精品解析：云南开远市第一中学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

开远一中2025～2026学年高二上学期期末考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章、第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法表示集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：C 2. 已知函数在处的导数为3，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解. 【详解】因为函数在处的导数为3， 所以， 所以． 故选：B. 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线定理及坐标运算列式计算即可. 【详解】因为，所以，则，解出. 故选：D. 4. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可. 【详解】由和对立，，可得，解得， 又由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得. 故选：D. 5. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】抛物线，其准线方程为：，因为，且点在上， 由抛物线定义可知，点到直线的距离为3， 因为与平行，且距离为2，所以点到直线的距离为5. 故选：C 6. 某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A. 4077 B. 5436 C. 1359 D. 2718 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布的性质，结合区间概率，即可求解. 【详解】学生的抽测成绩服从正态分布， 则 ， 由于总人数为30000，则抽测成绩在内的学生人数大约为， 故选：A． 7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由结合三角形的内角和得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，，即可求出△ABC的面积. 【详解】因为，则，所以得：， 又即， 由正弦定理可得：，即， 有余弦定理可得：， 即，解得：，， 则△ABC的面积为. 故选：A 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据双曲线的定义和勾股定理得出，再在中得出，最后在中利用余弦定理即可求出. 【详解】因为，所以设，则， 因为点在轴上，所以， 因为点在双曲线上，由双曲线定义得：，即， 由，所以，所以， 即，解得， 所以，，则， 在中，由余弦定理得：， 即，所以，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 圆心到直线的距离为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆方程化为圆的标准方程可判断选项AB；由点到直线距离公式可判断选项C；利用圆的弦长公式求解可判断D. 【详解】对于AB，圆，即圆， 则圆心，半径， A正确，B错误； 对于C，点到直线的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 10. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 常数项为240 C. 没有含的项 D. 二项式系数最大的项是 【答案】BC 【解析】 【分析】展开式共项可判断A；写出通项可判断BC；利用二项式系数的性质可得最大，再利用通项即可判断D. 【详解】因，则展开式共有项，故A错误； 通项为， 令，得，则，故B正确； 令，得，不符合题意，故没有含的项，则C正确； 由二项式系数的性质可知最大，故二项式系数最大的项是，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为8 【答案】BC 【解析】 【分析】画出函数的图象，结合对数的运算性质、基本不等式、对勾函数的性质逐一判断即可. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 设， 因为，所以， 因为，且， 则，即，A错误； ，是方程的两个相异实根， 化简得，故，， 所以，， 所以，当且仅当时取等号， 则，设函数，设，显然该函数单调递增， 函数，由对勾函数的性质可知，在区间上单调递增， 所以，B正确； 因为，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号，且， 则，，所以， 因为，则，， 所以， 所以当时，取得最小值0， 所以最小值为1； 因，所以， 因为，所以， 令，则， 易知，当时，取得最大值， 同时，此时，取最小值1， 所以， 综上的最小值为，且小于8，故C正确，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲乙两地隔江相望，现今连接两岸的有4座大桥、3条公路隧道、1条观光隧道和2条摆渡航线，那么，两岸市民过江有_______种走法． 【答案】10 【解析】 【分析】由分类加法计数原理可得答案. 【详解】两岸市民过江有种走法． 故答案为：10. 13. 在复平面内，复数z对应的点为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的几何意义及复数的运算求解． 【详解】因为复数z对应的点为，所以，所以． 故答案为： 14. 已知和都是等差数列，的公差为，记分别为数列的前项和，且，则______ 【答案】2 或 【解析】 【分析】根据题中条件可推出之间的关系式，再由求出的值，继而解方程，即可求得答案. 【详解】为等差数列，， 又，知，所以， ，即， 解得或，结合，则，且为递增数列，故； 又由得：，即， ，即， 解得或（舍去）， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，或. 故答案为：2 或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求最小正周期和单调递增区间； （2）若，求的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1) 根据正弦型函数的性质求最小正周期和单调递增区间. (2) 根据的取值范围求出的取值范围，进而求出函数的值域 【小问1详解】 的最小正周期为：， 由， 得， 所以的单调递增区间为：. 【小问2详解】 由，得， 由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， ， ， 故的值域为： 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意分和两种情况，分析可知数列等比数列，结合等比数列分析求解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法分析求解. 【小问1详解】 因为， 若，可得，解得； 若，可得，， 两式相减得，整理得， 且，可得， 可知数列是以首项为1，公比为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， 则， 所以. 17. 已知椭圆C：的焦距为，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：与椭圆C交于不同的A，B两点，与x轴交于点D，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出而得椭圆C的方程. （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理计算得证. 【小问1详解】 由椭圆C：过点，得，而椭圆的半焦距，则， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由消去得，设， ，则，，而， 因此 ， 所以为定值. 18. 如图，在四棱锥中，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面即可；（2）取的中点，以为坐标原点，，，所在的直线建立坐标系，用向量法解题即可. 【小问1详解】 证明：由题意知为等边三角形，所以，又，所以，在中， 由余弦定理得，，所以，所以， 又，，平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 解：取的中点，连接，，则，又，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，即是三棱锥的高. 因为点满足，所以， 解得.又平面，所以. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，，，设平面的一个法向量为，所以 令，解得，，所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，则， 令，解得，，所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角的大小为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数恰有两个极值点、. ①求的取值范围； ②证明： 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）①求得，由题意可知，二次方程有两个不等的正根，利用二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可； ②由韦达定理得出，，由此可得出，于是所证不等式变形为，其中，令，其中，利用导数分析函数的单调性，结合其单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意知. 当时，，所以的增区间为，无减区间； 当时，令，解得，令，解得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 ①由题意知， 所以， 因恰有两个极值点、，所以方程，即方程有两不等正根， 所以，解得，即的取值范围为； ②由①知，， 所以， 所以， 令，其中，所以， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上单调递增， 又，， 所以，使得，即， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增，则， 所以，所以，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开远一中2025～2026学年高二上学期期末考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章、第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知函数在处的导数为3，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 5. 已知抛物线焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A. 4077 B. 5436 C. 1359 D. 2718 7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 圆心到直线的距离为 D. 10. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 常数项为240 C. 没有含项 D. 二项式系数最大的项是 11. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. 最小值为 D. 的最大值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲乙两地隔江相望，现今连接两岸有4座大桥、3条公路隧道、1条观光隧道和2条摆渡航线，那么，两岸市民过江有_______种走法． 13. 在复平面内，复数z对应的点为，则_______． 14. 已知和都是等差数列，的公差为，记分别为数列的前项和，且，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求的值域. 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和. 17. 已知椭圆C：的焦距为，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：与椭圆C交于不同的A，B两点，与x轴交于点D，证明：为定值． 18. 如图，在四棱锥中，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数恰有两个极值点、. ①求的取值范围； ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $