第二十章 一次函数（知识清单）数学新教材冀教版八年级下册

第二十章 一次函数 一、一次函数的定义 1. 一般形式 形如（ 为常数，且 ）的函数，叫做一次函数。 2. 正比例函数（特殊的一次函数） 当时，一次函数 变为 （），叫做正比例函数。 3. 判定条件 自变量 x 的次数为 1。 一次项系数 。 常数项 b 可以为任意实数。 二、一次函数的图像与性质 1. 图像特征 一次函数 的图像是一条直线，简称 “直线 ”。 2. 图像画法（两点法） 找两个关键点：与 y 轴交点 ，与 x 轴交点 。 过这两点画直线即可。 3. k、b对图像与性质的影响 （1）k 的作用（斜率） 增减性： ：y 随 x 的增大而增大（直线从左到右上升）。 ：y 随 x 的增大而减小（直线从左到右下降）。 倾斜程度： 越大，直线越陡； 越小，直线越平缓。 （2）b 的作用（截距） 决定直线与 y 轴的交点坐标：。 ：直线与 y 轴交于正半轴。 ：直线过原点（正比例函数）。 ：直线与 y 轴交于负半轴。 4. 直线经过的象限（口诀） k 的符号 b 的符号 经过象限 k>0 b>0 一、二、三 k>0 b<0 一、三、四 k<0 b>0 一、二、四 k<0 b<0 二、三、四 k>0 b=0 一、三（过原点） k<0 b=0 二、四（过原点） 三、求一次函数的解析式（待定系数法） 1. 步骤 设：设函数解析式为 。 代：将已知点的坐标代入解析式，得到关于的方程组。 解：解方程组，求出的值。 写：将代回，写出函数解析式。 四、一次函数与方程、不等式的关系 1. 与一元一次方程 一次函数 中，当 时，，解得的 值就是直线与 轴交点的横坐标。 2. 与一元一次不等式 ：直线 在 轴上方部分对应的 的取值范围。 ：直线 在 轴下方部分对应的 的取值范围。 3. 与二元一次方程组 两个一次函数与 图像的交点坐标，就是方程组的解。 五、一次函数的实际应用 1. 解题步骤 分析题意，找出变量关系。 设出函数解析式 。 根据已知条件求。 利用函数性质解决实际问题（如求最值、取值范围等）。 2. 常见类型 行程问题（路程、速度、时间）。 工程问题（工作量、效率、时间）。 利润问题（售价、成本、销量）。 方案选择问题（比较不同函数的优劣）。 一、概念判定类易错点 易错点：混淆一次函数、正比例函数、常数函数的判定 错误表现： 认为形如 的式子都是一次函数，忽略 前提； 把常数函数 、 当作一次函数； 判定正比例函数时，漏看 或自变量次数不为1。 错因剖析：死记解析式形式，忽视一次函数“自变量次数为1、一次项系数不为0”的核心限定。 正确结论： 一次函数：解析式为 （ 为常数，），自变量 次数为1，常数项 可取任意实数； 正比例函数：特殊一次函数，满足 （ 为常数，），即 的一次函数，必过原点； 常数函数：（）不是一次函数， 不属于函数（不满足“一个 对应唯一 ”）。 二、图像与性质类易错点（混淆符号影响） 易错点：混淆的几何意义，判断图像象限出错 错误表现： 只看k符号判断象限，忽略b的截距作用； k>0时误以为直线必过一、二、三象限，k<0时误以为必过二、三、四象限； 分不清大小与直线倾斜程度的关系。 错因剖析：割裂k（斜率）和b（截距）的作用，单独判断象限，未结合两者符号综合分析。 正确结论： k的作用：决定增减性和倾斜方向 ：y随x增大而增大，直线从左到右上升； ：y随x增大而减小，直线从左到右下降； 越大，直线越陡峭，越小，直线越平缓。 b的作用：决定直线与y轴交点 ：交y轴正半轴；：过原点；：交y轴负半轴。 易错点：混淆直线与坐标轴交点的求法 错误表现：求与x轴交点时代入，求与y轴交点时代入，坐标横纵坐标写反。 错因剖析：坐标轴交点特征记忆混乱，x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0。 正确结论： 直线与y轴交点：令，得，坐标为； 直线与x轴交点：令，解方程得，坐标为。 三、解析式求解类易错点（待定系数法失误） 易错点：待定系数法设解析式出错，代入坐标失误 错误表现： 正比例函数误设为，多带常数项b； 代入点坐标时，横纵坐标颠倒代入解析式； 解二元一次方程组计算错误，导致k、b求值错误。 错因剖析：审题不清，未区分一次函数和正比例函数；坐标对应关系混乱，计算粗心。 正确结论：待定系数法标准步骤 设：一次函数设，正比例函数直接设； 代：点代入解析式，横坐标换x，纵坐标换y，列方程/方程组； 解：精准解方程组，求出k、b； 写：回代k、b，写出完整解析式。 易错点：忽略自变量取值范围，解析式书写不完整 错误表现：求出解析式后，不考虑实际意义或题目限定，直接写全体实数，导致取值范围错误。 错因剖析：重求解轻定义域，忽视实际问题中自变量的非负性、整数性等限制。 正确结论：解析式必须搭配自变量取值范围： 纯代数表达式：无特殊限定则x取全体实数； 实际问题：时间、长度、数量、金额等必须非负，部分场景需为整数，结合题意限定范围。 四、方程、不等式关联类易错点 易错点：一次函数与一元一次不等式解集混淆 错误表现： 误以为是x轴下方对应的x范围； 根据图像写解集时，端点值是否取等号判断失误。 错因剖析：函数值正负与图像位置对应关系颠倒，忽略不等式等号含义。 正确结论： ：直线在x轴上方部分对应的x取值范围（不含交点）； ：直线在x轴下方部分对应的x取值范围（不含交点）； / ：包含x轴交点横坐标，解集带等号。 易错点：两直线交点与方程组解的关系混淆 错误表现：认为交点纵坐标是x的解，横坐标是y的解，或直接把交点坐标当作方程组的解。 错因剖析：函数图像与方程解的对应关系理解不透。 正确结论：两个一次函数和的交点坐标，就是方程组的解，横坐标对应x，纵坐标对应y。 五、实际应用类易错点（审题与建模失误） 易错点：变量关系梳理错误，建模偏差 错误表现： 找不准自变量和因变量，等量关系列错，解析式建模失误，例如行程问题混淆速度、路程、时间关系。 错因剖析：未读懂题意，未梳理清楚数量关系，盲目列解析式。 正确结论：实际应用建模三步走 1. 确定两个变量，明确谁是自变量x，谁是因变量y； 2. 挖掘题目等量关系（总价=单价×数量、路程=速度×时间、利润=收入-成本等）； 3. 转化为形式，验证，标注自变量范围。 易错点：方案选择/最值问题，忽略函数增减性 错误表现：求最值时盲目代入端点值，不结合k的符号判断增减性，导致最优方案选错。 错因剖析：忘记一次函数单调性，不会用性质求最值。 正确结论： 时，y随x增大而增大，x取最小值时y最小，x取最大值时y最大； 时，y随x增大而减小，x取最小值时y最大，x取最大值时y最小； 最值一定在自变量取值范围的端点处取得，先判断单调性再计算。 1．在下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A．（k、b是常数） B． C． D． 【答案】B 【易错】A项忽略 【详解】解：A、当时，不是一次函数； B、化为，是一次函数； C、分母中含有自变量，不是一次函数； D、自变量次数不是一次，不是一次函数； 故选：B． 2．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【易错】C项忽略 【详解】解：A：，x的最高次数为2，不符合一次函数定义； B：，，，符合一次函数定义； C：，k未明确不等于0，故不一定是一次函数； D：，分母有未知数，不符合一次函数定义； 故选：B． 3．对于正比例函数，它的函数值随的减小而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【易错】y随x减小而增大，为 【详解】解：正比例函数的函数值随的减小而增大， ， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限． 4．一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【易错】要认识到本题中一次函数中b的正负与图像过y轴正负半轴相关，正比例函数中的b与图像增减性相关 【详解】解：一次函数中，，则一次函数图象y随x的增大而增大，故A、B选项符合，C、D选项不符合， 当时，一次函数与y轴交于正半轴，正比例函数的图象在第一、三象限，A选项符合题意； 当时，一次函数与y轴交于负半轴，正比例函数的图象在第二、四象限，B选项不符合题意． 5．一次函数的图象与x轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【易错】与x轴交点应将代入到函数表达式中，而不是 【详解】解：∵x轴上的点纵坐标为0 ∴将代入中，得， 解得：， ∴该一次函数图象与x轴的交点坐标是． 故选：A． 6．直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【易错】要注意，直线y随x增大而减小，故的解集应为 【详解】解：∵直线过点， ∴当时，， 又∵，一次函数中y随x的增大而减小， ∴当时，． 7．点，是一次函数图像上的两点，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【易错】要正确分析出一次函数中y随x增大而减小 【详解】解：一次函数中，， ∴图像经过第二、三、四象限，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 8.当直线向下平移个单位后，与轴的交点坐标为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【易错】上加下减是一次函数表达中的b上加下减而不是k 【详解】解：∵直线向下平移个单位， ∴，即， 令，， ∴平移后直线与轴的交点坐标为，， 故选B． 9.一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【易错】注意k的取值不确定，要分情况讨论 【详解】解：∵一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是， ∴当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； ∴只有D选项符合题意． 故选：D． 10.如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，，，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④ 【答案】C 【易错】要能够根据P点坐标特征，判断出P点的轨迹是一条直线 【详解】由函数图象可得： 当时，或；故①错误； 当时，有最小值；故②正确； 点在直线上，直线与函数图象有3个交点，故③错误；    将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确； 故选：C． 11.把直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后解析式变成___________． 【答案】 【易错】注意上加下减，左加右减的对象，x加减时要带括号 【详解】解：左平移3个单位，解析式变为， 向下平移4个单位，变为， 故答案为：． 12.直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式组的解集为___________． 【答案】 【易错】用图像法解不等式组，不要混淆，准确判定 【详解】解：画草图，如图， ∵直线与的交点的横坐标为， ∴关于的不等式的解集为， 解不等式得， ∴关于的不等式组的解集为． 故答案为：． 13.某馆集体门票收费标准是40人以内（含40人）每人15元，超过40人的这部分每人10元． （1）写出应收门票费y（元）与参观人数x（人）之间的函数关系式； （2）利用（1）中的关系式计算，某班58名学生去该馆参观，购门票共花多少元钱？ 【答案】（1）应收门票费y（元）与参观人数x（人）之间的函数关系式是y；（2）某班58名学生去该馆参观，购门票共花780元． 【易错】y与x的函数关系式应分段，写明自变量的取值范围 【详解】（1）由题意可得， 当0＜x≤40时，y＝15x， 当x＞40时，y＝40×15+(x﹣40)×10＝10x+200， 由上可得，应收门票费y（元）与参观人数x（人）之间的函数关系式是： y； （2）当x＝58时， y＝10×58+200＝580+200＝780， 答：某班58名学生去该馆参观，购门票共花780元． 14.已知：直线l：． (1)求证：直线恒过定点； (2)已知点A、坐标分别为，若直线与线段相交，求的取值范围； (3)在范围内，任取个自变量，它们对应的函数值分别为，若以为长度的条线段能围成三角形，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【易错】过定点问题，要正确整理函数表达式。第三问要注意分情况讨论，防止漏解 【详解】（1）证明：， 当时，， 直线恒过定点； （2）解：∵点A、坐标分别为，直线与线段相交，直线l：，恒过某一定点， 当时，， ∴， 解得； （3）解：当时，直线l：中，随的增大而增大， 当时，， ∵以、、为长度的条线段能围成三角形， ∴， 解得， ∴， 当时，直线中，随的增大而减小， 当时，， ∵以、、为长度的条线段能围成三角形， ∴， 解得， ∴， 由上可得，或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 一次函数 一、一次函数的定义 1. 一般形式 形如 （ 为常数，且 ）的函数，叫做一次函数。 2. 正比例函数（特殊的一次函数） 当 时，一次函数 变为 （），叫做正比例函数。 3. 判定条件 自变量 x 的次数为 。 一次项系数 。 常数项 b 可以为任意实数。 二、一次函数的图像与性质 1. 图像特征 一次函数 的图像是一条 ，简称 “直线 ”。 2. 图像画法（两点法） 找两个关键点：与 y 轴交点 ，与 x 轴交点 。 过这两点画直线即可。 3. k、b对图像与性质的影响 （1）k 的作用（斜率） 增减性： ：y 随 x 的增大而 （直线从左到右上升）。 ：y 随 x 的增大而 （直线从左到右下降）。 倾斜程度： 越大，直线 ； 越小，直线 。 （2）b 的作用（截距） 决定直线与 y 轴的交点坐标： 。 ：直线与 y 轴交于 。 ：直线过 （正比例函数）。 ：直线与 y 轴交于 。 4. 直线经过的象限（口诀） k 的符号 b 的符号 经过象限 k>0 b>0 k>0 b<0 k<0 b>0 k<0 b<0 k>0 b=0 k<0 b=0 三、求一次函数的解析式（待定系数法） 1. 步骤 设：设函数解析式为 。 代：将已知点的坐标代入解析式，得到关于的方程组。 解：解方程组，求出的值。 写：将代回，写出函数解析式。 四、一次函数与方程、不等式的关系 1. 与一元一次方程 一次函数 中，当 时，，解得的 值就是直线与 交点的横坐标。 2. 与一元一次不等式 ：直线 在 轴 部分对应的 的取值范围。 ：直线 在 轴 部分对应的 的取值范围。 3. 与二元一次方程组 两个一次函数与 图像的 ，就是方程组的解。 五、一次函数的实际应用 1. 解题步骤 分析题意，找出变量关系。 设出函数解析式 。 根据已知条件求。 利用函数性质解决实际问题（如求最值、取值范围等）。 2. 常见类型 行程问题（路程、速度、时间）。 工程问题（工作量、效率、时间）。 利润问题（售价、成本、销量）。 方案选择问题（比较不同函数的优劣）。 一、概念判定类易错点 易错点：混淆一次函数、正比例函数、常数函数的判定 错误表现： 认为形如 的式子都是一次函数，忽略 前提； 把常数函数 、 当作一次函数； 判定正比例函数时，漏看 或自变量次数不为1。 错因剖析：死记解析式形式，忽视一次函数“自变量次数为1、一次项系数不为0”的核心限定。 正确结论： 一次函数：解析式为 （ 为常数，），自变量 次数为1，常数项 可取任意实数； 正比例函数：特殊一次函数，满足 （ 为常数，），即 的一次函数，必过原点； 常数函数：（）不是一次函数， 不属于函数（不满足“一个 对应唯一 ”）。 二、图像与性质类易错点（混淆符号影响） 易错点：混淆的几何意义，判断图像象限出错 错误表现： 只看k符号判断象限，忽略b的截距作用； k>0时误以为直线必过一、二、三象限，k<0时误以为必过二、三、四象限； 分不清大小与直线倾斜程度的关系。 错因剖析：割裂k（斜率）和b（截距）的作用，单独判断象限，未结合两者符号综合分析。 正确结论： k的作用：决定增减性和倾斜方向 ：y随x增大而增大，直线从左到右上升； ：y随x增大而减小，直线从左到右下降； 越大，直线越陡峭，越小，直线越平缓。 b的作用：决定直线与y轴交点 ：交y轴正半轴；：过原点；：交y轴负半轴。 易错点：混淆直线与坐标轴交点的求法 错误表现：求与x轴交点时代入，求与y轴交点时代入，坐标横纵坐标写反。 错因剖析：坐标轴交点特征记忆混乱，x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0。 正确结论： 直线与y轴交点：令，得，坐标为； 直线与x轴交点：令，解方程得，坐标为。 三、解析式求解类易错点（待定系数法失误） 易错点：待定系数法设解析式出错，代入坐标失误 错误表现： 正比例函数误设为，多带常数项b； 代入点坐标时，横纵坐标颠倒代入解析式； 解二元一次方程组计算错误，导致k、b求值错误。 错因剖析：审题不清，未区分一次函数和正比例函数；坐标对应关系混乱，计算粗心。 正确结论：待定系数法标准步骤 设：一次函数设，正比例函数直接设； 代：点代入解析式，横坐标换x，纵坐标换y，列方程/方程组； 解：精准解方程组，求出k、b； 写：回代k、b，写出完整解析式。 易错点：忽略自变量取值范围，解析式书写不完整 错误表现：求出解析式后，不考虑实际意义或题目限定，直接写全体实数，导致取值范围错误。 错因剖析：重求解轻定义域，忽视实际问题中自变量的非负性、整数性等限制。 正确结论：解析式必须搭配自变量取值范围： 纯代数表达式：无特殊限定则x取全体实数； 实际问题：时间、长度、数量、金额等必须非负，部分场景需为整数，结合题意限定范围。 四、方程、不等式关联类易错点 易错点：一次函数与一元一次不等式解集混淆 错误表现： 误以为是x轴下方对应的x范围； 根据图像写解集时，端点值是否取等号判断失误。 错因剖析：函数值正负与图像位置对应关系颠倒，忽略不等式等号含义。 正确结论： ：直线在x轴上方部分对应的x取值范围（不含交点）； ：直线在x轴下方部分对应的x取值范围（不含交点）； / ：包含x轴交点横坐标，解集带等号。 易错点：两直线交点与方程组解的关系混淆 错误表现：认为交点纵坐标是x的解，横坐标是y的解，或直接把交点坐标当作方程组的解。 错因剖析：函数图像与方程解的对应关系理解不透。 正确结论：两个一次函数和的交点坐标，就是方程组的解，横坐标对应x，纵坐标对应y。 五、实际应用类易错点（审题与建模失误） 易错点：变量关系梳理错误，建模偏差 错误表现： 找不准自变量和因变量，等量关系列错，解析式建模失误，例如行程问题混淆速度、路程、时间关系。 错因剖析：未读懂题意，未梳理清楚数量关系，盲目列解析式。 正确结论：实际应用建模三步走 1. 确定两个变量，明确谁是自变量x，谁是因变量y； 2. 挖掘题目等量关系（总价=单价×数量、路程=速度×时间、利润=收入-成本等）； 3. 转化为形式，验证，标注自变量范围。 易错点：方案选择/最值问题，忽略函数增减性 错误表现：求最值时盲目代入端点值，不结合k的符号判断增减性，导致最优方案选错。 错因剖析：忘记一次函数单调性，不会用性质求最值。 正确结论： 时，y随x增大而增大，x取最小值时y最小，x取最大值时y最大； 时，y随x增大而减小，x取最小值时y最大，x取最大值时y最小； 最值一定在自变量取值范围的端点处取得，先判断单调性再计算。 1．在下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A．（k、b是常数） B． C． D． 2．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．对于正比例函数，它的函数值随的减小而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 5．一次函数的图象与x轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 6．直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．点，是一次函数图像上的两点，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8.当直线向下平移个单位后，与轴的交点坐标为（　　） A．， B．， C．， D．， 9.一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 10.如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，，，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④ 11.把直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后解析式变成___________． 12.直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式组的解集为___________． 13.某馆集体门票收费标准是40人以内（含40人）每人15元，超过40人的这部分每人10元． （1）写出应收门票费y（元）与参观人数x（人）之间的函数关系式； （2）利用（1）中的关系式计算，某班58名学生去该馆参观，购门票共花多少元钱？ 14.已知：直线l：． (1)求证：直线恒过定点； (2)已知点A、坐标分别为，若直线与线段相交，求的取值范围； (3)在范围内，任取个自变量，它们对应的函数值分别为，若以为长度的条线段能围成三角形，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $