双曲函数讲义-2026届高三数学二轮专题复习

双曲函数 一、回归教材 2019 人教 A 版高中数学必修第一册第 160 页复习参考题 4 综合运用第 6 题: 设 ,求证: (1) ； (2) ； (3) . 证明: (1) (2) . ; (3) ， . 二、挖掘考点 1. 双曲函数的定义 双曲正弦函数 ,双曲余弦函数 ,双曲正切函数 ,统称为双曲函数. 2. 双曲函数的图象与性质 (1)双曲正弦函数 定义域为 ; 值域为 ; 奇偶性:双曲正弦函数是奇函数: 单调性: 双曲正弦函数在 上单调递增. 渐近线: 与 . (2)双曲余弦函数 定义域: ; 值域: ; 奇偶性:双曲余弦函数是偶函数； 单调性:双曲余弦函数在 上单调递减，在 , 上单调递增. 渐近线: 与 (3)双曲正切函数 定义域: ; 值域: ; 奇偶性:双曲正切函数是奇函数. 单调性: 双曲正切函数在 上单调递增; 渐近线: . 3. 双曲函数的基本关系 (1)平方关系 (2)商数关系 (3)和(差)角公式 (4)二倍角公式 1, (5)导数 三、面向高考 例 1 函数 的图象大致为( ) B C D 例 2 设函数 的定义域均为 ,且 是奇函数, 是偶函数, ,其中 为自然对数的底数. ( I )求 的解析式，并证明:当 时， (II) 设 ,证明: 当 时, 例 3已知函数 ,其中 是自然对数的底数. (1)证明: 是 上的偶函数； (2)若关于 的不等式 在 , 上恒成立，求实数 的取值范围； (3)已知正数 满足:存在 ，使得 成立. 试比较 与 的大小，并证明你的结论. 四、模拟演练 1. (重庆一中 2023 届高三 5 月月考 12) 意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出:固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么? 这就是著名的 “悬链线问题”. 当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线, 直到 1691 年莱布尼兹和伯努利借助微积分推导出这种曲线是悬链线,其函数解析式 (其中 是悬链线系数),当 时, 称为双曲余弦函数，相应的还得到了双曲正弦函数 . 已知双曲正弦函数 和双曲余弦函数 具有如下性质: ① 是定义域为 的奇函数， 是定义域为 的偶函数; ② (常数 是自然对数的底数, e = 2.71828 ...). 则下列说法正确的是 ( ) . 双曲正弦函数 是周期函数 B. . 若直线 与 和 的图象分别交于点 ,则线段 的长度随着 的增大而增大 . 若直线 与 和 的图象共有三个交点,这三个交点的横坐标分别为 , 则 2. (湖北圆创联盟 2024 届高三 11 月联考 10) (多选题) 如图为襄阳凤雏大桥，连接襄阳襄城、樊城，既缓解交通压力又是汉江上美丽的风景线，她的悬链类似双曲函数的图象. 常见的有双曲正弦函数 ,双曲余弦函数 . 下列结论正确的是( ) A. B. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 C. 若点 在曲线 上, 为曲线在点 处切线的倾斜角,则 D. 3.(2025 届山西省长治市高三 11 月联考 19)悬链线，也称为悬垂线或悬链曲线，是在均匀重力场中，将一条柔软且不可伸长的绳索两端固定时所形成的曲线，这种曲线的形状类似于一条链子自然悬挂时的轮廓. 后人给出了悬链线的函数表达式 ,其中 为悬链线系数, 称为双曲余弦函数,其函数表达式为 ,双曲正弦函数的表达式为 . (1)讨论 的单调性并求其最值; (2)若函数 ，证明:曲线 是中心对称图形; (3)(i)证明:① ; ② (ii) 已知正项数列 满足 ,直接写出其通项公式; 判断是否存在实数 ,使得 ,若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由. 4. (昆明市第一中学 2024 届高三第六次考前基础强化 22)悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程. 通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 的图象,类比三角函数的三种性质:①平方关系: ① ,②和角公式: ,③导数: 定义双曲正弦函数 . (1)直接写出 具有的类似①、②、③的三种性质 (不需要证明); ( 2 )若当 时， 恒成立，求实数 的取值. 范围; (3)求 的最小值. 5.(上海市建平中学 2024 届高三下学期三模 21)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线. 1691 年, 莱布尼茨等得出 “悬链线”方程 ,其中 为参数. 当 时,就是双曲余弦函数 ,悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程. 类比三角函数的三种性质:① 平方关系: ; ②两角和公式: ③导数: 定义双曲正弦函数 . (1)直接写出 具有的类似①、②、③的三种性质 (不需要证明); ( 2 )当 时，双曲正弦函数 的图像总在直线 的上方,求直线斜率 的取值范围; (3)无穷数列 满足 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在， 说明理由. 6.(江苏省泰州市靖江市 2025 届高三上学期 11 月期中调研测试 19)悬链线在建筑领域有很多应用. 当悬链线自然下垂时, 处于最稳定的状态, 反之其倒置时也是一种稳定状态. 链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为 ,相应的反链函数表达式为 (1)证明: 曲线 是轴对称图形; (2)若直线 与函数 和 的图象共有三个交点,设这三个交点的横坐标分别为 ,证明: ; (3)已知函数 ，其中 . 若 对任意的 恒成立,求 的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 双曲函数 一、回归教材 2019 人教 A 版高中数学必修第一册第 160 页复习参考题 4 综合运用第 6 题: 设 ,求证: (1) ； (2) ； (3) . 证明: (1) (2) . ; (3) ， . 二、挖掘考点 1. 双曲函数的定义 双曲正弦函数 ,双曲余弦函数 ,双曲正切函数 ,统称为双曲函数. 2. 双曲函数的图象与性质 (1)双曲正弦函数 定义域为 ; 值域为 ; 奇偶性:双曲正弦函数是奇函数: 单调性: 双曲正弦函数在 上单调递增. 渐近线: 与 . (2)双曲余弦函数 定义域: ; 值域: ; 奇偶性:双曲余弦函数是偶函数； 单调性:双曲余弦函数在 上单调递减，在 , 上单调递增. 渐近线: 与 (3)双曲正切函数 定义域: ; 值域: ; 奇偶性:双曲正切函数是奇函数. 单调性: 双曲正切函数在 上单调递增; 渐近线: . 3. 双曲函数的基本关系 (1)平方关系 (2)商数关系 (3)和(差)角公式 (4)二倍角公式 1, (5)导数 三、面向高考 例 1 函数 的图象大致为( ) B C D 【答案】A 【解析】要使函数有意义，则须 ，解得 ， 函数的定义域为 ,排除 , 又 , 当 时,函数单调递减,故选 A. 【点评】本题选取双曲正切函数的倒数作为研究对象, 这个函数也叫双曲余切函数. 考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质. 本题的难点在于给出的双曲余切函数比较复杂, 需要对其先变形, 再在定义域内考查其余的性质. 例 2 设函数 的定义域均为 ,且 是奇函数, 是偶函数, ,其中 为自然对数的底数. ( I )求 的解析式，并证明:当 时， (II) 设 ,证明: 当 时, 【解析】(I) 是奇函数, 是偶函数, 又 ，① , ,② 联立①②解得 . 当 时, , 由基本不等式得 , 即 . (II) 由 (I) 得 . 当 时, 设 ,则 当 时,由 (I) 知, , 若 ,则 在 上单调递增, ,即 , . 若 ,则 在 上单调递减, ,即 , 当 时, b). 【点评】本题较全面研究双曲正弦函数和双曲余弦函数的奇偶性、单调性、值域和导数性质, 是一道综合性较强的试题. 例 3已知函数 ,其中 是自然对数的底数. (1)证明: 是 上的偶函数； (2)若关于 的不等式 在 , 上恒成立，求实数 的取值范围； (3)已知正数 满足:存在 ，使得 成立. 试比较 与 的大小，并证明你的结论. 解:(1)函数 的定义域为 ， 是 上的偶函数. (2)若关于 的不等式 在 , 上恒成立, 即 , 当 时, , 在 上恒成立, 设 ,则 在 上恒成立, 当且仅当 时等号成立, 实数 的取值范围为 . (3)令 ，则 当 时, , 在 上单调递增, 存在 ,使得 成立, ,即 , 设 ,则 , 设 ,则 , 当 时, 在 上单调递减, , 在 上单调递减, 当 时, ,即 当 时, ; 当 时, ,即 . 【点评】本题所给函数 是双曲余弦函数的 2 倍, 涉及双曲函数的奇偶性、单调性和最值的应用, 利用导数是解决本题的关键. 四、模拟演练 1. (重庆一中 2023 届高三 5 月月考 12) 意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出:固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么? 这就是著名的 “悬链线问题”. 当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线, 直到 1691 年莱布尼兹和伯努利借助微积分推导出这种曲线是悬链线,其函数解析式 (其中 是悬链线系数),当 时, 称为双曲余弦函数，相应的还得到了双曲正弦函数 . 已知双曲正弦函数 和双曲余弦函数 具有如下性质: ① 是定义域为 的奇函数， 是定义域为 的偶函数; ② (常数 是自然对数的底数, e = 2.71828 ...). 则下列说法正确的是 ( ) . 双曲正弦函数 是周期函数 B. . 若直线 与 和 的图象分别交于点 ,则线段 的长度随着 的增大而增大 . 若直线 与 和 的图象共有三个交点,这三个交点的横坐标分别为 , 则 【答案】 【解析】依题意 , 解得 ,即 , 易知 不是周期函数,故 错误; ,故 正确. 线段 的长度为 ,且随着 的增大, 越来越小, 所以 错误; 如图，若 与双曲余弦函数和双曲正弦函数，共有三个交点，则 ， 由双曲余弦函数为偶函数,得 , 由 ,得 ,即 ,解得 或 (舍去), 所以得 ,即 ,则 ,故 正确. 故选: . 2. (湖北圆创联盟 2024 届高三 11 月联考 10) (多选题) 如图为襄阳凤雏大桥，连接襄阳襄城、樊城，既缓解交通压力又是汉江上美丽的风景线，她的悬链类似双曲函数的图象. 常见的有双曲正弦函数 ,双曲余弦函数 . 下列结论正确的是( ) A. B. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 C. 若点 在曲线 上, 为曲线在点 处切线的倾斜角,则 D. 【答案】 【解析】 ,故选项 A 正确; 是奇函数, 是偶函数,故选项 正确; 由 ,得 (当且仅当 时等号成立), 又 ,故选项 正确; coshxcoshy-sinhxsinhy ,故选项 D 错误; 故答案选 . 3.(2025 届山西省长治市高三 11 月联考 19)悬链线，也称为悬垂线或悬链曲线，是在均匀重力场中，将一条柔软且不可伸长的绳索两端固定时所形成的曲线，这种曲线的形状类似于一条链子自然悬挂时的轮廓. 后人给出了悬链线的函数表达式 ,其中 为悬链线系数, 称为双曲余弦函数,其函数表达式为 ,双曲正弦函数的表达式为 . (1)讨论 的单调性并求其最值; (2)若函数 ，证明:曲线 是中心对称图形; (3)(i)证明:① ; ② (ii) 已知正项数列 满足 ,直接写出其通项公式; 判断是否存在实数 ,使得 ,若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由. 解: (1) 的定义域为 , 在 上单调递增,且当 时, , 当 时, ,当 时, , 在 上单调递减,在 上单调递增, 当 时, 取得最小值 1,无最大值. (2)由 得 , 的定义域为 , (猜想 的图象的对称中心的横坐标为 1) 曲线 是中心对称图形,且对称中心为 . (3) (i) 证明: ① . ② . (ii) 由 (i) 知， ， 设 ，则 ， 可知, . 设 ，则 ， 解得 ,或 . . . 4. (昆明市第一中学 2024 届高三第六次考前基础强化 22)悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程. 通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 的图象,类比三角函数的三种性质:①平方关系: ① ,②和角公式: ,③导数: 定义双曲正弦函数 . (1)直接写出 具有的类似①、②、③的三种性质 (不需要证明); ( 2 )若当 时， 恒成立，求实数 的取值. 范围; (3)求 的最小值. 【分析】(1) 类比，写出平方关系，和角关系和导数关系， 并进行证明; (2)构造函数 ，求导， 分 和 两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案; (3)多次求导，结合 (2) 中结论，先得到 在 内单调递增,再求出 为偶函数，从而得到 在 内单调递减,求出 . 【详解】(1) 平方关系: ; 和角公式: ; 导数: . 理由如下: 平方关系, 和角公式: . 故 ; 导数: (2)构造函数 ，由 (1) 可知 , i. 当 时,由 可知, 故 ,故 单调递增, 此时 ,故对任意 恒成立，满足题意； ii. 当 时，令 ， ， ， 则 ，可知 单调递增， 由 与 可知，存在唯一 ,使得 , 故当 时, ,则 在 内单调递减, 故对任意 ,即 , 矛盾; 综上所述，实数 的取值范围为 . (3) , 令 ,则 , 令 ,则 , 当 时，由 (2) 可知， ，则 令 ,则 ,故 在 内单调递增, 则 ,故 在 内单调递增, 则 ,故 在 内单调递增, 则 ,故 在 内单调递增, 因为 即 为偶函数，故 在 内单调递减， 则 ，故当且仅当 时， 取得最小值 0 . 5.(上海市建平中学 2024 届高三下学期三模 21)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线. 1691 年, 莱布尼茨等得出 “悬链线”方程 ,其中 为参数. 当 时,就是双曲余弦函数 ,悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程. 类比三角函数的三种性质:① 平方关系: ; ②两角和公式: ③导数: 定义双曲正弦函数 . (1)直接写出 具有的类似①、②、③的三种性质 (不需要证明); ( 2 )当 时，双曲正弦函数 的图像总在直线 的上方,求直线斜率 的取值范围; (3)无穷数列 满足 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在， 说明理由. 【分析】(1)类比，写出平方关系，和角关系和导数关系， 并进行证明; (2)构造函数 ，求导， 分 和 两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案； (3)当 时，利用数学归纳法证得 排除该可能; 当 , 同理证得 ,从而利用换元法即可得解. 【详解】(1) 平方关系: ; 和角公式: ; 导数: . 理由如下: 平方关系, 和角公式: , 故 ; 导数: , (2)构造函数 ， 由 (1) 可知 , ① 当 时，由 ， 又因为 ,故 ,等号不成立, 所以 ,故 为严格增函数, 此时 ,故对任意 恒成立，满足题意； ② 当 时，令 ， 则 ,可知 是严格增函数, 由 与 可知,存在唯一 ,使得 , 故当 时, ,则 在 上为严格减函数, 故对任意 ,即 , 矛盾; 综上所述，实数 的取值范围为 . (3) 当 时,存在 ,使得 , 由数学归纳法证明: ,证明如下: ① 当 时， 成立， ② 假设当 ( 为正整数)时， ， 则 成立. 综上: . 所以 ,有 ,即 . 当 时, , 而函数 的值域为 , 则对于任意大于 1 的实数 ,存在不为 0 的实数 , 使得 , 类比余弦二倍角公式,猜测 . 证明如下: 类比 时的数学归纳法,设 , 易证 , 所以若 , 设 ,则 ,解得: 或 ,即 , 所以 ,于是 综上: 存在实数 使得 成立. 6.(江苏省泰州市靖江市 2025 届高三上学期 11 月期中调研测试 19)悬链线在建筑领域有很多应用. 当悬链线自然下垂时, 处于最稳定的状态, 反之其倒置时也是一种稳定状态. 链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为 ,相应的反链函数表达式为 (1)证明: 曲线 是轴对称图形; (2)若直线 与函数 和 的图象共有三个交点,设这三个交点的横坐标分别为 ,证明: ; (3)已知函数 ，其中 . 若 对任意的 恒成立,求 的最大值. 【分析】(1) 将函数化简得 ,根据偶函数的性质即可判断此函数图象关于 轴对称; (2)根据函数的单调性可大致判断函数 和 的图象,且 为偶函数,结合图象可判断 ,且 ,再解不等式即可; (3)观察函数特征，不妨设 ，当 时,得 ,从而 对 恒成立，再解不等式即可. 【详解】 令 ,则 所以 为偶函数, 故曲线 是轴对称图形, 且关于 轴对称. (2)令 ，得 ， 当 时， ； ， 所以 在 处取得极小值 1,当 趋近正无穷时, 趋近正无穷, 当 趋近负无穷时, 趋近负无穷, 恒成立，所以 在 上单调递增, 当 趋近正无穷时, 趋近正无穷,当 趋近负无穷时, 趋近负无穷, 所以的大致图象如图所示, 不妨设 ,由 为偶函数可得 0, 与图象有三个交点,显然 ,令 整理得 ,解得 或 (舍), 所以 ,即 , 又因为 ,所以 , (3)设 ，两边平方得 则 , 所以 , 因为 单调递增, 所以 时, , 即 , 由 得: 即 , 该不等式组在 和 时同时满足,即 当 ; 当 当 ; 当 经验证, 时满足题意; 综上所述: 的最大值为 7. 学科网（北京）股份有限公司 $