专题02 二元一次方程组的实际应用14大题型（专项训练）数学新教材北京版七年级下册

专题02 二元一次方程组的实际应用（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据实际问题列二元一次方程组 1 题型二、方案问题 2 题型三、行程问题 3 题型四、工程问题 5 题型五、数字问题 6 题型六、年龄问题 8 题型七、分配问题 9 题型八、销售利润问题 9 题型九、和差倍分问题 9 题型十、几何问题 9 题型十一、图表信息题 9 题型十二、古代问题 9 题型十三、开放型问题 9 题型十四、其他问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据实际问题列二元一次方程组 1．（25-26七年级下·北京顺义·期中）古代歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，问鸦树各几何．若设树棵，乌鸦只，可得方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；由“三个坐一棵，五个没去处”可得乌鸦数等于每棵树坐三只的乌鸦数加五；由“五个坐一棵，闲了一棵树”可得乌鸦数等于五倍的实际使用的树数（即树数减一），据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意可得方程组为：， 故选：D． 2．（24-25七年级下·北京·期中）《九章算术》中记载了一道古代数学名题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．意思是：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人（两人每步长相等）？为解决此问题，设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系正确的列出方程是解题的关键． 设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步，根据题意列方程组即可． 【详解】解：设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步， 根据题意得：， 故选：A． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）《算法统宗》是我国古代数学著作，书中记载了这样一个问题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，那么下面列出的方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，建立等量关系是解题关键．根据题意列方程组即可． 【详解】解：根据题意列方程组得，， 故选： C． 题型二、方案问题 4．（25-26七年级下·北京·月考）我校八年级共有名师生参加社会实践活动，此次活动的交通经费预算为元．现有大小客车两种车型，小客车可载客人，大客车可载客人，租一辆小客车的租金为元，租一辆大客车的租金为元．如果租用大客车比小客车多辆，且恰好坐满，请通过计算判断这次活动的交通经费预算是否够用？ 【答案】够用；详见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设租用小客车辆，则租用大客车辆，根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设租用小客车辆，则租用大客车辆 根据题意，得： 解得： 则大客车数量为（辆） 所以，租车费用为：（元） 因为 所以，活动的交通经费预算够用． 答：活动的交通经费预算够用． 5．（24-25七年级下·北京东城·期中）已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 【答案】(1)辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨 (2)方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，熟练掌握二元一次方程组的实际应用是解题的关键． （1）根据“用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”“用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可； （2）由题意理解出：，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意列方程组得： ， 解得：． 答：辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨． （2）解：结合题意和（1）得：， ∴， ∵、都是正整数， ∴或或． 答：有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆． 6．（24-25九年级下·北京·月考）一方有难，八方支援．某地洪水灾害牵动着数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往该地．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件物资；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件物资． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物资； (2)现有3100件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若该公司计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 【答案】(1)辆小货车一次满载运输件物资，辆大货车一次满载运输件物资 (2)该公司计划支出元用于租车，够用， 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，弄清量与量之间的关系是解答本题的关键． （1）设辆小货车一次满载运输件物资，辆大货车一次满载运输件物资，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得0，再用表示出，然后根据、均为整数进行列举即可解答，将小货车和大货车每次的租金代入里计算，然后比较即可． 【详解】（1）解：设辆小货车一次满载运输件物资，辆大货车一次满载运输件物资， 依题意得： 解得：     答：辆小货车一次满载运输件物资，辆大货车一次满载运输件物资． （2）解：该公司计划支出元用于租车，够用，理由如下， 设租用小货车辆，大货车辆， 依题意得：， ． 又，均为非负整数， 或 或， 共有种租车方案， 方案：租用辆小货车，辆大货车，租车费为（元）； 方案：租用辆小货车，辆大货车，租车费为（元）； 方案：租用辆小货车，辆大货车，租车费为（元）． 该公司计划支出元用于租车，够用 题型三、行程问题 7．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是分情况讨论． 设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y 根据题意得，或 解得或 ∴甲从A地到B地需要或． 故选：C． 8．（24-25七年级下·全国·专题练习）甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，则乙的速度是______米/秒． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 设甲，乙速度分别为米/秒，米/秒，根据“如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙”列出二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设甲，乙速度分别为米/秒，米/秒． 由题意可得：， 解得， 所以乙的速度是4米/秒． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·广西贵港·期末）小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 【答案】(1)小贵每小时走，小港每小时走 (2)后两人相距 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设小贵每小时走，小港每小时走，根据“若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据后两人间的距离两人的速度之和运动时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设小贵每小时走，小港每小时走， 依题意，得：， 解得：； 答：小贵每小时走，小港每小时走． （2）解：， 答：后两人相距． 题型四、工程问题 10．（25-26七年级下·北京通州·期中）现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度乙工程小组整修马路的长度米，甲工程小组整修马路的天数乙工程小组整修马路的天数天，由此列出方程组，得到答案． 【详解】解：根据题意， 设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米， 依题意可列方程组： ， 故选：． 11．（24-25七年级下·四川德阳·期末）市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进______米． 【答案】12.2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，弄清题意挖掘题目蕴含的相等关系，据此列出方程组是解题的关键． 设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米，根据“甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米”列方程组求解可得． 【详解】解：设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米．根据题意得： ，解得：． 答：甲班组平均每天掘进12.2米、乙班组平均每天掘进9.8米． 故答案为：12.2 12．（24-25七年级下·吉林·期末）为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，年月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队天，乙工程队天共修路米；甲工程队天，乙工程队天共修路米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？ 【答案】甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米 【分析】根据题意设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米列方程解答即可．本题考查了二元一次方程组与实际问题，审清题意列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米，根据题意得， ， 解得：， 答：甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米． 题型五、数字问题 13．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，整式的加法，先用，表示，的式子，结合，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得 ②①得，解得 把 代入①得，解得， 所以， 因为 ， 甲：时，，解得，正确； 乙：则，即，正确； 丙：，正确； 故选：D． 14．（25-26七年级下·北京门头沟·期中）佳佳和亮亮做加法游戏，佳佳在一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为234，而亮亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为63．这两个数相加的正确的和应该是________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找准等量关系是解题的关键．根据题意可得：第一个加数第二个加数，第一个加数第二个加数，根据等量关系列出方程组，求解即可． 【详解】解：设一个加数为，另一个加数为，由题意得： ， 两式相加得：， 则， 故答案为：． 15．若一个四位自然数的各数位上的数字满足，则称该数为“向美而行数”，若一个“向美而行数”的前两数位组成的两位数和后两数位组成的两位数之和等于61，且四个数位上的数字之和等于16，则称这样的数为“和美数”． 例如：因为，所以1234是一个“向美而行数”； 因为，所以2338是一个“向美而行数”，又因为， 所以2338是一个“和美数”． (1)最小的“向美而行数”是_________，最大的“向美而行数”是__________； (2)求出所有的“和美数”． 【答案】(1)1111；9999； (2)所有的“和美数”有：1249，1348，1447，2239，2338 【分析】（1）根据“向美而行数”的定义即可求解； （2）根据前两数位组成的两位数和后两数位组成的两位数之和等于61，且四个数位上的数字之和等于16，可得10a+b+10c+d=61，a+b+c+d=16，进一步即可求解． 【详解】（1）∵一个四位自然数的各数位上的数字满足，则称该数为“向美而行数”， ∴最小的“向美而行数”为1111，最大的“向美而行数”为9999． 故答案为：1111；9999； （2）∵“向美而行数”的前两数位组成的两位数和后两数位组成的两位数之和等于61，且四个数位上的数字之和等于16， ∴10a+b+10c+d=61①，a+b+c+d=16②， 由①-②得：9a+9c=45， ∴a+c=5， ∴b+d=11， ∵， ∴， 当a=1时，c=4，则b=2或b=3或b=4， 此时“和美数”有：1249，1348，1447， 当a=2时，c=3，则b=2或b=3， 此时“和美数”有：2239，2338， ∴所有的“和美数”有：1249，1348，1447，2239，2338． 【点睛】本题考查整式的运算的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 题型六、年龄问题 16．（25-26七年级下·北京密云·期中）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知，由“10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”可知，进而列方程组即可． 【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得： 故选：B 17．（25-26七年级下·天津·月考）一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设爷爷现在的年龄为岁，小红现在的年龄为岁，根据年龄差不变和题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁． 依题意得： 解得 故爷爷现在的年龄是65岁． 故答案为：． 18．（2022七年级下·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 题型七、分配问题 19．（25-26七年级下·山西晋中·期末）年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 【答案】“天问”有艘，“神舟”为艘 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并根据等量关系列出方程是关键． 设“天问”有艘，“神舟”有艘，根据题意可列方程组，求解即可． 【详解】解：设“天问”有艘，“神舟”有艘， 根据题意，得， 解得， 答：“天问”有艘，“神舟”为艘． 20．（25-26七年级下·山西运城·期末）国产游戏《黑神话：悟空》在全球的爆火，使山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．游客纷纷踏上三晋大地，开启一场探索美景与历史的旅程，一个40人的旅行团元旦期间来运城旅游，居住在运城某酒店，该旅行团租住了三人间和两人间的客房若干，且每个客房刚好住满，一共花去住宿费3072元，该酒店三人间每人每天68元，两人间每人每天84元，求该旅行团两种客房各租了多少间？ 【答案】该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间， 由题意可得， 解得：， 故该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间． 21．（25-26七年级下·广东深圳·期末）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 【答案】(1)每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人 (2)共三种租车方案，见解析，最省费用为12800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到正确的等量关系． （1）设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆，可得，再根据为正整数，求得二元一次方程的解，对比费用即可． 【详解】（1）解：设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人， 依题意得：， 解得：． 答：每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人． （2）解：设租用A型客车a辆，B型客车b辆， 依题意得：，化简得：． ∵a，b均为非负整数， ∴或或， 即共三种租车方案，分别是 ①租用A型客车14辆，2辆B型客车，费用为（元）； ②租用A型客车9辆，5辆B型客车，费用为（元）； ③租用A型客车4辆，8辆B型客车，费用为（元）； ∵， ∴租用A型客车4辆，8辆B型客车最省钱，费用为12800元． 题型八、销售利润问题 22．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 【答案】(1)打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； (2)打折后购买比不打折节省3700元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元，根据题意得：，求解即可得出答案； （2）分别算出每种商品节省的钱，再相加得到总节省金额． 【详解】（1）解：设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元， 根据题意得：， 解得 答：打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； （2）解：跳绳每根节省：元，100 根共省：元 手球每个节省：元，40 个共省： 元 总计节省： 元 答：共节省 3700 元． 23．（25-26七年级下·安徽六安·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司购进这两种型号汽车共20辆，销售1辆A型汽车可获利7000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，公司将这两种型号的汽车全部卖完后，获得利润为11万元，求公司购进A、B两种型号汽车各多少辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元． (2)购进A型汽车5辆，B型汽车15辆． 【分析】（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元”列出二元一次方程组求解； （2）设公司购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据获得利润为11万元列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元． 根据题意，得， 解得， 答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元； （2）解：设公司购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意，得， 解得， ∴； 答：购进A型汽车5辆，B型汽车15辆． 24．（25-26七年级下·山东青岛·期末）商场销售某种商品，当按定价销售时，每件可获利元；当按定价的九折销售时，销售件所获利润与将定价降低元销售件所获利润相等． (1)该商品的进价和定价分别是多少元？ (2)商场在元旦期间推出以下优惠活动． 方案一：一次购买件以上所有商品打八折； 方案二：“买四送一”（即每买四件就送一件）． 小明的爸爸计划购买该商品件，选择哪种方案比较合算？比另一种方案节省多少元？ 【答案】(1)该商品的进价为元，定价为元 (2)选择方案一比较合算，比方案二节省元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是要根据定价、进价和利润的关系，找出等量关系正确解答． （1）根据“每件获利元”可得出：每件定价每件进价元；根据“定价的九折销售该商品件所获利润与将定价降低元销售该商品件所获利润相等”可得出等量关系：每件定价的九折每件进价（每件定价元）每件进价； （2）分别计算两种方案的费用，比较即可． 【详解】（1）解：设该商品的进价为元，定价为元， 根据题意得：， 解得： 答：该商品的进价为元，定价为元； （2）解：方案一：∵， ∴此时该商品的单价为：， ∴总费用为：（元）； 方案二：件中包含完整的“买四送一”组数：， 需支付的件数为：， ∴总费用为：（元）； ∵， ∴方案一更合算，节省金额为：（元）， 答：选择方案一比较合算，比方案二节省元． 题型九、和差倍分问题 25．（25-26七年级下·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； (2)共有3种购买方案：方案1：购买10本笔记本，27支钢笔；方案2：购买20本笔记本，18支钢笔；方案3：购买30本笔记本，9支钢笔 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元，根据“买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；买5本笔记本和1支钢笔，需要110元”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本笔记本，n支钢笔，利用总价单价数量，可列出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； （2）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 根据题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买10本笔记本，27支钢笔； 方案2：购买20本笔记本，18支钢笔； 方案3：购买30本笔记本，9支钢笔． 26．（2026·河南周口·一模）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递公司为提高工作效率，拟购买两种型号的智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 型号机器人台数 型号机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 195 2 1 165 (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)若某公司恰好用450万元购进两种型号的机器人若干（两种型号机器人均购买），求该公司共有几种购进方案． 【答案】(1)型号机器人的单价为60万元，型号机器人的单价为45万元 (2)该公司有2种购进方案 【分析】（1）设型号机器人单价为万元，型号机器人单价为万元，根据表格中的信息，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进型号机器人个，型号机器人个，根据两种型号的机器人的价格之和为450元，列出方程，求方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设型号机器人单价为万元，型号机器人单价为万元． 根据题意，得， 解得， 答：型号机器人的单价为60万元，型号机器人的单价为45万元． （2）解：设购进型号机器人个，型号机器人个． 根据题意，得． 整理，得： ， ∵为正整数， ∴或， ∴该公司有2种购进方案． 27．（25-26七年级下·甘肃兰州·开学考试）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． (1)求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； (2)已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 【答案】(1)1架A型无人机一次可配送货物100千克，1架B型无人机一次可配送货物60千克 (2)租金更少的租用方案是租用8架A型无人机和1架B型无人机，节省了50元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克，再根据题意列出关于x、y的二元一次方程组求解即可； （2）先说明选8架型无人机和1架型无人机配送运的租金更少，再求出节省的费用即可． 【详解】（1）解：设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克， 根据题意，得，解得：， 答：1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克． （2）解：选择方案：选8架型无人机和1架型无人机配送． 由（1）得1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克， 当按原计划租用9架A型无人机的运力为（千克），符合要求；此时，该方案的费用为（元）； 当租用8架A型无人机和1架B型无人机的运力为（千克），符合要求，此时，该方案的费用为（元）． 当租用7架A型无人机和2架B型无人机的运力为（千克），不符合要求； ∵， ∴选8架型无人机和1架型无人机配送的租金更少； ∴该方案节省的费用为（元）． 题型十、几何问题 28．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为8，宽为2． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．由图得等量关系：（1）1个长个宽；（2）3个宽个长个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设小长方形宽为，长为， 根据题意得：， 解得， ∴小长方形的长为8，宽为2． 29．（25-26七年级下·重庆巴南·期末）如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，代入求值，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，先表示出阴影部分长方形的长与宽，然后列代数式计算面积即可； （2）长方形纸板长为，宽为，即，解方程求出的值， 利用长方体体积公式计算出体积，代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为， 则阴影部分长方形的面积； （2）解：由题意， 解得， 长方体体积； 当时， （） 答：长方体纸盒的体积为． 30．（25-26七年级下·贵州·期末）如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 【答案】(1) (2)长为，宽为 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和列代数式，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系． （）直接列出代数式即可； （）由大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，列出方程组，求出小长方形的长与宽即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， 大长方形的宽为：， 故答案为：； （2）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得 ， 解得， 所以每块小长方形墙砖的长为，宽为． 题型十一、图表信息题 31．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 32．（2026七年级下·全国·专题练习）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示： 单位 数量 单价 金额 篮球 个 6 100.00 600.00元 钢笔 支 15.00 元 笔记本 本 5.00 元 合计 — 46 — 900.00元 请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】购置钢笔支，金额元；购置笔记本本，金额元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设购买钢笔支，笔记本本，根据钢笔的数量笔记本的数量篮球的数量，购买钢笔的金额购买笔记本的金额购买篮球的金额，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：设购买钢笔支，笔记本本． 依题意得 解得 当时，（元） 当时，（元） 答：购置钢笔支，金额元；购置笔记本本，金额元． 33．（25-26七年级下·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 题型十二、古代问题 34．（25-26七年级下·陕西西安·期末）古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 【答案】人数为21人，羊价为150钱 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．本题可通过设未知数，根据两种出钱方式下羊价恒定这一等量关系列出二元一次方程组，进而求解出合伙人数和羊价． 【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱． 根据题意，得， 将代入中，得 ， 解得 把代入中，得 ． 答：人数为21人，羊价为150钱． 35．（25-26七年级下·福建漳州·月考）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】有5人，物价为28钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设有x人，物价为y钱，根据“每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱”列出方程组并求解． 【详解】解：设有x人，物价为y钱， 由题意可得，， 解得． 答：有5人，物价为28钱． 36．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）题目大意：有只雀、只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中只雀和只燕互换位置，则二者轻重相同．已知只雀和只燕总重斤，则只雀和只燕分别重多少斤？设只燕重斤，只雀重斤． (1)填空：列方程组为______； (2)求只燕和只雀分别重多少斤？ 【答案】(1) (2)只燕重 斤，只雀重 斤． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用。 （1）根据只雀和只燕总重斤以及将其中只雀和只燕互换位置，重相同这两个条件来列方程组； （2）通过消元法求解方程组，得到只燕和只雀的重量． 【详解】（1）将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中只雀和只燕互换位置，则二者轻重相同； ， 只雀和只燕总重斤， ， 根据题意可列出方程组， 故答案为：． （2）由（1）可知，将方程组化简可得，令为①，为②，则有①得：③， 将③代入②得：， 解得， ， ． 答：只燕重 斤，只雀重 斤． 题型十三、开放型问题 37．（25-26七年级下·北京·月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”为____________； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)直接写出方程的最小“关联值”为____________． 【答案】(1)1 (2)，； (3) 【分析】此题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系． （1）把代入方程求出y的值，再根据“关联值”的概念求解即可； （2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可； （3）根据题意分两种情况求解. 【详解】（1）解：当时，即， 解得， ∵ ∴此时方程的“关联值”为1． （2）解：∵“关联值”为4， ∴①当时，即，解得， ∴方程的解为； ②当时，即，解得， ∴方程的解为； ③当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； ④当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）解：∵， ∴， 当时，即，解得， 此时为方程的“关联值”， ∵， ∴不存在最小关联值； 当，即，解得或， ∴或， 此时为方程的“关联值”，的最小值为， ∴方程的最小“关联值”为 38．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）定义一种运算※如下：，a和b均为常数，已知：，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组的应用； 根据新定义得出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 39．（24-25七年级下·湖北荆州·月考）阅读感悟 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．例如，已知实数，满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下： ，得：；，得：． 比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”． 问题解决 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)商场打折促销甲、乙、丙三种商品，如果李明购买甲商品5件、乙商品4件、丙商品2件，共付款元钱，王华购买甲商品7件、乙商品5件、丙商品1件，共付款元钱，那么张强购甲、乙、丙三种商品各2件需付款多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)元 (3) 【分析】（1）①+②可求出的值，可求出的值； （2）设甲、乙、丙三种商品的单价各是元、元、元，列出三元一次方程组，然后根据相应变换即可求解； （3）根据题意列出关于、、的方程组，然后根据变换表示出的值即可． 【详解】（1）解：，得， ，得； （2）解：设甲、乙、丙三种商品的单价各是元、元、元， 根据题意得， ，得， ∴， ∴， 即张强购甲、乙、丙三种商品各2件需付款元． （3）解：由题意得，， ，得， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想的应用等知识，熟练掌握整体思想的应用，找准等量关系，列出方程组是求解的关键． 题型十四、其他问题 40．（25-26七年级下·河北保定·期末）冬春季节是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，且每瓶甲品牌消毒液比每瓶乙品牌消毒液的价格低15元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若我校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案． 【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元 (2)方案一：购买10瓶甲消毒液，瓶乙消毒液；方案二：购买5瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键． （1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，且每瓶甲品牌消毒液比每瓶乙品牌消毒液的价格低15元列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶，根据甲，乙两种品牌消毒液总共列出方程，求出方程的所有整数解，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元， 由题意可得， ， 解得， 答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）解：设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶，则由题意可得， ， 整理得，， 当时，， 当时，， ∴方案一：购买10瓶甲消毒液，瓶乙消毒液； 方案二：购买5瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液． 41．（25-26七年级下·安徽安庆·开学考试）我市某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨；若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨，现有萝卜吨，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜，根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 【答案】(1)辆A型车载满萝卜一次可运送吨，辆B型车载满萝卜一次可运送吨 (2)方案有种，详见解析 【分析】（1）根据题意建立等量关系构造二元一次方程组即可求解； （2）根据型车加型车构造方程求整数解即可． 【详解】（1）解：设辆型车载满萝卜一次可运送吨，辆型车载满萝卜一次可运送吨， 根据题意得：， 解得：， 答：辆型车载满萝卜一次可运送吨，辆型车载满萝卜一次可运送吨； （2）解：根据题意得：， ，都是正整数， 或或， 该物流公司的租车方案有种： 租用辆型车，辆型车 租用辆型车，辆型车； 租用辆型车，辆型车． 42．（25-26七年级下·全国·期末）根据下面素材，探索完成任务： 素材1 （深圳地铁官方网站）基本票价：深圳市城市轨道交通票价实行里程分段计价票制，同网同价．普通车厢起步价：首人民币2元；至部分，每人民币1元可乘坐至部分，每人民币1元可乘坐；超过，每人民币1元可乘坐．例如：单程，普通车厢单人票价（不优惠）为（元）． 素材2 （深圳地铁官方网站）优惠政策：在校中小学生和深圳市教育局注册、政府统一管理的全日制高中（含普通和职业高中）及以下的18周岁以下学生凭《深圳通学生卡》乘坐城市轨道交通普通车厢享受五折优惠． 素材3 某学校八年级（3）班共40名同学参加班级活动，计划乘坐地铁普通车厢从高新园站到科学馆站． 问题解决 任务1 乘坐地铁1号线从高新园站到科学馆站单程，则地铁普通车厢单人票价（不优惠）为_____元． 任务2 若全班同学乘坐地铁1号线从高新园站到科学馆站，其中有部分同学使用《深圳通学生卡》乘坐，其余同学按原价乘坐，共花费130元．求使用《深圳通学生卡》和按原价乘坐地铁的学生人数分别为多少． 任务3 现计划有变，部分同学需打车先去布置班级活动场地，从高新园打车到科学馆费用为每辆车40元，每辆车最多可坐4名同学．设打车的同学正好坐满辆车，其余同学乘坐地铁（不优惠）前往，班级单程交通费为元，求与之间的关系式（不要求写自变量的取值范围），并求在单程交通费预算350元时，最多有多少同学可以打车前往． 【答案】任务1：5元 任务2：使用学生卡28人，原价12人 任务3：，最多28人打车 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用； 任务1：分段计算：起步价2元（），至， 至，即可求解； 任务2：设使用学生卡的人数为人，原价人数为人，列出方程组，即可求解； 任务3：费用为，根据预算费用，即可求解． 【详解】任务1： 解：单程，票价计算如下： 起步价2元（）， 至，（元）， 至，（元）（向上取整）， 总票价：（元）， 故答案为5元； 任务2： 解：设使用学生卡的人数为人，原价人数为人，则： ， 解得：， 答：使用学生卡28人，原价12人； 任务3： 解：打车辆，费用为： ， 预算350元时： ， 解得， 最大取， 打车人数：人； 答：，最多28人打车． 1．（2025·北京东城·一模）编织大、小两种中国结共12个，总计用绳．已知编织1个大号中国结需用绳，编织1个小号中国结需用绳．问这两种中国结各编织了多少个． 【答案】编织大号中国结4个，编织小号中国结8个 【分析】本题考查实际问题与二元一次方程，设编织大号中国结x个，编织小号中国结y个，根据题意列出方程组，找准数量关系，列方程是解题的关键． 【详解】解：设编织大号中国结x个，编织小号中国结y个． 依题意得 解得 答：编织大号中国结4个，编织小号中国结8个． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 3．（24-25七年级下·北京·期中）每年的4月23日是世界读书日，某校为响应“全民阅读”的号召，计划购入A，B两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现：若购买A种书柜3个，B种书柜4个，共需资金1700元；若购买A种书柜4个，B种书柜3个，共需资金1800元． (1)A，B两种规格书柜的单价分别是多少元？ (2)若该校准备用2000元购买两种书柜（要求既有购买A种书柜，又有购买B种书柜，且资金2000元须全部用完），请求出所有可能的购买方案． 【答案】(1)A种规格书柜的单价是300元，B种规格书柜的单价是200元； (2)三种购买方案：方案1：购买2个A种书柜，7个B种书柜；方案2：购买4个A种书柜，4个B种书柜；方案3：购买6个A种书柜，1个B种书柜． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系、正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设A种书柜的单价是x元，B种书柜的单价是y元，根据“购买A种书柜3个，B种书柜4个，共需资金1700元；购买A种书柜4个，B种书柜3个，共需资金1800元”，可列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）设购买m个A种书柜，n个B种书柜，利用“总价=单价×数量”列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设A，B两种规格书柜的单价分别是x元，y元． 由题意可得，解得：． 答：A种规格书柜的单价是300元，B种规格书柜的单价是200元． （2）解：设购买A种规格书柜m个，B种规格书柜n个． 由题意可得： 其中m，n都是正整数，所以有如下三种购买方案： ，，． ∴该校共有3种购买方案， 方案1：购买2个A种书柜，7个B种书柜； 方案2：购买4个A种书柜，4个B种书柜； 方案3：购买6个A种书柜，1个B种书柜． 4．（24-25七年级下·北京·期中）随着科技的发展，许多家庭都使用了智能家居设备．某些智能设备通常安装了两块电池：主电池和辅助电池．由于主电池负责主要的电力供应，其损耗速度比辅助电池快．如果主电池耗尽后直接更换新电池，而辅助电池继续使用旧电池，设备的续航时间和稳定性会显著下降；如果同时更换两块电池，使用成本又会增加．为了解决这个问题，设备制造问商建议定期对两块电池进行轮换使用． 已知：主电池在设备使用达到400小时后需要更换，辅助电池在设备使用达到600小时后需要更换． (1)设每个电池的总消耗量为1，则主电池每使用1小时的消耗量为_______，辅助电池每使用1小时的消耗量为_______； (2)如果在电池的使用周期内只交换一次主电池和辅助电池，那么应在设备使用时间达到多少小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽？并求出电池耗尽时设备的总使用时间． 【答案】(1)， (2)设备使用时间达到240小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽，电池耗尽时设备的总使用时间为480小时 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）设设备使用时间达到小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽，电池耗尽时设备的总使用时间为小时，根据“主电池在设备使用达到400小时后需要更换，辅助电池在设备使用达到600小时后需要更换”建立方程组求解． 【详解】（1）解：∵主电池在设备使用达到400小时后需要更换，辅助电池在设备使用达到600小时后需要更换， ∴由题意得，设每个电池的总消耗量为1，则主电池每使用1小时的消耗量为，辅助电池每使用1小时的消耗量为， 故答案为：，； （2）解：设设备使用时间达到小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽，电池耗尽时设备的总使用时间为小时， 由题意得：， 解得：， 答：设备使用时间达到240小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽，电池耗尽时设备的总使用时间为480小时． 5．（24-25七年级下·北京·期中）中国学生营养促进会确定了每年5月20日为中国学生营养日，其目的在于广泛、深入宣传学生时期营养的重要性，大力普及营养知识． 在某学校食堂为学生提供的400克早餐套餐中，蛋白质总含量为，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋（一个去壳鸡蛋的质量约为54克，其中蛋白质含量为11克；谷物面包和牛奶的部分营养成分如表所示）． 谷物面包 牛奶 项目 每100克 项目 每100克 蛋白质 10克 蛋白质 3.2克 其它 86.7克 其它 8.2克 设该份早餐中谷物面包为克，牛奶为克． (1)请补全表格（用含有，的代数式表示）； 谷物面包 牛奶 去壳鸡蛋 质量/克 54 蛋白质含量/克 11 (2)求出，的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键． （1）根据每100克谷物面包和牛奶所含的蛋白质的比例列式即可； （2）根据题意，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：补全表格如下； 谷物面包 牛奶 去壳鸡蛋 质量/克 54 蛋白质含量/克 11 （2）解：由题意得， 解得， 即该份早餐中谷物面包为146克，牛奶为200克． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践：确定不同赛道上起跑线的位置．在米短跑比赛中，所有选手需跑完相同距离．但由于外圈跑道的弯道半径更大，外圈选手的实际跑步距离比内圈长．为保证公平，需调整不同跑道的起跑线位置（如图1）． 素材1：某校操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成（如图2），设每侧直道长度为m．记每一条跑道内侧跑道线周长为每一圈周长，每条跑道宽米． 素材2：设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）． 素材3：起跑根据每圈周长自终点向弯道区调整，记第n圈起跑线比第1圈起跑线前移距离为（n为正整数，且）． 问题1：求该校跑道第1圈半径r和直道长度m． 问题2：求第2圈起跑线前移距离．     问题3：若米，求n的值． 【答案】问题1：r为米，m为米；问题2：为米；问题3： 【分析】本题主要考查列代数式的实际应用，解题的关键是根据题干中的素材，理解题意，列出正确的代数式．问题1，根据素材中“设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）”即可解答；问题2，根据图示，列出第2圈周长为，第1圈周长为，即可解答；问题3：根据前面分析，得出第圈周长为， ，当米，即可求出的值． 【详解】解：问题1： 根据题意得，，其中取3， 解得：， 答：该校跑道第1圈半径r为米，直道长度m为米． 问题2： 第2圈周长为，第1圈周长为， （米）， 答：第2圈起跑线前移距离为米． 问题3： 第圈周长为，第1圈周长为， ， 若米，， 解得， 则此时的值为． 7．（24-25七年级下·北京·期中）某中学为了贯彻落实北京市委办公厅《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的行动方案》，切实加强和改进新时代学校体育工作，决定购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用430元；购买3个篮球和5个足球共需费用690元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元？ (2)学校计划采购一批篮球和足球（两种球都要买），恰好花费1600元，请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)篮球单价为80元，足球单价为90元； (2)共有2种购买方案：方案1，购买11个篮球和8个足球；方案2，购买2个篮球和16个足球． 【分析】此题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元．购买2个篮球和3个足球共需费用430元；购买3个篮球和5个足球共需费用690元．据此列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购买m个篮球，n个足球，学校计划采购一批篮球和足球（两种球都要买），恰好花费1600元，据此列二元一次方程，求出方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元． 依题意，有 解得 答：篮球单价为80元，足球单价为90元． · （2）设购买m个篮球，n个足球， 依题意，有 ， 整理，得 ＝， ∵m，n均为正整数， ∴或 ∴共有2种购买方案：方案1，购买11个篮球和8个足球；方案2，购买2个篮球和16个足球． 8．（24-25七年级下·北京·期中）每年的3月14日是国际数学节．2025年3月，一零一数学“π”对再度开启，学生可以通过参加智慧类和思维类数学游戏，收集印章兑换奖品，游戏规则和兑奖规则如下图： (1)小宁想兑换一枚冰箱贴和一个钥匙扣，她至少要参加______次数学游戏． (2)小华兑换冰箱贴和钥匙扣共用了34个智慧印章和21个思维印章，请问她兑换了多少个冰箱贴和多少个钥匙扣？ 【答案】(1)4 (2)小华兑换了个冰箱贴和个钥匙扣 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）求出兑换一枚冰箱贴和一个钥匙扣所需要的智慧印章和思维印章的数量，进行判断即可； （2）设小华兑换了个冰箱贴和个钥匙扣，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：小宁想兑换一枚冰箱贴和一个钥匙扣需要：个智慧印章和个钥匙扣， ∵参加智慧类数学游戏，成功即可获得个智慧印章，参加思维类数学游戏，成功即可获得2个思维印章， ∴小宁至少需要参加次数学游戏． 故答案为：4； （2）设小华兑换了个冰箱贴和个钥匙扣，由题意，得： ，解得：， 答：小华兑换了个冰箱贴和个钥匙扣． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）设合适的未知数，列出二元一次方程组： (1)一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大． (2)《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半面钱亦五十，问甲乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？” 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意正确列方程组即可． （1）设，根据平角的定义和的度数比的度数大列方程组即可； （2）设甲的钱数为，乙的钱数为，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50”列方程组即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得； （2）解：设甲的钱数为，乙的钱数为， 根据题意，得． 10．（24-25七年级下·浙江温州·月考）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若， 求n， x， y的值； 【任务2】求的最大值． 【答案】[任务1]，，；[任务2]35 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则，求其整数解，判断的最大值即可． 【详解】解：任务1：由题意得，， ， 解得：； 任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， ∴， ∴整数解为：或， ∵， ∴的最大值为35． 11．（24-25九年级下·黑龙江绥化·月考）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个a元，售价每个16元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个b元，售价每个18元． (1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求a，b的值． (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件m个，求有几种购买方案． (3)在（2）的条件下，在获得最大利润的同时，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出2元给当地福利院，用捐款后的利润全部再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案． 【答案】(1)a的值是10，b的值是14 (2)有3种购买方案，方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个 (3)再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案是购买“滨滨”造型钥匙扣挂件4个， 购买“妮妮”造型钥匙扣挂件20个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元且购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不少于1160元又不多于1168元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用总利润每个的销售数量购进数量，可求出各方案可获得的总利润，设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，利用进货总价进货单价进货数量，求出最大利润，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出各x，y的值，再取的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：a的值为10，b的值为14； （2）解：根据题意得： ， 解得：， ∴可以取58，59，60，，41，40， ∴有3种购买方案． 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个； （3）解：购买方案1可获得的总利润为（元； 购买方案2可获得的总利润为（元； 购买方案3可获得的总利润为（元； 设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个， ∴当获得的总利润为320元时，， ， 又，y均为正整数， 或或或， 此时的最小值为． 再次购进两种钥匙扣挂件最小的方案为：购进“滨滨”造型钥匙扣挂件4个，“妮妮”造型钥匙扣挂件20个． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据实际问题列二元一次方程组 1 题型二、方案问题 2 题型三、行程问题 3 题型四、工程问题 5 题型五、数字问题 6 题型六、年龄问题 8 题型七、分配问题 9 题型八、销售利润问题 9 题型九、和差倍分问题 9 题型十、几何问题 9 题型十一、图表信息题 9 题型十二、古代问题 9 题型十三、开放型问题 9 题型十四、其他问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据实际问题列二元一次方程组 1．（25-26七年级下·北京顺义·期中）古代歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，问鸦树各几何．若设树棵，乌鸦只，可得方程组（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京·期中）《九章算术》中记载了一道古代数学名题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．意思是：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人（两人每步长相等）？为解决此问题，设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）《算法统宗》是我国古代数学著作，书中记载了这样一个问题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，那么下面列出的方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二、方案问题 4．（25-26七年级下·北京·月考）我校八年级共有名师生参加社会实践活动，此次活动的交通经费预算为元．现有大小客车两种车型，小客车可载客人，大客车可载客人，租一辆小客车的租金为元，租一辆大客车的租金为元．如果租用大客车比小客车多辆，且恰好坐满，请通过计算判断这次活动的交通经费预算是否够用？ 5．（24-25七年级下·北京东城·期中）已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 6．（24-25九年级下·北京·月考）一方有难，八方支援．某地洪水灾害牵动着数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往该地．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件物资；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件物资． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物资； (2)现有3100件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若该公司计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 题型三、行程问题 7．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 8．（24-25七年级下·全国·专题练习）甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，则乙的速度是______米/秒． 9．（24-25七年级下·广西贵港·期末）小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 题型四、工程问题 10．（25-26七年级下·北京通州·期中）现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·四川德阳·期末）市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进______米． 12．（24-25七年级下·吉林·期末）为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，年月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队天，乙工程队天共修路米；甲工程队天，乙工程队天共修路米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？ 题型五、数字问题 13．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 14．（25-26七年级下·北京门头沟·期中）佳佳和亮亮做加法游戏，佳佳在一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为234，而亮亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为63．这两个数相加的正确的和应该是________． 15．若一个四位自然数的各数位上的数字满足，则称该数为“向美而行数”，若一个“向美而行数”的前两数位组成的两位数和后两数位组成的两位数之和等于61，且四个数位上的数字之和等于16，则称这样的数为“和美数”． 例如：因为，所以1234是一个“向美而行数”； 因为，所以2338是一个“向美而行数”，又因为， 所以2338是一个“和美数”． (1)最小的“向美而行数”是_________，最大的“向美而行数”是__________； (2)求出所有的“和美数”． 题型六、年龄问题 16．（25-26七年级下·北京密云·期中）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·天津·月考）一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 18．（2022七年级下·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 题型七、分配问题 19．（25-26七年级下·山西晋中·期末）年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 20．（25-26七年级下·山西运城·期末）国产游戏《黑神话：悟空》在全球的爆火，使山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．游客纷纷踏上三晋大地，开启一场探索美景与历史的旅程，一个40人的旅行团元旦期间来运城旅游，居住在运城某酒店，该旅行团租住了三人间和两人间的客房若干，且每个客房刚好住满，一共花去住宿费3072元，该酒店三人间每人每天68元，两人间每人每天84元，求该旅行团两种客房各租了多少间？ 21．（25-26七年级下·广东深圳·期末）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 题型八、销售利润问题 22．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 23．（25-26七年级下·安徽六安·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司购进这两种型号汽车共20辆，销售1辆A型汽车可获利7000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，公司将这两种型号的汽车全部卖完后，获得利润为11万元，求公司购进A、B两种型号汽车各多少辆？ 24．（25-26七年级下·山东青岛·期末）商场销售某种商品，当按定价销售时，每件可获利元；当按定价的九折销售时，销售件所获利润与将定价降低元销售件所获利润相等． (1)该商品的进价和定价分别是多少元？ (2)商场在元旦期间推出以下优惠活动． 方案一：一次购买件以上所有商品打八折； 方案二：“买四送一”（即每买四件就送一件）． 小明的爸爸计划购买该商品件，选择哪种方案比较合算？比另一种方案节省多少元？ 题型九、和差倍分问题 25．（25-26七年级下·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 26．（2026·河南周口·一模）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递公司为提高工作效率，拟购买两种型号的智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 型号机器人台数 型号机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 195 2 1 165 (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)若某公司恰好用450万元购进两种型号的机器人若干（两种型号机器人均购买），求该公司共有几种购进方案． 27．（25-26七年级下·甘肃兰州·开学考试）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． (1)求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； (2)已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 题型十、几何问题 28．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 29．（25-26七年级下·重庆巴南·期末）如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 30．（25-26七年级下·贵州·期末）如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 题型十一、图表信息题 31．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 32．（2026七年级下·全国·专题练习）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示： 单位 数量 单价 金额 篮球 个 6 100.00 600.00元 钢笔 支 15.00 元 笔记本 本 5.00 元 合计 — 46 — 900.00元 请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 33．（25-26七年级下·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 题型十二、古代问题 34．（25-26七年级下·陕西西安·期末）古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 35．（25-26七年级下·福建漳州·月考）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 36．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）题目大意：有只雀、只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中只雀和只燕互换位置，则二者轻重相同．已知只雀和只燕总重斤，则只雀和只燕分别重多少斤？设只燕重斤，只雀重斤． (1)填空：列方程组为______； (2)求只燕和只雀分别重多少斤？ 题型十三、开放型问题 37．（25-26七年级下·北京·月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”为____________； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)直接写出方程的最小“关联值”为____________． 38．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）定义一种运算※如下：，a和b均为常数，已知：，，则______． 39．（24-25七年级下·湖北荆州·月考）阅读感悟 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．例如，已知实数，满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下： ，得：；，得：． 比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”． 问题解决 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)商场打折促销甲、乙、丙三种商品，如果李明购买甲商品5件、乙商品4件、丙商品2件，共付款元钱，王华购买甲商品7件、乙商品5件、丙商品1件，共付款元钱，那么张强购甲、乙、丙三种商品各2件需付款多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，求的值． 题型十四、其他问题 40．（25-26七年级下·河北保定·期末）冬春季节是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，且每瓶甲品牌消毒液比每瓶乙品牌消毒液的价格低15元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若我校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案． 41．（25-26七年级下·安徽安庆·开学考试）我市某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨；若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨，现有萝卜吨，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜，根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 42．（25-26七年级下·全国·期末）根据下面素材，探索完成任务： 素材1 （深圳地铁官方网站）基本票价：深圳市城市轨道交通票价实行里程分段计价票制，同网同价．普通车厢起步价：首人民币2元；至部分，每人民币1元可乘坐至部分，每人民币1元可乘坐；超过，每人民币1元可乘坐．例如：单程，普通车厢单人票价（不优惠）为（元）． 素材2 （深圳地铁官方网站）优惠政策：在校中小学生和深圳市教育局注册、政府统一管理的全日制高中（含普通和职业高中）及以下的18周岁以下学生凭《深圳通学生卡》乘坐城市轨道交通普通车厢享受五折优惠． 素材3 某学校八年级（3）班共40名同学参加班级活动，计划乘坐地铁普通车厢从高新园站到科学馆站． 问题解决 任务1 乘坐地铁1号线从高新园站到科学馆站单程，则地铁普通车厢单人票价（不优惠）为_____元． 任务2 若全班同学乘坐地铁1号线从高新园站到科学馆站，其中有部分同学使用《深圳通学生卡》乘坐，其余同学按原价乘坐，共花费130元．求使用《深圳通学生卡》和按原价乘坐地铁的学生人数分别为多少． 任务3 现计划有变，部分同学需打车先去布置班级活动场地，从高新园打车到科学馆费用为每辆车40元，每辆车最多可坐4名同学．设打车的同学正好坐满辆车，其余同学乘坐地铁（不优惠）前往，班级单程交通费为元，求与之间的关系式（不要求写自变量的取值范围），并求在单程交通费预算350元时，最多有多少同学可以打车前往． 1．（2025·北京东城·一模）编织大、小两种中国结共12个，总计用绳．已知编织1个大号中国结需用绳，编织1个小号中国结需用绳．问这两种中国结各编织了多少个． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 3．（24-25七年级下·北京·期中）每年的4月23日是世界读书日，某校为响应“全民阅读”的号召，计划购入A，B两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现：若购买A种书柜3个，B种书柜4个，共需资金1700元；若购买A种书柜4个，B种书柜3个，共需资金1800元． (1)A，B两种规格书柜的单价分别是多少元？ (2)若该校准备用2000元购买两种书柜（要求既有购买A种书柜，又有购买B种书柜，且资金2000元须全部用完），请求出所有可能的购买方案． 4．（24-25七年级下·北京·期中）随着科技的发展，许多家庭都使用了智能家居设备．某些智能设备通常安装了两块电池：主电池和辅助电池．由于主电池负责主要的电力供应，其损耗速度比辅助电池快．如果主电池耗尽后直接更换新电池，而辅助电池继续使用旧电池，设备的续航时间和稳定性会显著下降；如果同时更换两块电池，使用成本又会增加．为了解决这个问题，设备制造问商建议定期对两块电池进行轮换使用． 已知：主电池在设备使用达到400小时后需要更换，辅助电池在设备使用达到600小时后需要更换． (1)设每个电池的总消耗量为1，则主电池每使用1小时的消耗量为_______，辅助电池每使用1小时的消耗量为_______； (2)如果在电池的使用周期内只交换一次主电池和辅助电池，那么应在设备使用时间达到多少小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽？并求出电池耗尽时设备的总使用时间． 5．（24-25七年级下·北京·期中）中国学生营养促进会确定了每年5月20日为中国学生营养日，其目的在于广泛、深入宣传学生时期营养的重要性，大力普及营养知识． 在某学校食堂为学生提供的400克早餐套餐中，蛋白质总含量为，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋（一个去壳鸡蛋的质量约为54克，其中蛋白质含量为11克；谷物面包和牛奶的部分营养成分如表所示）． 谷物面包 牛奶 项目 每100克 项目 每100克 蛋白质 10克 蛋白质 3.2克 其它 86.7克 其它 8.2克 设该份早餐中谷物面包为克，牛奶为克． (1)请补全表格（用含有，的代数式表示）； 谷物面包 牛奶 去壳鸡蛋 质量/克 54 蛋白质含量/克 11 (2)求出，的值． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践：确定不同赛道上起跑线的位置．在米短跑比赛中，所有选手需跑完相同距离．但由于外圈跑道的弯道半径更大，外圈选手的实际跑步距离比内圈长．为保证公平，需调整不同跑道的起跑线位置（如图1）． 素材1：某校操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成（如图2），设每侧直道长度为m．记每一条跑道内侧跑道线周长为每一圈周长，每条跑道宽米． 素材2：设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）． 素材3：起跑根据每圈周长自终点向弯道区调整，记第n圈起跑线比第1圈起跑线前移距离为（n为正整数，且）． 问题1：求该校跑道第1圈半径r和直道长度m． 问题2：求第2圈起跑线前移距离．     问题3：若米，求n的值． 7．（24-25七年级下·北京·期中）某中学为了贯彻落实北京市委办公厅《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的行动方案》，切实加强和改进新时代学校体育工作，决定购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用430元；购买3个篮球和5个足球共需费用690元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元？ (2)学校计划采购一批篮球和足球（两种球都要买），恰好花费1600元，请问有哪几种购买方案？ 8．（24-25七年级下·北京·期中）每年的3月14日是国际数学节．2025年3月，一零一数学“π”对再度开启，学生可以通过参加智慧类和思维类数学游戏，收集印章兑换奖品，游戏规则和兑奖规则如下图： (1)小宁想兑换一枚冰箱贴和一个钥匙扣，她至少要参加______次数学游戏． (2)小华兑换冰箱贴和钥匙扣共用了34个智慧印章和21个思维印章，请问她兑换了多少个冰箱贴和多少个钥匙扣？ 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）设合适的未知数，列出二元一次方程组： (1)一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大． (2)《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半面钱亦五十，问甲乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？” 10．（24-25七年级下·浙江温州·月考）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若， 求n， x， y的值； 【任务2】求的最大值． 11．（24-25九年级下·黑龙江绥化·月考）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个a元，售价每个16元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个b元，售价每个18元． (1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求a，b的值． (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件m个，求有几种购买方案． (3)在（2）的条件下，在获得最大利润的同时，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出2元给当地福利院，用捐款后的利润全部再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $