例】4．（2025·重庆·二模）若，为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在，，，中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选，作差并求其绝对值，即．则下列说法中： 所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数； 若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为； 若，，，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的应用，二元一次方程的正整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据绝对值的应用及二元一次方程的正整数解逐一排除即可． 【详解】解：，， ∴，故正确； 若，为正整数， 则，，，， ， ， ∴所有操作结果的和为， ∵为正整数， ∴， 解得，不符合题意，故错误； 由，， ∵， ∴， ∵为正整数， ∴，整理得：， ∴或或， ∴或或， ∴或或，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 【变式】4-1．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【答案】(1)6 (2)①；；②14 (3)的最小值为14，最大值为22 【分析】本题是三角形综合题，考查了实数与数轴上点的对应关系、数轴上两点间的距离公式，掌握其公式是解决此题的关键； （1）根据两点距离公式可得答案； （2）①由两点距离公式可得答案；②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和，即可求解； （3）的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和，即可求解． 【详解】（1）解：点，之间的距离； （2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为； 故答案为：；； ②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14； （3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和， 当时，的值最小，最小值为14； 当时，的值最大，最大值为22； 的最小值为14，最大值为22． 【变式】4-2．（2025·山东·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； (2)a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；图见解析；2；2． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干表示出的几何意义，仿照题干结合数轴作答即可． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和， 当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （2）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2． 1．（2024·浙江·中考真题）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（    ） 北京 济南 太原 郑州 A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数比较大小．有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原． 故选：C． 2．（2022·浙江湖州·中考真题）实数的相反数是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可． 【详解】的相反数是5． 故选：A． 3．（2022·浙江舟山·中考真题）若收入3元记为+3，则支出2元记为（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】D 【分析】根据正负数的意义可得收入为正，收入多少就记多少即可． 【详解】解：∵收入3元记为+3， ∴支出2元记为-2． 故选：D 【点睛】本题考查正、负数的意义；在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数． 4．（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解． 【详解】解：由数轴可知点A表示的数是，所以比大3的数是； 故选D． 【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键． 5．（2025·浙江丽水·二模）在人体血液中红细胞的直径约为，数据0.00077用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法，科学记数法表示绝对值小于1的数时，形式为，其中，n为整数．据此解答即可． 【详解】解：∵ ， 故选：C． 6．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知实数，定义运算：，若，则 ． 【答案】3或1或 【分析】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握1的任何次幂都等于1、的偶数次幂等于1、非零数的零指数幂等于1．根据知，据此可得或或，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则或或， 解得或或， 故答案为：3或1或． 7．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意． 根据题意，可得，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 8．（2025·浙江丽水·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根，零指数幂，绝对值等知识点，正确化简是解题的关键． 根据立方根的定义、零指数幂的性质以及绝对值的性质，分别对各项进行化简，再进行加减计算． 【详解】解： 9．（2025·浙江·一模）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，利用二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质计算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，数轴上的点、、、分别表示数、、、．若，，，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴与有理数、数轴上两点之间的距离等知识，解题关键是根据数轴上两点距离得出两个有理数之间关系． 由，，得到，，代入中，然后根据利用整体代入法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ 又∵， ∴ 故选C． 2．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，数轴上的点A和点 B分别在原点的左侧和右侧．若点A，B对应的实数分别为a，b，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：由图知，，，， ，故A项结论不成立，不符合题意； ，故B项结论不成立，不符合题意； ，故C项结论成立，符合题意； ，故D项结论不成立，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·浙江·模拟预测）从到连续自然数的平方和的个位数是（     ） A．0 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究；计算连续自然数平方和的个位数，只需关注每个数平方后的个位数之和的个位． 【详解】解：每个数的平方个位数仅由其个位数字决定．的平方个位依次为，，，，，，，，，，每个数的平方个位数之和为，个位为． 个数包含个完整周期（个数），余下个数为、、，其个位分别为、、． 个周期的个位和为，个位为． 余下数的平方个位为，个位为． 总和的个位为． 故选：C． 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）设是有理数，用表示不超过的最大整数，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．等于0或 C． D．等于0或1 【答案】B 【分析】本题考查有理数比较大小，有理数的加法运算，分为整数和不是整数两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：当为整数时：，， ∴， 当不是整数时，例如：， 则：，， ∴； 综上：等于0或； 故选B． 5．（2025·浙江·模拟预测）定义一种新的运算“F”：①当n为奇数时结果为，②当n为偶数时结果为（其中k是使为正奇数的正整数），反复运算．例如， 那么当时，第2025次“F”运算的结果是 ． 【答案】8 【分析】本题考查有理数的混合运算，规律探索问题，根据新定义规定的运算法则分别计算出第1、2、3、…、8次的运算结果，即可发现从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1，据此可得． 【详解】解：前8次的“F”运算结果如下： 依次类推，可以发现，从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1， ∴第2025次“F”运算的结果为8． 故答案为：8． 1．（2025·陕西·中考真题）的绝对值是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0. 根据正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0，可得答案． 【详解】解：的绝对值是8． 故选：A． 2．（2025·四川·中考真题）下列各数中，最大的是(    ) A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小． 先将选项中的数按“负数、0、正数”分类，明确正数大于0、0大于负数的基本关系；再对负数部分比较绝对值大小，最后综合判断所有数的大小顺序，找出最大的数． 【详解】解：根据有理数大小比较法则可知，仅有D选项符合题意．   故选：D． 3．（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求解．关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：，，，， ， ， ∴四个数中，最大的是， 故选：D． 4．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 5．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的计算及相反数的概念，解题的关键是先求出√4的具体值，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）确定其相反数． 计算的值：因为，所以；求2的相反数：根据相反数定义，2的相反数是，因此的相反数是． 【详解】解：∵表示4的算术平方根，且， ∴ ． 根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是． 故选：B． 6．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 7．（2025·江苏镇江·中考真题）如果汽车加油30升记作升，那么用去油10升，记作 ． 【答案】升 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，根据题意准确分析可得结果． 根据加油记作，则用去油记作即可得解． 【详解】汽车加油30升记作升， 用去油10升记作升； 故答案是：升． 8．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 9．（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为2． 10．（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 【答案】72 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，根据华罗庚的方法，首先判断立方根的位数：由于，因此立方根是两位数；其次，根据个位数字8，确定立方根的个位数字是2；最后，划去后三位248得到373，通过比较，，确定十位数字是7，从而得到立方根为72． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ 是两位数． ∵ 373248 的个位数字是 8，且只有 的个位数字是 8， ∴ 的个位数字是 2， 划去 373248 后三位数字 248，得到 373． ∵ ，，且 ， ∴ 的十位数字是 7． 因此，． 故答案为 ：72． 11．（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质，特殊三角函数值，化简绝对值进行运算，然后合并即可，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ． 50 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $