专题01 二元一次方程组76道计算题训练（专项训练）数学新教材北京版七年级下册

专题01 二元一次方程组76道计算题专训 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二元一次方程的解 1 题型二、代入法解二元一次方程组 2 题型三、加减法解二元一次方程组 3 题型四、二元一次方程组的特殊解法 5 题型五、整体代入法解二元一次方程组 6 题型六、构造二元一次方程组求解 8 题型七、二元一次方程组的错解复原 9 题型八、二元一次方程组的同解问题 9 题型九、已知二元一次方程组解的情况求参数 9 题型十、三元一次方程组的解法 9 题型十一、二元一次方程组的新定义运算 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二元一次方程的解 1．（24-25七年级下·北京·专题练习）若是方程的一个解，求的值． 2．（24-25七年级下·北京海淀·阶段练习）如果是方程的一组解，求代数式的值． 3．（24-25七年级下·北京西城·月考）已知是方程的解，求a的值． 4．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知是二元一次方程的一个解． (1)求k的值； (2)用含y的代数式表示x； (3)检验是不是这个方程的解． 5．（24-25七年级下·北京·单元测试）已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值． 6．（2024八年级上·北京·专题练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 题型二、代入法解二元一次方程组 7．（25-26七年级下·北京·月考）用代入法解下列方程组： (1) (2) 8．（2025七年级下·北京·专题练习）用代入法解下列方程组： (1)． (2)． 9．（24-25七年级下·北京·月考）用代入法解下列方程组： (1) (2) 10．（24-25七年级下·北京·随堂练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 11．（24-25七年级下·山西忻州·月考）小明在解方程组时发现，可将①变形为，然后把②中的换成5，这样便可轻松地得到这个方程组的解，这种方法叫“整体代入法”，是初中阶段常用的一种数学方法． (1)请按照小明的解题思路，求出这个方程组的解． (2)用“整体代入法”解方程组 12．（24-25七年级下·北京·月考）用代入法解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、加减法解二元一次方程组 13．（24-25七年级下·北京·阶段练习）用加减法解方程组 14．（24-25七年级下·北京·阶段练习）用加减法解下列方程组： (1) (2) 15．（24-25七年级下·北京·单元测试）用加减法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 16．（24-25七年级下·北京·期末）用加减法解下列方程组： (1) (2) 17．（24-25七年级下·内蒙古·期末）用加减法解方程组：． 18．（24-25七年级下·北京·阶段练习）用加减法解下列方程组： (1) (2) 题型四、二元一次方程组的特殊解法 19．（25-26八年级上·北京·月考）如果关于x、y的二元一次方程组的解是，不求a，b的值，你能否求关于x、y的二元一次方程组的解？如果能，请求出方程组的解． 20．（24-25七年级下·江西宜春·期末）解方程组：；甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①，得． 乙：由②得③，把①代入③． (1)老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_____（填“甲”或“乙”）； (2)请你参照乙的解题思路，解下面的方程组． 21．（24-25七年级下·四川广安·期中）阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题： 解方程组时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举 解：①②，得，即．③ ②③，得． 把代入③，解得．故原方程组的解是． (1)请利用上述方法解方程组． (2)直接写出关于x，y的方程组的解． 22．（24-25七年级下·山东滨州·期末）已知关于x，y的方程组（m，n为实数）． (1)当时，求方程组的解； (2)当时，试探究方程组的解x，y之间的关系． 23．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 24．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 题型五、整体代入法解二元一次方程组 25．（24-25七年级下·山西临汾·月考）小明在解方程组时发现，可将①变形为，然后把②中的换成5，这样便可轻松地得到这个方程组的解，这种方法叫“整体代入法”，是初中数学常用的一种方法． (1)请按照小明的解题思路，求出这个方程组的解． (2)用“整体代入法”解方程组 26．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）解方程（组）： (1) (2)阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，∴   ∴原方程组的解为 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 27．（24-25七年级下·广西南宁·期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 28．（24-25七年级下·河南安阳·月考）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，，把代入方程①，得，所以方程组的解为 ，请你解决以下问题 (1)模仿小强同学约“整体代换”法解方程组 (2)已知x、y满足方程组求的值； 29．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，得， 即． ③ 把①代入③，得，解得y=-1． 把代入①，得， 解得． 所以方程组的解为： 请你模仿小军的“整体代换”法解方程组 30．（24-25七年级下·福建漳州·期中）知识呈现：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：设，原方程组可变为 解方程组，得即解得 解决问题： （1）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________； （2）已知、满足方程组,求的值； 灵活运用： （3）已知、、满足方程组,求的值． 题型六、构造二元一次方程组求解 31．（24-25七年级下·四川眉山·期中）在等式（k、b是常数）中，当时，；时，． (1)求k、b的值； (2)当时，x的值取多少？ 32．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）在等式中，当时，；当时，．求k，b的值． 33．（24-25七年级下·广东惠州·月考）对于等式，当时，；当时，．求和的值． 34．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知．当时，；当时，． (1)求出k，b的值； (2)当时，求代数式的取值范围． 35．（2025八年级上·北京·专题练习）已知等式，对一切实数x都成立，求m、n的值． 36．（24-25八年级上·北京·单元测试）小萌知道和都是二元一次方程的解，请你帮她求出的立方根． 题型七、二元一次方程组的错解复原 37．（24-25七年级下·陕西商洛·月考）甲、乙两人共同解方程组时，甲看错了方程②中的a，解得；乙看错了方程①中的b，解得，求的值． 38．（24-25七年级下·北京·单元测试）甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解得，而乙因把c抄错了，结果解得，求出a、b、c的值，并求乙将c抄成了何值． 39．（24-25七年级下·四川南充·期末）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 40．（24-25七年级下·四川遂宁·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的a，b的值 (2)求出原方程组的正确解． 41．（24-25七年级下·海南海口·期末）甲、乙两名同学解方程组由于甲同学看错了系数，得到方程组的解是，由于乙同学看错了系数，得到方程组的解是求原方程组中的的值． 42．（24-25七年级下·广东汕头·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 题型八、二元一次方程组的同解问题 43．关于x，y的方程组的解也是方程的解，求k得值 44．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）已知关于x、y的方程组和有相同解，求的值． 45．（24-25七年级下·广东汕尾·月考）已知方程组与方程组的解相同．求的值． 46．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）已知关于的方程组和有相同的解，求的值． 47．（2025七年级下·北京·专题练习）已知关于的方程组与方程组的解相同，求的值． 48．（24-25七年级下·吉林·期末）已知关于，的方程组与的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求，的值． 题型九、已知二元一次方程组解的情况求参数 49．（24-25七年级下·广东东莞·月考）已知方程组的解满足，求k的值． 50．（24-25八年级下·福建漳州·月考）若关于，的二元一次方程组，，满足方程，求的值． 51．（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值． 52．（24-25七年级上·吉林长春·月考）若是关于x，y的二元一次方程组，且，求出满足条件的m的所有正整数值． 53．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解． 54．（24-25八年级上·四川达州·月考）解答下列各题 (1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值． (2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 题型十、三元一次方程组的解法 55．（24-25七年级下·广东东莞·期末）解方程组． 56．（24-25七年级上·吉林长春·月考）解下列方程组． (1) (2) 57．解方程组： 58．（24-25七年级下·北京·月考）解下列三元一次方程组： (1) (2) 59．（24-25七年级下·北京·月考）解下列三元一次方程组： (1) (2) 60．（24-25六年级下·上海·月考）解方程组：． 题型十一、二元一次方程组的新定义运算 61．（2025八年级上·北京·专题练习）对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 62．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）对于有理数x，y定义一种新的运算“☆”：，其中a，b为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的值． 63．（24-25七年级下·山东淄博·期中）请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：○，例如：4○5． (1)如果，2〇，求的值； (2)若1〇，4〇，求，的值． 64．（24-25七年级下·云南大理·期末）定义：关于，的二元一次方程与互为“共轭二元一次方程”，例如：与互为“共轭二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“共轭二元一次方程”； (2)二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，求，的值． 65．（24-25七年级下·广东珠海·期中）定义：关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，例如：与互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”； (2)关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，求的值． 66．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）定义：数对(x，y)经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（均为常数，）． 例如：当时，． (1)当时，___________； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对(x，y)的两个数满足二元一次方程时，总有，求和的值． 1．（25-26八年级上·北京·开学考试）解二元一次方程组： (1)； (2)． 2．解方程组： 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）已知方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求a，b的值． 4．（24-25七年级下·北京·期末）若方程组的解x与y互为相反数，求k的值. 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值． 6．（2023七年级上·北京·期末）情境  珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组： 尝试  （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下. 请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______； 应用  （2）利用上述方法解方程组 7．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）若关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值 8．（24-25七年级下·浙江金华·月考）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）关于、的二元一次方程组的解、满足，求此时的取值范围． 10．（24-25八年级上·北京·月考）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二元一次方程组76道计算题专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二元一次方程的解 1 题型二、代入法解二元一次方程组 2 题型三、加减法解二元一次方程组 3 题型四、二元一次方程组的特殊解法 5 题型五、整体代入法解二元一次方程组 6 题型六、构造二元一次方程组求解 8 题型七、二元一次方程组的错解复原 9 题型八、二元一次方程组的同解问题 9 题型九、已知二元一次方程组解的情况求参数 9 题型十、三元一次方程组的解法 9 题型十一、二元一次方程组的新定义运算 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二元一次方程的解 1．（24-25七年级下·北京·专题练习）若是方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．将代入方程得到，代入即可求解． 【详解】解：因为是方程的一个解， 所以， 所以． 2．（24-25七年级下·北京海淀·阶段练习）如果是方程的一组解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，先把方程的解代入方程得到a与b的关系式，再对变形，最后代入求值． 【详解】解：是方程的一组解， ∴将 代入方程，得：， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·北京西城·月考）已知是方程的解，求a的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组解的定义，正确代入方程是解题关键． 把的值代入进而得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 4．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知是二元一次方程的一个解． (1)求k的值； (2)用含y的代数式表示x； (3)检验是不是这个方程的解． 【答案】(1) (2) (3)不是 【分析】本题考查了二元一次方程的解、列代数式，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键． （1）代入到方程，得到关于k的方程，即可求出k的值； （2）由（1）得，代入方程，即可解答； （3）由（2）得，计算出当时对应的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：代入到方程，得， 解得：， 的值为． （2）解：由（1）得，， 代入到，得， ， 用含y的代数式表示x为． （3）解：由（2）得，， 当时，， 不是这个方程的解． 5．（24-25七年级下·北京·单元测试）已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，先将分别代入方程与方程，求出，，然后再代入求值即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 把代入方程， 得， 解得， ． 6．（2024八年级上·北京·专题练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ． （2）解：由（1）知，， ∴原方程可化为． 当时，， 解得． 题型二、代入法解二元一次方程组 7．（25-26七年级下·北京·月考）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键： （1）直接利用代入法进行求解即可； （2）将第一个方程变形后，利用代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得，解得； 把代入①，得； ∴方程组的解为； （2）， 由①，得， 把③代入②，得，解得； 把代入③，得； ∴方程组的解为． 8．（2025七年级下·北京·专题练习）用代入法解下列方程组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组， 对于（1），由②得出③，把③代入①求出x，再把解代入③求出x即可； 对于（2），由①得出③，把③代入②求出y，再把解代入③求出x即可． 【详解】（1）解：， 由②，得③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， 所以方程组的解是； （2）解：， 得，③， 由①得，④， 把④代入③得，， 解得，， 将代入④，得y， 所以方程组的解是． 9．（24-25七年级下·北京·月考）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式． （1）由①，得③，代入②消去y，求出x的值，再代入③求出y的值即可； （2）由②得③，代入①消去y，求出x的值，再代入③求出y的值即可 【详解】（1）解：由①，得③． 把③代入②中，得， 解这个方程，得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解是 （2）解：由②得③． 把③代入①中，得， 解这个方程，得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为． 10．（24-25七年级下·北京·随堂练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键． （1）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案； （2）把②代入①，得，解得，进而求得即可得到答案； （3）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案． 【详解】（1）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 将代入③，得 方程组的解为． （2）解： 把②代入①，得 解得： 把代入②，得 方程组的解为． （3）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 把代入③，得 方程组的解为． 11．（24-25七年级下·山西忻州·月考）小明在解方程组时发现，可将①变形为，然后把②中的换成5，这样便可轻松地得到这个方程组的解，这种方法叫“整体代入法”，是初中阶段常用的一种数学方法． (1)请按照小明的解题思路，求出这个方程组的解． (2)用“整体代入法”解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据小明的解题思路计算求解即可； （2）由①得，．③，再把②变形得到．④，把③代入④求出y的值，再把y的值代入③求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解； 由①得，．③ 把③代入②，得．解得． 把代入③，得． ∴这个方程组的解为； （2）解： 由①得，．③ ②变形可得，．④ 把③代入④，得．解得． 把代入③，得，解得． ∴这个方程组的解为． 12．（24-25七年级下·北京·月考）用代入法解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用代入消元法解二元一次方程组即可； （3）用代入消元法解二元一次方程组即可； （4）将原方程进行变形，然后用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 由得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：； （3）解：， 由得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：； （4）解：， 原方程组可变为：， 由得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为． 题型三、加减法解二元一次方程组 13．（24-25七年级下·北京·阶段练习）用加减法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了用加减法解方程组，①得，②③求出，然后代入①，即可求解；掌握加减法解方程组的方法是解题的关键． 【详解】解： ①得 ③， ②③得 ， 解得：， 将代入①得， ， 解得：， 原方程组的解为． 14．（24-25七年级下·北京·阶段练习）用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得． ，得． ，得，即． 把代入，得， 解得． 所以原方程组的解为 （2），得． ，得． ，得，即． 把代入，得， 解得． 所以原方程组的解为 15．（24-25七年级下·北京·单元测试）用加减法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）将两个方程相加消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程，解方程可得的值，由此即可得； （2）将第一个方程减去第二个方程消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程，解方程可得的值，由此即可得； （3）将第一个方程减去第二个方程消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程，解方程可得的值，由此即可得； （4）将两个方程相加消去，解方程可得的值，再将的值代入第二个方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． （2）解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． （3）解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． （4）解：， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． 16．（24-25七年级下·北京·期末）用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得③ ，得，即 把代入①，得， 解得． 所以原方程组的解为； （2）解： ，得③ ，得，即 把代入①，得， 解得． 所以原方程组的解为． 17．（24-25七年级下·内蒙古·期末）用加减法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 将第二个方程乘以4后，两个方程相减，即可消去未知数x，求出y的值，进而求出x的值，即可解答． 【详解】解：， ，得， ，得， 解得， 把代入方程①，得， 解得， ∴方程组的解为． 18．（24-25七年级下·北京·阶段练习）用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的一般方法，准确计算． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得：， 所以这个方程组的解是． （2）解： ，得， ，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 所以这个方程组的解是． 题型四、二元一次方程组的特殊解法 19．（25-26八年级上·北京·月考）如果关于x、y的二元一次方程组的解是，不求a，b的值，你能否求关于x、y的二元一次方程组的解？如果能，请求出方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．根据题意可得，即可求出，的值． 【详解】解：∵关于x，y 的二元一次方程组的解是， 把关于x，y 的方程组看作关于 和 的二元一次方程组， ∴， 解得． 20．（24-25七年级下·江西宜春·期末）解方程组：；甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①，得． 乙：由②得③，把①代入③． (1)老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_____（填“甲”或“乙”）； (2)请你参照乙的解题思路，解下面的方程组． 【答案】(1)甲 (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键． （1）结合题意即可求解； （2）参照乙的解题思路解方程组即可． 【详解】（1）解：②①得，， ∴过程出现错误的同学是甲， 故答案为：甲； （2）解： 将方程②变形，得③． 把方程①代入③，得， 解得：． 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 21．（24-25七年级下·四川广安·期中）阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题： 解方程组时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举 解：①②，得，即．③ ②③，得． 把代入③，解得．故原方程组的解是． (1)请利用上述方法解方程组． (2)直接写出关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的新解法，整体换元思想和理解应用是本题的关键． （1）分析题干中的信息，应用计算即可； （2）分析题干中的信息，应用计算即可． 【详解】（1）解：， ①②，得，即③， ②③，得， 解得， 把代入③，解得． 故这个方程组的解是． （2）解：， ①②，得，即③， ②③，得，解得， 把代入③，解得． 故这个方程组的解是． 22．（24-25七年级下·山东滨州·期末）已知关于x，y的方程组（m，n为实数）． (1)当时，求方程组的解； (2)当时，试探究方程组的解x，y之间的关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意，原方程组为，运用加减消元法求解即可； （2）运用加减消元法求解出关于的表达式，再根据代数式的值即可求解． 【详解】（1）解：当时，则原方程组为， ①②得，，解得：， 将代入①，得，解得：， 则方程组的解为； （2）解：， ①②得，， ∴， ①②得，， ∴， ④③得， ， ∵， ∴，即． 23．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次方程、二元一次方程组的求解，注意正确理解题意即可． （1）由题意得：,即可求解； （2）根据定义即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：, 解得： （2）解：， ， 则原方程组的解为 24．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键． 将方程②变形为，再整体代入即可求方程组． 【详解】解：     将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得， 所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 题型五、整体代入法解二元一次方程组 25．（24-25七年级下·山西临汾·月考）小明在解方程组时发现，可将①变形为，然后把②中的换成5，这样便可轻松地得到这个方程组的解，这种方法叫“整体代入法”，是初中数学常用的一种方法． (1)请按照小明的解题思路，求出这个方程组的解． (2)用“整体代入法”解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握整体思想是解题关键； （1）由①得，，再整体代入求解，再进一步求解即可； （2）由①得，，再整体代入求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：， 由①得，，③ 把③代入②，得. 解得， 把代入③，得，即， 所以原方程组的解为； （2）解：， 由①得，③， ②变形可得，④， 把③代入④，得． 解得， 把代入③，得，即， 所以原方程组的解为. 26．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）解方程（组）： (1) (2)阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，∴   ∴原方程组的解为 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用代入消元法进行计算即可得； （2）设，，原方程可化为，进行计算得， 则,用代入消元法进行计算即可得． 【详解】（1）解： ①+②得：， 解得：， 把代入①得： 解得，， 则方程组的解为 ． （2）解： 设，， 原方程可化为， 即， ②-①得，， 把代入②得，， ∴， ∴, ∴原方程组的解为 ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握代入消元法，整体换元法． 27．（24-25七年级下·广西南宁·期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可； （2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． 【详解】（1）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． 28．（24-25七年级下·河南安阳·月考）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，，把代入方程①，得，所以方程组的解为 ，请你解决以下问题 (1)模仿小强同学约“整体代换”法解方程组 (2)已知x、y满足方程组求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握整体思想． （1）根据题干提供的信息，解二元一次方程组即可； （2）求出，得出答案即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形：，即③， 把方程①代入③得：， 解得， 把代入方程①，得， 所以方程组的解为； （2）解：原方程组化为， ，得， ∴． 29．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，得， 即． ③ 把①代入③，得，解得y=-1． 把代入①，得， 解得． 所以方程组的解为： 请你模仿小军的“整体代换”法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，将方程②变形为，再将整体代入即可求方程组．熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键． 【详解】解：中， 将②变形，得：即， 将①代入③得，， ∴， 将代入①得，， ∴方程组的解为． 30．（24-25七年级下·福建漳州·期中）知识呈现：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：设，原方程组可变为 解方程组，得即解得 解决问题： （1）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________； （2）已知、满足方程组,求的值； 灵活运用： （3）已知、、满足方程组,求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题围绕“整体思想”展开，通过将复杂式子中的部分看作整体进行代换，简化计算，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）利用换元法，设，因为的解为，所以，即可求得的值； （2）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出的值； （3）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出，的值，进而可求出的值． 【详解】解：（1）设， ，即， ， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）， 设，， ， 可转化为， 解关于，的二元一次方程组，得，， ； （3）设，， 由可得，即①， 由可得，即②， ①②得， 解得， 把代入①得，， ． 题型六、构造二元一次方程组求解 31．（24-25七年级下·四川眉山·期中）在等式（k、b是常数）中，当时，；时，． (1)求k、b的值； (2)当时，x的值取多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，将两组值代入求出等式是解题的关键． （1）分别将，；，分别代入等式，得到关于k和b的二元一次方程组，求解即可； （2）把代入，求出y值即可． 【详解】（1）解：将，；，分别代入等式，可得： ， 解得； （2）解：由（1）得， 把代入，得， 解得． 32．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）在等式中，当时，；当时，．求k，b的值． 【答案】k，b的值分别为和10 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据当时，；当时，，建立方程组，解之即可得到答案． 【详解】解：∵在，当时，；当时，， ∴， ∴，即k，b的值分别为和10． 33．（24-25七年级下·广东惠州·月考）对于等式，当时，；当时，．求和的值． 【答案】的值为2，的值为 【分析】根据题意构造二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：对于等式，当时，；当时，， ， 解得：， 的值为2，的值为． 【点睛】本题考查了构造二元一次方程组求解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解此题的关键． 34．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知．当时，；当时，． (1)求出k，b的值； (2)当时，求代数式的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把x与y的值代入计算即可求出k与b的值； （2）利用（1）的结果表示出y，代入，然后利用不等式的性质求解即可． 【详解】（1）由题意得： 解得：， 则，； （2）∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．也考查了不等式的性质． 35．（2025八年级上·北京·专题练习）已知等式，对一切实数x都成立，求m、n的值． 【答案】m、n的值分别为、 【分析】根据关键语“等式对一切实数x都成立”，只要让等式两边x的系数和常数分别相等即可列出方程组求解． 【详解】解：∵等式对一切实数x都成立， ∴ ， 解得：， 故m、n的值分别为、． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 36．（24-25八年级上·北京·单元测试）小萌知道和都是二元一次方程的解，请你帮她求出的立方根． 【答案】 【分析】把和代入方程，得到含有未知数，的二元一次方程组，从而可以求出，的值，即可解答． 【详解】解：把和代入二元一次方程得： 得：， 解得：， 则， 因此，的立方根是． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，列出关于，的二元一次方程组是解答本题的关键． 题型七、二元一次方程组的错解复原 37．（24-25七年级下·陕西商洛·月考）甲、乙两人共同解方程组时，甲看错了方程②中的a，解得；乙看错了方程①中的b，解得，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的概念以及代数式的求值， 二元一次方程组的解是能使方程组中每个方程都成立的未知数的值，这是解题的关键． 根据甲、乙两人看错方程的情况，分别将他们得到的解代入对应的方程，从而求出和的值，最后代入所求式子计算． 【详解】解：甲看错了方程②中的，但方程①中的是正确的， 所以将甲得到的解， 代入方程①中，可得：， 移项，得． 乙看错了方程①中的，但方程②中的是正确的， 所以将乙得到的解，代入方程②中， 可得：，解得． 所以 ． 38．（24-25七年级下·北京·单元测试）甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解得，而乙因把c抄错了，结果解得，求出a、b、c的值，并求乙将c抄成了何值． 【答案】4，5，；乙把抄成了 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． 根据题意把代入方程组，把代入，分别求出，进而求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得 解得． 把代入，得， 可得新的方程组 解得 把代入， 得， 解得 ，，，乙把抄成了． 39．（24-25七年级下·四川南充·期末）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 【答案】、、、的值是：4，5，，． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．本题需先根据二元一次方程组的解得方法和已知条件分别把与的值代入原方程组，即可求出、、、的值． 【详解】解：把代入得： ， ， 再根据乙把看错，误认为，解得代入得： ， ， ， 、、、的值是：4，5，，． 40．（24-25七年级下·四川遂宁·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的a，b的值 (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把代入①，能求出，把代入②，求出即可； （2）运用加减消元法求出原方程组的解，即可作答． 本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键． 【详解】（1）解：依题意，把代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （2）解：由（1）得， ∴原方程组为， ，得， 把代入③，得， ∴， 解得原方程组的正确解为：， 41．（24-25七年级下·海南海口·期末）甲、乙两名同学解方程组由于甲同学看错了系数，得到方程组的解是，由于乙同学看错了系数，得到方程组的解是求原方程组中的的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的概念是解题的关键． 根据甲同学看错了系数，把代入可求得的值，乙同学看错了系数，把代入可求出的值． 【详解】解：∵ 甲同学看错了系数，得到的方程组的解是 ， 是方程的解， ∴， ∴； ∵ 乙同学看错了系数，得到的方程组的解是， 是方程的解， ∴， ∴． 42．（24-25七年级下·广东汕头·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 【答案】(1)，； (2)； 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，以及代数式求值． （1）根据甲由于看错了方程组中的a，把得到的方程组的解代入可得出，即可求出b的值，根据乙由于看错了b，把得到方程组的解代入可得出，即可求出a的值 （2）由（1）得到方程组并求解，把解代入，再解出m，n的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为 ∴， 解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为 ∴， 解得； （2）由（1）得方程组为， 解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 题型八、二元一次方程组的同解问题 43．关于x，y的方程组的解也是方程的解，求k得值 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，同解方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意得出，再运用加减消元法解出，，再把它们分别代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解也是方程的解， ∴， 由得， 解得， 把代入②，得：， ∴， 解得， 把，分别代入， 得． 44．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）已知关于x、y的方程组和有相同解，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了加减消元法，方程组相同解问题，已知二元一次方程组的解求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先得到方程组，求出，代入两个含有字母参数的方程中，得到，求得，再代入求值． 【详解】解：∵关于x、y的方程组和有相同解， ∴联立得：， 解得：， 将解代入和， 得：， 解得：， ∴． 45．（24-25七年级下·广东汕尾·月考）已知方程组与方程组的解相同．求的值． 【答案】1 【分析】此题考查同解方程组问题，解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解．再把x和y的值代入求出a和b的值． 因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可．最后求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 将代入， 得：， 解得：， ∴． 46．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）已知关于的方程组和有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程组，熟练掌握方程组解的定义，是解题的关键．根据关于的方程组和有相同的解，得出方程组和方程组的解相同，然后解方程组，得，再把代入，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵关于的方程组和有相同的解， ∴方程组和方程组的解相同， 解方程组，得， 将代入， 得， ，得， ∴． 47．（2025七年级下·北京·专题练习）已知关于的方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组以及同解问题，掌握加减消元法是解题关键．先解方程组，再根据两个方程组同解，得到关于a、b的方程组，求解即可计算求值． 【详解】解： ，得 解得 把代入①，得 解得 把代入得 ，得，即 把代入③，得 解得 ． 48．（24-25七年级下·吉林·期末）已知关于，的方程组与的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求，的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是同解方程组的含义与解法，熟练的建立新的方程组是解本题的关键； （1）由题意可得方程组，再整理为，再利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入方程和中，再建立方程组解题即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的公共解为：； （2）解：将代入方程和中， 得， 得：， 把代入④得：， 解得． 题型九、已知二元一次方程组解的情况求参数 49．（24-25七年级下·广东东莞·月考）已知方程组的解满足，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，一元一次方程，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键． 求出方程组的解，再代入计算即可． 【详解】解：方程组 ①+②，得 ， 解得 将代入①，得 ， 因此原方程组的解为， 把代入得 ， 解得 50．（24-25八年级下·福建漳州·月考）若关于，的二元一次方程组，，满足方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，把两个方程相加得，即得，进而得到，解方程即可求解，掌握解二元一次方程组的特殊解法是解题的关键． 【详解】解：， ①②，得， 即， ， ， 解得． 51．（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，二元一次方程组的解法，同解方程组的含义，掌握“二元一次方程组的解法” 是解本题的关键． （1）由x，y为正整数，从而可得方程的正整数解； （2）先构建新的方程组，再解方程组求解x，y的值，再把x，y的值代入，再求解m的值即可． 【详解】（1）解：方程的所有正整数解：或； （2）解：由题意得：， 解得， 把 代入， 得： ， 解得． 52．（24-25七年级上·吉林长春·月考）若是关于x，y的二元一次方程组，且，求出满足条件的m的所有正整数值． 【答案】1，2，3 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将方程组中两个方程相加，化简得出：，由得到关于m的不等式，解之即可得到答案． 【详解】解析： 由，得， 整理，得． 关于x，y的二元一次方程组的解满足， ， ， 满足条件的m的所有正整数值是1，2，3． 53．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题关键． （1）将代入方程组，解得、，将其代入方程组即可求解； （2）若方程的解与无关，可得，求出的值，从而得到这个固定解． 【详解】（1）解： 根据题意，得：， 将其代入方程组①中，解得：， ， 将，代入方程组②中，得：， 解得：． （2）解：方程的解与无关， ， ，解得：， ∴这个固定解为． 54．（24-25八年级上·四川达州·月考）解答下列各题 (1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值． (2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组； （1）依题意，，由①可得，代入②得，，即可求解． （2）依题意，③，代入②得，，，将代入①得，，即可求解． 【详解】（1）解： 依题意， 由①可得， 解得： ∴，代入②得， 解得： （2）解： 依题意，③ 将③代入②得，， 解得： ∴ 将代入①得， 解得： 题型十、三元一次方程组的解法 55．（24-25七年级下·广东东莞·期末）解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是利用代入消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组进行求解． 通过观察方程组中方程的特点，利用代入消元法，逐步消去未知数，先求出一个未知数的值，再依次求出其他未知数的值． 【详解】解： 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， ∴方程组的解为． 56．（24-25七年级上·吉林长春·月考）解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握求解方法是解此题的关键． （1）利用加减消元法计算即可得解； （2）设，则，，，求出的值即可． 【详解】（1）解：， ，得， ， 由②，得．④ 将④代入①，得， 即， 又， ． 将，代入④，得． 原方程组的解为； （2）解： 设， ，，， 代入②，得， ， ， ， ，，． 原方程组的解为． 57．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把三元一次方程组转化成二元一次方程组．利用消元法解三元一次方程组． 【详解】解：②+③得， 解得：， ①+③得，④ 将代入④得， 解得：， 将，，代入①得， 解得： ∴原方程组的解为 58．（24-25七年级下·北京·月考）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】略 59．（24-25七年级下·北京·月考）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 由①，得4x＝3y，x＝y④ 由②得4z＝5y，z＝y，⑤ 把④和⑤代入③，得，解得y＝12 把y＝12代入④和⑤，得． ∴原方程组的解为． （2）将原方程组改写为 由②，得x＝6＋4y，代入①化简，得 11y－4z＝－19，④ 由③，得2y＋3z＝4，⑤ 由④×3＋⑤×4，得33y＋8y＝－57＋16， ∴y＝－1 将y＝－1代入⑤，得z＝2 将y＝－1代入②，得x＝2 ∴原方程组的解为 60．（24-25六年级下·上海·月考）解方程组：． 【答案】 【分析】用含x的式子表示y、z，代入即可求解； 【详解】解： 由①得：③，④， 把③、④代入②得： 解得：， 把分别代入③、④解得：，． 故原方程组的解为︰． 【点睛】本题主要考查解三元一次方程组，掌握求解步骤并正确计算是解题的关键． 题型十一、二元一次方程组的新定义运算 61．（2025八年级上·北京·专题练习）对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出方程是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于、的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于、的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得 （2）解：根据题意，得 解得 所以， 解得． 62．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）对于有理数x，y定义一种新的运算“☆”：，其中a，b为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的值． 【答案】28 【分析】本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，由新定义可得方程组，即，然后利用加减消元法解方程组即可求出a，b的值，再根据新定义可得，把a，b的值代入进行计算即可． 【详解】解：由新定义可得方程组，整理为， 得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：； ∴ ． 63．（24-25七年级下·山东淄博·期中）请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：○，例如：4○5． (1)如果，2〇，求的值； (2)若1〇，4〇，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次方程，结合已知条件列得正确的方程及方程组是解题的关键． （1）根据题意列得一元一次方程，解方程即可； （2）根据题意列得二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：； （2）解：由题意可得， 解得：， 即，． 64．（24-25七年级下·云南大理·期末）定义：关于，的二元一次方程与互为“共轭二元一次方程”，例如：与互为“共轭二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“共轭二元一次方程”； (2)二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，求，的值． 【答案】(1)． (2)，． 【分析】（1）本题考查对题干中“共轭二元一次方程”的理解，理解概念即可解题． （2）本题考查对题干中“共轭二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根据概率得出的“共轭二元一次方程”，再将，代入这两个二元一次方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，二元一次方程的“共轭二元一次方程”是， （2）解：二元一次方程的“共轭二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解， ， 解得， ，． 65．（24-25七年级下·广东珠海·期中）定义：关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，例如：与互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”； (2)关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程，解二元一次方程组，新定义． （1）根据“对称二元一次方程”的定义即可得解； （2）根据“对称二元一次方程”的定义可得关于的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：方程的“对称二元一次方程”是； （2）解：由题意得， 解得， 即． 66．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）定义：数对(x，y)经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（均为常数，）． 例如：当时，． (1)当时，___________； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对(x，y)的两个数满足二元一次方程时，总有，求和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． （1）由题意可得，再计算得，，即可求解； （2）由题意可得，求出方程组的解即可； （3）由题意可得，求解方程组即可． 【详解】（1）解：当，时，， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：由题可得 解这个方程组，得； （3）解：， ． 将代入， 得 由①得． ， ． 同理，由②得． 联立得 解得 1．（25-26八年级上·北京·开学考试）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴原方程组的解是； （2）解：， ①②得，， 解得， 把代入②得，， 解得：， ∴方程组的解是：． 2．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，掌握将三元一次方程组转化成二元一次方程组求解是解题的关键． 观察到三个方程里的系数都是1或，故先用加减消元法消去，再把含、的方程联立方程组来解． 【详解】解：， 得：④， 得：⑤， 得：⑥， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， 原方程组的解为． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）已知方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求a，b的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组；方程组的解； （1）根据题意得，解方程组，即可求解； （2）把代入得到关于a，b的方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 ，得，③ ，得，解得． 将代入①中，得，解得， 所以这两个方程组的相同解为； （2）把代入 得 解得 4．（24-25七年级下·北京·期末）若方程组的解x与y互为相反数，求k的值. 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，相反数的定义以及解一元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．根据题意先解出二元一次方程组的解，再根据x与y互为相反数得到关于的一元一次方程计算即可． 【详解】解：，解得， x与y互为相反数， ， 解得． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，代数式的值计算，熟练掌握解方程组的解的性质，是解题的关键． 把，代入，求得a值，把，代入，求得b值，后求的值即可． 【详解】解：把，代入， 得， 解得， 把，代入， 得， 解得， 所以． 6．（2023七年级上·北京·期末）情境  珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组： 尝试  （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下. 请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______； 应用  （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得． 7．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）若关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，同解方程的含义，求解代数式的值； （1）把方程组中不含、的两个方程联立，再解方程组求解即可； （2）把（1）中方程的解代入含、的两个方程组成方程组求解的值，再计算即可． 【详解】（1）解：把方程组中不含、的两个方程联立得， ， ①②得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， （2）解：把方程组中含、的两个方程联立得， ， 把代入得，， ③+④得，， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·浙江金华·月考）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． （1）根据方程的解的定义，直接把，的值代入方程，即可求出的值； （2）先把方程整理为，可知当，不论取任何一个不为0的值时，都有，从而求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得． （2）解：原方程可化为， 根据题意，当，不论取任何一个不为0的值时，都有， 解得，， 即，． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）关于、的二元一次方程组的解、满足，求此时的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．两方程相加可得，根据题意得出关于m的不等式，解之可得． 【详解】方程组， 两式相加得， 即， 两边同时除以2得． 因为， 所以， 解得． 10．（24-25八年级上·北京·月考）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解； （2）先把化为“相关倒反方程组”或，根据“相关倒反方程组”的定义求出的值，然后解二元一次方程组即可； 本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则，， 故答案为：，； （2）解：根据题意 得：原方程组化为“相关倒反方程组”是 或， ①当“相关倒反方程组”是时， ，， ∴，， 所以原方程组为 ， 解得 ； ②当“相关倒反方程组”是时， ，， ∴，， 所以原方程组为 ， 解得 ． 综上所述，该方程组的解为或． 1 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