第五章 二元一次方程组（知识清单）数学新教材北京版七年级下册

第五章 二元一次方程组 知识点01 二元一次方程（组）的相关概念 二元一次方程 【概念】含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【三要素】1、有且只有两个未知数；2、含有未知数的项的次数为1；3、方程两边都是整式. 【二元一次方程的解】一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 二元一次方程组 【概念】方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 【二元一次方程组的解】一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·北京顺义·期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义．二元一次方程组的定义的三要点：（1）只有两个未知数；（2）未知数的项最高次数都应是一次；（3）都是整式方程．据此可来逐项分析解题． 【详解】解：A、是二次的，此选项错误； B、方程组含有3个未知数，是三元的，此选项错误； C、符合二元一次方程组的定义，此选项正确； D、是分式，此选项错误． 故选：C． 2．（24-25七年级下·北京东城·期末）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义；熟练掌握二元一次方程组的概念是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，需满足两个未知数、次数均为1且为整式方程． 【详解】A． 是代数式而非方程（无等号），不符合条件，故该选项不符合题意； B． 含三个未知数（），属于三元一次方程，不符合二元条件，故该选项不符合题意； C．可整理为 ，含两个未知数和，次数均为1，且为整式方程，符合条件，故该选项不符合题意； D． 中，含的分母，不符合整式方程要求，故该选项不符合题意； 故选：C． 知识点02 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 【定义】把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2、代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1、方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2、当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 2.加减消元法 【定义】当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2、加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【即时训练】 3．（24-25七年级下·北京丰台·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：， 由①得， 把③代入②得， ∴， 解得 把代入③，得 ∴原方程组的解为． （2）解：， 则化简得， 得， 解得， 将代入②，得， ∴， ∴原方程组的解为 4．（24-25七年级下·北京西城·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，灵活选用解二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）方程组运用代入法进行计算即可； （2）方程组整理后运用代入法求解即可． 【详解】（1）解：， 由①得，，③ 把代入②得，， 解得，， 把代入③得，， 所以，方程组的解为； （2）解：方程组整理为 把②代入①得，， 拟，方程组的解为． 知识点03 三元一次方程组的相关概念 三元一次方程组的定义 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 【即时训练】 5．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 6．（24-25七年级下·北京大兴·期末）有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲3件、乙5件、丙7件共需要490元；②购买甲4件、乙7件、丙10件共需要690元；③购买甲2件、乙3件、丙1件共需要170元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？ 欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案． 乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案． (1)请你根据欢欢的思路解决问题． (2)你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用， 对于（1），先设甲，乙，丙商品的单价，再根据总价相等列出三元一次方程组，求出解即可； 对于（2），仿照（1）列出两个方程，再根据整体的思想求出答案即可． 【详解】（1）解：设甲，乙，丙商品的单价为x元，y元，z元，根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需90元； （2）解：乐乐的说法正确． 设购买甲，乙商品的单价为x元，y元，根据题意，得 ， 得． 答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需90元． 知识点04 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【即时训练】 7．（24-25七年级下·北京·期末）某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每个足球的价格相同）；若购买2个篮球和3个足球共需340元，购买1个篮球和2个足球共需200元． (1)求篮球、足球的单价各是多少元； (2)根据学校的实际需要，需一次性购买篮球30个和足球15个．问购买篮球和足球的总费用是多少？ 【答案】(1)篮球的单价是80元，足球的单价是60元 (2)3300元 【分析】（1）设出未知数，根据购买2个篮球和3个足球共需340元，购买1个篮球和2个足球共需200元，列出方程组，解方程组； （2）根据篮球和足球的单价，列出算式计算． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价是80元，足球的单价是60元； （2）解：根据题意得： （元）． 答：购买篮球和足球的总费用是3300元． 8．（24-25七年级下·北京海淀·期末）某农场现有一批苹果要运往当地水果市场，农场准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 13 第2次 4 5 22 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨苹果？ (2)若农场共有18吨苹果，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？ 【答案】(1)每辆甲种货车可装3吨苹果，每辆乙种货车可装2吨苹果 (2)农场有两种方案：租用2辆甲种货车和6辆乙种货车，或租用4辆甲种货车和3辆乙种货车 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． （1）根据表格中两次运输的车辆数与总吨数，设未知数列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用甲、乙两种货车的数量，根据总吨数列出方程，结合车辆数为正整数求解所有可能组合． 【详解】（1）解：设每辆甲种货车可装x吨苹果，每辆乙种货车可装y吨苹果， 依题意，得， 解得． 答：每辆甲种货车可装3吨苹果，每辆乙种货车可装2吨苹果； （2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 当时，， ∴农场有两种方案：租用2辆甲种货车和6辆乙种货车，或租用4辆甲种货车和3辆乙种货车； 答：农场有两种方案：租用2辆甲种货车和6辆乙种货车，或租用4辆甲种货车和3辆乙种货车． 一、二元一次方程（组） 1.二元一次方程的定义 错误：混淆二元一次方程的概念 注意：二元一次方程有两个未知数，且未知数的最高次数为1的等式； 1．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟知定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：A．中，未知数次数为2，不是二元一次方程； B．中，含有两个未知数x和y，且次数均为1，是整式方程，是二元一次方程； C．中含有分式，不是整式方程，不是二元一次方程； D．中只有一个未知数，且次数为2，不是二元一次方程； 故选：B． 2.二元一次方程组的概念 错误：混淆二元一次方程组的概念 注意：两个二元一次方程结合起来的即为二元一次方程组； 2．（24-25七年级下·北京通州·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组中应只含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1．根据二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 含二次项xy，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意，     B． 含三个未知数，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意，     C． 是二元一次方程组，故该选项符合题意，     D． 含二次项，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意 故选：C． 3.二元一次方程组的解 错误：求二元一次方程组的解时忘记验证答案的正确性 注意：要学会验证二元一次方程组的解 3．（24-25七年级下·北京·期末）若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是满足方程组中每个方程未知数的值是解题的关键． 将已知的a、b值代入方程组得到关于x、y的方程组，再通过方程变形求出的值． 【详解】解：∵关于a、b二元一次方程组的解是， ∴，化简得：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得． ∴的值为3． 故选B． 二、二元一次方程组的解法 1.不知道运用代入消元法还是加减消元法 错误：不确定用哪个消元法解二元一次方程组 注意：观察式子的类型，代入消元方便的用代入消元法； 4．（24-25七年级下·北京石景山·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可得； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可得． 【详解】（1）解： ， 把①代入②得：， 解得， 将代入①得： 解得， 则方程组的解为； （2）解：， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 则方程组的解为． 2.整体思维解二元一次方程组 错误：不会运用整体思维解二元一次方程组 注意：要学会将复杂式子的某一部分当作整体，可以通过换元的方式解决 5．（24-25七年级下·北京海淀·期末）（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得． 所以原方程组的解是． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法解答． 请直接写出方程组的解为________； （2）实践运用： 请用“整体代入法”解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】解： 由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2） 由①得， 将③代入②得：， 解得， 将代入③，得， 解得， 则原方程组的解为． 3.二元一次方程组的含参问题 错误：含参问题无从下手 注意：将二元一次方程组的解用参数表示，再根据题目要求列出式子求解即可。 6．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解方程组的方法是关键．两个方程相减可得，与联立组成方程组，求出方程组的解即可求出答案． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴解方程组得：， ∴． 三、三元一次方程组 1.三元一次方程组的解法与应用 错误：解三元一次方程组时方法麻烦，导致错误； 注意：三元一次方程组的解法主要核心是消元，学会将三元转为二元，再转为一元即可； 7．（24-25七年级下·北京西城·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 请根据上述思想解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)11，5 (2)2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）由题意列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， ①②可得：， ①②可得：； （2）∵，， ∴，， ∴， ①②可得：． 四、二元一次方程组的应用 1.销售问题 错误：找不到等量关系 注意：正确审题，根据题目中所给的数量关系和相对应的公式，列出方程即可求解； 8．（24-25七年级下·北京丰台·期末）年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每件A型航模元，每件B型航模元 (2)张老师共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据“购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m件A型航模，n件B型航模，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每件A型航模x元，每件B型航模y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件A型航模元，每件B型航模元． （2）解：设购买m件A型航模，n件B型航模， 根据题意得：， ． 又∵m，n均为正整数， 或． ∴张老师共有2种购买方案， 方案1：购买4件A型航模，1件B型航模； 方案2：购买1件A型航模，3件B型航模． 2.方案问题 错误：找不到等量关系 注意：正确审题，根据题目中所给的数量关系和相对应的公式，列出方程即可求解； 9．（25-26七年级上·北京海淀·期末）列方程解应用题： “太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术，经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高，我国培育成功的太空育种鲜花“延丹1号”山丹丹单价为29元/盆，“太空玫瑰”单价为99元/盆．为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共200盆，若购买这两种鲜花的总价为9300元，请计算购买“延丹1号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数． 【答案】购买“延丹1号”山丹丹150盆，购买“太空玫瑰”50盆 【分析】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，找到题目中的等量关系是解题的关键； 根据“购买这两种太空育种鲜花共200盆，购买这两种鲜花的总价为9300元”列方程即可． 【详解】解：设购买“延丹1号”山丹丹x盆,购买“太空玫瑰”y盆． 根据题意得： 解得 答：购买“延丹1号”山丹丹150盆，购买“太空玫瑰”50盆． 3.行程问题 错误：找不到等量关系 注意：正确审题，根据题目中所给的数量关系和相对应的公式，列出方程即可求解； 10．（24-25七年级下·北京石景山·期末）甲乙二人分别从相距千米的A，两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么小时后两人还相距千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？ 【答案】甲每小时走千米，乙每小时走千米 【分析】设甲每小时走千米，乙每小时走千米，根据题意列出方程组解答即可． 【详解】解：设甲每小时走千米，乙每小时走千米， 根据题意，得． 整理，得． 解得． 答：甲每小时走千米，乙每小时走千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系． 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解是解题的关键． 根据方程的解的定义把代入二元一次方程中，再解关于a的方程，即可求出a的值． 【详解】解：代入二元一次方程，得 ， 解得：， 故选：C． 2．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，以及将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程组即可． 【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺，由题意，得： ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）已知当时，且，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，由当时，，且，可得，即可得，而当时，整体代入可得答案． 【详解】解：∵当时，，且， ∴， 得：③， 得：④， 得：， 当时， ， 故选：B． 4．（24-25七年级上·北京·期中）正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组，设这三个数为、、，由题意可得，整理得出，再将各个选项代入计算即可得解． 【详解】解：设这三个数为、、， 由题意得：， 整理得：， 、将1，4，6代入可得：，故不符合题意； B、将6，4，1代入可得：，故不符合题意； C、将6，2，5代入可得：，故不符合题意； D、将5，2，6代入可得：，故符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级上·北京·期中）小明运用七年级上册的知识设计了一台数值转换机，只要依次输入两个整数，，则输出的结果为．比如小明依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算．下列说法： ①若依次输入，则最后输出的结果是13； ②若将这5个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示一个结果．在所有的结果中，最大值是11，最小值是； ③若将三个互不相等的正整数x，y，5按照任意顺序一个一个地输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m．若m的最小值是，那么m的最大值可能是． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查的是数字的变化规律，二元一次方程组的应用，通过列举计算并验证是解题的关键．根据有理数的减法法则计算即可判断①；利用和计算，可求得最大值和最小值，可判断②；分六种情况讨论，可判断③． 【详解】解：①根据题意， ，故①正确； ②将，2，，4，这5个整数任意地一个一个输入， ， ， 则最大值为11，最小值为，故②正确； ③，，5是三个互不相等的正整数， 若，则，，即，， 此时，（舍去）； 若，同理得：，（舍去）； 若，则，，即，，无解， 若，同理得：无解； 若，则，，即，，解得：，； 若，同理得：，； 故③正确． 综上，正确的有①②③， 故选：A． 6．（24-25七年级上·全国·期末）在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意列出方程组，难度一般．根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，可得出方程组，解出即可． 【详解】解：由题意可知， 解得 故选：B． 7．（24-25七年级下·北京海淀·期末）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，则，再解方程组即可得到答案． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元， 由题意得， 得：， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴， ∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元， 故选：D． 8．（24-25七年级下·北京丰台·期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的表面展开图、解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，“”字两端是对面，可得：与是相对面，与是相对面，与是相对面，然后根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：与是相对面，与是相对面，与是相对面， 相对两面的数字之和相等， 可得：， 解得：． 故答案为： ． 9．（24-25七年级下·北京顺义·月考）关于x，y的方程组的解满足，则a的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先用表示，再代入，即可解答，熟练计算二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， 由①得， 把③代入②可得，， 解得， 把代入③，可得， ， ， 解得， 故答案为：. 10．（24-25七年级下·北京·月考）在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 __________． 【答案】44 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为，，根据图形找出等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解之得， 小长方形的长、宽分别为，， ， ． 故答案为：44． 11．（24-25七年级下·北京通州·期末）小明在解关于x，y的二元一次方程组 时，只抄对了 ，，求出的解为 ，他核对时发现所抄的c比原方程组的c值小1，则原方程组的解为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的错解复原，把代入可得，再进一步解题即可. 【详解】解：由题意可得：， 方程组的解为：， ∴， 解得：， ∴原方程组为：， ②①得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； 故答案为：． 12．（24-25七年级下·北京·期末）已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，依据题意重新组成方程组求得x，y的值，再将x，y值代入得到关于a，b的方程组，解方程组再代入求值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与方程组有相同的解， ∴，解得：， 把分别代入与得，， 解得：， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·北京·期末）已知：，用含的代数式表示，得___． 【答案】 【分析】本题主要考查的是对二元一次方程的变形，掌握解二元一次方程的解法是解题的关键； 首先方程两边同时乘以6得到；接下来，分别将x和y看作是参数，然后变形即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·北京·期末）某段高速公路全长200千米，交警部门在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔18千米处都设置一个摄像头；此外，交警部门还在高速公路上距离入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5千米处都设置一块限速标志牌（如图）．小糖糖坐在后座从入口开始数经过的摄像头和标志牌个数，数到7时发现此处同时设置有标志牌和摄像头．小糖糖此时离入口的距离是______千米． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设第块限速标志牌与第个摄像头离入口距离相等（，均为大于1的整数），根据二者离入口的距离相等，即可列出关于，的二元一次方程，进而得出，结合，均为整数即可得出，的值，再将的值代入，即可求解，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵数到7时发现此处同时设置有标志牌和摄像头， ∴此时小糖糖数了块标志牌， 设第块限速标志牌与第个摄像头离入口距离相等（，均为大于1的整数）， 依题意得：， ∴， ∵，均为整数， ∴为5的倍数， ∴的个位数字为2或7， 当时，，此时， ∵， ∴小糖糖此时离入口的距离是千米， 当时，， ∵，（不合题意，舍去）， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·北京·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组，解二元一次方程组． （1）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：原方程组整理得， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 得：④， 得：⑤， 得：， 解得：， 将代入⑤得：， 解得：， 将，代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为． 16．（24-25七年级下·北京·期中）若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，由得：，把代入即可求出的值． 【详解】解： 得：， 整理得：， ， ， 解得：， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·北京海淀·期中）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔3个和种头盔4个共需345元，种头盔4个和种头盔3个共需390元． (1)求，两种头盔的单价各是多少元（请列方程组求解）； (2)若该商店计划正好用450元购进，两种头盔（，两种头盔均购买），销售1个种头盔可获利35元，销售1个种头盔可获利15元，假如这些头盔全部售出，则购买_______个种头盔和________个种头盔获得利润最大（请直接写出答案）． 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)2，10 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 即购买2个A种头盔，10个B种头盔获得利润最大． 故答案为：2，10 18．（24-25七年级下·北京·期中）为庆祝中国共产党成立100周年，我校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动．并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品，采购员刘老师在某文体用品店购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚．请根据下图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据中所购置的钢笔、笔记本的数量及购置金额． 【答案】钢笔支，购置金额为、笔记本本，购置金额为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设钢笔支，笔记本本，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设钢笔支，笔记本本，根据题意得， 解得： ∴钢笔的购置金额为：元，笔记本的购置金额为：元 答：钢笔支，购置金额为、笔记本本，购置金额为元． 19．（2025·北京石景山·一模）每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 营养成分 食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量约为．若小石这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 【答案】(1)小石喝了2盒牛奶和1盒豆浆 (2)他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则运算的实际应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设小石喝了牛奶盒，豆浆盒，根据“从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质．”列方程组求解即可； （2）由（1）知小石这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可． 【详解】（1）解：设小石喝了牛奶盒，豆浆盒，根据题意： ， 解得： ， 答：小石喝了2盒牛奶和1盒豆浆； （2）解：他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由如下： 由（1）知小石这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆， 则喝完牛奶和豆浆后，摄入的脂肪为， 则这天小石这天共摄入脂肪， ， ∴他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标． 20．（2025·北京平谷·一模）清明假期，明明和妹妹都参加了某网络平台发起的“阅读悦听”活动，该平台为了鼓励孩子们阅读，推出两种打卡领取听书时长的奖励方式： 方式一：每天打卡可领取相同分钟的听书时长； 方式二：第一天打卡可领取一些分钟的听书时长，之后每天打卡领取的听书时长比前一天增加50%． 明明选择了方式一，妹妹选择了方式二，他们发现：打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，求第一天明明和妹妹领取的时长分别为多少分钟？ 【答案】第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟． 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟，打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，据此列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟， 则， 即， 解得， 答：第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟． 21．（2025·北京·一模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为__________； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 【答案】(1)400 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据体积等于水流速度乘以时间，列出算式进行计算即可； （2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，即可作答． 【详解】（1）解：； 故答案为：400； （2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为， 则，    解得， ， ∴嘉琪同学的接水时间为． 22．（24-25八年级上·河北保定·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查了加减法解一些系数较大的二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键； （1）①、，所得方程两边都除以4，得：，再与方程①利用加减法求解即可；②、，所得方程两边都除以9，得：，再与方程①利用加减法求解即可； （2），所得方程两边都除以，得：，再与方程①利用加减法求解即可． 【详解】（1）解：①； 得：， 两边除以4，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为：； ② 得：， 两边除以9，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为； （2）解：， 得：， 两边除以，得：， 得：， 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． 故答案为：． 23．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①，② (2)或0 【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （2）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组由整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二元一次方程组 知识点01 二元一次方程（组）的相关概念 二元一次方程 【概念】含有两个 ，并且未知数的项的 都是1，像这样的方程叫做 . 【三要素】1、有且只有两个 ；2、含有未知数的项的 为1；3、方程两边都是 . 【二元一次方程的解】一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做 . 二元一次方程组 【概念】方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做 . 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 【二元一次方程组的解】一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做 . 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·北京顺义·期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京东城·期末）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 【定义】把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做 ，简称 . 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2、代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1、方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2、当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 2.加减消元法 【定义】当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做 ，简称 . 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2、加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【即时训练】 3．（24-25七年级下·北京丰台·期中）解方程组： (1) (2) 4．（24-25七年级下·北京西城·期中）解方程组 (1) (2) 知识点03 三元一次方程组的相关概念 三元一次方程组的定义 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做 ． 三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 【即时训练】 5．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 6．（24-25七年级下·北京大兴·期末）有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲3件、乙5件、丙7件共需要490元；②购买甲4件、乙7件、丙10件共需要690元；③购买甲2件、乙3件、丙1件共需要170元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？ 欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案． 乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案． (1)请你根据欢欢的思路解决问题． (2)你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由． 知识点04 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1） ：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2） ：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3） ：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4） ． （5） ：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【即时训练】 7．（24-25七年级下·北京·期末）某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每个足球的价格相同）；若购买2个篮球和3个足球共需340元，购买1个篮球和2个足球共需200元． (1)求篮球、足球的单价各是多少元； (2)根据学校的实际需要，需一次性购买篮球30个和足球15个．问购买篮球和足球的总费用是多少？ 8．（24-25七年级下·北京海淀·期末）某农场现有一批苹果要运往当地水果市场，农场准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 13 第2次 4 5 22 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨苹果？ (2)若农场共有18吨苹果，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？ 一、二元一次方程（组） 1.二元一次方程的定义 错误：混淆二元一次方程的概念 注意：二元一次方程有两个未知数，且未知数的最高次数为1的等式； 1．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C．3 D． 2.二元一次方程组的概念 错误：混淆二元一次方程组的概念 注意：两个二元一次方程结合起来的即为二元一次方程组； 2．（24-25七年级下·北京通州·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3.二元一次方程组的解 错误：求二元一次方程组的解时忘记验证答案的正确性 注意：要学会验证二元一次方程组的解 3．（24-25七年级下·北京·期末）若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、二元一次方程组的解法 1.不知道运用代入消元法还是加减消元法 错误：不确定用哪个消元法解二元一次方程组 注意：观察式子的类型，代入消元方便的用代入消元法； 4．（24-25七年级下·北京石景山·期末）解方程组： (1)； (2)． 2.整体思维解二元一次方程组 错误：不会运用整体思维解二元一次方程组 注意：要学会将复杂式子的某一部分当作整体，可以通过换元的方式解决 5．（24-25七年级下·北京海淀·期末）（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得． 所以原方程组的解是． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法解答． 请直接写出方程组的解为________； （2）实践运用： 请用“整体代入法”解方程组：． 3.二元一次方程组的含参问题 错误：含参问题无从下手 注意：将二元一次方程组的解用参数表示，再根据题目要求列出式子求解即可。 6．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解，求k的值． 三、三元一次方程组 1.三元一次方程组的解法与应用 错误：解三元一次方程组时方法麻烦，导致错误； 注意：三元一次方程组的解法主要核心是消元，学会将三元转为二元，再转为一元即可； 7．（24-25七年级下·北京西城·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 请根据上述思想解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 四、二元一次方程组的应用 1.销售问题 错误：找不到等量关系 注意：正确审题，根据题目中所给的数量关系和相对应的公式，列出方程即可求解； 8．（24-25七年级下·北京丰台·期末）年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 2.方案问题 错误：找不到等量关系 注意：正确审题，根据题目中所给的数量关系和相对应的公式，列出方程即可求解； 9．（25-26七年级上·北京海淀·期末）列方程解应用题： “太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术，经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高，我国培育成功的太空育种鲜花“延丹1号”山丹丹单价为29元/盆，“太空玫瑰”单价为99元/盆．为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共200盆，若购买这两种鲜花的总价为9300元，请计算购买“延丹1号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数． 3.行程问题 错误：找不到等量关系 注意：正确审题，根据题目中所给的数量关系和相对应的公式，列出方程即可求解； 10．（24-25七年级下·北京石景山·期末）甲乙二人分别从相距千米的A，两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么小时后两人还相距千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？ 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 2．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）已知当时，且，则当时，（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·北京·期中）正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 5．（24-25七年级上·北京·期中）小明运用七年级上册的知识设计了一台数值转换机，只要依次输入两个整数，，则输出的结果为．比如小明依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算．下列说法： ①若依次输入，则最后输出的结果是13； ②若将这5个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示一个结果．在所有的结果中，最大值是11，最小值是； ③若将三个互不相等的正整数x，y，5按照任意顺序一个一个地输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m．若m的最小值是，那么m的最大值可能是． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．（24-25七年级上·全国·期末）在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 7．（24-25七年级下·北京海淀·期末）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 8．（24-25七年级下·北京丰台·期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 _______． 9．（24-25七年级下·北京顺义·月考）关于x，y的方程组的解满足，则a的值为________． 10．（24-25七年级下·北京·月考）在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 __________． 11．（24-25七年级下·北京通州·期末）小明在解关于x，y的二元一次方程组 时，只抄对了 ，，求出的解为 ，他核对时发现所抄的c比原方程组的c值小1，则原方程组的解为__________． 12．（24-25七年级下·北京·期末）已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解，则______． 13．（24-25七年级下·北京·期末）已知：，用含的代数式表示，得___． 14．（24-25七年级下·北京·期末）某段高速公路全长200千米，交警部门在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔18千米处都设置一个摄像头；此外，交警部门还在高速公路上距离入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5千米处都设置一块限速标志牌（如图）．小糖糖坐在后座从入口开始数经过的摄像头和标志牌个数，数到7时发现此处同时设置有标志牌和摄像头．小糖糖此时离入口的距离是______千米． 15．（24-25七年级下·北京·期中）解方程组： (1)； (2)． 16．（24-25七年级下·北京·期中）若方程组的解满足，求的值． 17．（24-25七年级下·北京海淀·期中）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔3个和种头盔4个共需345元，种头盔4个和种头盔3个共需390元． (1)求，两种头盔的单价各是多少元（请列方程组求解）； (2)若该商店计划正好用450元购进，两种头盔（，两种头盔均购买），销售1个种头盔可获利35元，销售1个种头盔可获利15元，假如这些头盔全部售出，则购买_______个种头盔和________个种头盔获得利润最大（请直接写出答案）． 18．（24-25七年级下·北京·期中）为庆祝中国共产党成立100周年，我校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动．并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品，采购员刘老师在某文体用品店购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚．请根据下图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据中所购置的钢笔、笔记本的数量及购置金额． 19．（2025·北京石景山·一模）每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 营养成分 食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量约为．若小石这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 20．（2025·北京平谷·一模）清明假期，明明和妹妹都参加了某网络平台发起的“阅读悦听”活动，该平台为了鼓励孩子们阅读，推出两种打卡领取听书时长的奖励方式： 方式一：每天打卡可领取相同分钟的听书时长； 方式二：第一天打卡可领取一些分钟的听书时长，之后每天打卡领取的听书时长比前一天增加50%． 明明选择了方式一，妹妹选择了方式二，他们发现：打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，求第一天明明和妹妹领取的时长分别为多少分钟？ 21．（2025·北京·一模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为__________； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 22．（24-25八年级上·河北保定·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 23．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $