培优01 复数全章14种题型复习（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

学科网（北京）股份有限公司 培优01 复数 题型1 复数的概念 判断与复数有关的命题是否正确的方法 （1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照"先特殊，后一般；先否定，后肯定"的方法进行解答. （2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部. 1．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)已知，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由的运算性质可得答案. 【详解】当n为偶数时，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的充分条件； 当n为奇数时，，则时，n为偶数，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的必要条件. 综上，“n为偶数”是“”（是虚数单位）的充要条件. 故选：C 2．(23-24高一下·吉林通化梅河口博文学校·期中)（多选）下列命题错误的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用复数不等比大小可判断A选项；利用虚数单位的性质可判断B选项；利用纯虚数的概念可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，复数不能比大小，故A错误； 对于B选项，因为，故，故B错误； 对于C选项，因为，所以是纯虚数，故C正确； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：ABD. 3．(23-24高一下·四川达州铁路中学·期中)（多选）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD 4．(23-24高一下·江苏泰州兴化·期中)（多选）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【答案】ABD 【分析】A.由判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断. 【详解】A.当时，为实数，故错误； B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确； D.若，则是实数，故错误； 故选：ABD 题型2 复数的实部与虚部 判断复数a+bi的实部、虚部的关键 （1）看形式：看复数的表示是否是a＋bi的形式. （2）看属性：看a，b是否都是实数. 1．(24-25高一下·河北衡水、廊坊等2地NT20名校·期末)复数的虚部是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据虚部的定义求解即可. 【详解】由复数的定义可知复数的虚部为. 故选：C. 2．(24-25高一下·安徽合肥第一中学·期末)若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为（    ） A． B．1 C．2 D．3i 【答案】B 【分析】首先对复数进行化简，再根据复数虚部的定义即可得到答案. 【详解】由题意得，， 则的虚部为， 故选：. 3．(23-24高一下·广东湛江·期末)以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的虚部，与的实部，即可得解. 【详解】复数的虚部为，又， 则的实部为， 所以新复数为. 故选：C 4．(23-24高一下·江苏镇江中学·期中)已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可知，结合倍角公式解方程即可. 【详解】由题意，可知， 所以， 解得或， 因为，所以或或. 故选：D 题型3 复数相等 复数相等的定义是求复数的值以及在复数集中解方程的重要依据．一般地，不全是实数的两个复数只能说相等或不相等，而不能进行大小比较．如与就不能比较大小． 1．(24-25高一下·湖南郴州·期末)已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由复数相等的条件即可求解. 【详解】因为， 所以，. 故选：B. 2．(22-23高一下·陕西西安·月考)（多选）对于复数，下列结论错误的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D． 【答案】AB 【分析】根据复数的概念判断AC，根据复数相等判断B，根据虚数单位的定义判断D. 【详解】对于A：当，，当时为实数，A错误； 对于B：若，则，B错误； 对于C：若，则为实数，C正确； 对于D：，D正确. 故选：AB. 3．(24-25高一下·广西百色·期末)已知，则______. 【答案】3 【分析】根据复数相等的定义列式求解即可. 【详解】因为， 则，解得. 故答案为：3. 4．(24-25高一下·福建莆田莆田第八中学·期中)定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为________ 【答案】 【分析】利用定义运算可得，再利用复数相等的概念即可求出. 【详解】由题意可得，， 则， 所以，解得， 故. 故答案为： 题型4 复数的类型求参数 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数， 当且仅当时，z是实数；当时，z是虚数； 当且时，z是纯虚数； 当且仅当时，z的值等于实数0． 1．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)若复数与都是纯虚数，则复数______. 【答案】 【分析】首先设出复数的一般形式，再根据纯虚数的定义得到实部和虚部的方程，进而求解. 【详解】复数为纯虚数，设，则， 又都是纯虚数，，解得， . 故答案为：. 2．(24-25高一下·广西南宁马山县六校联盟·期中)若复数，则实数的值为______. 【答案】2 【分析】根据给定条件，可得该复数是实数，再建立方程求解参数即可. 【详解】因为复数， 且只能是实数才能比较大小，所以为实数， 得到，解得，即实数的值为. 故答案为：2 3．(24-25高一下·吉林长春第二实验中学·期中)复数为纯虚数，则实数a的值为________. 【答案】1 【分析】由，结合纯虚数的概念即可求解. 【详解】由，可得，为纯虚数， 所以. 故答案为：1 4．(24-25高一下·广东广东五校联考·)已知为纯虚数，则实数______． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式求解. 【详解】由为纯虚数，得，所以. 故答案为：3 题型5 复数的坐标表示 复平面的有关概念介绍 1、复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面. 2、实轴：在复平面内，×轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴. 3、虚轴：y轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴. 1．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)在复平面内，复数z对应的向量，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的几何意义与共轭复数的概念即可求解. 【详解】由题意，则. 故选：B. 2．(24-25高一下·浙江A9协作体·期中)已知复数，则z在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求出对应的点即可. 【详解】复数对应的点为， 故选：B. 3．(23-24高一下·湖南株洲渌口区第三中学·期中)复数在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义直接得出结果. 【详解】由可得其在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为. 故选：B 4．(22-23高一下·北京通州区·期末)已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 【答案】D 【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确， 若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误， 故选：D. 题型6 坐标轴上的复数 复数的几何意义包含两种情况 1．复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可 把复数问题转化为平面内点的坐标问题. 2.复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题. 1．(24-25高一下·甘肃临夏州·期末)若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先求得复数的共轭复数，再由复数的几何意义确定对应点所在象限即可. 【详解】由复数可得， 复数对应的点的坐标为，在第三象限. 故选：C. 2．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)已知复数对应的点的坐标为，则的虚部为________. 【答案】 【分析】根据复数几何意义得，再利用复数的虚部概念即可得到答案. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以，则其虚部为. 故答案为： 3．(24-25高一下·山西阳泉第一中学校·期中)已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）复数表示实数，只须，求解即可； （2）复数对应的点在第一象限，只须，解不等式组即可. 【详解】（1）由，可得，解得或； （2）由对应的点在第一象限，可得， 解得且， 所以的取值范围为. 4．(22-23高一下·陕西西安第六十六中学·期中)在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案； （2）当复数在第三象限时，其实部小于0，虚部小于0，列式即可解出答案； 【详解】（1）复数的实部为， 虚部为． 由题意得，解得或； （2）由题意，得，解得. 题型7 共轭复数 (1)当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身． (2)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 1．(25-26高一上·广东广州三校·期末)若复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算法则与共轭复数的定义求出复数和共轭复数，结合复数的几何意义即可判断. 【详解】由，得，所以 ； 所以，所以在复平面内对应的点，所以在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 2．(23-24高一下·福建福州第四十中学·期末)已知，则________． 【答案】/ 【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的定义即可得解. 【详解】由， 得， 所以. 故答案为：. 3．(23-24高一下·黑龙江鸡西·期末)若复数，则______. 【答案】 【分析】利用复数的乘方运算及乘法运算求出，进而求出. 【详解】复数，所以. 故答案为： 4．(23-24高一下·山东淄博实验中学·期中)复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________. 【答案】1 【分析】根据条件等式化解复数，再求其共轭复数及其虚部. 【详解】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 题型8 复数的模 复数模长公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 1．(24-25高一下·河南郑州中牟县锐瀚高级中学·期中)已知，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数模的定义求解即得. 【详解】. 故选：A 2．(24-25高一下·广东东莞五校·)已知复数满足，当的虚部取最小值时，_____ 【答案】 【分析】设，利用复数模长建立方程并求出的最小值，再求出的值即可求出复数. 【详解】设，则， 依题意，，即， 由，得，解得， 当的虚部取最小值时，即当时，则，解得， 所以. 故答案为： 3．(24-25高一下·海南海口中学·期中)已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数模长的计算可得； （2）由复数相等列出方程，得到的表达式，结合换元法，由二次函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）若，则，即， 解得. （2）由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中， 当时，取得最小值，， 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 4．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1). (2). (3)或. 【分析】（1）先算出表达式，实数虚部是，让虚部对应式子为求. （2）已知形式，按条件列不等式组，分别解不等式，取交集得范围. （3）由模的值列等式，两边平方去掉根号，展开合并得方程，因式分解求解. 【详解】（1）， 因为是实数，所以，解得. （2）因为，所以 解得，即的取值范围为. （3）因为，所以， 化简得， 解得或. 题型9 复数与向量 1.复数z=a+bi（a，b∈R）可用复平面内的点Z（a，b）表示，复平面内点Z的坐标是（a，b），而不是（a，bi）. 2.为了方便，我们常把复数z=a+bi（a，b∈R）说成点Z（a，b）或说成向量，并且规定相等向量表示同一复数. 1．(22-23高一下·河南中牟县第一高级中学·月考)复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 2．(24-25高一下·山东泰安第一中学·月考)如图，复数对应向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图示表示出复数，结合已知条件算出的值，进一步得到向量和向量的坐标表示，最后使用投影向量公式即可算出答案. 【详解】，， ，可解， ，，向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 3．(23-24高一下·四川乐山第一中学校·期中)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______． 【答案】 【分析】运用复数几何意义，结合平面向量减法运算可解. 【详解】复数对应的向量分别是,则 .则向量对应的复数为. 故答案为：. 4．(24-25高一下·甘肃会宁县第一中学·期末)若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______. 【答案】1+i 【分析】，代入条件求解即可. 【详解】由已知. 故答案为： 题型10 复数与几何图形 利用复数解决几何问题的主要方法 ‌将几何图形中的关键点（如顶点、交点）用复数表示。几何条件（如共线、垂直、中点、距离相等） 1．(24-25高一下·河北沧州泊头第一中学·月考)已知复数，则复平面内满足的点的集合围成的图形面积为，则实数（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及圆的面积公式，即可求解． 【详解】因为复平面内满足的点的集合围成的图形是以圆心，为半径的圆，且面积为， 所以，即或（舍）， 故选：B． 2．(24-25高一下·湖北云学联盟·月考)（多选）下列有关复数的结论正确的是（    ） A． B．当时，复数是纯虚数 C．是关于x的方程的一个根 D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为 【答案】BCD 【分析】由复数的有关概念即可判断A；由复数是纯虚数可得，解之即可判断B；由根据系数的关系结合一元二次方程的两根互为共轭复数的结论即可得p，q的值，则C可判断；由复数的几何意义，结合数形结合的方法即可求得D. 【详解】因为虚数不能比较大小，所以A错误； 因为， 所以复数，为纯虚数， 所以当时，复数是纯虚数，故B正确； 因为， 所以是关于x的方程的一个根，故C正确 若复数满足， 由复数的几何意义可知不等式表示的范围为圆环，如下图所示： 则复数对应的点所构成的图形面积为，故D正确； 故选：BCD 3．(24-25高一下·广东惠州实验中学等校·)（多选）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若复数 是纯虚数，其中，则； B．若，则的充要条件是； C．方程 的复数根是； D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为. 【答案】ABC 【分析】根据复数的定义，列出方程组，求得的值，可判定A正确；根据复数相等充要条件，可判定B正确；根据复数方程的求解，可得判定C正确；根据复数的几何意义，以及圆的面积公式，可判定D不正确. 【详解】对于A中，复数 是纯虚数， 则满足，解得，所以A正确； 对于B中， 若，由，可得， 所以的充要条件是，所以B正确； 对于C中，设是方程的根， 则， 所以，解得或， 所以方程的根为或，所以C正确； 对于D中，若复数满足， 在复平面内表示以原点为圆心，半径分别为构成的圆环， 其面积为，所以D不正确. 故选：ABC. 4．(23-24高一下·福建厦门杏南中学·月考)（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．复数的虚部为 B．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为 C．若为虚数单位，为正整数，则 D．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限 【答案】BC 【分析】利用复数的定义，运算法则，几何意义一一判定选项即可. 【详解】由复数的概念可知复数的虚部为，故A错误； 若，则复平面内对应的点位于半径为1的圆上或内部，其面积为，故B正确； 根据复数的运算法则知，所以，故C正确； 易知复数的共轭复数为，其对应点为，显然位于第三象限，故D错误. 故选：BC 题型11 复数的四则运算 复数的加、减法运算 （1）复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点； （2）复数的加、减运算结果仍是复数； （3）对应复数的加法（或减法）可以推广到多个复数相加（或相减）的混合运算； （4）实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用. 1．(24-25高一下·长春实验中学·期中)已知复数，则（ ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据复数的运算法计算，再利用的整数次幂的周期性求解. 【详解】复数， ，， 所以. 故选：A 2．(24-25高一下·河北秦皇岛部分学校·期末)（多选）已知复数，则（    ） A． B． C． D．的虚部为1 【答案】ACD 【分析】根据复数的运算求解，根据共轭复数，复数的模长以及虚部的概念逐项分析判断. 【详解】因为， 所以，的虚部为1，，，故ACD正确，B错误； 故选：ACD. 3．(24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的加法计算结合复数的类型计算求参，最后结合乘法计算求解； （2）应用除法及乘法计算结合复数类型列式求参即可. 【详解】（1）， 因为是实数，所以有，解得， 因此 （2）， 因为是纯虚数，所以有 解得，所以． 4．(24-25高一下·河南郑州中牟县锐瀚高级中学·期中)设复数． (1)若是实数，求m的值； (2)若，求； (3)若为实数，求． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）求出的表达形式，根据其是实数，即可求得答案； （2）根据复数的乘法运算，即可得答案； （3）由为实数，求出m的值，根据复数的除法运算求出，结合模长的计算公式即可得答案. 【详解】（1）由题意得， 由于是实数，故； （2）当时，； （3）若为实数，则， 故， 故. 题型12 复数运算的相关辨析 1.确认复数均为标准代数形式 (a+bi)。 2.加减法：直接合并实部与虚部。 3.乘法：展开后化简，注意 (i^2 = -1)。 4.除法：分子分母同乘分母的共轭复数，化简为 (A+Bi) 形式。 1．(23-24高一下·重庆巴蜀中学校·期中)（多选）已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC. 【详解】对于A，取，，而，A错误； 对于B，设， ，由， 得，，B正确； 对于C，由及，设，， ，解得， 则，C正确； 对于D，取，，而，D错误. 故选：BC 2．(24-25高一下·河北邢台卓越联盟·期中)（多选）已知复数，则（    ） A． B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为 C． D．若，则的最大值为3 【答案】ACD 【分析】根据复数的运算法则、复数的模、复数的几何意义和向量夹角的计算等知识，分别对各选项进行计算分析判断. 【详解】因为，所以， ，， 所以，A选项正确； ，，C选项正确； 对应向量，对应向量，，故夹角不是，B选项错误； 即，在复平面上所对应点为到所对应点的距离为2的点，即圆心为，半径为2的圆，所以当时，的最大值为3，D选项正确； 故选：ACD. 3．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)（多选）已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则不可能是纯虚数 D．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为2π 【答案】ABC 【分析】对于A，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解，对于B，结合复数的概念求解即可，对于C，结合纯虚数的定义，即可求解，对于D，结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】对于A，设，，则， ，，故A正确； 对于B，由于虚数不能比大小，又，可得，都是实数，可得，故B正确， 对于C，当为纯虚数时， 则，无解， 故当，则不可能是纯虚数，故C正确， 对于D，，则在复平面内对应的点的集合确定的图形为以圆心，为半径的圆， 以及圆的内部，其面积为，故D错误． 故选：ABC． 4．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)（多选）已知为复数，则下列说法一定正确的是（   ） A．和在复平面上所对应的点关于实轴对称 B． C． D．若为纯虚数，则为实数 【答案】ACD 【分析】设，根据共轭复数的概念，复数的几何意义，复数的四则运算以及模的运算即可逐一判断各选项. 【详解】设. 对于A，因，则和在复平面上所对应的点分别为和，显然关于实轴对称，故A正确； 对于B，，，因，故，即B错误； 对于C，，，故C正确；     对于D，因为纯虚数，故可设，则，故D正确. 故选：ACD. 题型13 复数方程问题 在复数范围内，实数系方程ax2+bx+c=0的求解方法 （1） 求根公式法 ①时， ②<0时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m＋ni（m，n∈R），将此代入方程 ax²＋bx＋c=0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解. 1．(25-26高一上·四川绵阳南山中学·期中)若 是关于x的实系数方程的一个复数根，则________． 【答案】 【分析】将 代入实系数方程，结合复数运算知识可得答案. 【详解】因 是关于x的实系数方程的一个复数根， 则，则. 故答案为： 2．(24-25高一下·广东卓越教育发展联盟学校·)在复数范围内，方程的解为_____ 【答案】 【分析】利用配方法在复数范围内解方程即可. 【详解】由，则， 则，所以，即. 故答案为：. 3．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)复数，，．已知为纯虚数． (1)求m和； (2)复数是方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据复数减法以及纯虚数的概念，建立方程与不等式，结合模长公式，可得答案； （2）根据复数的除法以及乘方，由方程的解以及复数相等，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由，且为纯虚数，则，解得， 所以，故. （2）由，则， 整理可得，可得，解得. 4．(24-25高一下·广东东莞第十一中学·)已知复数，复数在复平面内对应的点为. (1)若复数是关于x的方程的一个根，m，，求的值； (2)若复数z满足，求复数z的共轭复数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数几何意义求得，代入方程后利用复数相等列方程求得m，，即可求解. （2）利用复数的运算法则求得z，再利用共轭复数的概念求解即可. 【详解】（1）由复数的几何意义得， 因为复数是关于x的方程的一个根， 所以，所以， 则，解得，，所以. （2）， 所以. 题型14 复数的三角形式与运算 将复数的三角形式化为复数代数形式的 方法是：复数三角形式z=r（cos A＋isin A），代数形式为z=x+yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x=rcos A，y=rsin A. 1．(23-24高一下·湖南岳阳岳阳县第一中学·期末)欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求得，然后结合复数模的公式以及三角函数性质即可得解. 【详解】由题意， ， 因为的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围为. 故选：B. 2．(23-24高一下·浙江G5联盟·期中)法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意化简即可得解. 【详解】根据题意，由， 可得 . 故虚部为. 故选：C 3．(24-25高一下·广东普宁国贤学校等校·期中)欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则的实部为_____． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出复数的代数形式即可得解. 【详解】依题意， ， 所以的实部为． 故答案为： 4．(22-23高一下·湖南邵阳邵东第四中学·期中)已知复数，，求当满足什么条件时， (1)在复平面内对应的点关于实轴对称； (2). 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）由题意可得，从而可求得答案， （2）由题意得，化简可得答案. 【详解】（1）因为在复平面内，与对应的点关于实轴对称， 所以，即， 解得 ， 所以 . （2）由，得，即，   整理得，所以 . 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网（北京）股份有限公司 培优01 复数 题型1 复数的概念 判断与复数有关的命题是否正确的方法 （1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照"先特殊，后一般；先否定，后肯定"的方法进行解答. （2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部. 1．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)已知，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(23-24高一下·吉林通化梅河口博文学校·期中)（多选）下列命题错误的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 3．(23-24高一下·四川达州铁路中学·期中)（多选）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 4．(23-24高一下·江苏泰州兴化·期中)（多选）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 题型2 复数的实部与虚部 判断复数a+bi的实部、虚部的关键 （1）看形式：看复数的表示是否是a＋bi的形式. （2）看属性：看a，b是否都是实数. 1．(24-25高一下·河北衡水、廊坊等2地NT20名校·期末)复数的虚部是（    ） A．2 B． C． D． 2．(24-25高一下·安徽合肥第一中学·期末)若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为（    ） A． B．1 C．2 D．3i 3．(23-24高一下·广东湛江·期末)以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一下·江苏镇江中学·期中)已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 题型3 复数相等 复数相等的定义是求复数的值以及在复数集中解方程的重要依据．一般地，不全是实数的两个复数只能说相等或不相等，而不能进行大小比较．如与就不能比较大小． 1．(24-25高一下·湖南郴州·期末)已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．(22-23高一下·陕西西安·月考)（多选）对于复数，下列结论错误的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D． 3．(24-25高一下·广西百色·期末)已知，则______. 4．(24-25高一下·福建莆田莆田第八中学·期中)定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为________ 题型4 复数的类型求参数 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数， 当且仅当时，z是实数；当时，z是虚数； 当且时，z是纯虚数； 当且仅当时，z的值等于实数0． 1．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)若复数与都是纯虚数，则复数______. 2．(24-25高一下·广西南宁马山县六校联盟·期中)若复数，则实数的值为______. 3．(24-25高一下·吉林长春第二实验中学·期中)复数为纯虚数，则实数a的值为________. 4．(24-25高一下·广东广东五校联考·)已知为纯虚数，则实数______． 题型5 复数的坐标表示 复平面的有关概念介绍 1、复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面. 2、实轴：在复平面内，×轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴. 3、虚轴：y轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴. 1．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)在复平面内，复数z对应的向量，则（    ）． A． B． C． D． 2．(24-25高一下·浙江A9协作体·期中)已知复数，则z在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一下·湖南株洲渌口区第三中学·期中)复数在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．(22-23高一下·北京通州区·期末)已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 题型6 坐标轴上的复数 复数的几何意义包含两种情况 1．复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可 把复数问题转化为平面内点的坐标问题. 2.复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题. 1．(24-25高一下·甘肃临夏州·期末)若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)已知复数对应的点的坐标为，则的虚部为________. 3．(24-25高一下·山西阳泉第一中学校·期中)已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 4．(22-23高一下·陕西西安第六十六中学·期中)在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 题型7 共轭复数 (1)当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身． (2)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 1．(25-26高一上·广东广州三校·期末)若复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(23-24高一下·福建福州第四十中学·期末)已知，则________． 3．(23-24高一下·黑龙江鸡西·期末)若复数，则______. 4．(23-24高一下·山东淄博实验中学·期中)复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________. 题型8 复数的模 复数模长公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 1．(24-25高一下·河南郑州中牟县锐瀚高级中学·期中)已知，则（   ） A．5 B． C． D． 2．(24-25高一下·广东东莞五校·)已知复数满足，当的虚部取最小值时，_____ 3．(24-25高一下·海南海口中学·期中)已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 4．(24-25高一下·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 题型9 复数与向量 1.复数z=a+bi（a，b∈R）可用复平面内的点Z（a，b）表示，复平面内点Z的坐标是（a，b），而不是（a，bi）. 2.为了方便，我们常把复数z=a+bi（a，b∈R）说成点Z（a，b）或说成向量，并且规定相等向量表示同一复数. 1．(22-23高一下·河南中牟县第一高级中学·月考)复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·山东泰安第一中学·月考)如图，复数对应向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一下·四川乐山第一中学校·期中)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______． 4．(24-25高一下·甘肃会宁县第一中学·期末)若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______. 题型10 复数与几何图形 利用复数解决几何问题的主要方法 ‌将几何图形中的关键点（如顶点、交点）用复数表示。几何条件（如共线、垂直、中点、距离相等） 1．(24-25高一下·河北沧州泊头第一中学·月考)已知复数，则复平面内满足的点的集合围成的图形面积为，则实数（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．(24-25高一下·湖北云学联盟·月考)（多选）下列有关复数的结论正确的是（    ） A． B．当时，复数是纯虚数 C．是关于x的方程的一个根 D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为 3．(24-25高一下·广东惠州实验中学等校·)（多选）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若复数 是纯虚数，其中，则； B．若，则的充要条件是； C．方程 的复数根是； D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为. 4．(23-24高一下·福建厦门杏南中学·月考)（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．复数的虚部为 B．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为 C．若为虚数单位，为正整数，则 D．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限 题型11 复数的四则运算 复数的加、减法运算 （1）复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点； （2）复数的加、减运算结果仍是复数； （3）对应复数的加法（或减法）可以推广到多个复数相加（或相减）的混合运算； （4）实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用. 1．(24-25高一下·长春实验中学·期中)已知复数，则（ ） A． B． C． D．0 2．(24-25高一下·河北秦皇岛部分学校·期末)（多选）已知复数，则（    ） A． B． C． D．的虚部为1 3．(24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求． 4．(24-25高一下·河南郑州中牟县锐瀚高级中学·期中)设复数． (1)若是实数，求m的值； (2)若，求； (3)若为实数，求． 题型12 复数运算的相关辨析 1.确认复数均为标准代数形式 (a+bi)。 2.加减法：直接合并实部与虚部。 3.乘法：展开后化简，注意 (i^2 = -1)。 4.除法：分子分母同乘分母的共轭复数，化简为 (A+Bi) 形式。 1．(23-24高一下·重庆巴蜀中学校·期中)（多选）已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．(24-25高一下·河北邢台卓越联盟·期中)（多选）已知复数，则（    ） A． B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为 C． D．若，则的最大值为3 3．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)（多选）已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则不可能是纯虚数 D．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为2π 4．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)（多选）已知为复数，则下列说法一定正确的是（   ） A．和在复平面上所对应的点关于实轴对称 B． C． D．若为纯虚数，则为实数 题型13 复数方程问题 在复数范围内，实数系方程ax2+bx+c=0的求解方法 （1） 求根公式法 ①时， ②<0时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m＋ni（m，n∈R），将此代入方程 ax²＋bx＋c=0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解. 1．(25-26高一上·四川绵阳南山中学·期中)若 是关于x的实系数方程的一个复数根，则________． 2．(24-25高一下·广东卓越教育发展联盟学校·)在复数范围内，方程的解为_____ 3．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)复数，，．已知为纯虚数． (1)求m和； (2)复数是方程的一个根，求实数p，q的值． 4．(24-25高一下·广东东莞第十一中学·)已知复数，复数在复平面内对应的点为. (1)若复数是关于x的方程的一个根，m，，求的值； (2)若复数z满足，求复数z的共轭复数. 题型14 复数的三角形式与运算 将复数的三角形式化为复数代数形式的 方法是：复数三角形式z=r（cos A＋isin A），代数形式为z=x+yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x=rcos A，y=rsin A. 1．(23-24高一下·湖南岳阳岳阳县第一中学·期末)欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一下·浙江G5联盟·期中)法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·广东普宁国贤学校等校·期中)欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则的实部为_____． 4．(22-23高一下·湖南邵阳邵东第四中学·期中)已知复数，，求当满足什么条件时， (1)在复平面内对应的点关于实轴对称； (2). 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $