专题11：概率（思维导图+9大考点精练+真题检验）- 2026年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用）

2026年高考数学百日冲刺基础全通关（上海专用） 专题11 概率 考点01：古典概率 1. （2025上海市崇明中学高三三模）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________ 2. （2025进才中学高三模拟）有3名男生与2名女生排成一队照相，则2名女生互不相邻的概率为______. 3.（2023•奉贤区模拟）有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各3个，且每种颜色的3个小球上分别标注号码1、2、3，从中任取3个球，则取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是　　． 4.（2023•黄浦区模拟）如图为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 　　． 5. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛 (1)求所选3人都是男生的概率； (2)求所选3人中恰有1名女生的概率； (3)求所选3人中至少有1名女生的概率． 考点02：互斥事件与对立事件 6. （2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知事件与事件互斥，且，，则 ． 7. （2023•闵行区二模）已知事件与事件互斥，如果（A），（B），那么　． 8. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则______． 9．已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（   ）． A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥 C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥 10. （2024•上海高考）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记本本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则　　 A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 11. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ） A. 与是对立事件 B. 与是互斥事件 C. 与相互独立事件 D. 与是相互独立事件 考点03：独立事件及其概率 12．甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13. （2023·上海崇明·统考一模）已知事件与事件相互独立，如果，，则 ． 14. 甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 . 15．甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 . 16.（2025七宝中学高三三模） 甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为，若甲赢得比赛的概率为，则取得最大值时______ 考点04：条件概率与全概率 17. 已知随机事件满足，，，则__________ 18. （2025建平中高三下学期三模）若随机事件满足：，则___________． 19. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．用表示事件“两个点数不同”，表示事件“至少出现一个点”，则________．（结果用最简分数表示） 20. （2025上海市进才中学高三5月模拟）已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是__________. 21. （2025届上海市大同中学高三三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为________ 22．（2025·天津·二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的、、.已知三人生产产品的次品率分别为、、，现从这批零件中任取一个零件，则它是次品的概率为 . 考点05：随机变量的分布列、期望与方差 23．已知随机变量的分布是，则其方差 ． 24. （2025上海市进才中学高三5月模拟） 设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时， A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 25. 不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为X，求X的分布列及数学期望． 26. 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响． (1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）； (2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）； (3)设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列． 27. 袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球. (1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率； (2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值. 考点06：二项分布、超几何分布 28. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知随机变量服从二项分布，则________． 29. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知随机变量服从二项分布，且（），则___________. 30 .（2023•松江区模拟）已知盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，现从中有放回的摸取4次，每次都是从盒子中随机摸出1个球，设摸得白球个数为，则为___________ 31. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 32. 一个不透明的袋子中有10件外观一样的产品，其中有6件正品，4件次品．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出2件产品，记取得次品的件数为，期望方差分别为；试验二： 逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 考点07：正态分布 33. （2025建平中高三下学期三模）设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 34.已知连续型随机变量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ1) B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3) C．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ3) D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2) 35.（2025上海市金山中学高三三模） 若随机变量服从正态分布，，则____________. 36.（2025届上海市大同中学高三三模）若随机变量，且，，则的最小值为________ 37.（2025华东师大三附中高三三模）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，） A. B. C. D. 38. （2025上海宝山区高三三模）随机变量，，若，那么实数的值为__________. 39. （2025上海市格致中学高三三模）假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是________．（精确到0.0001） 考点08：概率综合题 40. （2025上海市崇明区高三三模）张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”. （1）某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求； （2）用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望. 41. （2025上海市金山中学高三三模）有两个罐子，罐中放有3个白球和2个黑球，罐中放有5个白球． （1）若从罐有放回的摸2个球，求摸到相同颜色球的概率； （2）若从罐不放回的摸2个球，求第二次摸到白球的概率； （3）现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记罐中黑球的个数为，求的分布和数学期望． 42. （2025届上海市大同中学高三三模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 （1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； （3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 考点09：概率与统计综合 43. （2025七宝中学高三三模）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对50位同学进行了问卷调查，得到如下2x2列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从50位同学中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6. （1）请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； （2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言.设这3人中男生人数为，求的分布及期望值. 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 44.班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示.       (1)求该班男生每周平均手机使用时长的第百分位数； (2)小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于小时的学生中任选人在班会课上做经验分享．设事件表示 “人中至多名男生”，事件表示 “人中恰有名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件和事件是否独立，并说明理由； (3)小明老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过小时，这位学生的数据平均数为小时．当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列．那么这位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过？请说明理由． 1．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望 ． 2．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 . 3．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 4．【2024年上海市高考数学第8题】某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 8．【2023年上海市高考数学第14题】根据所示的散点图，下列说法正确的是（　　　　） A．身高越大，体重越大 B．身高越大，体重越小 C．身高和体重成正相关 D．身高和体重成负相关 9．【2022年上海市高考数学第9题】为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为　　　　． 10．（2022•新高考Ⅱ）已知随机变量服从正态分布，且，则　　． 11．【2021年上海市高考数学第10题】已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 　　　　． 12．（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是　　 A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 13．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 14．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 15．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学百日冲刺基础全通关（上海专用） 专题11 概率 考点01：古典概率 1. （2025上海市崇明中学高三三模）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________ 【答案】 【解析】 【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是： . 2. （2025进才中学高三模拟）有3名男生与2名女生排成一队照相，则2名女生互不相邻的概率为______. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】利用插空法求出女生互不相邻的排法，进而得到概率. 【详解】先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有种排法， 所以符合条件的共有种排法， 故女生互不相邻的排法的概率为. 故答案为：. 3.（2023•奉贤区模拟）有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各3个，且每种颜色的3个小球上分别标注号码1、2、3，从中任取3个球，则取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是　　． 【分析】反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种，取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率． 【解答】解：反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种， 取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 4.（2023•黄浦区模拟）如图为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 　　． 【分析】共面分为平行和相交，平行时，只需要考虑对面平行中的直线即可，相交时分为：在侧面内相交，两个相邻面相交于一个点，相隔一个面中相交于对角线延长线上，分别分析几种情况下对角线共面的个数，再利用古典概型的概率计算公式，计算结果即可． 【解答】解：由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有6个侧面，所以共有6组， 若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有12个顶点，所以共有12组， 若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接，，，，， 先考虑下底面，根据正六边形性质可知，所以， 且，故共面，且共面， 故，相交，且，相交，故共面有2组， 则正六边形对角线所对应的有2组共面的面对角线， 同理可知正六边形对角线，所对的分别有两组，共6组， 故对于上底面对角线，，同样各对两组，共6组， 若对面平行，一组对面中有2组对角线平行，三组对面共有6组， 所以共面的概率是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了棱柱的结构特征，属于中档题． 5. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛 (1)求所选3人都是男生的概率； (2)求所选3人中恰有1名女生的概率； (3)求所选3人中至少有1名女生的概率． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）先求出试验包含的所有事件的方法数，再求出3人都是男生的选法，然后利用古典概型的概率公式可求得结果； （2）先求出试验包含的所有事件的方法数，再求出所选3人中恰有1名女生的选法，然后利用古典概型的概率公式可求得结果； （3）先求出试验包含的所有事件的方法数，再求出所选3人中至少有1名女生的选法，然后利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】（1）由题意得试验包含的所有事件是从6人中选3人共有种，而3人都是男生的选法有种， 所以所选3人都是男生的概率为； （2）由题意得试验包含的所有事件是从6人中选3人共有种，而所选3人中恰有1名女生有种， 所以所选3人中恰有1名女生的概率为； （3）由题意得试验包含的所有事件是从6人中选3人共有种，而所选3人中至少有1名女生有， 所以所选3人中至少有1名女生的概率. 考点02：互斥事件与对立事件 6. （2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知事件与事件互斥，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】因为随机事件与互斥，且，， 所以. 故答案：. 7. （2023•闵行区二模）已知事件与事件互斥，如果（A），（B），那么　． 【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概率加法公式，以及对立事件的概率和为1，即可求解． 【解答】解：事件与事件互斥，如果（A），（B）， 则（A）（B）， 故． 故答案为：0.2． 【点评】本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题． 8. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对立事件和互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件和互斥，， 所以， 因为事件和都不发生的概率为， 所以，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 9．已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（   ）． A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥 C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥 【答案】B 【解析】因为事件和事件满足，则一定可以得到事件和事件互斥，但不一定对立，故B正确，C错误； 因为，当，不为时，事件和事件不独立，故A错误； 抛掷一枚骰子，记出现点为事件，出现点为事件， 则，，显然事件和事件不互斥，故D错误. 故选：B 10. （2024•上海高考）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记本本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则　　 A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可． 【解答】解：选项，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件互斥，错误； 选项，（A），（B），，（A）（B），正确； 选项，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，错误； 选项，（A），，，（A），与不独立，故错误． 故选：． 【点评】本题考查相互独立事件的概率公式，考查互斥事件的定义，属于基础题． 11. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ） A. 与是对立事件 B. 与是互斥事件 C. 与相互独立事件 D. 与是相互独立事件 【答案】D 【分析】选项A和B，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A和B的正误；选项C和D，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果. 【详解】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶， 即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误； 对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误， 对于选项D，因为，，所以，所以选项D正确， 故选：D. 考点03：独立事件及其概率 12．甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6， 若“事件互相独立”，则， 若，则事件互相独立， 即“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的充要条件， 故选：C 13. （2023·上海崇明·统考一模）已知事件与事件相互独立，如果，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案 【详解】由事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 又，， 则 故答案为：． 14. 甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 . 【答案】 【分析】利用相互独立事件同时发生的乘法公式、对立事件概率公式及互斥事件至少一个发生的加法公式计算，即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人各自独立地做对同一道题分别为事件， 则， 因为， ， 解得，或， 设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题为事件， 当时，，， ， 当时， 则， 综上，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为. 故答案为：. 15．甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 . 【答案】 【分析】利用相互独立事件同时发生的乘法公式、对立事件概率公式及互斥事件至少一个发生的加法公式计算，即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人各自独立地做对同一道题分别为事件， 则， 因为， ， 解得，或， 设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题为事件， 当时，，， ， 当时， 则， 综上，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为. 故答案为：. 16.（2025七宝中学高三三模） 甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为，若甲赢得比赛的概率为，则取得最大值时______ 【答案】 【解析】 【分析】利用表示出，从而将表示为关于的函数，利用导数求解出当时函数的单调性，从而可确定最大值点. 【详解】甲赢得比赛的概率： ， 令， 则，令，解得：， 因为，当和时，；当时， 即在和上单调递减；在上单调递增 当时，取最大值，即取最大值 本题正确结果： 考点04：条件概率与全概率 17. 已知随机事件满足，，，则__________ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据条件概率公式求出，进而可求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 18. （2025建平中高三下学期三模）若随机事件满足：，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件概率乘法公式、全概率公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 可得：， 由， 可得， 所以， 故答案为： 19. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．用表示事件“两个点数不同”，表示事件“至少出现一个点”，则________．（结果用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式求解即可. 【详解】没有一个3点的情况有种， 所以至少出现1个3点的情况有种，排除后有10种， 所以，， . 故答案：. 20. （2025上海市进才中学高三5月模拟）已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，分别求出和，利用条件概率能求出在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率. 【详解】设事件A表示：在所取的球中至少有一个是红球，事件B表示：两个球都是红球， 则，， 已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为： . 故答案为：. 21. （2025届上海市大同中学高三三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（至少有一门是“美育”课程的概率）和（两门都是“美育”课程的概率），再代入公式计算. 【详解】设事件A：至少有一门是“美育”课程，事件AB：两门都是“美育”课程， 从五门课程中任选两门的选法数为种， “至少有一门是‘美育’课程”的对立事件是“两门都是‘劳动教育’课程”， 两门都是“劳动教育”课程的选法数为种， 所以至少有一门是“美育”课程的选法数为种，则. 从三个不同的“美育”课程中选两门的选法数为种，所以. 则已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为. 故答案为：. 22．（2025·天津·二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的、、.已知三人生产产品的次品率分别为、、，现从这批零件中任取一个零件，则它是次品的概率为 . 【答案】 【分析】分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件抽取的一个零件为次品，利用全概率公式可求得的值. 【详解】分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的， 记事件抽取的一个零件为次品， 由题意可得，，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 考点05：随机变量的分布列、期望与方差 23．已知随机变量的分布是，则其方差 ． 【答案】/ 【解析】的期望为， 故， 24. （2025上海市进才中学高三5月模拟） 设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时， A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】， ， ，∴先增后减，因此选D. 【点睛】 25. 不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为X，求X的分布列及数学期望． 【详解】（1）总取法数目，考虑全部的取出的2个小球上的数字不同的情况， 2个小球上的数字可能是，0或，1或，2或0，1或0，2或2，1 分别有1，2，1，2，1，2种情况，故所求概率. （2）如果取出的2个小球上的数字包含0，此时取出的2个小球上的数字之积为0， 总的情况数有种； 如果取出的2个小球上的数字为，1，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有2种； 如果取出的2个小球上的数字为， 2，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有1种； 如果取出的2个小球上的数字为1， 2，此时取出的2个小球上的数字之积为2，总的情况数有2种； 如果取出的2个小球上的数字为，1，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有1种； 而总的情况有种， 故，，， ，， 所以分布列为 0 2 0.4 0.2 0.1 0.2 0.1 数学期望. 26. 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响． (1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）； (2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）； (3)设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列． 【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析. 【分析】(1)利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；(3)利用独立重复试验概率公式求出前3次中恰好击中两次的概率，再由概率乘法公式求所求事件的概率；(3)先确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）设事件该射手第次射击，击中目标为，，则，所以， 事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，互斥，所以 又事件相互独立，所以 ； （2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为， 所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为， 所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率； （3）由已知的取值有，，，，，， 又，，，，， 所以随机变量的分布列为： 3 4 5 … … … … 27. 袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球. (1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率； (2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值. 【详解】（1）方法一： 第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球， 所求概率. 方法二： 设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，则，, 所求概率； （2）的所有可能取值为. ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 ,的均值. 考点06：二项分布、超几何分布 28. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知随机变量服从二项分布，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布期望公式求期望即可. 【详解】由二项分布期望公式得. 故答案为： 29. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知随机变量服从二项分布，且（），则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项分布的期望和方差公式求出，，再根据期望的性质求出，最后根据方差的性质计算可得； 【详解】解：因为，所以， 又， 即，解得， 所以. 故答案为： 30 .（2023•松江区模拟）已知盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，现从中有放回的摸取4次，每次都是从盒子中随机摸出1个球，设摸得白球个数为，则为___________ 【分析】由题可知，然后根据二项分布的期望公式即得． 【解答】解：盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球， 每次从盒子中随机摸出1个白球的概率为， 又摸球的过程是有放回的，， ． 【点评】本题考查二项分布的期望，属基础题． 31. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则， 且Y的可能取值为0，1，2， 则， 可得， ， 所以，. 故选：B. 32. 一个不透明的袋子中有10件外观一样的产品，其中有6件正品，4件次品．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出2件产品，记取得次品的件数为，期望方差分别为；试验二： 逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出2件产品、从中随机地有放回摸出2件产品的期望、方差，再做比较可得答案． 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出2件产品，记次品的件数为， 则的可能取值是0，1，2， 则， ， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出2件产品，则每次摸到次品的概率为， 则， 故， 方差为： ， 所以， 故，． 故选：A． 考点07：正态分布 33. （2025建平中高三下学期三模）设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】根据图示和正态分布密度曲线的对称性可比较与， 由图象的“瘦高”与“矮胖”可比较与，由此可得正确选项. 【详解】由题可得的正态分布密度曲线的对称轴为直线，的正态分布密度曲线的对称轴为直线. 由题图可得，由于表示标准差，越小图象越“瘦高”，故，所以D正确. 故选：D. 34.已知连续型随机变量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ1) B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3) C．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ3) D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2) 【答案】D 【解析】对于A：P(X1≤μ2)是第一条正态分布密度函数图象在第二条虚线左侧与x轴围成的部分， P(X2≤μ1)是第二条正态分布密度函数图象在第一条虚线左侧与x轴围成的部分， 故由图象可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1)，故A错误； 对于B：P(X2≥μ2)=，P(X3≥μ3)=，则P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3)，故B错误； 对于C：与A分析同理，P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3)，故C错误； 对于D：由于概率表示曲线和x轴围成的部分，与是i还是i+1无关， 故P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)成立，故D正确. 故选：D. 35.（2025上海市金山中学高三三模） 若随机变量服从正态分布，，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 则 故答案为：. 36.（2025届上海市大同中学高三三模）若随机变量，且，，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】由正态分布性质知正态分布曲线关于对称，故，使用基本不等式可求的最小值. 【详解】由题意知正态分布曲线关于对称，， 则，又，故， 则 , 当且仅当，即取等号. 故答案：. 37.（2025华东师大三附中高三三模）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出、的值，结合即可得出结论. 【详解】由题意可得，，则， 所以， ， 因为，故小明属于等级. 故选：B. 38. （2025上海宝山区高三三模）随机变量，，若，那么实数的值为__________. 【答案】 【分析】由正态分布性质可得，，由此可利用对称性构造方程求得结果. 【详解】，，，， ，，解得：. 故答案为：. 39. （2025上海市格致中学高三三模）假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是________．（精确到0.0001） 【答案】0.4772 【分析】正态分布标准化：将原始变量  转换为标准正态变量 ，公式为 ，区间转换：成绩区间  对应  的区间 ，概率计算：利用标准正态累积分布函数 ，区间概率为 . 【详解】小明的数学成绩  服从正态分布 ，即均值 ，标准差 . 需要求成绩在 120 分至 130 分之间的概率 . 由于正态分布的性质，将  标准化为标准正态分布变量 ： 当  时，,当 时，, 因此，，其中  服从标准正态分布. 给定标准正态分布的累积分布函数值：，，,需要计算 . 由于标准正态分布关于均值对称，,代入已知值： 结果精确到 0.0001，因此概率为 0.4772, 故答案为：0.4772. 考点08：概率综合题 40. （2025上海市崇明区高三三模）张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”. （1）某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求； （2）用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望. 【答案】（1） （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）先求出事件的概率，在事件发生的条件下事件发生的概率为，再由积事件的概率公式可得； （2）求出事件发生的次数的取值，然后算出对应的概率，可得的分布，再算期望. 【小问1详解】 依题意得，事件的概率为，在事件发生的条件下事件发生的概率为， 则. 【小问2详解】 依题意得，事件发生的次数可取：，所以，即， 则的分布为： 即， 则， 则所求的的期望. 41. （2025上海市金山中学高三三模）有两个罐子，罐中放有3个白球和2个黑球，罐中放有5个白球． （1）若从罐有放回的摸2个球，求摸到相同颜色球的概率； （2）若从罐不放回的摸2个球，求第二次摸到白球的概率； （3）现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记罐中黑球的个数为，求的分布和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）分两次均为白和两次均为黑讨论，再根据独立事件的乘法公式和概率加法公式即可得到答案； （2）利用全概率公式即可得到答案； （3）首先分析知的取值为0，1，2，再分别计算对应概率值，再利用均值公式即可得到答案. 【小问1详解】 摸到相同颜色球的概率为． 【小问2详解】 根据全概率公式知第二次摸到白球的概率为． 【小问3详解】 的取值为0，1，2， 则， ， ， 期望为． 42. （2025届上海市大同中学高三三模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 （1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； （3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望； （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率； （2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。乙得分大于丙得分的场数的取值为0，1，2，通过超几何分布的知识点，得到的分布列及数学期望. （3）通过题目条件得到10场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，因为甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差，，的大小关系. 【小问1详解】 根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. 【小问2详解】 根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场， 分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场， 分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 所以. 【小问3详解】 由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛， 而甲、乙、丙获胜的场数服从二项分布， 所以，，， 故. 考点09：概率与统计综合 43. （2025七宝中学高三三模）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对50位同学进行了问卷调查，得到如下2x2列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从50位同学中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6. （1）请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； （2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言.设这3人中男生人数为，求的分布及期望值. 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关，理由见解析 （2）分布列见解析，期望值为2. 【解析】 【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方计算即可求解； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，结合服从超几何分布计算概率写出分布列，最后计算数学期望. 小问1详解】 因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人. 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人. 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 根据列联表中的数据，计算可得， 故有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关. 【小问2详解】 由题意，按分层抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为. 则， ， . 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 44.班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示.       (1)求该班男生每周平均手机使用时长的第百分位数； (2)小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于小时的学生中任选人在班会课上做经验分享．设事件表示 “人中至多名男生”，事件表示 “人中恰有名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件和事件是否独立，并说明理由； (3)小明老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过小时，这位学生的数据平均数为小时．当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列．那么这位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过？请说明理由． 【解】（1）由茎叶图可知男生总人数为，所以， 将男生每周平均手机使用时长从小到大排列，第位的数据分别为， 所以第百分位数为； （2）事件和事件不相互独立，理由如下： 由，解得， 所以女生中每周平均手机使用时长小于小时的人数为， 且女生中每周平均手机使用时长位于区间有人，位于区间有人， 由茎叶图可知，男生中每周平均手机使用时长小于小时的人数为， 且男生中每周平均手机使用时长位于区间有人， 抽取的人中，每周平均手机使用时长位于区间的共有人， 所以，， 若抽取的是名男生和名女生且恰好有人的每周平均手机使用时长位于区间，其概率为， 若抽取的是名女生且恰好有人的每周平均手机使用时长位于区间，其概率为， 所以， 显然，所以事件和事件不相互独立； （3）由茎叶图和频率分布直方图可知，， 个数据中，男生数据为，设女生数据为且， 由题意可知，，解得， 又因为成等差数列，所以， 所以这个数据分别为：， 所以方差为， 所以这位学生每周平均手机使用时长的方差不超过. 1．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望 ． 【答案】 【分析】根据分布列结合期望公式可求期望. 【详解】由题设有. 故答案为：. 2．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 . 【答案】/ 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 3．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 【答案】B 【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可. 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 4．【2024年上海市高考数学第8题】某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 【答案】0.85 【详解】由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为， 则根据全概率公式知所求正确率． 故答案为：0.85． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 6．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 【答案】 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为： 7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 【答案】/0.5 【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举. 8．【2023年上海市高考数学第14题】根据所示的散点图，下列说法正确的是（　　　　） A．身高越大，体重越大 B．身高越大，体重越小 C．身高和体重成正相关 D．身高和体重成负相关 【答案】C 【解答】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关． 故选：C． 9．【2022年上海市高考数学第9题】为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为　　　　． 【答案】． 【解答】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测， 则每一类都被抽到的方法共有 种， 而所有的抽取方法共有种， 故每一类都被抽到的概率为， 故答案为：． 10．（2022•新高考Ⅱ）已知随机变量服从正态分布，且，则　　． 【解析】随机变量服从正态分布， ， ， 故答案为：0.14． 11．【2021年上海市高考数学第10题】已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 　　　　． 【答案】 【解答】解：甲选2个去参观，有6种，乙选2个去参观，有6种，共有6×6＝36种， 若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有4种， 然后从剩余3个馆中选2个进行排列，有6种，共有4×6＝24种， 则对应概率P， 故答案为：． 12．（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是　　 A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 【解析】因为某物理量的测量结果服从正态分布， 所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差越小，则分布越集中， 对于，越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在内的概率越大，故选项正确； 对于，测量结果大于10的概率为0.5，故选项正确； 对于，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项正确； 对于，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的区域大于分布在10附近的区域， 故测量结果落在内的概率大于落在内的概率，故选项错误． 故选：． 13．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数； （2）由古典概型概率公式可得； （3）先求成绩平均数，再由在回归直线上，代入方程可得，再代入年份预测可得. 【详解】（1）由题意，数据的最大值为，最小值为， 则极差为； 数据中间两数为与， 则中位数为. 故极差为，中位数为； （2）由题意，数据共个，以上数据共有个， 故设事件“恰有个数据在以上”， 则， 故恰有个数据在以上的概率为； （3）由题意，成绩的平均数 ， 由直线过， 则， 故回归直线方程为. 当时,. 故预测年冠军队的成绩为秒. 14．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 【答案】(1) (2) (3)有 【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可； （2）根据平均数的计算公式即可得到答案； （3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论. 【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比， 则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为． （2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 ． 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. （3）由题列联表如下： 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． 其中． ． 则零假设不成立， 即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 15．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 【答案】(1)，事件相互独立； (2)分布列见解析，271元. 【分析】（1）根据给定数表，利用古典概率求出，再利用相互独立事件的定义判断作答. （2）求出三种结果的概率，按给定的假设2，3确定奖金额与对应的概率列出分布列，求出期望作答. 【详解】（1）由给定的数表知，，，， 而，因此事件相互独立， 所以，事件相互独立. （2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色， 依题意，；； ，则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖； 外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：， 奖金额的分布列： 600 300 150 奖金额的期望（元）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $