第五章 二元一次方程组（复习讲义）数学新教材北京版七年级下册

第五章 二元一次方程组（复习讲义） 1、理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，能准确判断一个方程是否为二元一次方程、一个方程组是否为二元一次方程组，明确二元一次方程（组）的本质特征（含两个未知数、未知数次数均为1、整式方程）。 2、掌握二元一次方程的解的概念，知道二元一次方程有无数组解，能根据已知条件求出二元一次方程的特定解；理解二元一次方程组的解的定义，能判断一组数值是否为二元一次方程组的解。 3、熟练掌握代入消元法和加减消元法两种解二元一次方程组的基本方法，能根据方程组的特点选择合适的消元方法，准确求解二元一次方程组（结果书写规范，步骤清晰）。 4、能运用二元一次方程组解决简单的实际问题，学会从实际问题中提取数量关系，列出二元一次方程组，体会方程建模思想，提升运用数学知识解决实际问题的能力。 重点01 二元一次方程（组）的易错易混问题 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 重点02 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2、代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1、方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2、当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 2.加减消元法 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2、加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 重点03 三元一次方程组的易错易混 三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； （2）含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 重点04 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型一 二元一次方程的定义与解 1．下列方程中，二元一次方程的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程），逐一判断各方程是否符合条件即可． 【详解】解：① ：含两个未知数，但次数为2（二元二次方程），不符合． ② ：两个未知数，次数均为1，整式方程，符合． ③ ：分母含未知数，不是整式方程，不符合． ④ ：的次数为2（二元二次方程），不符合． ⑤ ：化简为，两个未知数，次数均为1，整式方程，符合． ⑥ ：含三个未知数（三元一次方程），不符合． 综上，符合的方程有②和⑤，共2个． 故选B． 2．已知是方程的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，理解方程的解为使得方程两边相等的未知数的值是解题的关键． 将已知解代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：将，代入方程，得： 解得：， 因此，m的值为1， 故选：A． 3．已知是方程的一个解，则的值为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式求值，解题的关键是将方程的解代入方程，再对所求代数式进行变形求值． 先把方程的解代入方程，得到的值，再将所求代数式变形，整体代入求值． 【详解】已知是方程的一个解， 把代入方程中，可得 变形可得， 把代入，则，即． 故选：B． 4．二元一次方程的正整数解有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题考查求二元一次方程的正整数解．通过将方程变形，用y表示x，再根据x和y均为正整数确定y的可能取值，代入计算即可． 【详解】解：方程，解得． ∵和均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，． ∴共有3组正整数解， 故选C． 题型二 二元一次方程组的定义与解 5．下列不是二元一次方程组的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题的关键．方程组中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组是二元一次方程组，根据定义判断即可． 【详解】解：①、符合定义，故不符合题意； ②、含有三个未知数，不是二元一次方程组，故符合题意； ③、含有未知数的项的最高次数是2，不符合定义，故符合题意； ④、方程组中的方程不是整式方程，不符合定义，故符合题意； 故不是二元一次方程组的是②③④， 故选：C． 6．写出一个解为的二元一次方程组，可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．据此求解即可． 【详解】解：解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 7．请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： (1) (2) 【答案】(1)不是 (2)是 【分析】（1）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． （2）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． 【详解】（1）把代入方程组， 发现不满足， 所以不是原方程组的解； （2）把代入方程组， 发现适合每一方程， 所以是原方程组的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解方程组的解的定义是解题的关键． 8．已知下列四对数值： ①②③④ (1)哪几对数值是方程的解？ (2)哪几对数值是方程的解？ (3)写出方程组的解． 【答案】(1)①②③ (2)①④ (3)① 【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程组的解． （1）分别将四对数代入方程，验证左边是否等于右边即可得解； （2）分别将四对数代入方程，验证左边是否等于右边即可得解； （3）结合（1）（2）的结果，同时满足（1）（2）数组即为方程组的解． 【详解】（1）解：将①代入得：，左边右边； 将②代入得：，左边右边； 将③代入得：，左边右边； 将④代入得：，左边右边； ∴①②③是方程的解； （2）解：将①代入得：，左边右边； 将①代入得：，左边右边； 将②代入得：，左边右边； 将③代入得：，左边右边； 将④代入得：，左边右边； ∴①④是方程的解； （3）解：由（1）（2），得①是方程组的解． 题型三 解二元一次方程组 9．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键．根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， ②①得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， 方程组的解为 10．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将①式代入②式，， 解得， 将代入①式，， 方程组的解为； （2）解：， ①式得：③， ③式－②式得：， 解得：， 将代入①式，， 解得：， 方程组的解为． 11．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①中，得， ∴， 把代入②，得， 原方程组的解为：； （2）解：， ②，得③， ∴①③，得， 把代入②，得， ∴原方程组的解为：． 12．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）由①得，再利用代入法解方程组即可． （2）由①②，得，再求解即可. 【详解】（1）解： 由①，得． 将代入②，解得 所以． 所以原方程组的解为 . （2）解： 由①②，得， 将代入①，得． 所以原方程组的解为. 题型四 已知二元一次方程组解的情况求参数 13．若关于x，y的方程组有正整数解，则正整数a为（    ） A．1，2 B．2，5 C．1，5 D．1，2.5 【答案】A 【分析】解题时先把两方程相加，去掉x，然后根据方程组有正整数解，确定正整数a的值． 【详解】解：∵方程组有正整数解， ∴两式相加有，即， ∵a，y均为正整数， ∴或或或， ∴时，不合题意，舍去， 时，，，符合题意； 时，，，符合题意； 时，，，不合题意，舍去， ∴或2． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解法．解题的关键是正确利用方程组有正整数解这一已知条件． 14．已知关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是（    ） A．0 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由方程组的解互为相反数，得到，代入方程组计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入方程组得： ∴， ∴ ∴， 故选B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 15．若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．先解二元一次方程组，再代入中求解即可． 【详解】解：解二元一次方程组得，， 将代入得， ， 解得，， 故答案为：． 16．已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 题型五 二元一次方程组的特殊解法 17．已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】此题考查解二元一次方程组-特殊方法，根据所求的式子中各系数与方程组的关系，将原方程组对应相加或相减即可得到答案的方法更为简便． 根据两个方程系数的关系将两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：， 得：， 则， 故选：C． 18．若方程组的解为，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组以及不等式性质的应用，对方程正确的变形是解题的关键．两式相减得出含未知数的的代数式，再根据可求出的取值范围． 【详解】解：， 两式相减得， ， ， ， ， ． 故选：B． 19．已知方程组的解是，老师让同学们解方程组，小聪先觉得这道题好像条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得，运用换元思想，得，所以方程组的解为．现给出方程组的解是，请你写出方程组的解__． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，分析阅读数学材料的能力，能够读懂阅读材料，分析清楚示范材料是解题的关键． 根据示例运用换元思想和整体思想可列出简易方程，再解方程即可解答． 【详解】方程组的解是， 由方程组得，， 解得，， 故答案为：． 20．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 将①代入②，利用整体代入法消元求解即可． 【详解】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 题型六 构造二元一次方程组求解 21．已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，根据无论取何值，方程总成立的条件是方程中不含的部分和含的部分同时为零．因此，需解联立方程组：，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：B． 22．已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（   ） 的运算 运算的结果 7 A．21 B． C．40 D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值．根据题意先得出，，后将代入中即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴将，代入得， 故选：D． 23．如表中的信息满足关于的二元一次方程，则___________ … … 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将表格中的两组数据代入二元一次方程中，得到关于、的二元一次方程组，解方程求出、的值，即可得解． 【详解】解：将，代入二元一次方程中， 得， ，得， 故答案为：． 24．已知代数式，当时，它的值是；当时，它的值是17． (1)求的值． (2)当时，求代数式的值． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】本题考查解二元一次方程组和求代数式的值，掌握代入消元法与加减消元法及整体思想的应用是解题的关键． （1）将“值为-1，；时，值为”代入得方程组，即可解得答案； （2）用整体代入的方法可得答案． 【详解】解：（1）由题意，得 ②，得．③ ①+③，得，解得． 将代入①，得，解得． （2）因为，所以． 题型七 二元一次方程组的错解复原问题 25．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 26．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组中的错解问题的方法是解题的关键，甲的正确解代入原方程组得到关于的方程，乙的解因抄错，仅满足第一个方程，由此联立方程求解． 【详解】解：将代入原方程组， 得， 得， 将代入， 得， 化简为， 则， 解得：， 综上，，，， 故选：D． 27．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组看错系数问题，涉及解方程（组）、代数式求值等知识，根据题意，得到正确的方程求解即可得到答案．掌握二元一次方程组看错系数问题的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：甲将①中的看成了它的相反数解得，则②是正确的， ∴，且， 解得； 乙抄错②中的解得，则①是正确的， 即， ∴； 联立，解得， ， 故答案为：． 28．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… (1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． (2)请选择一种你喜欢的解法解方程组． 【答案】(1)见解析； (2)解法见解析，． 【分析】（1）解法一是错误的； （2）利用加减消元法和代入消元法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：解法一计算有误，应改正为由①-②，得． （2）（任选一种解法解方程组即可）解法一：由①-②，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型八 二元一次方程组的相同解问题 29．若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组就能得到a的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组和同解， ∴把代入，得， 解得：， 故选：B． 30．已知关于的方程组和有相同的解，那么值是___________． 【答案】6 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到，．先根据关于，的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴，， 解得， 将代入得： ， 解得， ∴ 故答案为：6． 31．已知关于的方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组同解问题，根据方程组和的解相同， 得出这两个方程组的解也是方程组的解，然后解方程组，得出，将代入原方程组得出，求出a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：因为方程组和的解相同， 所以这两个方程组的解也是方程组的解． 解得， 将代入方程组得， 解得， 所以． 32．若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二元一次方程组： （1）利用加减法求解比较简便； （2）把的值代入方程组得关于的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：， ①+②，得 把代入②，得 原方程组的解为 （2）解：把代入方程组， 得， 把代入，得， 把代入，得． 题型九 根据实际问题列二元一次方程组 33．《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据现有30钱，买得2斗酒，列出方程组即可． 【详解】解：设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，由题意，得： ； 故选A． 34．3月14日数学节当天，我校初一年级学生积极参与“速算游园”活动．活动中，小阳和小光展开了如下对话： 小阳说：“我比你多解了3道题！” 小光回应：“如果你给我3道题，我的解题数量就是你的两倍啦．” 若两人的陈述均为真，设小阳解了x道题，小光解了y道题，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．设小阳解了x道题，小光解了y道题，根据两人说的话列方程组即可． 【详解】解：设小阳解了x道题，小光解了y道题，由题意得 ， 故选：A． 35．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设绳索长尺，竿长尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意可得， 故选：B． 36．如图，个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为的大长方形，且设小长方形的长为x，宽为y，进行列方程组，即可作答． 【详解】解：∵个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为的大长方形，且设小长方形的长为x，宽为y， ∴， 可列方程组为， 故选：A． 题型十 方案问题 37．第二届杭州市月季花展于2024年4月27日在杭州开展，若黄色月季花每支4元，红色月季花每支6元，小明想要花费30元全部用于购买这两个品种的花送给妈妈，那么小明的购买方案有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程．设黄色月季花x支，红色月季花y支，根据两种花的花费总共为30元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设黄色月季花x支，红色月季花y支，根据题意得： ， ∵x、y为正整数， ∴，， ∴小明的购买方案有2种， 故选：B． 38．蓝山县某中学为奖励“书香阅读月”中表现优异的同学，该中学决定用1200元购买篮球和排球两种球（同时购买两种球），其中篮球每个120元，排球每个90元，购买资金恰好用完的情况，请同学们根据以上条件认为购买方案一共有______种． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买个篮球，个排球，根据“该中学决定用1200元购买篮球和排球两种球”列出二元一次方程，结合为正整数，为非负整数，求出的值，即可得解． 【详解】解：设购买个篮球，个排球， 由题意得：， ， 为正整数，为正整数， 是的倍数， 的取值为，，，， ，，，（舍去，不符合题意）， 共有种购买方案， 故答案为：． 39．某物流公司用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货多少吨？ (2)若A型车每辆每次需租金100元，B型车每辆每次需租金150元．请选出最省钱的租车方案，并求出此时的租车费用． 【答案】(1)1辆A型车装满货物一次运3吨，1辆B型车装满货物一次运4吨 (2)A车9辆，B车1辆，最少租车费用1050元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用， （1）设1辆A型车装满货物一次运x吨，1辆B型车装满货物一次运y吨，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意的得到，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案，再根据总租金每辆车的租金租车辆数求解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次运x吨，1辆B型车装满货物一次运y吨． 由题意可知：； 解得：． 答：1辆A型车装满货物一次运3吨，1辆B型车装满货物一次运4吨． （2）解： 由题意可知，； 1辆A型车装满货物一次运3吨租金100元，一吨单价约33.3元； 1辆B型车装满货物一次运4吨租金150元，一吨单价37.5元； 所以要尽量使用A车； 且a、b都为整数，满足条件为A车9辆，B车1辆； ． 答：A车9辆，B车1辆，最少租车费用1050元． 40．列方程（组）解应用题： 学校为了支持体育活动，鼓励同学们加强锻炼，准备购买一些羽毛球拍和乒乓球拍作为运动会奖品．    (1)根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格； (2)学校准备用2400元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量多于羽毛球拍的数量，若2400元恰好用完，写出所有的购买方案． 【答案】(1)每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为70元 (2)购买2支羽毛球拍，32支乒乓球拍；购买9支羽毛球拍，24支乒乓球拍 【分析】（1）设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，根据图片中的信息列出方程组，解方程组即可； （2）设购买了m支羽毛球拍，n支乒乓球拍，且，根据羽毛球拍和乒乓球拍总的花费为2400元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为70元． （2）解：设购买了m支羽毛球拍，n支乒乓球拍，且，根据题意得： ， ∵m、n为正整数，且， ∴，， 答：购买方案一：购买2支羽毛球拍，32支乒乓球拍； 购买方案二：购买9支羽毛球拍，24支乒乓球拍． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算． 题型十一 行程问题 41．自行车一般是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为．现有某品牌自行车的前轮胎行驶达到5000公里时报废，后轮胎行驶达到3000公里时报废．如果该自行车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　） A．3250公里 B．3500公里 C．3750公里 D．4000公里 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， 设总行驶距离为公里，在行驶公里后交换轮胎．每个轮胎在前后位置上的磨损总和为1．建立方程组求解． 【详解】设总行驶距离为公里，交换轮胎前行驶公里． 根据题意得，， 解得， ∴这对轮胎最多可以行驶3750公里． 故选：C． 42．甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，如果甲比乙先走，那么他们在乙出发后相遇；如果乙比甲先走，那么他们在甲出发后相遇，则甲、乙两人的速度比为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据A，B两地路程不变列方程求解即可． 【详解】解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： ， 解得：，即， 故答案为：． 43．周末，小明和他爸爸来到环形场跑步锻炼，绕环形场跑一圈的路程为400米．若两人同时同地反向而跑，则经过36s后首次相遇，若两人同时同地同向而跑，则经过180s后，爸爸首次从后面追上小明，问：小明和爸爸的速度各为多少？ 【答案】小明的速度为米/秒，爸爸的速度为米/秒 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设小明和爸爸的速度各为x米/秒，y米/秒，根据题意可得，再解方程组即可． 【详解】解：设小明和爸爸的速度各为x米/秒，y米/秒，则 ， 解得， 答：小明的速度为米/秒，爸爸的速度为米/秒． 44．某船在静水中的速度为，该船于下午1点从A地出发，逆流而上，下午到达B地，停泊后返回，下午4点回到A地．求A，B两地的距离及水流的速度． 【答案】两地的距离为，水流的速度为 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设两地的距离为，水流的速度为，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：由题知，从A地出发逆流而上到达B地所用时间为， 从B地出发顺流而下到达A地所用时间为， 设两地的距离为，水流的速度为． 根据题意，得 解得， ∴两地的距离为，水流的速度为． 题型十二 工程问题 45．某公司有新员工和老员工若干名．已知1名新员工每天制造的零件个数比1名老员工少30，1名新员工与2名老员工每天共可制造180个零件，则1名新员工与1名老员工每天各能制造多少个零件？设1名新员工每天能制造个零件，1名老员工每天能制造个零件．根据题意可列方程组为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题二元一次方程组的应用，解题的关键是能够根据题意找到两个等量关系，这是列方程的依据． 找到两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设一个生手工每天能制作x个零件，一个熟手工每天能制造y个零件， 根据题意得：， 故选A． 46．某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨，根据表格列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨． 根据题意，得，解得：； 答：每节火车车皮平均装物资50吨，每辆汽车平均装物资6吨． 故选B 47．某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．该制造厂生产这批电动车的预定期限是______天，计划生产_____辆电动车． 【答案】 6 220 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，依据题意列出方程组是正确解答此题的关键． 设预定期限为天，计划生产辆汽车，然后依据每天生产35辆，则差10辆才能完成任务，每天生产40辆，则可超额生产20辆，列出方程组，接下来解这个关于、的方程组即可． 【详解】解：设预定期限为天，计划生产辆汽车， 根据题意得：， 解这个方程组得：， 故答案为：6，220． 48．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可． 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 题型十三 数字问题 49．一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1．若这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（   ） A．86 B．68 C．94 D．73 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设十位数字是，个位数字是，由题意列方程组求解即可得到答案，读懂题意，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设十位数字是，个位数字是， 则， 解得， 原来的两位数是， 故选：D． 50．算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位……，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是______． 【答案】615 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为，十位数字为，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为， 由题意，得：， 解得：， ∴这个三位数为． 故答案为：． 51．两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 【答案】较大的两位数与较小的两位数分别30，20 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可得等量关系：①两个两位数的差是10；②和的和是5050，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设较大的两位数为，较小的两位数为， 根据题意得：， 解得：， 答：较大的两位数与较小的两位数分别30，20． 52．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2)35 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程的应用： （1）一个两位数的值等于其十位数字乘以10再加上个位数字，据此求解即可； （2）根据原来两位数得到十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，原来的两位数为，新的两位数为， 故答案为：；； （2）由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为35． 题型十四 分配问题 53．某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（   ） A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解题关键． 设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，根据共有30名工人，和每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，由题意可得 解得 则需要安排10人来制作桌子，20人来制作椅子． 故选：B． 54．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能便生产的螺栓和螺帽刚好配套？若设生产螺栓人，生产螺帽人，则列方程组得______． 【答案】 【分析】根据某车间有90名工人，一个螺栓配套两个螺帽，列二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 55．某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 【答案】甲种小盒40个，乙种小盒60个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个，根据将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲种小盒40个，乙种小盒60个． 56．某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 【答案】(1)购进种玩具300件，购进种玩具400件 (2)需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件，因为、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元，所以列式然后解出，即可作答． （2）设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人，依题意，列式然后解出，即可作答． 【详解】（1）解：设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件， 根据题意得： 解得， ∴购进种玩具300件，购进种玩具400件． （2）解：设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人， 根据题意得： 解得， 答：需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套． 题型十五 销售利润问题 57．某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价元/套 300 x 售价元/套 y 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值． 【答案】x的值为60，y的值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 答：x的值为60，y的值为 58．菜农王大叔在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容： 蔬菜品种 辣椒 黄瓜 西红柿 茄子 批发价（元/公斤） 零售价（元/公斤） 他共用116元钱从市场上批发了辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖，当天卖完，请你计算出王大叔一天能赚多少钱？ 【答案】王大叔一天赚211元钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据共用116元钱从市场上批发了辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖，列出二元一次方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设买辣椒，西红柿， ， 解得， ∴（元） 答：王大叔一天赚211元钱． 59．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)共有2种购买方案，最大利润是220元 【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 60．北京时间年月日，嫦娥六号返回器准确着陆，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进，两种航天飞船模型进行销售，据了解，件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元；件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元． (1)求，两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划用元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 【答案】(1)，两种航天模型飞机的进价分别为元，元． (2)一共有种方案：种模型买个，种模型买个或种模型买个，种模型买个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用、二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程或方程组是解题关键． （1）设，两种航天模型飞机的进价分别为，，根据题意可得、的二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买，两种航天模型飞机分别为个，个，根据总价=单价×数量，得到关于、的二元一次方程，结合、是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设，两种航天模型飞机的进价分别为，， 由题意可知：， 解得： 答：，两种航天模型飞机的进价分别为元，元． （2）解：设购买，两种航天模型飞机分别为个，个， 由题意可知：，则， 当时，；当时，， 所以一共有2种方案： 种模型买个，种模型买个或种模型买个，种模型买个． 题型十六 和差倍分问题 61．刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？ 【答案】16道 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题， ， 解得， 答：刘畅同学做对了16道题． 62．小明与班上同学一起到教育基地参观，该班共有50人参观了教育基地，且男生人数比女生人数的1.5倍多5．求小明班上参观教育基地的男生和女生的人数． 【答案】小明班上参观教育基地的男生人数为32，女生人数为18 【分析】考查了二元一次方程组的应用．设小明班上参观教育基地的男生人数为x，女生人数为y，根据“男生人数女生人数、男生人数女生人数”列出方程组并解答． 【详解】解：设小明班上参观教育基地的男生人数为x，女生人数为y．根据题意，得： ， 解得， 故小明班上参观教育基地的男生人数为32，女生人数为18． 63．某电器公司计划装运甲、乙两种家电到农村销售(规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电)，下表为每辆汽车装运甲、乙两种家电的台数．若用8辆汽车装运甲、乙两种家电300台到A地销售，问装运甲、乙两种家电的汽车各有多少辆？（用二元一次方程组解决） 家电种类 甲 乙 每辆汽车能装满的台数 30 40 【答案】装运甲家电的汽车有2辆，装运乙家电的汽车有6辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．设装运甲家电的汽车有x辆，装运乙家电的汽车有y辆．根据题目中的等量关系列出方程组，求解即可． 【详解】设装运甲家电的汽车有x辆，装运乙家电的汽车有y辆． 根据题意，得 解得 . 答：装运甲家电的汽车有2辆，装运乙家电的汽车有6辆． 64．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 【答案】最初报名时男生有12人，女生有9人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男生报名人数比女生多3人，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 题型十七 几何问题 65．在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的总面积（写出分步求解的简明过程）． 【答案】44平方厘米 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，以及学生对图表的阅读理解能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 设长方形的长和宽为未数，根据图示可得到关于x，y的两个方程，可求得解，从而可得到大长方形的面积，再根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，如图可知， ，① ，即，② 得，，代入②得， 因此，大矩形的宽． 矩形面积（平方厘米）， 阴影部分总面积（平方厘米）． 66．七年级某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少？ 【答案】小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设小长方形的长、宽分别为，，结合图形性质可得，再解方程即可. 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 由题意得， 解得：， 经检验， 符合题意． 答：小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、． 67．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究． (1)小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为，周长为，请求出该长方形纸片的长和宽： (2)小葵在长方形内画出边长为的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，问：小葵的判断正确吗?请说明理由． 【答案】(1)这个长方形纸片的长为，宽为 (2)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程，二元一次方程组的计算，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设该长方形纸片的长为，宽为，由周长的计算公式列式求解即可； （2）根据题意，列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设该长方形纸片的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴这个长方形纸片的长为9，宽为6． （2）解：正确．理由如下： 根据题意，得，， 解得． ∴大正方形的面积为． 68．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）    (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)9；15 (2)用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒 【分析】（1）根据题意进行解答即可； （2）设用张原材料板材裁A型纸板，张原材料板材裁型纸板，根据原材料板材共260张，每个长方体纸盒有4个侧面，2个底面列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：每张原材料板材可以裁得A型纸板（张）或裁得B型纸板（张）． 故答案为：9；15． （2）解：设用张原材料板材裁A型纸板，张原材料板材裁型纸板， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程组的解且符合题意 ∴能做纸盒数为：（个） 答：用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确解方程组． 题型十八 古代问题 69．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有人，y辆车，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；根据题意，每3人坐一车有2辆空车，可得；每2人坐一车有9人步行，可得，据此对照选项即可． 【详解】解：设共有x人，y辆车， 由题意得：， 故选：C． 70．《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺?设木头长尺，绳子长尺，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列二元一次方程组； 根据题意，绳子比木头长4.5尺，对折后绳子比木头短1尺，建立方程组即可． 【详解】解：设木头长尺，绳子长尺， 由题意得：， 故选：C． 71．《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，可列出的二元一次方程组为______． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组．设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．据此列二元一次方程组即可． 【详解】解：设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛， ∵已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛， ∴， ∵1个大容器和5个小容器的总容量为2斛， ∴， ∴， 故答案为：． 72．《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪，其中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳五尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 【答案】7.5尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，设绳子长x尺，长木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设绳子长x尺，长木长y尺， 依题意，得：， 解得， 答：木长7.5尺． 题型十九 解三元一次方程组 73．解三元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组，掌握加减消元法是关键．利用加减消元法解方程即可得答案． 【详解】解： ③-①，得④， ②+④，得， 解得． 把代入④，得， 解得． 把代入①，得 原方程组的解为． 74．解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，采用加减消元法即可作答． 【详解】解：， ①②得：④， ③④得： 解得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． 75．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，根据加减消元法解方程组即可求解． 【详解】解： ①③得，④ ①②得，⑤ ④⑤得， 解得：， 将代入④得 解得： 将代入②得， 解得： ∴方程组的解为： 76．解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 方程组前两个方程相加消去得到与的方程，与第三个方程联立求出与的值，进而求出的值即可． 【详解】解： ①②得：④， ④③得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， 则方程组的解为． 题型二十 三元一次方程组的应用 77．现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等，将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态，用分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1-图3，其中图3的天平右边托盘中是个球，那么的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键．设一个圆锥的质量为，一个圆柱的质量为，一个球的质量为，由图1，图2可得，，然后利用含的代数式表示出，，最后将其代入中计算即可求得答案． 【详解】解：设一个圆锥的质量为，一个圆柱的质量为，一个球的质量为， 由图1得， 整理得：①， 图2得， 整理得：②， ①②得：， 将代入②得：， 则， 那么， 即， 故选：C． 78．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（    ） a b c 10 d e A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：， ， ； 故选：D． 79．已知某速食店贩售的套餐内容为一块鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价格比单点一块鸡排再单点一杯可乐的总价格便宜8元．阿俊打算到该速食店买两份套餐，他发现店内有单点一块鸡排就再送一块鸡排的促销活动，且单点一块鸡排再单点两杯可乐的总价格比两份套餐的总价格便宜2元，则单点一块鸡排的价格为______________元． 【答案】18 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设出未知数，根据题意找对等量关系是解决本题的关键． 设一块鸡排的价钱为x元，一杯可乐的价钱为y元，一份套餐的价钱为z元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设一块鸡排的价钱为x元，一杯可乐的价钱为y元，一份套餐的价钱为z元， 根据题意得：， 得：， ∴一块鸡排的价钱为18元． 故答案为：18． 80．小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，新定义．掌握凑整消元法是解题的关键，注意计算过程中系数的准确性． （1）通过将方程组两方程相加化简得到，再利用代入消元法逐步求解和的值． （2）通过将方程组三个方程相加化简得到的值，再用该值分别减去原方程，逐步求出的值． （3）根据新定义运算列出关于的方程组，通过方程组相减和变形求出的值，即的结果． 【详解】（1）解：， 将①＋②得：③， 将③得：④， 将④得：⑤， 将⑤－①得：， 将代入③得：， ∴方程组得解为． （2）解：， 由①＋②＋③得：④， 将④得：⑤， 将⑤①得：， 将⑤②得：， 将⑤③得：， ∴方程组得解为． （3）解：∵且，， ∴， ∴， 由②①得：③， 将③得：④， 将①④得：， ∴． 基础巩固通关测 1．（2026七年级下·北京·专题练习）学校计划用元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程与实际问题，关键是根据等量关系列方程，求方程的特殊解；设购买种奖品个，种奖品个，根据总费用列出二元一次方程，再结合、为正整数求符合条件的解的个数即可. 【详解】解：设购买种奖品个，种奖品个， ∵总费用为元， ∴， 化简得：， ∴， ∵为正整数，为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有种购买方案， 故选：A． 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出关于、的二元一次方程组，解之可得出、的值，再由长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， 阴影部分的总面积为：． 故选：C． 3．（24-25七年级下·北京东城·期末）将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 即； 故选：C． 4．（24-25七年级下·北京平谷·期末）已知二元一次方程，下列选项中是此方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键．将各选项代入方程验证是否满足等式即可． 【详解】A：，．代入得 ，不满足题意． B：，．代入得 ，满足题意． C：，．代入得 ，不满足题意． D：，．代入得 ，不满足题意． 故选：B． 5．（24-25七年级下·北京房山·期末）小智同学在阅读中国古代重要数学著作《九章算术》时，看到书中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”于是他类比书中的问题提出了一个问题：“今有汉堡三、蛋挞二，直金六十六元；汉堡二、蛋挞三，直金五十四元．问汉堡、蛋挞各直金几何？”意思是：3个汉堡和2个蛋挞总价为66元，2个汉堡和3个蛋达总价为54元．问汉堡和蛋挞的单价分别是多少元？设每个汉堡元，每个蛋达元，则下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“3个汉堡和2个蛋挞总价为66元，2个汉堡和3个蛋挞总价为54元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意可列出方程组 ． 故选：A． 6．（24-25七年级下·北京密云·期末）若关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴， ∴， 故选：D． 7．（24-25七年级下·北京·期中）由可以得到用表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，根据，整理得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故选：A 8．（25-26七年级上·北京海淀·期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列消元方案中正确的个数有__个． 方案一：要消去，可以将； 方案二：要消去，可以将； 方案三：要消去，可以将； 方案四：要消去，可以将． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法，关键是明确加减消元的核心：使待消去的未知数的系数互为相反数(相加消元)或相等(相减消元)． 【详解】解：方案一：要消去， 将得， 得， 两式相加得， 的系数不为0，无法消去，方案一错误； 方案二：要消去， 将得， 得， 两式相减得， 的系数不为0，无法消去，方案二错误； 方案三：要消去， 将得， 减去得， 的系数不为0，无法消去，方案三错误； 方案四：要消去，将得， 加上得，即， 的系数为0，成功消去，方案四正确； 综上，正确的方案只有1个， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入关于x，y的二元一次方程中即可求出m的值． 【详解】解：把代入关于x，y的二元一次方程中，得， 解得， 故答案为： 10．（24-25七年级下·北京大兴·期末）《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大、小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛，音hú，是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少解？设1个大容器容量为斛，1个小容器容量为斛．根据题意，可列方程组为_____． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛．根据5个大容器和1个小容器的总容量为3斛，1个大容器和5个小容器的总容量为2斛列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【详解】解：设1个大容器容量为斛，1个小容器容量为斛． 根据题意，列得方程组， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·北京·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则__________． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组． 用加减消元法得到，则，即可求解． 【详解】解：， 由得， ∴， 解得：， 故答案为：2． 12．（2025·四川绵阳·二模）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．利用加减消元法求得，，再根据，求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得， 将代入，得， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴k的值为1． 故答案为：1． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知关于，的方程组的解满足，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点①②得，，结合已知可得，即可求解． 【详解】解： ①②得， ∵ ∴， 解得： 故答案为： ． 14．（24-25八年级上·北京海淀·期中）小明同学仿照我国古代经典的“鸡兔同笼”问题给小石同学出了一道题目：“今有鸡兔同笼，上有十四头，下有四十足，问鸡兔各几何？”．若小石同学设笼中有鸡x只，兔y只，则根据题意可列方程组为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到鸡和兔的总只数及鸡和兔的脚的总只数的等量关系． 关系式为：鸡的只数+兔的只数；鸡的只数兔的只数，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：根据题意可列方程组为：， 故答案为： 15．（25-26七年级上·北京·月考）解方程或方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的求解，解题的关键是掌握方程和方程组的求解方法． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项等步骤求解即可； （2）利用加减消元法求解方程组即可． 【详解】（1）解：， 去分母可得，， 去括号可得，， 移项合并同类项可得，； （2）解：， 可得，，解得， 将代入可得，，解得， 方程组的解为：． 16．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）列方程组解应用题 垃圾分类有助于环境保护、资源循环利用．某区域的环卫部门每天安排10台A型车和8台B型车用于垃圾清运，一台A型车比一台B型车每次多清运7吨垃圾，该区域每天需要清运垃圾428吨，每天每台车均需清运垃圾2次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．一台A型车和一台B型车每次清运垃圾的吨数分别是多少？ 【答案】一台A型车每次清运15吨，一台B型车每次清运8吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组，是解题的关键．设一台A型车每次清运垃圾吨，一台B型车每次清运垃圾吨，根据一台A型车比一台B型车每次多清运7吨垃圾，每天需要清运垃圾428吨，每天每台车均需清运垃圾2次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设一台A型车每次清运垃圾吨，一台B型车每次清运垃圾吨． 由题意可知， 解得：， 答：一台A型车每次清运垃圾15吨，一台B型车每次清运垃圾8吨． 17．（24-25七年级下·北京昌平·期中）已知x，y是有理数，求满足的x，y的值. 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，绝对值和偶次方的非负性，根据绝对值和偶次方的非负性可得：，然后解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵， ， 解得：． 18．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）用加减消元法解二元一次方程组：求出值后即可得解； （2）将转化为后，用代入消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①中，得， ， ； （2）解：即， 将代入得， ， ， 将代入①中，得， ． 19．（2025·安徽马鞍山·三模）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．某茶馆的店主计划购买三种不同类型的茶叶来丰富茶馆的饮品选择，其中包括龙井茶、普洱茶和茉莉花茶．龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元．店主计划采购这三种茶叶总共50千克，以满足不同顾客的口味需求． (1)设采购龙井茶千克、普洱茶千克，请用含，的代数式填表： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 _____ _____ (2)若店主总共花了15000元，其中采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，求店主采购的龙井茶、普洱茶以及茉莉花茶各有多少千克． 【答案】(1)填表见解析 (2)店主采购的龙井茶有7千克，普洱茶有15千克，茉莉花茶有28千克 【分析】本题考查列代数式、二元一次方程组解应用题，设采购龙井茶千克、普洱茶千克，根据茶叶总量、茶叶单价即可列出代数式，再由等量关系列方程组求解即可得到答案．读懂题意，理解相关关系是解决问题的关键． （1）由题意，直接列表达式即可得到答案； （2）由（1）中表格数据，列二元一次方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：店主计划采购这三种茶叶总共50千克， 茉莉花茶质量为千克， 茉莉花茶的采购价为每千克200元， 茉莉花茶采购总价为元， 填表如下： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 （2）解：由（1）知，设采购龙井茶千克、普洱茶千克、茉莉花茶千克， 龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元，店主总共花了15000元购茶， ， 等式两边同时除以得， 等式两边同时除以得， 采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克， ， 由题意得， ，解得， 即龙井茶有7千克，普洱茶有15千克， 茉莉花茶为． 答：店主采购的龙井茶有7千克，普洱茶有15千克，茉莉花茶有28千克． 20．（24-25七年级下·北京·期中）列二元一次方程组解决下列实际问题： 每年的5月8日是国际红十字日，这一日某校组织献爱心捐款，其中初一（1）有36名同学参加，共捐得1200元，捐款情况如下表： 捐款（元） 100 50 20 10 人数 2 4 表格中捐款50元和20元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你根据表格提供的信息计算分别有多少同学捐50元和20元． 【答案】捐50元有12人，捐20元有18人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用．设捐50元有人，捐20元有人，根据总人数为36人，总捐款为1200元，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设捐50元有人，捐20元有人， 由题意得：， 解得， 答：捐50元有12人，捐20元有18人． 能力提升进阶练 21．（24-25七年级下·重庆江津·期中）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据二元一次方程的定义，方程需满足两个未知数的次数均为1，且系数不为零； 【详解】1. 系数条件：方程中的系数为，需满足，即， 2. 次数条件：的指数为，需满足，解得，即或， 3. 排除矛盾：当时，的系数为0，方程退化为关于的一元一次方程，不符合“二元”条件，故舍去， 4. 验证唯一解：当时，的系数为，y的指数为，方程化为，符合二元一次方程的定义， 综上，， 故选：B； 22．（24-25七年级上·重庆潼南·期末）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，现决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅，且生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，下列方程（组）中，与题意不符的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组． 【详解】解：A、根据题意可列方程组为：．故选项A正确，不符合题意； B、方程组 中第二个方程化简为 ，即 ，与正确比例 矛盾，故选项B错误，符合题意； C、方程 由总天数 代入正确方程得到，故选项C正确，不符合题意； D、方程 由总天数 代入正确方程得到，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 23．（24-25八年级上·山东青岛·月考）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（   ） A．54 B．50 C．43 D．34 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，根据图示可以列出方程组 ，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为， 依题意得， 解得， ∴小长方形的长、宽分别为， ． 24．（24-25七年级下·江西南昌·期末）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如图所示，那么购买一支签字笔和一本笔记本应付款（   ） 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应付款52元． 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付款44元． A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设购买1支签字笔应付元，1本笔记本应付元，根据小月与售货员的对话信息列出二元一次方程组，求出即可． 【详解】解：设购买1支签字笔应付元，1本笔记本应付元， 根据题意得：， 得：， ， 即购买一支签字笔和一本笔记本应共付12元， 故选：B． 25．（24-25七年级下·北京·期中）现有如图①的小长方形纸片若干，如图②的图形若干，用3个如图②的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为12，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意、结合图形可以得到方程组，解出，的值，再表示出阴影面积和整个图形的面积，求出比值即可．关键是看懂图示，找出题目中的等量关系，求出和． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 大长方形的宽为， ， 根据图③可得， 组成方程组， 解得， 阴影面积为，整个图形的面积为：， 阴影部分面积与整个图形的面积之比为， 故选：C． 26．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于 x、y的方程组，给出下列说法： ①当时，x、y的值都相等；    ②当时，x、y的值互为相反数； ③无论a为何值，y的值都不变；    ④若，则． 其中说法正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，不等式的性质，将每个命题代入方程组中，对各选项进行判断，结合不等式的性质，求a的取值范围即可． 【详解】解：①当时，方程组为， 解得：， x，y的值相等，故①正确； ②当时，方程组为， 解得：， x，y的值互为相反数，故②正确； ③解方程组，得， 无论a为何值，y的值不变，故③正确； ④若，则，，即，故④正确， 综上所述，其中说法正确的有①②③④共4个． 故选：D． 27．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 2 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 1 -2 … 则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同解的二元一次方程组．将待求的方程组整理成与已知方程组的形式相同，即可得新的二元一次方程组，再求出解即可． 【详解】解：∵从两个表格中可知，是关于x，y的二元一次方程和关于m，n的二元一次方程的公共解， 将整理为， ∴， 解得：， ∴关于的二元一次方程组的解是， 故选：A． 28．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若关于，的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程，解二元一次方程组得出，结合题意可得，求解即可． 【详解】解：， 由可得：， ∴， ∵关于，的方程组的解满足， ∴， 解得：， 故选：A    ． 29．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k． 【详解】解：， ，得， ∴， ，得， ∴， ∵二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 即， ∴． 故选：B． 30．（24-25七年级下·河南周口·月考）若方程组的解为，则___________． 【答案】6 【分析】本题考查二元一次方程组的解，已知字母的值求代数式的值，解题的关键是：理解二元一次方程组的解的含义． 将代入，解得，代入，即可求解， 【详解】解：将代入，得 ， 解得：， ∴ 故答案为：6． 31．（24-25七年级下·北京东城·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值为___________． 【答案】44 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，整体代入的思想是解题的关键． 把x，y的值代入方程即可求出m与n的关系式，然后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，把代入得，， ∴ ． 故答案为：44． 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于的方程组的解使，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，二元一次方程组的解法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先解二元一次方程组，将的值代入，得到关于的一元一次不等式进行计算即可． 【详解】解： 由①，解得③， 由，解得④， 将③④代入， ， 解得． 故答案为：． 33．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于x，y的方程组 的解满足，则m的值为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组的两个方程相加，可得关于m的方程，求解方程即可． 【详解】解：， 得，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：8． 34．（24-25七年级下·福建福州·期中）关于的二元一次方程（是常数），，，对于任意一个满足条件的，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 先将，代入，化简得到，则得到，再解方程组即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴ ∵对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解 ∴ ∴公共解为， 故答案为：． 35．（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则___________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式与几何图形表示，数形结合得到，求解即可得到，代入代数式求解即可得到答案．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题图-1可知， ， 题图-1中大正方形的边长减少1个单位， 题图-2中，边长分别为的两个小正方形重合部分是边长为1的正方形，则， ， ， ， 综上所述，， 解得， ， 故答案为：． 36．（24-25七年级下·河南周口·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组的错解复原问题，根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此求出a、b的值，再利用加减消元法解原方程组即可得到答案． 【详解】解：甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得， ，． ，． ∴原方程组为 得 ， 解得， 把代入得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 37．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）列方程组解应用题 垃圾分类有助于环境保护、资源循环利用．某区域的环卫部门每天安排10台A型车和8台B型车用于垃圾清运，一台A型车比一台B型车每次多清运7吨垃圾，该区域每天需要清运垃圾428吨，每天每台车均需清运垃圾2次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．一台A型车和一台B型车每次清运垃圾的吨数分别是多少？ 【答案】一台A型车每次清运垃圾15吨，一台B型车每次清运垃圾8吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设一台A型车每次清运垃圾x吨，一台B型车每次清运垃圾y吨．根据一台A型车比一台B型车每次多清运7吨垃圾，该区域每天需要清运垃圾428吨，每天每台车均需清运垃圾2次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设一台A型车每次清运垃圾x吨，一台B型车每次清运垃圾y吨． 由题意可知， 解得 答：一台A型车每次清运垃圾15吨，一台B型车每次清运垃圾8吨． 38．（24-25七年级下·北京海淀·期末）某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低5元，5套普通版的成本与4套手绘版的成本共110元． (1)求出每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； (2)现决定将普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为12元和20元．如果共售出100套，且普通版明信片不少于20套，那么总利润最高是多少元？ 【答案】(1)每套普通版明信片的成本价是10元，每套手绘版明信片的成本价是15元 (2)总利润最高为440元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． （1）设每套普通版明信片的成本价是元，每套手绘版明信片的成本价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设售出套普通版明信片，表示出总利润为，再结合，计算即可得解． 【详解】（1）解：设每套普通版明信片的成本价是元，每套手绘版明信片的成本价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：每套普通版明信片的成本价是10元，每套手绘版明信片的成本价是15元． （2）解：设售出套普通版明信片，则总利润为：， 因为， 所以． 答：总利润最高为440元． 39．（24-25七年级下·北京顺义·期末）为响应低碳生活号召，同学们对上下学过程中产生的碳排放量展开调查．通过查阅资料，获取了几种交通方式每千米的碳排放量（单位：），数据如下： 交通方式 乘私家车 乘坐公交 骑自行车 碳排放量 0.28 0.2 0 已知小明和小亮家到学校的路程均为，每天上下学往返一次，且同一天上学和下学选择同一种交通方式．20个上学日为一个周期． (1)某个周期小明有1天骑自行车，他乘私家车的天数比小亮多5天，乘坐公交的天数是小亮的2倍．已知小亮在该周期内上下学产生的碳排放总量为．求小亮该周期乘私家车和乘坐公交各多少天？ (2)接下来的一个周期，小明希望自己上下学产生的碳排放总量不超过上一周期的，且骑车不超过4天．请直接写出该周期乘私家车、乘坐公交、骑自行车天数的所有方案． 【答案】(1)小亮乘乘私家车10天，乘坐公交2天 (2)乘私家车0天、乘坐公交17天、骑自行车3天；乘私家车1天、乘坐公交16天、骑自行车3天；乘私家车0天、乘坐公交16天、骑自行车4天；乘私家车1天、乘坐公交15天、骑自行车4天；乘私家车2天、乘坐公交14天、骑自行车4天；乘私家车3天、乘坐公交13天、骑自行车4天． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设小亮乘乘私家车天，乘坐公交天，根据20个上学日和碳排放量建立方程组求解； （2）先求出上一周期小明的碳排放量为：，设小明乘私家车天，公交车天，自行车天，由题意得：，化简得到，，解得，再分类讨论求出方案． 【详解】（1）解：设小亮乘私家车天，乘坐公交天， 由题意得， 解得： 答：小亮乘乘私家车10天，乘坐公交2天； （2）解：上一周期小明的碳排放量为：， 设小明乘私家车天，公交车天，自行车天， 由题意得： 由①得：， 代入②得： 化简得：， ∴， 解得：， 当时，，则， ∴时，则， 则乘私家车0天、乘坐公交17天、骑自行车3天； 时，则， 则乘私家车1天、乘坐公交16天、骑自行车3天； 当时，，则， ∴当时，则， 则乘私家车0天、乘坐公交16天、骑自行车4天； ∴当时，则， 则乘私家车1天、乘坐公交15天、骑自行车4天； ∴当时，则， 则乘私家车2天、乘坐公交14天、骑自行车4天； ∴当时，则， 则乘私家车3天、乘坐公交13天、骑自行车4天； 综上：方案有：乘私家车0天、乘坐公交17天、骑自行车3天； 乘私家车1天、乘坐公交16天、骑自行车3天； 乘私家车0天、乘坐公交16天、骑自行车4天； 乘私家车1天、乘坐公交15天、骑自行车4天； 乘私家车2天、乘坐公交14天、骑自行车4天； 乘私家车3天、乘坐公交13天、骑自行车4天． 40．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，或 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②①得，， ∴ 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 由②得， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”； ∴ ∴ ∴其中与都是正整数， ∴或 ∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二元一次方程组（复习讲义） 1、理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，能准确判断一个方程是否为二元一次方程、一个方程组是否为二元一次方程组，明确二元一次方程（组）的本质特征（含两个未知数、未知数次数均为1、整式方程）。 2、掌握二元一次方程的解的概念，知道二元一次方程有无数组解，能根据已知条件求出二元一次方程的特定解；理解二元一次方程组的解的定义，能判断一组数值是否为二元一次方程组的解。 3、熟练掌握代入消元法和加减消元法两种解二元一次方程组的基本方法，能根据方程组的特点选择合适的消元方法，准确求解二元一次方程组（结果书写规范，步骤清晰）。 4、能运用二元一次方程组解决简单的实际问题，学会从实际问题中提取数量关系，列出二元一次方程组，体会方程建模思想，提升运用数学知识解决实际问题的能力。 重点01 二元一次方程（组）的易错易混问题 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 重点02 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2、代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1、方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2、当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 2.加减消元法 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2、加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 重点03 三元一次方程组的易错易混 三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； （2）含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 重点04 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型一 二元一次方程的定义与解 1．下列方程中，二元一次方程的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知是方程的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．5 D． 3．已知是方程的一个解，则的值为（    ） A． B． C．6 D．8 4．二元一次方程的正整数解有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 题型二 二元一次方程组的定义与解 5．下列不是二元一次方程组的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．写出一个解为的二元一次方程组，可以是___________． 7．请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： (1) (2) 8．已知下列四对数值： ①②③④ (1)哪几对数值是方程的解？ (2)哪几对数值是方程的解？ (3)写出方程组的解． 题型三 解二元一次方程组 9．解方程组： 10．解方程组： (1)； (2)． 11．解下列方程组： (1) (2) 12．解下列方程组： (1) (2) 题型四 已知二元一次方程组解的情况求参数 13．若关于x，y的方程组有正整数解，则正整数a为（    ） A．1，2 B．2，5 C．1，5 D．1，2.5 14．已知关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是（    ） A．0 B．-1 C．1 D．2 15．若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则_______． 16．已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 题型五 二元一次方程组的特殊解法 17．已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 18．若方程组的解为，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．已知方程组的解是，老师让同学们解方程组，小聪先觉得这道题好像条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得，运用换元思想，得，所以方程组的解为．现给出方程组的解是，请你写出方程组的解__． 20．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 题型六 构造二元一次方程组求解 21．已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（    ） A． B． C． D． 22．已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（   ） 的运算 运算的结果 7 A．21 B． C．40 D． 23．如表中的信息满足关于的二元一次方程，则___________ … … 24．已知代数式，当时，它的值是；当时，它的值是17． (1)求的值． (2)当时，求代数式的值． 题型七 二元一次方程组的错解复原问题 25．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 26．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 27．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 28．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… (1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． (2)请选择一种你喜欢的解法解方程组． 题型八 二元一次方程组的相同解问题 29．若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 30．已知关于的方程组和有相同的解，那么值是___________． 31．已知关于的方程组和的解相同，求的值． 32．若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 题型九 根据实际问题列二元一次方程组 33．《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 34．3月14日数学节当天，我校初一年级学生积极参与“速算游园”活动．活动中，小阳和小光展开了如下对话： 小阳说：“我比你多解了3道题！” 小光回应：“如果你给我3道题，我的解题数量就是你的两倍啦．” 若两人的陈述均为真，设小阳解了x道题，小光解了y道题，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 35．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 36．如图，个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（      ） A． B． C． D． 题型十 方案问题 37．第二届杭州市月季花展于2024年4月27日在杭州开展，若黄色月季花每支4元，红色月季花每支6元，小明想要花费30元全部用于购买这两个品种的花送给妈妈，那么小明的购买方案有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 38．蓝山县某中学为奖励“书香阅读月”中表现优异的同学，该中学决定用1200元购买篮球和排球两种球（同时购买两种球），其中篮球每个120元，排球每个90元，购买资金恰好用完的情况，请同学们根据以上条件认为购买方案一共有______种． 39．某物流公司用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货多少吨？ (2)若A型车每辆每次需租金100元，B型车每辆每次需租金150元．请选出最省钱的租车方案，并求出此时的租车费用． 40．列方程（组）解应用题： 学校为了支持体育活动，鼓励同学们加强锻炼，准备购买一些羽毛球拍和乒乓球拍作为运动会奖品．    (1)根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格； (2)学校准备用2400元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量多于羽毛球拍的数量，若2400元恰好用完，写出所有的购买方案． 题型十一 行程问题 41．自行车一般是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为．现有某品牌自行车的前轮胎行驶达到5000公里时报废，后轮胎行驶达到3000公里时报废．如果该自行车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　） A．3250公里 B．3500公里 C．3750公里 D．4000公里 42．甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，如果甲比乙先走，那么他们在乙出发后相遇；如果乙比甲先走，那么他们在甲出发后相遇，则甲、乙两人的速度比为_____． 43．周末，小明和他爸爸来到环形场跑步锻炼，绕环形场跑一圈的路程为400米．若两人同时同地反向而跑，则经过36s后首次相遇，若两人同时同地同向而跑，则经过180s后，爸爸首次从后面追上小明，问：小明和爸爸的速度各为多少？ 44．某船在静水中的速度为，该船于下午1点从A地出发，逆流而上，下午到达B地，停泊后返回，下午4点回到A地．求A，B两地的距离及水流的速度． 题型十二 工程问题 45．某公司有新员工和老员工若干名．已知1名新员工每天制造的零件个数比1名老员工少30，1名新员工与2名老员工每天共可制造180个零件，则1名新员工与1名老员工每天各能制造多少个零件？设1名新员工每天能制造个零件，1名老员工每天能制造个零件．根据题意可列方程组为（） A． B． C． D． 46．某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 47．某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．该制造厂生产这批电动车的预定期限是______天，计划生产_____辆电动车． 48．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 题型十三 数字问题 49．一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1．若这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（   ） A．86 B．68 C．94 D．73 50．算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位……，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是______． 51．两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 52．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 题型十四 分配问题 53．某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（   ） A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人 54．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能便生产的螺栓和螺帽刚好配套？若设生产螺栓人，生产螺帽人，则列方程组得______． 55．某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 56．某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 题型十五 销售利润问题 57．某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价元/套 300 x 售价元/套 y 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值． 58．菜农王大叔在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容： 蔬菜品种 辣椒 黄瓜 西红柿 茄子 批发价（元/公斤） 零售价（元/公斤） 他共用116元钱从市场上批发了辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖，当天卖完，请你计算出王大叔一天能赚多少钱？ 59．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 60．北京时间年月日，嫦娥六号返回器准确着陆，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进，两种航天飞船模型进行销售，据了解，件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元；件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元． (1)求，两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划用元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 题型十六 和差倍分问题 61．刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？ 62．小明与班上同学一起到教育基地参观，该班共有50人参观了教育基地，且男生人数比女生人数的1.5倍多5．求小明班上参观教育基地的男生和女生的人数． 63．某电器公司计划装运甲、乙两种家电到农村销售(规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电)，下表为每辆汽车装运甲、乙两种家电的台数．若用8辆汽车装运甲、乙两种家电300台到A地销售，问装运甲、乙两种家电的汽车各有多少辆？（用二元一次方程组解决） 家电种类 甲 乙 每辆汽车能装满的台数 30 40 64．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 题型十七 几何问题 65．在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的总面积（写出分步求解的简明过程）． 66．七年级某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少？ 67．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究． (1)小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为，周长为，请求出该长方形纸片的长和宽： (2)小葵在长方形内画出边长为的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，问：小葵的判断正确吗?请说明理由． 68．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）    (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 题型十八 古代问题 69．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有人，y辆车，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 70．《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺?设木头长尺，绳子长尺，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 71．《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，可列出的二元一次方程组为______． 72．《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪，其中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳五尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 题型十九 解三元一次方程组 73．解三元一次方程组： 74．解方程组：． 75．解方程组： 76．解方程组：． 题型二十 三元一次方程组的应用 77．现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等，将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态，用分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1-图3，其中图3的天平右边托盘中是个球，那么的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 78．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（    ） a b c 10 d e A． B．0 C．2 D．4 79．已知某速食店贩售的套餐内容为一块鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价格比单点一块鸡排再单点一杯可乐的总价格便宜8元．阿俊打算到该速食店买两份套餐，他发现店内有单点一块鸡排就再送一块鸡排的促销活动，且单点一块鸡排再单点两杯可乐的总价格比两份套餐的总价格便宜2元，则单点一块鸡排的价格为______________元． 80．小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 基础巩固通关测 1．（2026七年级下·北京·专题练习）学校计划用元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 3．（24-25七年级下·北京东城·期末）将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京平谷·期末）已知二元一次方程，下列选项中是此方程的解的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京房山·期末）小智同学在阅读中国古代重要数学著作《九章算术》时，看到书中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”于是他类比书中的问题提出了一个问题：“今有汉堡三、蛋挞二，直金六十六元；汉堡二、蛋挞三，直金五十四元．问汉堡、蛋挞各直金几何？”意思是：3个汉堡和2个蛋挞总价为66元，2个汉堡和3个蛋达总价为54元．问汉堡和蛋挞的单价分别是多少元？设每个汉堡元，每个蛋达元，则下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·北京密云·期末）若关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值为（    ） A． B． C． D．3 7．（24-25七年级下·北京·期中）由可以得到用表示的式子是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·北京海淀·期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列消元方案中正确的个数有__个． 方案一：要消去，可以将； 方案二：要消去，可以将； 方案三：要消去，可以将； 方案四：要消去，可以将． 9．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为__________． 10．（24-25七年级下·北京大兴·期末）《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大、小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛，音hú，是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少解？设1个大容器容量为斛，1个小容器容量为斛．根据题意，可列方程组为_____． 11．（24-25七年级下·北京·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则__________． 12．（2025·四川绵阳·二模）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为______． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知关于，的方程组的解满足，则_________． 14．（24-25八年级上·北京海淀·期中）小明同学仿照我国古代经典的“鸡兔同笼”问题给小石同学出了一道题目：“今有鸡兔同笼，上有十四头，下有四十足，问鸡兔各几何？”．若小石同学设笼中有鸡x只，兔y只，则根据题意可列方程组为______． 15．（25-26七年级上·北京·月考）解方程或方程组： (1)； (2)． 16．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）列方程组解应用题 垃圾分类有助于环境保护、资源循环利用．某区域的环卫部门每天安排10台A型车和8台B型车用于垃圾清运，一台A型车比一台B型车每次多清运7吨垃圾，该区域每天需要清运垃圾428吨，每天每台车均需清运垃圾2次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．一台A型车和一台B型车每次清运垃圾的吨数分别是多少？ 17．（24-25七年级下·北京昌平·期中）已知x，y是有理数，求满足的x，y的值. 18．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）解方程组： (1) (2) 19．（2025·安徽马鞍山·三模）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．某茶馆的店主计划购买三种不同类型的茶叶来丰富茶馆的饮品选择，其中包括龙井茶、普洱茶和茉莉花茶．龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元．店主计划采购这三种茶叶总共50千克，以满足不同顾客的口味需求． (1)设采购龙井茶千克、普洱茶千克，请用含，的代数式填表： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 _____ _____ (2)若店主总共花了15000元，其中采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，求店主采购的龙井茶、普洱茶以及茉莉花茶各有多少千克． 20．（24-25七年级下·北京·期中）列二元一次方程组解决下列实际问题： 每年的5月8日是国际红十字日，这一日某校组织献爱心捐款，其中初一（1）有36名同学参加，共捐得1200元，捐款情况如下表： 捐款（元） 100 50 20 10 人数 2 4 表格中捐款50元和20元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你根据表格提供的信息计算分别有多少同学捐50元和20元． 能力提升进阶练 21．（24-25七年级下·重庆江津·期中）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 22．（24-25七年级上·重庆潼南·期末）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，现决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅，且生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，下列方程（组）中，与题意不符的是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·山东青岛·月考）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（   ） A．54 B．50 C．43 D．34 24．（24-25七年级下·江西南昌·期末）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如图所示，那么购买一支签字笔和一本笔记本应付款（   ） 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应付款52元． 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付款44元． A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 25．（24-25七年级下·北京·期中）现有如图①的小长方形纸片若干，如图②的图形若干，用3个如图②的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为12，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于 x、y的方程组，给出下列说法： ①当时，x、y的值都相等；    ②当时，x、y的值互为相反数； ③无论a为何值，y的值都不变；    ④若，则． 其中说法正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 27．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 2 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 1 -2 … 则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若关于，的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C．0 D． 29．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级下·河南周口·月考）若方程组的解为，则___________． 31．（24-25七年级下·北京东城·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值为___________． 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于的方程组的解使，则的取值范围是__________． 33．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于x，y的方程组 的解满足，则m的值为______． 34．（24-25七年级下·福建福州·期中）关于的二元一次方程（是常数），，，对于任意一个满足条件的，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为__________． 35．（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则___________． 36．（24-25七年级下·河南周口·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 37．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）列方程组解应用题 垃圾分类有助于环境保护、资源循环利用．某区域的环卫部门每天安排10台A型车和8台B型车用于垃圾清运，一台A型车比一台B型车每次多清运7吨垃圾，该区域每天需要清运垃圾428吨，每天每台车均需清运垃圾2次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．一台A型车和一台B型车每次清运垃圾的吨数分别是多少？ 38．（24-25七年级下·北京海淀·期末）某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低5元，5套普通版的成本与4套手绘版的成本共110元． (1)求出每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； (2)现决定将普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为12元和20元．如果共售出100套，且普通版明信片不少于20套，那么总利润最高是多少元？ 39．（24-25七年级下·北京顺义·期末）为响应低碳生活号召，同学们对上下学过程中产生的碳排放量展开调查．通过查阅资料，获取了几种交通方式每千米的碳排放量（单位：），数据如下： 交通方式 乘私家车 乘坐公交 骑自行车 碳排放量 0.28 0.2 0 已知小明和小亮家到学校的路程均为，每天上下学往返一次，且同一天上学和下学选择同一种交通方式．20个上学日为一个周期． (1)某个周期小明有1天骑自行车，他乘私家车的天数比小亮多5天，乘坐公交的天数是小亮的2倍．已知小亮在该周期内上下学产生的碳排放总量为．求小亮该周期乘私家车和乘坐公交各多少天？ (2)接下来的一个周期，小明希望自己上下学产生的碳排放总量不超过上一周期的，且骑车不超过4天．请直接写出该周期乘私家车、乘坐公交、骑自行车天数的所有方案． 40．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $