第01讲 实数及其运算（复习讲义，5考点14题型3重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦“实数及其运算”核心模块，覆盖实数分类、数轴、相反数、绝对值、科学记数法、混合运算等中考高频考点，通过“考情剖析-知识导航-考点解析-真题训练”四阶教学流程，帮助学生构建知识网络，突破数轴应用、绝对值非负性等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于融入抽象能力、运算能力、应用意识等核心素养培养，如通过“数轴上点表示实数”情境题发展几何直观，借助“绝对值非负性求最值”专题提升推理意识，设计“基础巩固-能力提升-全国新趋势”分层练习。配合真题精讲和限时训练，能在短期内强化学生运算准确性与解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰路径，有效提升应考能力。

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 实数的分类 题型01正负数的意义 题型02无理数的识别 题型03平方根与立方根 题型04 实数的分类 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 题型01 数轴与实数的关系 题型02相反数的意义 题型03绝对值的定义 题型04绝对值与相反数的关系 题型05倒数的定义 命题点三 实数的大小比较 题型01 利用数轴比大小 题型02利用绝对值比大小 命题点四 科学记数法与近似数 题型01 用科学计数法表示数 题型02求一个数的近似数 命题点五 实数的运算 题型01 实数的混合运算 05·重难突破·思维进阶难 19 突破一 实数与数轴相结合的应用 突破二 根据绝对值的非负性求最值 突破三 运用运算律进行简便运算 06·优题精选·练能提分 24 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 数轴 北京卷 T1 北京卷 T2 / 了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数，能借助数轴比较实数的大小，理解实数的几何意义。 科学记数法 北京卷 T5 北京卷 T6 北京卷 T7 会用科学记数法表示数（包括大于1的正数和小于1的正数），能进行科学记数法与实际数之间的转化。 实数的运算 北京卷 T10 北京卷 T11 北京卷 T12 能进行实数的简单四则运算，理解乘方、开方的意义；掌握实数运算的顺序和运算律，能进行含有二次根式、绝对值、三角函数值等的混合运算。 命题预测 结合数轴表示、科学记数法表示和实数的混合运算等情境考查实数相关知识，题型一般以选择题和计算题为主。在数轴考点中，常见实数与数轴点的对应关系、式子正负判断、绝对值意义等；科学记数法考点中，考查大数或小数的科学记数法表示，常与实际问题结合；实数的运算考点中，考查绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程和准确性。 考点一 实数的分类 1.正数与负数 正数：大于0的数叫正数，如：0.5，，+3等. 负数：小于0的数叫做负数，如：-0.5，，-（+3）等. 2. 有理数的分类 有理数：整数和分数统称为有理数. 【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.例：0.53（分数形式：）,1.3333…（分数形式：），，整数5（分数形式：）等, 3. 无理数 无理数：无限不循环小数叫做无理数（判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环）. 【补充】三种常见的形式：（1）开方开不尽的数，如：，等. （2） 含有的一类数，如：，等. （3）以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如：（每相邻两个1之间依次多一个0）. 4. 实数 实数：有理数和无理数统称为实数. 分类： （1） 按定义分类： （2） 按性质分类： 1．（2025·北京·二模）下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2025·北京·模拟预测）如图，数轴上点表示的实数是（   ） A．2 B． C． D． 考点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 1. 数轴 数轴：规定的原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（三要素：原点、正方向、单位长度）. 【补充】实数和数轴上的点一一对应. 2. 相反数 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，如：2与-2互为相反数，即2的相反数是-2，-2的相反数是2. 【特别说明】a的相反数是-a（a表示任意一个数，它可以是正数、负数、0）.任何一个数都有相反数，而且只有一个；正数的相反数是负数；复数的相反数是正数；0的相反数是0. 3. 绝对值 绝对值：在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫作a的绝对值，记作，读作“a的绝对值”. 绝对值性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0； 【补充】绝对值与相反数的关系：绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数. 4. 倒数 倒数：如果连个数的乘积为1，我们成这两个数互为倒数. 求倒数的方法 类型 方法 示例 m为非零整数 把这个数写成的形式，则得到m的倒数 2的倒数是 m为分数 颠倒m的分子和分母位置，则得到m的倒数 的倒数是 m为带分数 把m化为假分数，再把分子和分母颠倒求倒数 因为， 所以的倒数是 m为小数 把m化为分数，再把分子和分母颠倒求倒数 因为 所以0.25的倒数是4 1．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·模拟预测）有理数，对应的点在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三 实数的大小比较 1. 数轴法 在数轴上不同的两点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大（正数负数）. 2绝对值法 两个负数比大小，绝对值大的反而小. 【补充】 根据法则比较 利用数轴比较 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 数轴上左边的点表示的数小于数轴上右边的点表示的数 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数 一数为0 正数 负数 1．（2021·北京丰台·一模）A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），若点A，B分别对应的实数为a，b，且，则中最大的数是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·河北唐山·二模）对于数字-2+，下列说法中正确的是（    ） A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它比0小 C．它是一个无理数 D．它的相反数为2+ 3．（2025·北京海淀·二模）写出一个比小的正整数 ． 考点四 科学计数法与近似数 1. 用科学计数法表示数 科学计数法表示较大的数：一般地，绝对值大于10的数都可记成的形式，其中，n等于原数的整数位数减1. 2. 近似数 （1）准确数 与实际完全符合的数，称为准确数. （2）近似数 由于受测量工具、测量方法、测量者等因素的影响，测量的结果一般只是一个与实际数值很接近的数，我们称此数为近似数. （3）误差 近似值与它的准确值的差叫作误差，即误差=近似值-准确值. 【补充】近似数的几种常见情况： （1）计算产生的近似数，如除不尽的数、含有圆周率π的计算结果; （2）用测量工具测出的结果一般都是近似数,如长度、质量; （3）不容易得到或不可能得到准确数时,只能得到近似数,如人口普查的结果只能是一个近似数; （4）没有必要知道准确数而产生的近似数,如估测某场地的面积. 1．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·中考真题）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 考点五 实数的运算 1. 加法法则 （1） 同号相加，取加数的符号，并把绝对值相加； （2） 异号相加，绝对值相等时和为0,；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3） 一个数与0相加，仍得这个数. （4） 加法运算律：交换律（a+b=b+a）；结合律（（a+b）+c=a+（b+c）） 2. 乘除法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数与0相乘仍得0. （3）两数相除（除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以一个不为0的数仍得0. （4）运算律：交换律（ab=ba）；结合律（（ab）c=a（bc））；分配律（a（b+c）=ab+ac） 3.乘方法则 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.（n个a相乘记作，读作“a的n次方”其中a叫做底数，n叫做指数） 【补充】表示n个a相乘；-表示n个a相乘的相反数；表示n个相乘； 1．（2024·北京·中考真题）计算： 2．（2023·北京·中考真题）计算：． 3．（2025·北京海淀·二模）计算：． 命题点一 实数的分类 ►题型01 正负数的意义 / 【典例】1．（2024·湖北·中考真题）在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（2025·河北张家口·二模）下列各式的计算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·河北石家庄·三模）下列选项中是负数的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·中考真题）在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2024·湖北武汉·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作 ． ►题型02 无理数的识别 / 【典例】1．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 2．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【变式】1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 3．（2025·江苏泰州·二模）下列四个数，，，中，无理数的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ►题型03平方根与立方根 / 【典例】1．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 2．（2025·江西·中考真题）化简： 【变式】1．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知一个正实数x的两个平方根分别是m和，且，则x的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．50 3．（2025·陕西西安·模拟预测）的立方根是（    ） A． B．2 C． D． ►题型04 实数的分类 / 【典例】1．（2024·湖南·模拟预测）实数，，0，，，，，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列四个实数：， ，  9，，其中比0小的数是（   ） A． B． C．9 D．3．14 【变式】1．（2024·云南·模拟预测）在下列实数 ，，， ，，0，中，无理数有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·安徽合肥·一模）下列各数中，是正数的是（    ） A． B． C．0 D． 3．（2024·陕西西安·三模）在实数中，无理数有 个． 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) ►题型01 数轴与实数的关系 / 【典例】1．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2022·北京海淀·二模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 题型02 相反数的意义 / 【典例】1．（2025·四川资阳·中考真题）的相反数是（   ） A．4 B． C． D． 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【变式】1．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 2．（2025·青海·中考真题）的值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2025·浙江·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C． D． 题型03 绝对值的定义 / 【典例】1．（2025·江苏连云港·中考真题）的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 2．（2025·山东青岛·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 【变式】1．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 2．（2025·北京·三模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移2个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C． D．1 3．（2025·陕西·中考真题）的绝对值是（    ） A．8 B． C． D． 题型04 绝对值与相反数的关系 / 【典例】1．（2025·甘肃武威·模拟预测）的相反数是（    ） A．2017 B． C． D． 2．（2025·湖北·二模）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式】1．（2025·山东德州·二模）下列各数中与2互为相反数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 3．（2025·湖北·模拟预测）若，则（ ） A． B． C． D． 题型05 倒数的定义 / 【典例】1．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）的倒数是（    ）． A．2 B． C．1 D． 【变式】1．（2025·江苏南通·三模）的倒数是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南张家界·三模）若，互为相反数，，互为倒数，则 ． 3．（2025·江苏南京·二模）如果实数a、b满足 ，那么a、b互为倒数． 命题点三 实数的大小比较 ►题型01 利用数轴比大小 / 【典例】1．（2025·北京大兴·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京朝阳·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·北京顺义·一模）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京石景山·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京顺义·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02 利用绝对值比大小 / 【典例】1．（2025·江苏南京·一模）比较大小： ．（选填“”或“”） 2．（2025·湖北恩施·一模）比较大小： （选填“”“”或“”）． 【变式】1．（2025·安徽淮南·二模）比较大小： （填“”“”或“”）． 2．（2024·江苏南京·中考真题）比较大小： （填“”“”或“”） 3．（2024·山东临沂·一模）比较大小： ．（填“”“”或“”） 命题点四 科学计数法与近似数 ►题型01 用科学计数法表示数 / 【典例】1．（2025·北京海淀·模拟预测）北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，2021年机场旅客年吞吐量达到15000000人次，到2023年机场旅客年吞吐量预计将达3倍，2023年机场旅客年吞吐量为（单位：人次）（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京东城·二模）某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·北京朝阳·二模）2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京丰台·二模）据2024年中国国土绿化状况公报显示，我国森林蓄积量超200亿立方米，森林覆盖率超，将20000000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·模拟预测）一根普通的头发丝的直径约为，而光刻机的精度可以达到级别，相当于一根头发丝直径的h分之一，已知，则h约为（   ） A． B． C． D． 题型02 求一个数的近似数 / 【典例】1．（2025·四川资阳·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．精确到十位 B．4.6093万是精确到千分位 C．用科学记数法表示的数精确到千位 D．近似数0.6和0.60表示的意义不同 2．（2025·安徽·三模）将精确到百位的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2024·湖北孝感·模拟预测）将有理数用四舍五入法精确到千位是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·新疆喀什·三模）用四舍五入法将数精确到百分位的结果是（   ） A．2.23 B．2.24 C．2.236 D．2.237 3．（2025·湖南张家界·一模）圆周率精确到， ；精确到万分位， ． 命题点五 实数的运算 ►题型01 实数的混合运算 / 【典例】1．（2025·北京·模拟预测）计算：． 2．（2025·北京朝阳·模拟预测）计算：． 2．（2025·北京东城·二模）计算：． 3．（2025·北京·模拟预测）计算：． 突破一 实数与数轴相结合的应用 【典例】1．（2025·湖南衡阳·二模）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点关于点的对称点为．点表示的数为． (1)求的值； (2)化简：； 【变式】1．（2025·河南安阳·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 ． 2．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 3．（2025·河北唐山·三模）如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点． (1)求点B所表示的数，并在图中标出点B、C的位置； (2)若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是4，求A、B、C、D、E对应数的和． 突破二 根据绝对值的非负性求最值 【典例】1．（2025·山东·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点O的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数2的点到原点O的距离；另外观察数轴，容易发现有理数2表示的点到原点O的距离是2个单位长度，所以（如图1）．同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示；观察数轴，容易发现表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，从而得到：（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： (1)填空：数轴上表示3的点和表示的点之间的距离为______； (2)若，求所表示的有理数． (3)设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题： ①代数式有最小值吗？有最大值吗？若有，请求出相应的最值． ②若，求的值． 【变式】1．（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 2．（2024·宁夏固原·模拟预测）【提出问题】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【发现问题】代数式的最小值是多少？ 【探究问题】如图，点分别表示的是，则． 的几何意义是线段与的长度之和． 当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时， 的最小值是3． 【解决问题】 (1)的最小值是______； (2)利用上述思想方法解不等式： (3)当为何值时，代数式的最小值是2． 3．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，在的右边，且与的距离是，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数______，与点的距离为的点表示的数是______． (2)点表示的数______（用含的代数式表示）；点表示的数______，（用含的代数式表示）． (3)假如先出发秒，请问点总运动时间为何值时，相距个单位长度？ (4)若点是数轴上一点，是否存在整数，使得的值最小？如果存在，请写出最小整数；如果不存在，请说明理由． 突破三 运用运算律进行简便运算 【典例】1．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）用简便方法计算下列各题： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【变式】1．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）请你阅读材料，理解倒数在混合运算中的巧用： 计算： 解：原式的倒数 故原式． 再根据你对所提供材料的理解，运用上述方法计算：． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）我们知道：，， 那么反过来也成立如：，， 利用上面的规律计算： 拓展：． 1．（2025·北京·三模）科研人员利用人工智能设计出一种新型的“纳米笼”．这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米．若将这种新型“纳米笼”的直径记作n米，则n的值为 A． B． C． D． 2．（2025·北京·三模）在比例尺为的江苏省地图上，某条道路的长为．这条道路的实际长度用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京东城·二模）若实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·二模）如图，数轴上有、、、四个点，则下列说法正确的有（   ） （1）点表示的数可能是；（2）点表示的数可能是 （3）点表示的数可能是；（4）点表示的数可能是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2025·北京·模拟预测）计算： 6．（2025·北京石景山·模拟预测）计算：． 7．（2025·四川·模拟预测）计算：. 8．（2025·北京东城·二模）某团队设计了一款智能灯，它可以根据自然光照度自动开启或关闭，当自然光照度小于或等于勒克斯（勒克斯为光照度单位）时，自动开启；大于勒克斯时，自动关闭．该团队通过模拟自然光照度进行了一次实验，记录了实验中模拟自然光照度（单位：勒克斯）与时间（单位：分钟）的关系数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 32.9 30.0 27.5 25.6 24.2 23.3 22.9 23.0 23.7 24.8 26.5 28.7 31.4 (1)团队成员发现可以用函数刻画模拟自然光照度与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (2)若． ①智能灯首次开启时，_____； ②智能灯的工作时长约为_____分钟；（结果保留小数点后一位） (3)设当为30，27，24时，智能灯工作时长分别为，，，则_____．（填“>”“=”或“<”） 1．（2025·北京顺义·二模）为了进行艺术宣传，20名画师合作完成100幅户外宣传板的绘画工作．每幅宣传板上的4个绘画内容和每个内容的绘画时长如下表： 内容 一个花甁 一张桌子 一位人物 一把椅子 时长/分 3 7 15 7 20名画师同时开始工作，每位画师只负责一个内容的绘画工作．每幅作品的同一个内容只能由一名画师完成，绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画． （1）若2名画师负责绘画花瓶，则绘画人物的画师最多为 人； （2）在（1）的条件下，绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数相同，完成这两项内容的画师总人数小于绘画人物的画师人数．完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要 分钟． 2．（2025·北京石景山·一模）每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 营养成分 食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量约为．若小石这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 3．（2025·北京丰台·一模）某校九年级开展了数学实践成果的评选活动，共有10件作品参加评选．对于参评的每件作品，由甲、乙两位评委独立评分（百分制），取两位评委评分的平均数作为该件作品的初始得分．对这10件作品的评委评分及初始得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a.10件作品的得分情况： 序号 评委甲评分 评委乙评分 初始得分 1 70 82 76 2 80 84 3 61 76 68.5 4 78 84 81 5 71 85 78 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 B．分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为： 72.3 81.3 C．10件作品初始得分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.8 82 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为___________，的值为___________； (2)设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为，记所有满足的作品的初始得分的平均数为，则___________（填“>”“=”或“<”）； (3)分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的方差为，则___________（填“>”“=”或“<”）；若对于这10件作品中的某件作品，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，且以的值作为这件作品的标准化得分，对这10件作品按照其标准化得分由高到低进行排名，则排名第一名、第二名、第三名的作品的序号依次是___________． 4．（2025·北京·模拟预测）计算： 1．（2025·江苏·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 2．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏·中考真题）下列判断正确的是（    ） A．若点关于轴的对称点在第二象限，则 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．（2025·湖北武汉·中考真题）在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是 ． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 5．（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 6．（2025·江苏常州·中考真题）在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． (1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ； (2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 7．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 8．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 实数的分类 题型01正负数的意义 题型02无理数的识别 题型03平方根与立方根 题型04 实数的分类 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 题型01 数轴与实数的关系 题型02相反数的意义 题型03绝对值的定义 题型04绝对值与相反数的关系 题型05倒数的定义 命题点三 实数的大小比较 题型01 利用数轴比大小 题型02利用绝对值比大小 命题点四 科学记数法与近似数 题型01 用科学计数法表示数 题型02求一个数的近似数 命题点五 实数的运算 题型01 实数的混合运算 05·重难突破·思维进阶难 37 突破一 实数与数轴相结合的应用 突破二 根据绝对值的非负性求最值 突破三 运用运算律进行简便运算 06·优题精选·练能提分 52 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 数轴 北京卷 T1 北京卷 T2 / 了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数，能借助数轴比较实数的大小，理解实数的几何意义。 科学记数法 北京卷 T5 北京卷 T6 北京卷 T7 会用科学记数法表示数（包括大于1的正数和小于1的正数），能进行科学记数法与实际数之间的转化。 实数的运算 北京卷 T10 北京卷 T11 北京卷 T12 能进行实数的简单四则运算，理解乘方、开方的意义；掌握实数运算的顺序和运算律，能进行含有二次根式、绝对值、三角函数值等的混合运算。 命题预测 结合数轴表示、科学记数法表示和实数的混合运算等情境考查实数相关知识，题型一般以选择题和计算题为主。在数轴考点中，常见实数与数轴点的对应关系、式子正负判断、绝对值意义等；科学记数法考点中，考查大数或小数的科学记数法表示，常与实际问题结合；实数的运算考点中，考查绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程和准确性。 考点一 实数的分类 1.正数与负数 正数：大于0的数叫正数，如：0.5，，+3等. 负数：小于0的数叫做负数，如：-0.5，，-（+3）等. 2. 有理数的分类 有理数：整数和分数统称为有理数. 【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.例：0.53（分数形式：）,1.3333…（分数形式：），，整数5（分数形式：）等, 3. 无理数 无理数：无限不循环小数叫做无理数（判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环）. 【补充】三种常见的形式：（1）开方开不尽的数，如：，等. （2） 含有的一类数，如：，等. （3）以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如：（每相邻两个1之间依次多一个0）. 4. 实数 实数：有理数和无理数统称为实数. 分类： （1） 按定义分类： （2） 按性质分类： 1．（2025·北京·二模）下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：（1），故原计算错误； （2），故原计算错误； （3），故原计算正确； （4），故原计算错误， 故选：B． 2．（2025·北京·模拟预测）如图，数轴上点表示的实数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点A在数轴的正半轴上．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案． 【详解】解：如图， 由题意，得， ∵以点为圆心，半径为的弧过点A， ∴点A表示的数为， 故选：B． 考点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 1. 数轴 数轴：规定的原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（三要素：原点、正方向、单位长度）. 【补充】实数和数轴上的点一一对应. 2. 相反数 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，如：2与-2互为相反数，即2的相反数是-2，-2的相反数是2. 【特别说明】a的相反数是-a（a表示任意一个数，它可以是正数、负数、0）.任何一个数都有相反数，而且只有一个；正数的相反数是负数；复数的相反数是正数；0的相反数是0. 3. 绝对值 绝对值：在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫作a的绝对值，记作，读作“a的绝对值”. 绝对值性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0； 【补充】绝对值与相反数的关系：绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数. 4. 倒数 倒数：如果连个数的乘积为1，我们成这两个数互为倒数. 求倒数的方法 类型 方法 示例 m为非零整数 把这个数写成的形式，则得到m的倒数 2的倒数是 m为分数 颠倒m的分子和分母位置，则得到m的倒数 的倒数是 m为带分数 把m化为假分数，再把分子和分母颠倒求倒数 因为， 所以的倒数是 m为小数 把m化为分数，再把分子和分母颠倒求倒数 因为 所以0.25的倒数是4 1．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 2．（2025·北京·模拟预测）有理数，对应的点在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴可得，，据此即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，， ∴，， 选项A、B、C错误，选项D正确， 故选：D． 3．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意； B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意； C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意； D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意． 故选：C． 考点三 实数的大小比较 1. 数轴法 在数轴上不同的两点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大（正数负数）. 2绝对值法 两个负数比大小，绝对值大的反而小. 【补充】 根据法则比较 利用数轴比较 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 数轴上左边的点表示的数小于数轴上右边的点表示的数 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数 一数为0 正数 负数 1．（2021·北京丰台·一模）A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），若点A，B分别对应的实数为a，b，且，则中最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），确定点A在原点左侧，点B在原点右侧，从而得到b＞a，又根据|a|>| b| ，得到-a>b，即-b＞a，即可得出最大的数. 【详解】∵A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧）， 所以点A在原点左侧，点B在原点右侧， 所以a＜0，b＞0，即b＞a， 又因为|a|>|b| ，所以-a>b，即-b＞a， 所以-a＞b＞a， 又因为b＞0，所以-b＜0， 所以-a＞b＞-b＞a； 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数轴比较大小，以及不等式的性质，熟练掌握数轴上的点的表示方法是解题的关键. 2．（2022·河北唐山·二模）对于数字-2+，下列说法中正确的是（    ） A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它比0小 C．它是一个无理数 D．它的相反数为2+ 【答案】C 【分析】根据数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可． 【详解】A．数轴上的点和实数是一一对应的，故该说法错误，不符合题意； B．，故该说法错误，不符合题意； C．是一个无理数，故该说法正确，符合题意； D．的相反数为，故该说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键． 3．（2025·北京海淀·二模）写出一个比小的正整数 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，因为，故可得出答案，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴比小的正整数有：2，3． 故答案为：2（答案不唯一） 考点四 科学计数法与近似数 1. 用科学计数法表示数 科学计数法表示较大的数：一般地，绝对值大于10的数都可记成的形式，其中，n等于原数的整数位数减1. 2. 近似数 （1）准确数 与实际完全符合的数，称为准确数. （2）近似数 由于受测量工具、测量方法、测量者等因素的影响，测量的结果一般只是一个与实际数值很接近的数，我们称此数为近似数. （3）误差 近似值与它的准确值的差叫作误差，即误差=近似值-准确值. 【补充】近似数的几种常见情况： （1）计算产生的近似数，如除不尽的数、含有圆周率π的计算结果; （2）用测量工具测出的结果一般都是近似数,如长度、质量; （3）不容易得到或不可能得到准确数时,只能得到近似数,如人口普查的结果只能是一个近似数; （4）没有必要知道准确数而产生的近似数,如估测某场地的面积. 1．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可． 【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即： ． 故选：C 2．（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】， 故选D． 3．（2023·北京·中考真题）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值． 考点五 实数的运算 1. 加法法则 （1） 同号相加，取加数的符号，并把绝对值相加； （2） 异号相加，绝对值相等时和为0,；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3） 一个数与0相加，仍得这个数. （4） 加法运算律：交换律（a+b=b+a）；结合律（（a+b）+c=a+（b+c）） 2. 乘除法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数与0相乘仍得0. （3）两数相除（除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以一个不为0的数仍得0. （4）运算律：交换律（ab=ba）；结合律（（ab）c=a（bc））；分配律（a（b+c）=ab+ac） 3.乘方法则 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.（n个a相乘记作，读作“a的n次方”其中a叫做底数，n叫做指数） 【补充】表示n个a相乘；-表示n个a相乘的相反数；表示n个相乘； 1．（2024·北京·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．（2023·北京·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键． 3．（2025·北京海淀·二模）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了算术平方根、正弦值、绝对值、负整数指数幂．先化简算术平方根、正弦值、绝对值、负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 命题点一 实数的分类 ►题型01 正负数的意义 / 【典例】1．（2024·湖北·中考真题）在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：如果收入20元记作元，那么支出10元记作元， 故选：B． 2．（2025·河北张家口·二模）下列各式的计算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法，零次幂，乘方，绝对值．分别计算各选项的结果，判断是否为负数即可解答． 【详解】解：A． ，计算结果不是正数也不是负数． B． ，计算结果为正数． C． ，计算结果为正数． D． ，计算结果为负数． 故选：D 【变式】1．（2025·河北石家庄·三模）下列选项中是负数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的判断，有理数的乘方运算，逐一计算各选项的值，判断是否为负数即可． 【详解】A． ，结果为正数，排除； B． ，结果为正数，排除； C． ，结果为正数，排除； D． ：指数运算优先于负号，即先计算，再取负得，结果为负数． 综上，只有D选项是负数． 故选D． 2．（2025·河南·中考真题）在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，已知进球数记为正，则失球数应记为负，据此求解即可． 【详解】解：如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作个， 故选：B． 3．（2024·湖北武汉·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：零上记作，则零下记作．， 故答案为：． ►题型02 无理数的识别 / 【典例】1．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 2．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式】1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 3．（2025·江苏泰州·二模）下列四个数，，，中，无理数的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：无理数有，，共2个． 故选：C ►题型03平方根与立方根 / 【典例】1．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 2．（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为2． 【变式】1．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 【答案】2 【分析】本题主要考查了算术平方根的求法，理解算术平方根的定义是解答关键． 根据算术平方根的定义，一个非负数的平方等于4，则该数是4的算术平方根． 【详解】解：因为， 所以， 即4的算术平方根是2. 故答案为：2． 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知一个正实数x的两个平方根分别是m和，且，则x的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】A 【分析】一个正实数x的两个平方根分别是m和，得到，代入得到，解答即可． 本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由一个正实数x的两个平方根分别是m和， 得到， 代入得到， 故， 解得，（舍去）． 故选：A． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）的立方根是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查求一个数的立方根，根据立方根定义解答即可，熟练掌握立方根定义是解题的关键． 【详解】解：的立方根是， 故选：A． ►题型04 实数的分类 / 【典例】1．（2024·湖南·模拟预测）实数，，0，，，，，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的分类，立方根和零指数幂，代数式求值，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键． 首先计算立方根和零指数幂，然后根据实数的分类可得，，然后代入即可求解． 【详解】有理数有， 0，，，，，有6个， ∴； 无理数有，，有2个 即， ． 故选：C． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列四个实数：， ，  9，，其中比0小的数是（   ） A． B． C．9 D．3．14 【答案】B 【分析】本题考查了实数，解答此题的关键是要明确实数分为正实数，0，负实数，即：正实数负实数．根据实数的分类进行判断即可． 【详解】解：， ，  ，， ∴四个实数：， ，  9，，其中比0小的数是， 故选B． 【变式】1．（2024·云南·模拟预测）在下列实数 ，，， ，，0，中，无理数有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，实数的分类，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先对所给的数逐一分析，再作出判断，然后统计无理数的个数． 【详解】解：是分数，它是有理数；是无理数；是整数，它是有理数；是无理数；是有限小数，它是有理数；0是整数，它是有理数；是无理数，其中无理数共有3个， 故选：B． 2．（2024·安徽合肥·一模）下列各数中，是正数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的分类，根据正数是大于0的数进行求解即可． 【详解】解：由正数的定义可知四个数中，只有是正数， 故选：A． 3．（2024·陕西西安·三模）在实数中，无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查无理数及二次根式的性质，熟练掌握无理数的概念及二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据“无限不循环小数即为无理数”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在实数是无理数的有，共2个； 故答案为2． 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) ►题型01 数轴与实数的关系 / 【典例】1．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 【变式】1．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数，不等式的性质，由数轴知，，，，然后逐项排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，， ∴，原选项正确，符合题意； 故选：． 2．（2022·北京海淀·二模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用数轴比较实数的大小，实数的加法及乘法运算，熟练掌握数轴及运算法则是解题的关键． 由数轴可知，实数a，b，c之间的大小关系，从而判断四个选项的对错即可． 【详解】解：由实数a，b，c 在数轴上的对应点的位置可知： ，故A不正确； 故，，故B、C不正确； ，， ，故D正确； 故选：D． 3．（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据实数在数轴上对应点的位置，判定出符号以及绝对值的大小，即可进行判断即可，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小． 【详解】解：由实数在数轴上对应点的位置可知：，，且， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 相反数的意义 / 【典例】1．（2025·四川资阳·中考真题）的相反数是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求解． 【详解】解：的相反数为． 故选：D． 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的相反数，数轴，根据数轴得到点P表示的数为，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， 故选：A． 【变式】1．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的计算及相反数的概念，解题的关键是先求出√4的具体值，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）确定其相反数． 计算的值：因为，所以；求2的相反数：根据相反数定义，2的相反数是，因此的相反数是． 【详解】解：∵表示4的算术平方根，且， ∴． 根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是． 故选：B． 2．（2025·青海·中考真题）的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数的概念，涉及多重符号的化简，根据相反数的定义可得答案. 【详解】解：∵， ∴的值是， 故选：B 3．（2025·浙江·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：的相反数是 故选A． 题型03 绝对值的定义 / 【典例】1．（2025·江苏连云港·中考真题）的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义直接求解即可．绝对值表示一个数在数轴上到原点的距离，非负性是其核心性质．对于负数，其绝对值等于它的相反数． 【详解】解：， 因此，的绝对值为5， 故选：A． 2．（2025·山东青岛·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，掌握a，b在数轴上对应点的位置得出a距离原点的距离比b距离原点的距离小是关键． 根据数轴判断出a距离原点的距离比b距离原点的距离小，即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 【变式】1．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（2025·北京·三模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移2个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含a的式子表示出点C是解决本题的关键． 先用含a的式子表示出点C，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，C点表示的数为， ， ， 解得或5， ， ， 故选：C． 3．（2025·陕西·中考真题）的绝对值是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0. 根据正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0，可得答案． 【详解】解：的绝对值是8． 故选：A． 题型04 绝对值与相反数的关系 / 【典例】1．（2025·甘肃武威·模拟预测）的相反数是（    ） A．2017 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，相反数及负整数指数幂， 先计算绝对值，再求负整数指数幂，再求相反数即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 相反数为 ． 故选：D． 2．（2025·湖北·二模）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、化简绝对值和多重符号，根据相反数的定义、化简绝对值和多重符号逐项判断即可，熟练掌握相反数的定义、正确化简绝对值和多重符号是解题的关键． 【详解】解：A．，，两数相等，不是相反数，不符合题意； B．，，两数相等，不是相反数，不符合题意； C．和，绝对值分别为和，不相等，不是相反数，不符合题意； D．，，和绝对值相等且符号相反，故互为相反数，符合题意． 故选：D． 【变式】1．（2025·山东德州·二模）下列各数中与2互为相反数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数、绝对值、化简多重符号等知识，理解相反数的定义是解题关键．只有符号不同的数为相反数．根据相反数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 不是2的相反数，不符合题意； B. ，不是2的相反数，不符合题意； C. 是2的相反数，符合题意； D. ，不是2的相反数，不符合题意． 故选：C． 2．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值和化简多重符号，首先化简绝对值和多重符号，然后比较即可． 【详解】解：， ∴与的关系是相等． 故选：A． 3．（2025·湖北·模拟预测）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质以及解不等式．首先把已知式子变形可得，因为的绝对值等于它的相反数，因此，再解不等式即可． 【详解】解： ， ． 解得， 故选：B． 题型05 倒数的定义 / 【典例】1．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）的倒数是（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查零次幂的计算、倒数的概念，解题的关键是明确，的倒数为． 由，再取倒数即可． 【详解】， 所以的倒数是1． 故选：C． 【变式】1．（2025·江苏南通·三模）的倒数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 根据倒数的定义：一个数与其倒数相乘的结果为1，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：B． 2．（2025·湖南张家界·三模）若，互为相反数，，互为倒数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数和相反数的性质，零指数幂，求代数式的值．先根据相反数，倒数的定义求出，，再代入原式，根据任何不等于零的数的次幂都等于，即可得到结果． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， 故． 故答案为：． 3．（2025·江苏南京·二模）如果实数a、b满足 ，那么a、b互为倒数． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数，根据倒数的定义（两个数乘积为1，则这两个数互为倒数）解答即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数， ∴， 故答案为：． 命题点三 实数的大小比较 ►题型01 利用数轴比大小 / 【典例】1．（2025·北京大兴·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，解题的关键是根据数轴判断出，再进一步判断各项式子符号． 【详解】解：根据可知：， ，，，， 故A，B，C错误，D正确， 故选：D． 2．（2025·北京朝阳·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，认真观察数轴进行推理是解题的关键． 根据数轴上实数的位置，分别计算出所在的区间，对比即可． 【详解】解：由数轴可知，， 是正数，是负数，且． ， ，且， ， ，且． ， ，的绝对值为， 又因为在到之间，在到之间且， ， ， ， ，，， ， ， ．，，， ， 故选：A． 【变式】1．（2025·北京顺义·一模）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了绝对值的意义，不等式的性质，利用数轴比较实数大小，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由数轴得，然后根据不等式的性质和绝对值的意义逐项求解判断即可． 【详解】由数轴得，， ∴，，，故A，B，C错误，D正确． 故选：D． 2．（2025·北京石景山·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴可得，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，， ∴四个选项中，只有B选项正确，符合题意， 故选：B． 3．（2025·北京顺义·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， 故选：B． 题型02 利用绝对值比大小 / 【典例】1．（2025·江苏南京·一模）比较大小： ．（选填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了负数的大小比较，熟练掌握比较原则是解题的关键．先计算绝对值，比较绝对值的大小，后解答即可． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为：． 2．（2025·湖北恩施·一模）比较大小： （选填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较有理数的大小，掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键． 根据比较有理数的大小的方法进行比较即可． 【详解】解：，， 又， ∴， 故答案为：>． 【变式】1．（2025·安徽淮南·二模）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值、乘方运算、有理数的大小比较，先计算，再比较大小即可，正确计算、比较大小是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， 故答案为：． 2．（2024·江苏南京·中考真题）比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 【详解】解：∵， ， 又， ∴． 故答案为：． 3．（2024·山东临沂·一模）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 命题点四 科学计数法与近似数 ►题型01 用科学计数法表示数 / 【典例】1．（2025·北京海淀·模拟预测）北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，2021年机场旅客年吞吐量达到15000000人次，到2023年机场旅客年吞吐量预计将达3倍，2023年机场旅客年吞吐量为（单位：人次）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：到2023年机场旅客年吞吐量预计将达3倍即45000000人次， ∵， 故选：D． 2．（2025·北京东城·二模）某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C 【变式】1．（2025·北京朝阳·二模）2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定． 根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．（2025·北京丰台·二模）据2024年中国国土绿化状况公报显示，我国森林蓄积量超200亿立方米，森林覆盖率超，将20000000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：C． 3．（2025·北京·模拟预测）一根普通的头发丝的直径约为，而光刻机的精度可以达到级别，相当于一根头发丝直径的h分之一，已知，则h约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，科学记数法，分别用科学记数法表示出头发丝的直径和光刻机的精度，再根据光刻机的精度当于一根头发丝直径的h分之一列式求解即可． 【详解】解：头发丝直径为． 光刻机精度为． ∴． 故选C． 题型02 求一个数的近似数 / 【典例】1．（2025·四川资阳·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．精确到十位 B．4.6093万是精确到千分位 C．用科学记数法表示的数精确到千位 D．近似数0.6和0.60表示的意义不同 【答案】B 【分析】本题考查了近似数和科学记数法，熟练掌握近似数的相关知识是解题的关键； 根据近似数和科学记数法的相关知识逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，4在十位，故选项说法正确； B、4.6093万，精确到个位，故选项说法错误； C、用科学记数法表示的数精确到千位，故选项说法正确； D、近似数0.6精确到十分位，0.60精确到百分位，故近似数0.6和0.60表示的意义不同，故选项说法正确； 故选：B. 2．（2025·安徽·三模）将精确到百位的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了近似数和有效数字，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．最后一位所在的位置就是精确度． 先利用近似数的精确度求解，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：精确到百位的结果是． 故选D． 【变式】1．（2024·湖北孝感·模拟预测）将有理数用四舍五入法精确到千位是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查近似数及科学记数法，根据一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数字到精确到的数位为止所有数字都是有效数字，根据精确度找出最后一位上的有效数字所在的数位，再写成科学记数法形式即可得到答案； 【详解】解：； 故答案为：C． 2．（2025·新疆喀什·三模）用四舍五入法将数精确到百分位的结果是（   ） A．2.23 B．2.24 C．2.236 D．2.237 【答案】B 【分析】本题考查了近似数．把千分位上的数字6进行四舍五入即可． 【详解】解：数精确到百分位的结果是2.24． 故选：B． 3．（2025·湖南张家界·一模）圆周率精确到， ；精确到万分位， ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握四舍五入法是解题的关键； 根据四舍五入法，精确到即把万分位上的数字进行四舍五入，精确到万分位，即把小数点后第5位为进行四舍五入求解即可． 【详解】解：圆周率，精确到，；精确到万分位， 故答案为：，． 命题点五 实数的运算 ►题型01 实数的混合运算 / 【典例】1．（2025·北京·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值分别计算后，利用实数的混合运算法则求解即可得到答案． 本题考查实数混合运算，涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，掌握实数运算的运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：原式 ． 2．（2025·北京朝阳·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】先计算绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值以及0指数幂，再进行加减计算即可．本题主要考查了实数的运算，绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值以及0指数幂，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式】1．（2025·北京·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】先计算绝对值，负指数幂，三角函数和二次根式化简，再进行加减计算即可． 本题考查了实数的混合运算，涉及绝对值、负指数幂、特殊角三角函数和二次根式化简，熟练掌握这些基础知识是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 2．（2025·北京东城·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂公式，零指数幂公式，二次根式的加减运算，含特殊角的三角函数混合运算等知识，运用相关公式和运算法则计算即可． 【详解】解： 3．（2025·北京·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值．先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ． 突破一 实数与数轴相结合的应用 【典例】1．（2025·湖南衡阳·二模）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的面积公式求得边的长，即可得到点与原点的距离，进而得到点所表示的数． 【详解】解：由正方形面积公式得， 点在数轴正半轴上，点表示的数为， 点到原点的距离为， 点所表示的数为， 故答案为：． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点关于点的对称点为．点表示的数为． (1)求的值； (2)化简：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是实数和数轴，实数的混合运算，数形结合是解题的关键； （1）根据是的中点，列出式子求解即可； （2）把的值代入，根据绝对值、整数指数幂分别求出每一部分的值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）， 【变式】1．（2025·河南安阳·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 ． 【答案】0 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，再根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 2．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【答案】(1)6 (2)①；；②14 (3)的最小值为14，最大值为22 【分析】本题是三角形综合题，考查了实数与数轴上点的对应关系、数轴上两点间的距离公式，掌握其公式是解决此题的关键； （1）根据两点距离公式可得答案； （2）①由两点距离公式可得答案；②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和，即可求解； （3）的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和，即可求解． 【详解】（1）解：点，之间的距离； （2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为； 故答案为：；； ②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14； （3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和， 当时，的值最小，最小值为14； 当时，的值最大，最大值为22； 的最小值为14，最大值为22． 3．（2025·河北唐山·三模）如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点． (1)求点B所表示的数，并在图中标出点B、C的位置； (2)若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是4，求A、B、C、D、E对应数的和． 【答案】(1)B点表示的数是，数轴见解析 (2)或 【分析】本题考查了数轴的相关知识点，熟练掌握并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上中点的性质计算得出B点表示的数，表示在数轴上即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式计算得出E表示的数或，再分两种情况计算即可得解． 【详解】（1）解：∵A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点， ∴B点表示的数是， 在图中标出点B、C的位置如图所示： （2）解：∵， ∴E表示的数是或， 当E表示的数是2时，A、B、C、D、E表示数的和为：； 当E表示的数是时，A、B、C、D、E表示的数的和为：． 突破二 根据绝对值的非负性求最值 【典例】1．（2025·山东·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； (2)a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；图见解析；2；2． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干表示出的几何意义，仿照题干结合数轴作答即可． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和， 当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （2）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点O的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数2的点到原点O的距离；另外观察数轴，容易发现有理数2表示的点到原点O的距离是2个单位长度，所以（如图1）．同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示；观察数轴，容易发现表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，从而得到：（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： (1)填空：数轴上表示3的点和表示的点之间的距离为______； (2)若，求所表示的有理数． (3)设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题： ①代数式有最小值吗？有最大值吗？若有，请求出相应的最值． ②若，求的值． 【答案】(1)8 (2)1或5 (3)①5②或 【分析】本题考查数轴上的两点间的距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）直接根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）求出数轴上与3距离为2的点表示的数即可； （3）①根据绝对值的意义，得到表示数轴上数到数和数的距离之和，进而得到当在和4之间时，距离和最小为到4的距离，计算即可； ②分在的左侧和在的右侧，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：8； （2）解：所表示的有理数为或； （3）①因为表示数轴上数到数和数的距离之和， 所以当在和4之间时最小为：； 数表示的点在数表示的点的左侧或数表示的点的右侧时，数表示的点到数和数表示的点的距离和大于5， 所以有最小值5； ②当在的左侧时，，解得：； 当在右侧时，，解得：； 综上：或． 【变式】1．（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【答案】(1)过4秒或6秒 (2)3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是： （1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； （2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 2．（2024·宁夏固原·模拟预测）【提出问题】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【发现问题】代数式的最小值是多少？ 【探究问题】如图，点分别表示的是，则． 的几何意义是线段与的长度之和． 当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时， 的最小值是3． 【解决问题】 (1)的最小值是______； (2)利用上述思想方法解不等式： (3)当为何值时，代数式的最小值是2． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及利用数轴解决含有绝对值的不等式问题， （1）把原式转化看作是数轴上表示的点与表示与的点之间的距离最小值，进而问题可求解； （2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解； （3）根据原式的最小值为，得到表示的点的左边和右边，且到距离为的点即可． 【详解】（1）解： ， 如图，点A，B，P分别表示，4，x，则表示到与到的距离之和， 点在线段上，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是； 故答案为：． （2）如图所示，满足，表示表示x的点到表示和的点距离之和大于的范围， 当表示x的点在表示和的点之间时，距离之和为，不满足题意； 当表示x的点在表示的点的左边或表示的点的右边时，距离之和大于，符合题意， 则范围为或； （3）当为或时，代数式为或， 数轴上表示数的点到表示数的点的距离为，数轴上表示数的点到表示数的点的距离也为， 当为或时，原式的最小值是． 3．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，在的右边，且与的距离是，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数______，与点的距离为的点表示的数是______． (2)点表示的数______（用含的代数式表示）；点表示的数______，（用含的代数式表示）． (3)假如先出发秒，请问点总运动时间为何值时，相距个单位长度？ (4)若点是数轴上一点，是否存在整数，使得的值最小？如果存在，请写出最小整数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)或； (4)． 【分析】（）利用两点间距离公式计算即可求解； （）根据题意，列出代数式即可求解； （）用表示出表示的数，利用两点间距离公式可得关于的一元一次方程，解方程即可求解； （）由，可得当的值最小时，即整数到和的距离之和最小，此时在和之间， 即可求出最小整数； 本题考查了数轴、列代数式、一元一次方程的应用，掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：点表示的数为，在的右边，且与的距离是， ∴点表示的数是， ∵，， ∴与点的距离为的点表示的数是或， 故答案为：，或； （2）解：由题意得，点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （3）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数是， 则， 整理得，， ∴或， 解得或， ∴点总运动时间为或时，相距个单位长度； （4）解：存在，最小整数为． 理由如下：∵， ∴当的值最小时，即整数到和的距离之和最小，此时在和之间， 即时， ∴最小整数为． 突破三 运用运算律进行简便运算 【典例】1．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）用简便方法计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算法则，有理数乘法的分配律和加法结合律，熟记有理数的运算规律是解题的关键． （1）将变为，再运用乘法分配律求解即可； （2）先将小数化为假分数，再运用加法结合律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确理解题意、掌握解答的方法是关键； （1）根据有理数的加法作答即可； （2）按照题干中的拆项法结合有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：可将拆为，拆为； 故答案为：，； （2）解： ． 【变式】1．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）请你阅读材料，理解倒数在混合运算中的巧用： 计算： 解：原式的倒数 故原式． 再根据你对所提供材料的理解，运用上述方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，有理数乘法分配律，仿照题意先求原式的倒数，再求原式的结果即可． 【详解】解：原式的倒数 ， ∴原式． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）我们知道：，， 那么反过来也成立如：，， 利用上面的规律计算： 拓展：． 【答案】，计算：，拓展： 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差是解题的关键． 根据连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差可得，根据以上规律列项求解可得． 【详解】解：根据题意知， ， ． 1．（2025·北京·三模）科研人员利用人工智能设计出一种新型的“纳米笼”．这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米．若将这种新型“纳米笼”的直径记作n米，则n的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．根据1纳米等于米得75纳米，据此解答即可． 【详解】解：∵1纳米等于米， ∴75纳米， 即：． 故选：B． 2．（2025·北京·三模）在比例尺为的江苏省地图上，某条道路的长为．这条道路的实际长度用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例尺，科学记数法，熟练掌握比例尺，科学记数法是解题的关键 先计算实际长度，然后转换单位，再用科学记数法即可解答． 【详解】∵比例尺为，地图上的对应实际长度为： 用科学记数法表示为： 故选：C． 3．（2025·北京东城·二模）若实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小比较，有理数的乘法，有理数的加法运算的符号确定，本题先得到，再逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意； 故选：D． 4．（2025·北京·二模）如图，数轴上有、、、四个点，则下列说法正确的有（   ） （1）点表示的数可能是；（2）点表示的数可能是 （3）点表示的数可能是；（4）点表示的数可能是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数与数轴，无理数的估算等知识，熟练进行无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算及点所处的位置进行判断即可． 【详解】解：（1），则， 而点A表示的数是大于的数，故错误； （2），由数轴知，点表示的数可能是， 故正确； （3），点表示的数接近3，故它表示的数不可能是； 故错误； （4），由数轴知，点D表示的数大于4， 故错误； 综上，正确的有1个； 故选：B． 5．（2025·北京·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，先进行特殊角的三角函数值，负整数指数幂，去绝对值，开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 6．（2025·北京石景山·模拟预测）计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了实数的有关运算，涉及了二次根式，三角函数以及负整数指数幂，解题的关键是掌握相关运算法则． 首先计算开方、特殊角的三角函数值及绝对值、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】解： ． 7．（2025·四川·模拟预测）计算：. 【答案】6 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，二次根式的性质以及特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】解： ． 8．（2025·北京东城·二模）某团队设计了一款智能灯，它可以根据自然光照度自动开启或关闭，当自然光照度小于或等于勒克斯（勒克斯为光照度单位）时，自动开启；大于勒克斯时，自动关闭．该团队通过模拟自然光照度进行了一次实验，记录了实验中模拟自然光照度（单位：勒克斯）与时间（单位：分钟）的关系数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 32.9 30.0 27.5 25.6 24.2 23.3 22.9 23.0 23.7 24.8 26.5 28.7 31.4 (1)团队成员发现可以用函数刻画模拟自然光照度与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (2)若． ①智能灯首次开启时，_____； ②智能灯的工作时长约为_____分钟；（结果保留小数点后一位） (3)设当为30，27，24时，智能灯工作时长分别为，，，则_____．（填“>”“=”或“<”） 【答案】(1)见详解 (2)①1；②10.5（答案不唯一，此为估算值，原则上上下浮动0.2以内均正确）； (3)<． 【分析】本题主要考查描点连线、图像中获取信息和有理数的加减运算，解题的关键是熟悉图中获取信息， （1）根据描点连线作图即可； （2）①由图可知，智能灯首次开启时，， ②根据题意知智能灯首次开启时，；智能灯开启后关闭时，，即可智能灯的工作时长； （3）由（2）知当为30时，智能灯工作时长为分钟，同理可得当为27时，智能灯工作时长为分钟，当为24时，智能灯工作时长分钟，即可求得分钟，分钟即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：①由图可知，智能灯首次开启时，， ②∵时，自动开启； ∴智能灯首次开启时，；智能灯开启后关闭时， 则智能灯的工作时长约为分钟； （3）解：由（2）知当为30时，智能灯工作时长为分钟， 同理可得当为27时，智能灯工作时长为分钟， 当为24时，智能灯工作时长分钟， 则分钟，分钟， 那么，． 1．（2025·北京顺义·二模）为了进行艺术宣传，20名画师合作完成100幅户外宣传板的绘画工作．每幅宣传板上的4个绘画内容和每个内容的绘画时长如下表： 内容 一个花甁 一张桌子 一位人物 一把椅子 时长/分 3 7 15 7 20名画师同时开始工作，每位画师只负责一个内容的绘画工作．每幅作品的同一个内容只能由一名画师完成，绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画． （1）若2名画师负责绘画花瓶，则绘画人物的画师最多为 人； （2）在（1）的条件下，绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数相同，完成这两项内容的画师总人数小于绘画人物的画师人数．完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要 分钟． 【答案】 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，一元一次不等式的实际应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意知每个内容至少需1名画师，否则工作无法完成，即可解答； （2）设绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为，则绘画人物的画师人数为人，根据完成绘画桌子与绘画椅子的画师总人数小于绘画人物的画师人数，列出一元一次不等式，求出x可能的值，再结合绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画，分别计算出时间比较即可解答． 【详解】解：（1）根据题意知每个内容至少需1名画师，否则工作无法完成， 则负责绘画桌子的画师至少为1人，负责绘画椅子的画师至少为1人， ∵负责绘画花瓶的画师为2人， ∴绘画人物的画师最多为：（人）； （2）设绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为，则绘画人物的画师人数为人， 根据题意：， 解得：， ∵为正整数， ∴； 当时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为人，绘画人物的画师人数为人， ∴绘画花瓶的时间为：（分钟），绘画桌子的时间为：（分钟），绘画椅子的时间为：（分钟），绘画人物的时间为：（分钟）， ∵绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画， ∴此时，最少需要的时间为分钟； 当时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为人，绘画人物的画师人数为人， ∴绘画花瓶的时间为：（分钟），绘画桌子的时间为：（分钟），绘画椅子的时间为：（分钟），绘画人物的时间为：（分钟）， ∴此时，最少需要的时间为分钟； 当时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为人，绘画人物的画师人数为人， ∴绘画花瓶的时间为：（分钟），绘画桌子的时间为：（分钟），绘画椅子的时间为：（分钟），绘画人物的时间为：（分钟）， ∴此时，最少需要的时间为分钟； 当时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为人，绘画人物的画师人数为人， ∴绘画花瓶的时间为：（分钟），绘画桌子的时间为：（分钟），绘画椅子的时间为：（分钟），绘画人物的时间为：（分钟）， ∴此时，最少需要的时间为分钟； ∵， ∴完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要分钟． 2．（2025·北京石景山·一模）每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 营养成分 食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量约为．若小石这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 【答案】(1)小石喝了2盒牛奶和1盒豆浆 (2)他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则运算的实际应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设小石喝了牛奶盒，豆浆盒，根据“从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质．”列方程组求解即可； （2）由（1）知小石这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可． 【详解】（1）解：设小石喝了牛奶盒，豆浆盒，根据题意： ， 解得： ， 答：小石喝了2盒牛奶和1盒豆浆； （2）解：他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由如下： 由（1）知小石这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆， 则喝完牛奶和豆浆后，摄入的脂肪为， 则这天小石这天共摄入脂肪， ， ∴他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标． 3．（2025·北京丰台·一模）某校九年级开展了数学实践成果的评选活动，共有10件作品参加评选．对于参评的每件作品，由甲、乙两位评委独立评分（百分制），取两位评委评分的平均数作为该件作品的初始得分．对这10件作品的评委评分及初始得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a.10件作品的得分情况： 序号 评委甲评分 评委乙评分 初始得分 1 70 82 76 2 80 84 3 61 76 68.5 4 78 84 81 5 71 85 78 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 B．分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为： 72.3 81.3 C．10件作品初始得分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.8 82 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为___________，的值为___________； (2)设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为，记所有满足的作品的初始得分的平均数为，则___________（填“>”“=”或“<”）； (3)分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的方差为，则___________（填“>”“=”或“<”）；若对于这10件作品中的某件作品，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，且以的值作为这件作品的标准化得分，对这10件作品按照其标准化得分由高到低进行排名，则排名第一名、第二名、第三名的作品的序号依次是___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平均数，中位数，方差，新定义的计算，掌握其计算方法是关键． （1）根据平均数、中位数的计算方法求解即可； （2）根据方差的计算方法求解即可； （3）根据题意，分别算出各件作品的标准化分数进行比较即可． 【详解】（1）解：， 10件作品初始得分从小到大排序为：，，，，，，，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为， ∴，，，，，，，，，， ∴的有，，，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为， ∴ ， ， ∵， ∴， 第1件作品的标准化得分为：， 第2件作品的标准化得分为：， 第3件作品的标准化得分为：， 第4件作品的标准化得分为：， 第5件作品的标准化得分为：， 第6件作品的标准化得分为：， 第7件作品的标准化得分为：， 第8件作品的标准化得分为：， 第9件作品的标准化得分为：， 第10件作品的标准化得分为：， ∴第一名的是7，第二名的是2，第三名的是6， 故答案为：． 4．（2025·北京·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，和化简绝对值，掌握知识点，正确计算是解题的关键． 先计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，和计算负整数指数幂，再进行实数的混合运算即可． 【详解】解： ． 1．（2025·江苏·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键． 根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：实数的绝对值是， 故选：A． 2．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：8160亿用科学记数法表示为， 故选：A． 3．（2025·宁夏·中考真题）下列判断正确的是（    ） A．若点关于轴的对称点在第二象限，则 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征、中心投影的特点、平方根的定义以及垂线的性质，解题的关键是逐一分析每个选项所涉及的知识点，判断其正确性． 分别对各选项涉及的知识点进行分析：根据关于x轴对称点的坐标变化规律判断选项A；结合中心投影中物体与光源距离对影长的影响分析选项B；依据平方根的定义判断选项C；根据垂线的性质（强调“在同一平面内”的前提）判断选项D，进而选出正确选项． 【详解】解：选项点关于x轴的对称点坐标为．若对称点在第二象限，则横坐标，纵坐标，即，该选项正确． 选项夜晚走向路灯时，人与光源的距离逐渐减小，根据中心投影特点，影长应由长变短，而非由短变长，该选项错误． 选项的平方根是，并非只有2，该选项错误． 选项垂线的性质为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，选项中未强调“同一平面内”，表述不严谨，该选项错误． 故选：A． 4．（2025·湖北武汉·中考真题）在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是 ． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 【答案】液态氧 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据有理数比较大小的方法比较出四个物质凝固点的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴凝固点最低的物质是液态氧， 故答案为：液态氧． 5．（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，正方形的面积等于边长的平方，所以2的算术平方根即为所求． 【详解】解：已知一个正方形的面积为2，则其边长为． 故答案为： 6．（2025·江苏常州·中考真题）在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． (1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ； (2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，解题关键是掌握． （1）利用概率公式求解； （2）利用画树状图或列表法求概率． 【详解】（1）解：∵①；②0；③1；①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀， ∴从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是， 故答案为：； （2）画树状图，如图： 共6种情况，其中抽到的数与文字描述相符合的有2种， ∴抽到的数与文字描述相符合的概率． 7．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 【答案】(1) (2)，的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约万个； 预测我国2025年发明专利申请授权数万个 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意列式求解即可； （2）利用待定系数法求出满足的函数表达式，然后得到的实际意义，然后将代入表达式求解即可． 【详解】（1）解： ∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为； （2）解：将，代入得， ， 解得， ∴； 其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个； 当时，， ∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个． 8．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $