16.2 函数的图象（题型专练）（基础达标3大题型+能力提升5大题型+拓展培优）数学新教材华东师大版八年级下册

16.2函数的图象 题型一 平面直角坐标系 1. (1) A(2, 2) ， B(-3, 2) (2)如图所示 (3)点A：2，2；点B：2，3；点C：4，3；点D：3，3 (4) 2. 3. B 4. 7 5. 【详解】（1）解：如图，就是所求的三角形，点的坐标为； （2）解：． 题型二 描点法画函数的图像 1．解：（1）列表： （2）描点并连线： （3）将代入函数解析式，得，因此A点不在函数的图象上； 将代入函数解析式，得，因此B点不在函数的图象上； 将代入函数解析式，得，因此C点在函数的图象上. （4）将点的坐标代入可得， 解得. 2． C 3．【详解】（1）解：由表格可知幼苗在时的生长速度是1.0厘米天， 故答案为：1； （2）解：函数图象如下图； （3）解：①由图象观察可知，当时，最大， 故答案为：5.0； ②由表格和图象我们发现，当时，和都不低于1.5厘米天， 此时最少用料为2.0克，最多为6.5克； 故答案为：2.0，6.5． 题型三 从函数图像中获取信息 1． C 2． A 3．【详解】（1）解：在坐标系中补出数对和，并用平滑的曲线连接； （2）解：①当时，对应的的值为4.5，精确到0.1是4.5； ②由图像可得当月宣传费约为1.0（精确到0.1）时，取最大值，该最大值约为2.0． 故答案为：①4.5②1.0，2.0． 4. D 5.大于4 题型一 与平面直角坐标系有关的探究 1.四 2. B 3. D 4. B 5.解：(1) 求各点坐标 蚂蚁的移动规律是：向上→向右→向下→向右，每 4 步为一个循环。 A1​：从原点O(0,0)向上移动 1 个单位，坐标为 (0,1) A3​：从A2​(1,1)向下移动 1 个单位，坐标为 (1,0) A12​：12÷4=3，完成 3 个完整循环，横坐标为 2×3=6，纵坐标为 0，坐标为 (6,0) (2) 求点A4n​的坐标 观察循环规律： A4​(2,0)，A8​(4,0)，A12​(6,0) 横坐标：2=2×1，4=2×2，6=2×3，即横坐标为 2n 纵坐标始终为 0 因此，点A4n​的坐标为 (2n,0)（n 是正整数） (3) 蚂蚁从A100​到A101​的移动方向 100=4×25，所以A100​符合A4n​的规律，坐标为 (2×25,0)=(50,0) 下一个点A101​是新循环的第一步，移动方向为向上。 题型二 点的坐标特征的应用 1.1 2．四 3. 7 4. 【详解】（1）解：根据题意得，的坐标为、的坐标为、的坐标为， 故答案为：，，； （2）解：如图所示： 作出点A的对称点，连接，则与x轴的交点即是点P的位置， 此时， ∴， 即的最小值等于的长， 则P为， 故答案为：； （3）解：的面积． 题型三 代入法判断点是否在函数图像上 1. 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：3，1，； （2）解：如图： （3）解：∵当时，； 当时，； 当时，， ∴点不在函数的图象上，点C在其图象上． （4）解：∵点在函数的图象上， ∴，解得． 2.【详解】 当，；当，，过点（画直线得到的图象，如图，（1）当时，； （2）当时，； （3）当时，． 3. 【详解】解：（1）因为当时，， 所以点A不在函数的图象上． 因为当时，， 所以点B在函数的图象上． （2）因为点在函数的图象上， 所以把，代入， 得1. 解得. 题型四 实际问题中的函数图像 1. A 2. A 3. D 4. C 5. B 题型五 利用函数图像解决实际问题 1. B 2.【详解】（1）解：由时，， 则西宁和西安两地相距千米， 由图象知时，普通列车到达西安， 即普通列车到达终点共需小时， 故普通列车的速度是（千米/小时）， 故答案为：，； （2）解：设动车的速度为千米/小时， 根据题意，得：， 解得：， 答：动车的速度为千米/小时； （3）解：①当相遇前动车行驶与普通列车相距千米， 根据题意得：（小时）， ∴相遇前动车行驶小时与普通列车相距千米； ②当相遇后动车行驶与普通列车相距千米， 由当动车到达终点时用时（小时）， 此时两车相距， 即两车相距千米是在动车到达终点之前， 根据题意得：（小时）， ∴相遇后动车行驶小时与普通列车相距千米； 综上，动车行驶小时或小时与普通列车相距千米． 3. (1)；(2)，；(3)；(4)． 4.【详解】（1）解：根据题图可知，小明家到学校的距离是1800米，小明在书店停留了分钟． （2）解：根据题图可知，本次上学途中，一共用了15分钟， 小明一共骑行了米 故答案为：15，3000 （3）解：0~6分钟，速度为米/分； 6~8分钟，速度为米/分； 12~15分钟，速度为米/分； 400米/分300米/分 ∴整个上学途中在12~15分钟时间段小明骑车速度最快，最快速度不在安全限度内． 5. 【详解】（1）解：由图可知：， ∴体育公园与文具店的距离为1500米， 故答案为：1500． （2）解：由图可知：小钱在体育公园锻炼的时间为（分钟）． （3）解：由图可知：小钱跑步到体育公园所用的时间为5分钟，跑步的路程为500米， 所以小钱跑步的速度为（米/分钟）． 1．【解答】解：（1）∵某汽车行驶的速度为60km/h，行驶的时间为t小时，行驶的路程为skm． ∴s与t之间的函数关系式为：s＝60t，自变量t的取值范围是：0≤t≤11.5； （2）如图所示： （3）行驶8h时离B地的距离为690﹣60×8＝210（km）． 2．【解答】解：（1）与之间的函数表达式是y（x＞0）； （2）当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，函数y的值如下： （3）函数的图象如下： 3.【解答】解：（1）由表可知：弹簧原长为12cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长0.5cm， 故答案为：12，0.5； （2）弹簧总长（cm）与所挂重物（kg）之间的函数关系式为； （3）当时，， ∴当所挂物体质量为10kg时，弹簧长度为17cm； （4）当时，， 解得， ∴所挂物体的质量为16kg． 4.【详解】（1）解：观察表格，车速每增加一个单位，耗电量增加5个单位， 则当时，， 补全表格如图； 0 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 （2）解：描点，连线，画出这两个函数的图象如图； ； （3）解：由图象可知，当理想状态下与实际测试中耗电量相同时，的值约为3，故该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为3测速单位． 故答案为：3 5. 【详解】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 6. D 7. 【详解】（1）解：∵出发时速度为，由图②得当为48时，对应的时间为秒， ∴图①中，， 即， ∴， ∵在上运动时， 面积不变，因此图②中水平线段表示在上运动时对应的与之间关系， ∴表示运动到了点，由至14即由8秒到14秒共6秒钟，面积由增加至，增加了，即， ∴， 在上速度为， ， ∴， 当运动到时停止，此时，即对应图②中秒， 在上速度为， ， ∴， 即，，，； （2）解：前8秒速度为， ，8秒后速度为， ∴， 因此； （3）解：如图③当时， 中， ∴， ∴， 同理当时， 中，， ∴， ， 当时， 在的垂直平分线上， 即为的中点， ， ∴， ， 即当出发4秒或9秒或12秒时，是等腰三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2函数的图象 题型一 平面直角坐标系 1.在平面直角坐标系中，A、B两点的位置如图所示。 (1)写出A、B两点的坐标：； (2)若C()、D()，请在图示坐标系中标出C、D两点； (3)写出A、B、C、D四点到轴和轴的距离：点A到轴的距离为，到轴的距离为________；点B到轴的距离为________，到轴的距离为________；点C到轴的距离为________，到轴的距离为________；点D到轴的距离为________，到轴的距离为________； (4) 分析(3)中点的坐标与该点到坐标轴的距离的关系，利用你所发现的结论写出点P()到轴的距离为________，到轴的距离为________。 2.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 3.点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（2025八年级上·上海·专题练习）已知点，则点到轴的距离为 ． 5.（25-26八年级上·四川广安·期中）已知， (1)画出关于轴对称的三角形，并写出的坐标； (2)求的面积； 题型二 描点法画函数的图像 1．画出函数的图象． (1)列表： … －1 0 1 … … … (2)描点并连线； (3)判断点是否在函数的图象上？ (4)若点在函数的图象上，求出的值． 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）小王用描点法画函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京密云·期中）某温室在的温度范围内培育一种植物幼苗，该幼苗的生长速度受温度影响．为了提高幼苗的生长速度，研究人员尝试使用一种新型肥料．实验发现，肥料的用量也会显著影响幼苗的生长速度．以下是部分实验数据： 设肥料用量为x克，温度下的幼苗每天生长速度为厘米/天，25℃温度下的幼苗每天生长速度为厘米/天 x 0 2 3 4 6 7 8 10 1.0 1.5 1.6 1.8 1.7 1.6 1.2 1.1 1.1 1.6 1.7 1.9 1.6 1.4 1.3 1.2 (1)在不使用肥料的情况下，该幼苗在时的生长速度是______厘米/天； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在下，使用约______克的肥料时，幼苗的生长速度最快（结果保留一位小数）； ②若希望幼苗的生长速度在和下都不低于1.5厘米/天，肥料的用量最少为______克，最多约为______克．（结果保留一位小数）． 题型三 从函数图像中获取信息 1．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） ①当分钟时甲乙两人相遇； ②甲的速度为40米/分钟； ③乙的速度为50米/分钟； ④乙到达目的地时，甲离目的地的距离为800米． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③ 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，点是关于的函数图象上一点．当点沿图象运动，横坐标增加时，相应的纵坐标（    ） A．减少 B．减少 C．增加 D．增加 3．（25-26九年级上·北京·月考）某公司为了研究月宣传费（单位：万元）（）对销售量（单位：吨）和月利润（单位：万元）的影响，搜集了近10个月的月宣传费和月销售量数据： 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 1.15 1.50 1.70 1.85 1.96 2.05 2.13 2.19 2.25 2.30 (1)在表格中各数对所对应的点中的一部分已经在如图的平面直角坐标系中标出，请描出所缺的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接； (2)若，请借助函数图像，回答下列问题： ①当月宣传费约为__________（精确到0.1）时，； ②当月宣传费约为__________（精确到0.1）时，取最大值，该最大值约为___________（精确到0.1）． 4.（23-24八年级·河南许昌·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（）之间的关系如图2所示．从图中获取的信息错误的是（    ） A．变量y是x的函数 B．摩天轮转一周所用的时间是 C．摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m D．摩天轮的半径是35m 5.如图，l1反映了某公司产品的销售收人与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断：当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量必须　 　 题型一 与平面直角坐标系有关的探究 1.（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）若点在轴上，则点在第 象限． 2.（25-26八年级上·浙江宁波·期中）点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·陕西西安·期中）以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 5.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点 O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位。其行走路线如图所示。 (1) 填写下列各点的坐标： A1​(___,___)， A4​(___,___)， A12​(___,___)； (2) 写出点 A4n​ 的坐标 (是正整数)； (3) 指出蚂蚁从点 A100​ 到 A101​ 的移动方向。 题型二 点的坐标特征的应用 1.（25-26八年级上·广东惠州·期中）已知点和关于轴对称，则的值为 ． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在第 象限． 3.（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为，则的值为 ． 4.（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，三个顶点的坐标分别为、、． (1)若与关于y轴成轴对称，则三个顶点坐标分别为： ， ，______； (2)若P为x轴上一点，则当P点坐标是______时，值最小； (3)计算的面积． 题型三 代入法判断点是否在函数图像上 1.（23-24八年级·全国·课后作业）画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 … y … … (2)描点并连线； (3)判断点，，是否在函数的图象上； (4)若点在函数的图象上，求出m的值． 2.画出直线的图象，利用图象求： (1)当时，的取值范围； (2)当时，的取值范围； (3)当时，对应的取值范围． 3.已知函数. (1)试判断点和点B 是否在此函数的图象上； (2)已知点在此函数的图象上，求的值． 题型四 实际问题中的函数图像 1.（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）童童去奥体中心观看音乐会，她先匀速步行至轻轨车站，等了一会，又搭乘轻轨至奥体中心，演出结束后搭乘刘叔叔车顺利回到家．下图中表示童童离家后所用的时间，表示他离家的距离．下列能反映与的函数关系的大致图像的是（   ） A．B．C．D． 2.（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满．在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24·浙江绍兴·一模）小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里.表示离家路程，表示骑行时间，下列函数图象能表达这一过程的是（    ） A． B． C．   D．   4.（23-24八年级·江苏镇江·期末）周末，小丽同学做了以下几件事情： 第一件：小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数的关系： 第二件：小丽去奶奶家吃饭，饭后，和奶奶聊一会天，然后再按原速度原路返回，小丽离家的距离与时间的关系； 第三件：小丽和奶奶聊天时，了解到：奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间的关系． 用下面的函数图像刻画上述事情，排序正确的是（    ）    A． （1）（2）（3） B．（2）（1）（3） C．（1）（3）（2） D．（2）（3）（1） 5.（23-24八年级·全国·竞赛）在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块悬于盛有水的水槽中，使铁块完全浸没于水中（如图所示），然后匀速向上提起，直到铁块完全露出水面一定的高度，则下图中能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（    ）． A． B． C． D． 题型五 利用函数图像解决实际问题 1.（24-25七年级下·山东济宁·期末）“某市之约，跑者之说”．2025年4月6日某市马拉松激情开跑，这也是某市首次举办全马的赛事．为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．某同学报名参加“欢乐跑”马拉松比赛．若他跑步的“跑速”如图所示，则下列说法中正确的是（   ） ①前的平均速度大于最后的平均速度；②第和第的平均速度相同；③第的平均速度最大． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2.（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距千米，两车同时出发，两车出发后小时相遇；设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)普通列车到达终点共需 小时，它的速度是 千米/小时； (2)求动车的速度； (3)动车行驶多长时间与普通列车相距千米？ 3.（24-25八年级上·上海·期中）“龟兔首次赛跑”之后，兔子没有气馁，总结反思后约乌龟再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示乌龟从起点出发所行的时间，表示乌龟所行的路程，表示兔子所行的路程）．在理解的基础上填空： (1)兔子比乌龟晚 分钟出发； (2)乌龟跑了 米后在途中休息了 分钟； (3)兔子的速度是 米分； (4)乌龟休息后的速度比休息前慢了 米分． 4.（24-25七年级下·山西运城·期末）综合与实践 小明骑自行车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店．买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是__________米，小明在书店停留了__________分钟． (2)本次上学途中，一共用了__________分钟，小明一共骑行了__________米． (3)我们认为骑自行车的速度不超过300米/分为安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明骑车速度最快？最快速度在安全限度内吗？ 5.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图1，小钱家、体育公园和文具店依次在同一条笔直的马路上．某日，小钱从家出发，先到体育公园锻炼，再到文具店购买文具，然后按原路返回家中，小钱往返途中均是跑步，且速度不变．设小钱从家出发x分钟时，离家的距离为y米，y关于x的图象如图2所示： (1)体育公园与文具店的距离为 米； (2)求小钱在体育公园锻炼的时间； (3)求小钱跑步的速度． 1．A、B两地间的路程为690km，一辆汽车从A地出发以60km/h的速度匀速驶向B地． （1）写出行驶路程s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）画出这个函数的图象； （3）行驶8h时离B地还有多少路程？ 2．要做一个面积为12m2的长方形小花坛，该花坛的一边长为xm，另一边长为ym． （1）求y与x之间的函数表达式（x＞0）； （2）当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请表示出函数y的值（用表格表示）； （3）请画出函数的图象． 3.在一定限度内弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）有如下关系：（假设都在弹性限度内） 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 （1）由表格知，弹簧原长为 　　cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长 　　cm； （2）请写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围） （3）预测当所挂物体质量为10kg时，弹簧长度是多少； （4）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量． 4.（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）电动汽车在汽车市场占有率越来越高，耗电量也成为了大家关注的重点．研发人员在实验室进行了模拟实验，记录了一款电车在理想状态下的耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．但是电动汽车在实际使用时，耗电量受诸多因素的影响，在车身重量，路况，气温等因素恒定的情况下，研发人员又记录了该电车的实际耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．部分数据如下表：（注：速度为0时，通电状态下仍会消耗电） 0 1 2 3 4 5 10 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 (1)补全表格； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)结合函数图象该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为______测速单位． 5.某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 6.（23-24八年级·安徽滁州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B．长方形的周长是 C．当时， D．当时， 7.（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止，点P出发时的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数图象． (1)根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c，d的值； (2)设点P运动的路程为，请写出点P出发后，y与x的函数表达式； (3)当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2函数的图象 题型一 平面直角坐标系 1.在平面直角坐标系中，A、B两点的位置如图所示。 (1)写出A、B两点的坐标：； (2)若C()、D()，请在图示坐标系中标出C、D两点； (3)写出A、B、C、D四点到轴和轴的距离：点A到轴的距离为，到轴的距离为________；点B到轴的距离为________，到轴的距离为________；点C到轴的距离为________，到轴的距离为________；点D到轴的距离为________，到轴的距离为________； (4) 分析(3)中点的坐标与该点到坐标轴的距离的关系，利用你所发现的结论写出点P()到轴的距离为________，到轴的距离为________。 【答案】(1) A(2, 2) ， B(-3, 2) (3)点A：2，2；点B：2，3；点C：4，3；点D：3，3 (4) 【分析】(1)根据点的坐标的定义直接得出答案即可;(2)根据点的坐标的定义，在平面直角坐标系内画出点C、D即可;(3)根据点的坐标和意义得出答案即可;(4)得出规律:点到轴的距该点纵坐标的绝对值;点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值. 【详解】解：(1) 确定A、B两点的坐标 根据平面直角坐标系的坐标规则：横坐标是点到轴的水平距离，纵坐标是点到轴的垂直距离。 点A在轴正方向第2格，轴正方向第2格，所以坐标为 (2, 2)。 点B在轴负方向第3格，轴正方向第2格，所以坐标为 (-3, 2)。 (2) 标出C、D两点，如图所示 点C(-3, -4)：先在轴负方向找到-3的位置，再在轴负方向找到-4的位置，两者交点即为C点。 点D(3, -3)：先在轴正方向找到3的位置，再在轴负方向找到-3的位置，两者交点即为D点。 (3) 各点到坐标轴的距离 点A(2, 2)：到轴的距离是纵坐标的绝对值，即2；到轴的距离是横坐标的绝对值，即2。 点B(-3, 2)：到轴的距离是纵坐标的绝对值，即2；到轴的距离是横坐标的绝对值，即3。 点C(-3, -4)：到轴的距离是纵坐标的绝对值，即4；到轴的距离是横坐标的绝对值，即3。 点D(3, -3)：到轴的距离是纵坐标的绝对值，即3；到轴的距离是横坐标的绝对值，即3。 坐标与距离的关系对于任意点 P() ： 到轴的距离是（纵坐标的绝对值）。 到轴的距离是（横坐标的绝对值）。 最终答案： (1) A(2, 2) ， B(-3, 2) (3) 点A：2，2；点B：2，3；点C：4，3；点D：3，3 (4) 2.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：点关于轴对称， 横坐标取相反数为，纵坐标不变为， 因此对称点的坐标为． 故答案为：． 3.点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 点P的纵坐标恒为正，横坐标恒为负，故点P在第二象限． 【详解】解：点P的坐标为，其中纵坐标， ∵， ∴， ∴， 即横坐标， ∴点P在第二象限． 故选：B． 4.（2025八年级上·上海·专题练习）已知点，则点到轴的距离为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了点的坐标的几何意义，纵坐标的绝对值就是点到轴的距离．根据点在平面直角坐标系中的坐标特点解答即可． 【详解】解：点的纵坐标为7，其绝对值为7，故点到轴的距离为7； 故答案为7． 5.（25-26八年级上·四川广安·期中）已知， (1)画出关于轴对称的三角形，并写出的坐标； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，点关于轴对称的点的坐标特点，理解轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可，根据轴对称的性质写出点的坐标； （2） 的外接矩形面积减去其周围三角形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，就是所求的三角形，点的坐标为； （2）解：． 题型二 描点法画函数的图像 1．画出函数的图象． (1)列表： … －1 0 1 … … … (2)描点并连线； (3)判断点是否在函数的图象上？ (4)若点在函数的图象上，求出的值． 【答案】见解析. 【解析】 解：（1）列表： （2）描点并连线： （3）将代入函数解析式，得，因此A点不在函数的图象上； 将代入函数解析式，得，因此B点不在函数的图象上； 将代入函数解析式，得，因此C点在函数的图象上. （4）将点的坐标代入可得， 解得. 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）小王用描点法画函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象； 设一次函数为，把点代入，得，得到，再验证各点即可求出． 【详解】解：设一次函数为， 把点代入，得， ∴， 验证各点： 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； ∴数据错误． 故选：C． 3．（24-25九年级上·北京密云·期中）某温室在的温度范围内培育一种植物幼苗，该幼苗的生长速度受温度影响．为了提高幼苗的生长速度，研究人员尝试使用一种新型肥料．实验发现，肥料的用量也会显著影响幼苗的生长速度．以下是部分实验数据： 设肥料用量为x克，温度下的幼苗每天生长速度为厘米/天，25℃温度下的幼苗每天生长速度为厘米/天 x 0 2 3 4 6 7 8 10 1.0 1.5 1.6 1.8 1.7 1.6 1.2 1.1 1.1 1.6 1.7 1.9 1.6 1.4 1.3 1.2 (1)在不使用肥料的情况下，该幼苗在时的生长速度是______厘米/天； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在下，使用约______克的肥料时，幼苗的生长速度最快（结果保留一位小数）； ②若希望幼苗的生长速度在和下都不低于1.5厘米/天，肥料的用量最少为______克，最多约为______克．（结果保留一位小数）． 【答案】(1)1 (2)见详解 (3)①5.0；②2.0，6.5 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象 【分析】本题主要考查了函数的图象等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由表格可直接得解； （2）描点连线即可； （3）①根据数据和函数图象观察即可得解；②根据表格数据和函数图象观察即可得解． 【详解】（1）解：由表格可知幼苗在时的生长速度是1.0厘米天， 故答案为：1； （2）解：函数图象如下图； （3）解：①由图象观察可知，当时，最大， 故答案为：5.0； ②由表格和图象我们发现，当时，和都不低于1.5厘米天， 此时最少用料为2.0克，最多为6.5克； 故答案为：2.0，6.5． 题型三 从函数图像中获取信息 1．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） ①当分钟时甲乙两人相遇； ②甲的速度为40米/分钟； ③乙的速度为50米/分钟； ④乙到达目的地时，甲离目的地的距离为800米． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【解析】解：根据图象信息，当分钟时甲乙两人相遇，故①正确； 甲的速度为米/分钟，故②正确； 甲、乙两人的速度和为米/分钟， 乙的速度为米/分钟，故③错误； 乙到达目的地时，甲离目的地的距离为：米故④正确． 故选C． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，点是关于的函数图象上一点．当点沿图象运动，横坐标增加时，相应的纵坐标（    ） A．减少 B．减少 C．增加 D．增加 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象，读图获得信息，理解横坐标增加的含义是解决本题的关键．根据点的横坐标增加时，即横坐标是时，对应的点的纵坐标是，即可解答． 【详解】解：点的坐标是，横坐标增加时，即横坐标是时，对应的点的纵坐标是，因而横坐标增加时，相应的纵坐标减少． 故选：A． 3．（25-26九年级上·北京·月考）某公司为了研究月宣传费（单位：万元）（）对销售量（单位：吨）和月利润（单位：万元）的影响，搜集了近10个月的月宣传费和月销售量数据： 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 1.15 1.50 1.70 1.85 1.96 2.05 2.13 2.19 2.25 2.30 (1)在表格中各数对所对应的点中的一部分已经在如图的平面直角坐标系中标出，请描出所缺的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接； (2)若，请借助函数图像，回答下列问题： ①当月宣传费约为__________（精确到0.1）时，； ②当月宣传费约为__________（精确到0.1）时，取最大值，该最大值约为___________（精确到0.1）． 【答案】(1)见解析 (2)①4.5②1.0；2.0 【分析】本题主要考查从函数图像获取信息的能力，正确画图是解答本题的关键． （1）根据表格中的数据，补全未标出的点的坐标，并用平滑的曲线连接起来即可； （2）①观察函数图像可得结论； ②观察函数图像可得结论． 【详解】（1）解：在坐标系中补出数对和，并用平滑的曲线连接； （2）解：①当时，对应的的值为4.5，精确到0.1是4.5； ②由图像可得当月宣传费约为1.0（精确到0.1）时，取最大值，该最大值约为2.0． 故答案为：①4.5②1.0，2.0． 4.（23-24八年级·河南许昌·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（）之间的关系如图2所示．从图中获取的信息错误的是（    ） A．变量y是x的函数 B．摩天轮转一周所用的时间是 C．摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m D．摩天轮的半径是35m 【答案】D 【分析】分别根据函数的定义以及图象的数据逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得： A、变量y是x的函数，说法正确，故本选项不合题意； B、摩天轮转一周所用的时间是6min，说法正确，故本选项不合题意； C、摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m，说法正确，故本选项不合题意； D、摩天轮的半径是：（70-5）÷2=32.5（m），原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 5.如图，l1反映了某公司产品的销售收人与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断：当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量必须　 　 【答案】大于4． 【解析】解：根据图象分析可得：当销售量大于4时，在的上方，即收入大于成本． 故答案为：大于4． 题型一 与平面直角坐标系有关的探究 1.（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）若点在轴上，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查坐标轴和各象限上的点的坐标特点，熟练掌握各象限上的点的坐标特点是解题的关键． 根据y轴上点的横坐标为0，求出n的值，再代入点B的坐标，即可判断其所在象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得：， ∴点， ∴点在第四象限． 故答案为：四 2.（25-26八年级上·浙江宁波·期中）点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知点所在象限求参数，根据点P在第四象限，则其横坐标为正，纵坐标为负，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标, 解得：, 解得：，即, ∴a的取值范围是, 故选B． 3.（25-26八年级上·陕西西安·期中）以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及点坐标所在的象限，熟练掌握二元一次方程组的解法及点坐标所在的象限特征是解题的关键；通过解二元一次方程组求得点的坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限即可． 【详解】解：解方程组，得：， ∴点的坐标为， ∵，， ∴点在第四象限； 故选：D． 4.（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过A点作轴，交y轴于D点，过B点作轴于G点，的延长线与的延长线相交于E点，过C点作轴于H点，的延长线与的延长线相交于F点，根据证明，则可得，．结合点，，可求得，，进而可得C点的坐标为． 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图， 过A点作轴，交y轴于D点，过B点作轴于G点，的延长线与的延长线相交于E点，过C点作轴于H点，的延长线与的延长线相交于F点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵C点在第四象限， ∴C点的坐标为． 故选：B． 5.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点 O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位。其行走路线如图所示。 (1) 填写下列各点的坐标： A1​(___,___)， A4​(___,___)， A12​(___,___)； (2) 写出点 A4n​ 的坐标 (是正整数)； (3) 指出蚂蚁从点 A100​ 到 A101​ 的移动方向。 【答案】(1) A1​(0,1)，A3​(1,0)，A12​(6,0) (2) A4n​(2n,0) (3) 移动方向为向上 【分析】(1) 在平面直角坐标系中可以直接找出答案； (2) 根据求出的各点坐标，得出规律； (3) 点 A100​ 中的 正好是 4 的倍数，根据 (2) 题的答案可以分别得出点 A100​ 和 A101​ 的坐标，由此可以得到蚂蚁从点 A100​ 到 A101​ 的移动方向。 【详解】解：(1) 求各点坐标 蚂蚁的移动规律是：向上→向右→向下→向右，每 4 步为一个循环。 A1​：从原点O(0,0)向上移动 1 个单位，坐标为 (0,1) A3​：从A2​(1,1)向下移动 1 个单位，坐标为 (1,0) A12​：12÷4=3，完成 3 个完整循环，横坐标为 2×3=6，纵坐标为 0，坐标为 (6,0) (2) 求点A4n​的坐标 观察循环规律： A4​(2,0)，A8​(4,0)，A12​(6,0) 横坐标：2=2×1，4=2×2，6=2×3，即横坐标为 2n 纵坐标始终为 0 因此，点A4n​的坐标为 (2n,0)（n 是正整数） (3) 蚂蚁从A100​到A101​的移动方向 100=4×25，所以A100​符合A4n​的规律，坐标为 (2×25,0)=(50,0) 下一个点A101​是新循环的第一步，移动方向为向上。 题型二 点的坐标特征的应用 1.（25-26八年级上·广东惠州·期中）已知点和关于轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了关于y轴对称的点的坐标特征， 根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出x和y的值，然后代数求解即可． 【详解】∵点和关于轴对称， ∴， ∴． 故答案为：1． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征以及象限内点的坐标符号特征，熟练掌握关于轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标不变是解题的关键． 先根据关于轴对称的点的坐标特征求出对称点的坐标，再根据坐标的符号判断所在象限． 【详解】解：关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 点关于轴对称的点的坐标为． 因为横坐标，纵坐标， 所以该点在第四象限． 故答案为：四． 3.（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特点，熟练掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题的关键． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可求出，，进而求得的值． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点的坐标为， ∴，， ∴． 故答案为：7． 4.（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，三个顶点的坐标分别为、、． (1)若与关于y轴成轴对称，则三个顶点坐标分别为： ， ，______； (2)若P为x轴上一点，则当P点坐标是______时，值最小； (3)计算的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，最短路径问题． （1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）作出点A的对称点，连接，则与x轴的交点即是点P的位置； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【详解】（1）解：根据题意得，的坐标为、的坐标为、的坐标为， 故答案为：，，； （2）解：如图所示： 作出点A的对称点，连接，则与x轴的交点即是点P的位置， 此时， ∴， 即的最小值等于的长， 则P为， 故答案为：； （3）解：的面积． 题型三 代入法判断点是否在函数图像上 1.（23-24八年级·全国·课后作业）画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 … y … … (2)描点并连线； (3)判断点，，是否在函数的图象上； (4)若点在函数的图象上，求出m的值． 【答案】(1)3，1，-1 (2)见解析 (3)点A、B不在函数的图象上，点C在其图象上 (4)-4 【分析】本题考查了画函数的图象，函数图象上的点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标特征是解题的关键 （1）分别把的值代入函数的解析式，计算求出的值； （2）在平面直角坐标系中描出点、和，再连线即可； （3）分别把点的横坐标代入函数的解析式，计算求出点的纵坐标，再判定即可； （4）把点的坐标代入函数的解析式建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：3，1，； （2）解：如图： （3）解：∵当时，； 当时，； 当时，， ∴点不在函数的图象上，点C在其图象上． （4）解：∵点在函数的图象上， ∴，解得． 2.画出直线的图象，利用图象求： (1)当时，的取值范围； (2)当时，的取值范围； (3)当时，对应的取值范围． 【答案】(1)当时，；(2)当时，；(3)当时，. 【详解】 当，；当，，过点（画直线得到的图象，如图，（1）当时，； （2）当y＜0时，； （3）当时，． 3.已知函数. (1)试判断点和点B 是否在此函数的图象上； (2)已知点在此函数的图象上，求的值． 【答案】（1）在；（2）2 【分析】函数图象上的任意点P(x，y)中的x，y都满足函数关系，另一方面，满足函数关系的任意一对有序实数对(x，y)所对应的点一定在函数的图象上． 【详解】解：（1）因为当时，， 所以点A不在函数的图象上． 因为当时，， 所以点B在函数的图象上． （2）因为点在函数的图象上， 所以把，代入， 得1. 解得. 题型四 实际问题中的函数图像 1.（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）童童去奥体中心观看音乐会，她先匀速步行至轻轨车站，等了一会，又搭乘轻轨至奥体中心，演出结束后搭乘刘叔叔车顺利回到家．下图中表示童童离家后所用的时间，表示他离家的距离．下列能反映与的函数关系的大致图像的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数图像，根据童童的活动得出函数图像是解题关键，注意选项B中步行的速度快不符合题意． 根据步行速度慢，路程变化慢，等车时路程不变化，乘轻轨时路程变化快，看音乐会时路程不变化，回家时乘车路程变化快，可得答案． 【详解】解：步行时变化慢，等车路程不变化，乘轻轨时路程变化快，看音乐会路程不变化，回家路程变化快．只有选项A符合． 故选：A． 2.（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满．在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象,解决本题的关键是根据容器的高度相同,每部分的粗细不同得到用时的不同．容器内水面高度h随时间t变化而分两个阶段， 【详解】解:底层的容器底面半径较大,容器内水面高度h随时间t的增大而增长缓慢,用时较长;上层容器底面半径较小,容器内水面高度h随时间t的增大而增长较快. 故选:A. 3.（23-24·浙江绍兴·一模）小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里.表示离家路程，表示骑行时间，下列函数图象能表达这一过程的是（    ） A． B． C．   D．   【答案】D 【分析】因为小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，可求其行驶的路程对照排除错误选项，“在原地休息”对应在图象上表示时间在增加，而距离不变，即这一线段与x轴平行，“回到原出发地”表示终点的纵坐标为0，综合分析选出正确答案． 【详解】解：∵（米）=2（千米）， ∴小刚以400米/分的速度匀速骑车5分行驶的路程为2千米， 而选项A与B中纵轴表示速度，且速度为变量，这与事实不符，故排除选项A与B， 又∵“回到原出发地”表示终点的纵坐标为0， ∴排除选项C， 故选：D． 4.（23-24八年级·江苏镇江·期末）周末，小丽同学做了以下几件事情： 第一件：小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数的关系： 第二件：小丽去奶奶家吃饭，饭后，和奶奶聊一会天，然后再按原速度原路返回，小丽离家的距离与时间的关系； 第三件：小丽和奶奶聊天时，了解到：奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间的关系． 用下面的函数图像刻画上述事情，排序正确的是（    ）    A． （1）（2）（3） B．（2）（1）（3） C．（1）（3）（2） D．（2）（3）（1） 【答案】C 【分析】小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数成正比例关系；小丽去奶奶家吃饭，小丽离家的距离从0开始变大，到达奶奶家吃饭的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至变为0；奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间成一次函数的关系，据此即可得到答案． 【详解】解：小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数成正比例关系， 该变化对应图象（1）， 小丽去奶奶家吃饭，饭后，和奶奶聊一会天，然后再按原速度原路返回， 该变化对应图象（3）， 奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间成一次函数关系， 该变化对应图象（2）， 故选：C． 5.（23-24八年级·全国·竞赛）在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块悬于盛有水的水槽中，使铁块完全浸没于水中（如图所示），然后匀速向上提起，直到铁块完全露出水面一定的高度，则下图中能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实际问题在两个变量的变化关系，利用函数图象表示． 由题意，铁块被提起的过程中，离开水面前弹簧读数不变，离开水面的过程中，读书越来越大，全部离开水面后，读数不变，由此得到图象． 【详解】解：由题意，铁块被提起的过程中，离开水面前弹簧读数不变，离开水面的过程中，读数越来越大，全部离开水面后，读数不变，故弹簧秤的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位）之间的函数关系的大致图象为B； 故选：B． 题型五 利用函数图像解决实际问题 1.（24-25七年级下·山东济宁·期末）“某市之约，跑者之说”．2025年4月6日某市马拉松激情开跑，这也是某市首次举办全马的赛事．为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．某同学报名参加“欢乐跑”马拉松比赛．若他跑步的“跑速”如图所示，则下列说法中正确的是（   ） ①前的平均速度大于最后的平均速度；②第和第的平均速度相同；③第的平均速度最大． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查从图象中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可． 【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间， 由于前的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故①说法错误； 第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选②说法正确； 由图可知，第配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故③说法正确； 综上所述：说法正确的是②③． 故选：B． 2.（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距千米，两车同时出发，两车出发后小时相遇；设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)普通列车到达终点共需 小时，它的速度是 千米/小时； (2)求动车的速度； (3)动车行驶多长时间与普通列车相距千米？ 【答案】(1)， (2)千米/小时 (3)小时或小时 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查函数图象的应用，熟练掌握两人单线型行程问题的图象中的各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键． （1）先得出两地相距千米，根据时的实际意义可得普通列车共需时间，由速度路程时间可得答案； （3）设动车的速度为千米/小时，根据“动车小时行驶的路程普通列车小时行驶的路程”列方程求解可得； （4）分两种情况：①相遇前；②相遇后进行讨论，可得答案． 【详解】（1）解：由时，， 则西宁和西安两地相距千米， 由图象知时，普通列车到达西安， 即普通列车到达终点共需小时， 故普通列车的速度是（千米/小时）， 故答案为：，； （2）解：设动车的速度为千米/小时， 根据题意，得：， 解得：， 答：动车的速度为千米/小时； （3）解：①当相遇前动车行驶与普通列车相距千米， 根据题意得：（小时）， ∴相遇前动车行驶小时与普通列车相距千米； ②当相遇后动车行驶与普通列车相距千米， 由当动车到达终点时用时（小时）， 此时两车相距， 即两车相距千米是在动车到达终点之前， 根据题意得：（小时）， ∴相遇后动车行驶小时与普通列车相距千米； 综上，动车行驶小时或小时与普通列车相距千米． 3.（24-25八年级上·上海·期中）“龟兔首次赛跑”之后，兔子没有气馁，总结反思后约乌龟再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示乌龟从起点出发所行的时间，表示乌龟所行的路程，表示兔子所行的路程）．在理解的基础上填空： (1)兔子比乌龟晚 分钟出发； (2)乌龟跑了 米后在途中休息了 分钟； (3)兔子的速度是 米分； (4)乌龟休息后的速度比休息前慢了 米分． 【答案】(1)； (2)，； (3)； (4)． 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（）由函数图象即可求解； （）由函数图象即可求解； （）由函数图象可得兔子的速度是米分； （）分别求出休息前的速度和乌龟休息后的速度，然后相减即可； 本题考查了从函数的图象获取信息，读懂题意，通过函数图象获取信息是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可得：兔子比乌龟晚出发分钟， 故答案为：； （2）解：由函数图象可得：乌龟跑了米后在途中休息了分钟， 故答案为：，； （3）解：由函数图象可得兔子的速度是（米分）， 故答案为：； （4）解：由函数图象可得乌龟休息前的速度为（米分）， 乌龟休息后的速度为（米分）， ∴乌龟休息后的速度比休息前慢了（米分）， 故答案为：． 4.（24-25七年级下·山西运城·期末）综合与实践 小明骑自行车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店．买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是__________米，小明在书店停留了__________分钟． (2)本次上学途中，一共用了__________分钟，小明一共骑行了__________米． (3)我们认为骑自行车的速度不超过300米/分为安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明骑车速度最快？最快速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)1800；4 (2)15；3000 (3)在12~15分钟小明的骑车速度最快，最快速度不在安全限度内 【分析】（1）观察图像即可得解； （2）观察图像可知本次上学途中，一共用了15分钟．将0~6分钟，6~8分钟， 12~15分钟，小明骑车的路程相加，即可得小明一共骑行的路程； （3）将0~6分钟，6~8分钟， 12~15分钟，小明骑车的速度分别求出来即可得解． 【详解】（1）解：根据题图可知，小明家到学校的距离是1800米，小明在书店停留了分钟． （2）解：根据题图可知，本次上学途中，一共用了15分钟， 小明一共骑行了米 故答案为：15，3000 （3）解：0~6分钟，速度为米/分； 6~8分钟，速度为米/分； 12~15分钟，速度为米/分； 400米/分300米/分 ∴整个上学途中在12~15分钟时间段小明骑车速度最快，最快速度不在安全限度内． 5.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图1，小钱家、体育公园和文具店依次在同一条笔直的马路上．某日，小钱从家出发，先到体育公园锻炼，再到文具店购买文具，然后按原路返回家中，小钱往返途中均是跑步，且速度不变．设小钱从家出发x分钟时，离家的距离为y米，y关于x的图象如图2所示： (1)体育公园与文具店的距离为 米； (2)求小钱在体育公园锻炼的时间； (3)求小钱跑步的速度． 【答案】(1)1500 (2)20（分钟） (3)100（米/分钟） 【分析】本题主要考查函数的图象． （1）由图可知：列式，计算即可； （2）由图可知：列式计算即可； （3）由图可知：列式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ∴体育公园与文具店的距离为1500米， 故答案为：1500． （2）解：由图可知：小钱在体育公园锻炼的时间为（分钟）． （3）解：由图可知：小钱跑步到体育公园所用的时间为5分钟，跑步的路程为500米， 所以小钱跑步的速度为（米/分钟）． 1．A、B两地间的路程为690km，一辆汽车从A地出发以60km/h的速度匀速驶向B地． （1）写出行驶路程s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）画出这个函数的图象； （3）行驶8h时离B地还有多少路程？ 【分析】（1）利用速度×时间＝路程，得出等式即可，进而求出自变量取值范围； （2）利用正比例函数图象画法得出答案． （3）根据离B地的距离＝690﹣s求得即可． 【解答】解：（1）∵某汽车行驶的速度为60km/h，行驶的时间为t小时，行驶的路程为skm． ∴s与t之间的函数关系式为：s＝60t，自变量t的取值范围是：0≤t≤11.5； （2）如图所示： （3）行驶8h时离B地的距离为690﹣60×8＝210（km）． 2．要做一个面积为12m2的长方形小花坛，该花坛的一边长为xm，另一边长为ym． （1）求y与x之间的函数表达式（x＞0）； （2）当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请表示出函数y的值（用表格表示）； （3）请画出函数的图象． 【分析】（1）根据长方形面积等于长乘宽即可得函数表达式； （2）根据解析式代入计算及可得相应的值； （3）根据列表，在直角坐标系中描点、连线即可． 【解答】解：（1）与之间的函数表达式是y（x＞0）； （2）当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，函数y的值如下： （3）函数的图象如下： 3.在一定限度内弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）有如下关系：（假设都在弹性限度内） 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 （1）由表格知，弹簧原长为 　　cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长 　　cm； （2）请写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围） （3）预测当所挂物体质量为10kg时，弹簧长度是多少； （4）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量． 【分析】（1）由表格可得弹簧原长以及所挂物体每增加1kg弹簧伸长的长度； （2）由（1）中结论可求出弹簧总长（cm）与所挂重物（kg）之间的函数关系式． （3）令时，求出的值即可． （4）令时，求出的值即可． 【解答】解：（1）由表可知：弹簧原长为12cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长0.5cm， 故答案为：12，0.5； （2）弹簧总长（cm）与所挂重物（kg）之间的函数关系式为； （3）当时，， ∴当所挂物体质量为10kg时，弹簧长度为17cm； （4）当时，， 解得， ∴所挂物体的质量为16kg． 4.（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）电动汽车在汽车市场占有率越来越高，耗电量也成为了大家关注的重点．研发人员在实验室进行了模拟实验，记录了一款电车在理想状态下的耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．但是电动汽车在实际使用时，耗电量受诸多因素的影响，在车身重量，路况，气温等因素恒定的情况下，研发人员又记录了该电车的实际耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．部分数据如下表：（注：速度为0时，通电状态下仍会消耗电） 0 1 2 3 4 5 10 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 (1)补全表格； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)结合函数图象该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为______测速单位． 【答案】(1)补全表格见解析； (2)图见解析； (3)3 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数图象的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据题意，补全表格； （2）根据（1）的表格，描点，连线，即可画出这两个函数的图象； （3）找到两图象的交点，即可求解． 【详解】（1）解：观察表格，车速每增加一个单位，耗电量增加5个单位， 则当时，， 补全表格如图； 0 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 （2）解：描点，连线，画出这两个函数的图象如图； ； （3）解：由图象可知，当理想状态下与实际测试中耗电量相同时，的值约为3，故该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为3测速单位． 故答案为：3 5.某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 【详解】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 6.（23-24八年级·安徽滁州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B．长方形的周长是 C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长，然后选项计算，选项A、B、C都可证正确，选项D，面积为8时，对应值不为10，所以错误． 【详解】解：由图2可知，长方形MNPQ的边长，MN=9-4=5，NP=4，故选项A正确； 选项B，长方形周长为2×（4+5）=18，正确； 选项C，时，点R在QP上，△MNR的面积×5×4=10，正确； 选项D，时，即，解得， 或，解得， 所以，当时，或9.8，故选项D错误； 故选：D． 7.（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止，点P出发时的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数图象． (1)根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c，d的值； (2)设点P运动的路程为，请写出点P出发后，y与x的函数表达式； (3)当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)，，，； (2)； (3)当出发4秒，9秒，12秒时，是等腰三角形． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据三角形的面积公式可求，根据路程、速度、时间的关系可求的值； （2）确定与的等量关系后列出关系式即可； （3）先计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的的值，若解出的值在对应的分段区间内，则的值即为所求的解，反之则不是,分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵出发时速度为，由图②得当为48时，对应的时间为秒， ∴图①中，， 即， ∴， ∵在上运动时， 面积不变，因此图②中水平线段表示在上运动时对应的与之间关系， ∴表示运动到了点，由至14即由8秒到14秒共6秒钟，面积由增加至，增加了，即， ∴， 在上速度为， ， ∴， 当运动到时停止，此时，即对应图②中秒， 在上速度为， ， ∴， 即，，，； （2）解：前8秒速度为， ，8秒后速度为， ∴， 因此； （3）解：如图③当时， 中， ∴， ∴， 同理当时， 中，， ∴， ， 当时， 在的垂直平分线上， 即为的中点， ， ∴， ， 即当出发4秒或9秒或12秒时，是等腰三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $