第七章 复数（单元自测·培优卷）高一数学人教A版必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一年级下册数学单元自测 第七章 复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（    ） A．，，使得 B．、，使得 C．，，都有 D．、，都有 3．已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 4．如果复数是纯虚数,则实数=   (    ) A． B． C． D． 5．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．记，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 8．已知为复平面的原点，非零复数，对应的点分别为，若，则（    ） A．共线 B．关于实轴对称 C．是等边三角形 D．是直角三角形 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设有下面四个命题，其中正确的有（   ） A．若，则 B．若虚数是方程的根，则也是方程的根 C．已知复数，，则的充要条件是 D．若复数，则， 10．设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 11．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（　　） A．z的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 13．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 14．设i是虚数单位，___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）计算： (1)； (2)． 16．（15分）设全集，集合，，且在复平面内的对应点位于第四象限. (1)求集合B； (2)当时，求； (3)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 17．（15分）已知复数，. (1)若，求； (2)若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 18．（17分）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 19．（17分）设关于的实系数一元二次方程两虚根为． (1)若，求的取值范围； (2)设在复平面上对应点为，为坐标原点，且为等腰直角三角形，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一年级下册数学单元自测 第七章复数（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 6 C D A D C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9 10 11 ABD ACD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-1或6 13.3+5i 14.-1-i 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.15分)0-台 (2)-1 【详解】(1)0+3-20+21--8+61-2-41 3-i 3-i =-10+2i_-10+213+)=-32-41 3-i(3-i03+i)10 =-16-2i,(6分) 55 -i+1+i=1-i1+i=2i-1.13分) (2) 0+i订+0-=2i-2i=2i 16.(15分)(1)B=-3,5 (2)AUB=(-3,+0),(gA)∩B=(-3,-2] (3)-0,-3] 【详解】(1)因为B={x∈Rz=(x+3)+(x-5)i},且z在复平面内对应点位于第四象限， 1/4 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [x+3>0 则可得x-5<0解得B=-3,5).(4分) (2)当m=-2时，可得A=(-2,+0),且B=-3,5), 得到AUB=(-3,+0）,uA=(-0,-2],uAnB=(-3,-2].(8分) (3)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B是A的子集， 即(-3,5（m,+0,故m≤-3 m的取值范围为-0，-3引.(15分) 17.15分)(0z=510 23: 【样10由想金和时中会1号名 所以1+1-1-2i2+i4-1 3325100则z2-3:5分) 510 (2)设复数z=xz,-yz2-2i=x1+2i)-y4-2i-2i=x-4y+(2x+2y-2)i, 因为复数x2,-z2-2i在复平面内对应点位于实轴上， 所以2x+2y-2=0,即x+y=1,则y=1-x 所以1y-1+=1.1+-之2 1x13 x 4 x 4 x44 x444 「1x 当且仅当x4,即x=2时，等号成立 x>0 所以！二的最小值是三15分) 4 18.(17分)(1)3 (2)-√2i 【详解】(1)由题意得z=m2-4m+3+(m-1)i, 若复数1为纯虚数，则有m2-4m+3=0,且m≠1，解得m=3.(5分) (2)方程x2-2ax+a2+1=0的判别式A=(-2a)-4(a2+1)=-4<0, 故有两共轭复数根，设z2=x+yi,则另一个根为，=x-yi, 2/4 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为2对应的点在第一象限，所以x>0,y>0, 由韦达定理得 3+22=2x=2a x=a 3石=r+2=a+1'解 y=1’且a>0, 所以有=V2+y2=a2+1=V5,解得a=2, 所以z,=√2+i, 则5i.点-A5-25-35..4分) z2V√2+i (2+i(2-i)3 19.(17分)(1)-2,0 a 【详解】(1)由已知得a、B互为共轭复数，设a=m+nim,neR,则B=m-ni, △=(3aj2-4x2a2-2a)<0 -16<a<0 (m+ni)(m-mi)=a-2a 则 ，可得 m2+n2=a2-2a, 2 2 又因为<2，即0<m+m<4,则0<。2,20<4， 综合可得-2<a<0,即ae(-2,0);(7分) (2)根据题意，A,B两点关于x轴对称，则0A=0B, B 又AOB为等腰直角三角形，所以∠AOB=90°， 所以Am,m),B(m,-m）,即a=m+mi,B=m-mi, 0+B=2m=-2 根据韦达定理可得 aB=2m2=a2-2a 2 3/4 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所（之，解a=0 4 5 所以a=8 5 (17分) 4/4 2025-2026学年高一年级下册数学单元自测 第七章 复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念求解. 【详解】因为的共轭复数为， 所以，所以， 故选：C 2．已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（    ） A．，，使得 B．、，使得 C．，，都有 D．、，都有 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】将“∃”与“∀”互换，“＝”与“≠”互换， 可得否定命题为：、，都有. 故选：D． 3．已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用求解. 【详解】，虚部为－1 故选：A. 4．如果复数是纯虚数,则实数=   (    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由纯虚数概念建立关系式求解即可. 【详解】由复数是纯虚数， 得，解得. 故选：C. 5．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】设，由，得， 即，得， 所以在复平面内对应的点为位于第四象限. 6．记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数相等可得，然后由复数模计算公式可得答案. 【详解】因， 则， 则. 7．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 【答案】B 【详解】因为，所以，解得． 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以． 8．已知为复平面的原点，非零复数，对应的点分别为，若，则（    ） A．共线 B．关于实轴对称 C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】D 【分析】依题意设出复数，根据，可得的关系，从而可将复数用表示，再判断各个选项即可. 【详解】设，且,不全为0，不全为0， 则，即， 可得， 故或， 即得或，故不关于实轴对称，即B错误； 则或, 当时，; 当时，， 故恒有，所以是直角三角形，故D正确； 故、、三点不共线且不是等边三角形，故A，C错误. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设有下面四个命题，其中正确的有（   ） A．若，则 B．若虚数是方程的根，则也是方程的根 C．已知复数，，则的充要条件是 D．若复数，则， 【答案】ABD 【分析】根据共轭复数的乘法的运算结果判断A的真假；解方程可判断B的真假；利用特例说明C错误；根据虚数不能比较大小判断D的真假. 【详解】对于A，若，设，则，所以A是真命题； 对于B，由，所以或. 由或. 所以若虚数（）是方程的根，则也一定是方程的一个根，所以B是真命题； 对于C，例如，，有，但，所以C是假命题； 对于D，若，因为虚数不能比较大小，所以必为实数，所以D是真命题． 故选：ABD 10．设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【分析】利用复数模的运算即可判断AB，利用复数的几何意义即可判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为当时，满足，故B错误； 对于C，因点的坐标为，则，，则对应的点在第三象限，故C正确； 对于D，由，可知点的集合所构成的图形为圆环,其面积为，故D正确. 故选：ACD. 11．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（　　） A．z的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BD 【分析】先将的分母实数化，再求出的共轭复数，虚部，模长，点的坐标. 【详解】， ，故选项A错误；的虚部为，故选项B正确； ，故选项C错误； 在复平面内对应的点为，在第一象限，故选项D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【答案】或. 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由复数表示的点的坐标为： ， 又该复数对应的点在虚轴上， 所以，解得或， 故答案为：或. 13．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合相等向量的意义求解. 【详解】由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则， 设，则，由， 得，则，解得， 所以点D表示的复数为. 故答案为： 14．设i是虚数单位，___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数除法及乘方运算求解. 【详解】原式. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数的四则运算即可直接求解； （2）由复数的四则运算即可直接求解. 【详解】（1） ； （2）. 16．（15分）设全集，集合，，且在复平面内的对应点位于第四象限. (1)求集合B； (2)当时，求； (3)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题意与第四象限内点的特征建立不等式组，求解即可集合； （2）求出集合，再由集合的交并补运算求解即可； （3）利用必要条件的性质建立不等式组，求解即得. 【详解】（1）因为，且在复平面内对应点位于第四象限， 则可得，解得. （2）当时，可得，且， 得到. （3）若“”是“”的必要条件，则是的子集， 即，故. 的取值范围为. 17．（15分）已知复数，. (1)若，求； (2)若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用复数的除法、加法运算求； （2）根据已知得，进而有，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由题意得，， 所以，则； （2）设复数， 因为复数在复平面内对应点位于实轴上， 所以，即，则 所以， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值是. 18．（17分）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由复数的类型可得的实部为0，虚部不为0，以此求解即可； （2）利用实系数二次方程根与系数的关系及模长条件，求出，再代入所求式子化简即可. 【详解】（1）由题意得， 若复数为纯虚数，则有，且，解得. （2）方程的判别式， 故有两共轭复数根，设，则另一个根为， 因为对应的点在第一象限，所以， 由韦达定理得，解得，且， 所以有，解得， 所以， 则. 19．（17分）设关于的实系数一元二次方程两虚根为． (1)若，求的取值范围； (2)设在复平面上对应点为，为坐标原点，且为等腰直角三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得､互为共轭复数，根据，再由模的计算公式可得的取值范围； （2）根据题意，，则，，根据韦达定理可得，可解问题. 【详解】（1）由已知得､互为共轭复数，设，则， 则，可得， 又因为，即，则， 综合可得，即； （2）根据题意，两点关于轴对称，则，    又为等腰直角三角形，所以， 所以，即，， 根据韦达定理可得， 所以，解得或（舍）， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级下册数学单元自测 第七章 复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（    ） A．，，使得 B．、，使得 C．，，都有 D．、，都有 3．已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 4．如果复数是纯虚数,则实数=   (    ) A． B． C． D． 5．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．记，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 8．已知为复平面的原点，非零复数，对应的点分别为，若，则（    ） A．共线 B．关于实轴对称 C．是等边三角形 D．是直角三角形 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设有下面四个命题，其中正确的有（   ） A．若，则 B．若虚数是方程的根，则也是方程的根 C．已知复数，，则的充要条件是 D．若复数，则， 10．设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 11．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（　　） A．z的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 13．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 14．设i是虚数单位，___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）计算： (1)； (2)． 16．（15分）设全集，集合，，且在复平面内的对应点位于第四象限. (1)求集合B； (2)当时，求； (3)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 17．（15分）已知复数，. (1)若，求； (2)若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 18．（17分）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 19．（17分）设关于的实系数一元二次方程两虚根为． (1)若，求的取值范围； (2)设在复平面上对应点为，为坐标原点，且为等腰直角三角形，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $