专题06：计数原理与排列组合（思维导图+8大考点精练+真题检验）讲义-2026年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用）

2026年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用） 专题06 计数原理与排列组合 考点01：两个计数原理的应用 1.（2024上海市曹杨第二中学高三三模） 将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则每组个数据，每组中位数均为第个数，比它大的或比它小的数均为个数，所以甲组的中位数可能为或，进而按题意解出分组方法数即可. 【详解】将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数， 使得甲组的中位数比乙组的中位数小2， 则每组个数据，每组中位数均为第个数，比它大的或比它小的数均为个数， 所以甲组的中位数可能为，而此时乙组的中位数一定是， 则一定在乙组数据中；此时不同的分组方法数为：； 甲组的中位数可能为，而乙组的中位数一定为，此时必须在甲组数据中， 此时不同分组方法数为：； 所以不同的分组方法数为：. 故选：B. 2.（2022·上海崇明·二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定： （1）每位学生每天最多选择1项； （2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、 体育、编程 口语、阅读、 编程、美术 手工、阅读、 科技、体育 口语、阅读、 体育、编程 音乐、口语、 美术、科技 若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有______种．（用数值表示） 【答案】14 【解析】由题知：周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四， 编程在周一、二、四. ①若周一选编程，则体育在周三或周四，故为种， 阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案. ②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，故为种， 阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案. ③若周四选编程，则体育在周一或周三，故为种， 阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案. 综上，共有种方案. 故答案为： 3．某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目．如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看________个不同的节目． 解析：66　因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个， 而其余频道共有(12＋10＋46－3)个正在播放互不相同的节目， 所以一台电视机共可以选看1＋(12＋10＋46－3)＝66(个)不同的节目． 4.（2022宝山高三阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（    ） A．120种 B．150种 C．210种 D．216种 【答案】C 【解析】依题意，每名同学都有种选择方法， 所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种. 故选：C 5.（2025复旦大学附属中学高三6月检测） 甲、乙两位学生从6科中选三科，则甲、乙两位学生恰好只有一门相同的概率为 ______． 【答案】 【分析】根据题意分两步，①先求所有两人各选修门种数，②再求两人所选门恰有门相同的种数，进而由事件间的相互关系，最后利用古典概型的概率公式进行求解即可得到答案． 【详解】甲、乙两位同学随机地从门课程中选修门的情况：种， 两人选修的课程中恰有门相同的情况：种， 故所求的概率为. 故答案为：. 考点02：排列数与组合数的推导、化简和计算 6.（2023嘉定二模）已知，若，则 . 答案：3 7．若,则的值为______ 【答案】6 8.（2022·全国·高三专题练习）已知，则的值为_______ 【解析】因为， 所以或， 解得：或. 9.（24-25高二上·河南南阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】根据组合数的性质计算可得结果. 【详解】由题意得，且，解得， ∵，∴或， 解得（舍去）或． 故答案为：2. 考点03：特殊元素与特殊位置优先安排 10.（2026届高三奉贤区一模）从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法_____种.(用数字表示答案) 【答案】18 【解析】 11.（2026届高三青浦区一模）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有_____种(用数字作答). 【解析】 12.（2026届高三松江区一模）将3名男生和3名女生排成一排，若从左边第一个学生开始依次往右数，无论数到几人，男生人数都大于或等于女生人数，则有_____种不同的排法.(结果用数值表示) 【答案】180 【解析】 13.（2026虹口区高三一模）若甲、乙、丙3人要站在一个有7级台阶的楼梯上拍照，每级台阶至多站2人，同一级楼梯上的人不区分站的位置，则不同的站法有_________种(结果用数值表示) 【答案】336 14.现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为___ 【分析】根据分类计数原理和分步计数原理可求答案. 【详解】若甲跑第1棒，剩余3棒需要从5人中选3人安排，分为三种情况： 乙，丙均不参加，此时有种安排方案； 乙，丙有且仅有一人参加，此时有种安排方案； 乙，丙均参加，此时有种安排方案； 若甲跑第4棒，第1棒只能从去除乙，丙，丁后的2人中选择，第2,3棒从剩余的4人中安排即可，此时有种安排方案； 由分类计数原理可得，共有种安排方案. 15.将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有 种. 【答案】 【分析】按照家庭被分配到一人或两人，进行分类讨论. 【详解】由题可分以下两种情形： ①家庭只有志愿者甲，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种； ②家庭除了甲还有另一名志愿者，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种. 故志愿者甲恰好被安排在家庭共有种不同安排方法. 故答案为：. 16.某单位国庆期间有4天假期，现安排甲、乙、丙3人值班，每人至少值班一天，每天只安排一人值班，且甲不安排在第一天值班的安排方法共有_______ 【分析】分甲值一天班和甲值两天班两种情况，结合甲不安排在第一天值班分类讨论求解即可. 【详解】若甲值一天班且甲不安排在第一天值班，则甲有种安排方式， 则剩下三天安排乙、丙2人值班，则其中有一人需安排值两天班， 则乙、丙2人有种安排方式， 此时甲、乙、丙3人共有种安排方式； 若甲值两天班且甲不安排在第一天值班， 先从乙、丙2人中选择一人安排在第一天值班，则有种安排方式， 再安排乙、丙2人中剩下的一人与甲值剩下三天班且甲值两天班， 有种安排方式，此时共有种安排方式； 综上，共有种安排方式. 17.有个空置车位排成一排，每个车位只能停放一辆车，现将3辆不同的车停放在车位上，若3辆车互不相邻与恰有2辆车相邻的停车方法数相等，则 （用数字作答）. 【答案】 【分析】假设辆车自带了车位，利用插空法和捆绑法求出3辆车互不相邻与恰有2辆车相邻的停车方法数，即可得到方程，解得即可. 【详解】假设辆车自带了车位，余下还有个车位，产生了个空位， 现将辆车插空，则有种停放方法，使得3辆车互不相邻； 又恰有2辆车相邻，将两辆车捆绑作为一组，另外一辆车作为一组，则有种方法， 再两组车将插到个空位，则有种停放方法， 所以有种停放方法，使得恰有2辆车相邻， 依题意可得， 即，依题意，解得. 故答案为： 考点04：相邻捆绑法与不相邻插空法 18.（2022·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（    ） A．72种 B．60种 C．48种 D．36种 【答案】C 【解析】甲、乙相邻共有种. 将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有种. 则共有种. 故选：C. 19.（2024春•浦东新区期中）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有　　 A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 【分析】利用“捆绑法”求解． 【解答】解：利用捆绑法，把甲和乙看成一个整体，与其他4人进行全排列， 所以不同排法有种． 故选：． 20.甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有 .（用数字作答） 【答案】192 【分析】先计算甲乙相邻的总排列数，然后计算甲乙相邻且乙丙也相邻的排列数，两者相减即是结果. 【详解】先将甲、乙两人看成一个整体，则这个整体内部有种排列方式， 此时相当于有5个元素进行排列，所以甲乙相邻的总排列数为种. 若甲乙相邻且乙丙也相邻，则三人必须以（甲，乙，丙）或（丙，乙，甲）的顺序站在一起. 将这三个人视为一个整体，其内部有2种排法，再将此整体与其余3人进行全排列， 故甲乙相邻且乙丙也相邻的排法有种, 所以甲乙相邻，而乙丙不相邻的排法种数有. 故答案为：192. 21.（2026届高三金山区一模）某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有_____种。 【答案】 【解析】捆绑法 22.（2026届高三闵行区一模）某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为_____. 【解析】先把甲乙捆绑，再减去甲在两端的即可； 考点05：分组与分配问题 23.（2025上海市育才中学高三三模） 4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有______种. 【答案】36 【分析】先选两名志愿者看成一个整体，再与剩余志愿者一起排列，结合分步乘法计数原理运算求解. 【详解】先选两名志愿者看成一个整体，共有种， 再与剩余志愿者一起排列，共有种， 所以不同的分法共有种. 故答案为：36. 24.（2024春•浦东新区期中）建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是 　　． 【分析】先安排高一2人，然后把高二5人分4组，排列即可． 【解答】解：由题意可得不同的分配方案种数是：（种． 故答案为：2880． 【点评】本题考查排列组合的简单应用，是中档题． 25.（2026届高三徐汇区一模）从名男生和名女生中选取人组成一个宣传小组，其中男生和女生都不少于人的选法有_____种。 【解析】 26.三所医院派出5名医生到乡镇卫生院指导，要求每所医院至少派遣一名医生，则不同的派出方法有_____ 【分析】根据题意，先选后排.①先选，将5名医生分成三组，有两种方式，即1，1，3与1，2，2，注意去除重复部分；②后排，将分好的三组全排列，即可得到答案. 【详解】根据题意：分两步计算 （1）将5名医生分成三组，有两种方式即1，1，3与1，2，2； ①分成1，1，3三组的方法有， ②分成1，2，2三组的方法有， 所以，一共有种分组方法； （2）将分好的三组全排列有种方法，则不同的派出方法有种. 27. （2025上海市徐汇中学高三三模）将6位工作人员分为3组，其中甲不能单独作为一组，共有______种不同的分法 【答案】75 【分析】首先计算所有将6人分为3组的分法数目，再计算甲单独成组的分法数目，最后用总数减去这种情况. 【详解】计算所有将6人分为3组的分法数目： 分组：种； 分组：种； 分组：种；总方法数为：； 甲单独成组：剩余5人分两组(1,4或2,3)，共种； 最终复合条件分法为：. 故答案为：75 考点06：相同元素分配中隔板法 28.将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有 种. 【答案】24 【分析】先从4个盒子中选出3个用于放置小球，再将5个完全相同的小球放入这3个选出的盒子中，且每个盒子至少放1个，再利用插板法或分类讨论法计算放法总数. 【详解】解法一：先从4个盒子中选出3个，共有种方法， 将5个完全相同的小球全部放入3个盒且无空盒，需要两个“隔板”， 所以分配方案共有种情况， 所以总方法数为种； 解法二：先从4个盒子中选出3个，共有种方法， 将5个完全相同的小球全部放入3个盒且无空盒，共有2种情况， ①从3个盒中选1个放3个球，剩余两个盒各放1个，共有种， ②从3个盒中选1个放1个球，剩余两个盒各放2个，共有种， 所以总方法数为种； 故答案为：24 29．将编号为1，2，3的三个小球，放进编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子至多放3个球至少放0个球，则总共的方法数为（   ） A．15个 B．18个 C．19个 D．27个 【答案】D 30．将编号为1，2，3，4的四个小球放到三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球且编 号为1，2的两个小球不能放到同一个盒子里，则不同放法的种数有　 ．（用数字作答） 答案：30 31.已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有_________个正整数解. 【分析】先将题目问题进行转化；再利用隔板法进行求解. 【详解】因为x，y，z均为正整数， 所以方程正整数解的个数问题可以转化为：将个相同的物品分成组，每组至少一个，有多少种不同的分法. 利用隔板法可得：不同的分法有种. 考点07：其他排列组合 32.某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有_______ 【分析】将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列，定序问题用倍缩法可得结果. 【详解】因为鸡汤最后下锅，所以将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列. 因为结果包含两种情况：茄子净肉在鸡脯肉前下锅、茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 所以茄子净肉在鸡脯肉后下锅的情况有种. 33.如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有______ 【分析】根据组合的定义，结合分类计数原理进行求解即可. 【详解】由题意可知，使用了3种颜色则只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 则涂色方法共有种. 34.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 种. 【答案】4410 【分析】根据分步乘法原理及分类加法原理计算求解. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、， 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择.综上所述， 不同的涂色方案有种. 故答案为：. 35. 袋中装有7个互不相同的小球，白球4个，黑球2个，红球1个．现在甲、乙两人从袋中轮流揽取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，则乙取到白球且红球已经被取出的不同取法种数有_____________． 【答案】28 【分析】列出乙取到白球且红球已经被取出所包含的基本事件，再求每一个基本事件发生的数量，最后求和即可. 【详解】解：由题意可得满足条件基本事件有：A=（红，白），B=（红，黑，黑，白），C=（黑，黑，红，白），D=（黑，红，黑，白）. 事件A有；事件B有；事件C有；事件D有. 所以共有4+8+8+8=28种取法. 故答案为：28. 考点08：排列组合在古典概率中的应用 36.（2019•上海高考）某三位数密码，每位数字可在这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是 　　． 【解析】方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在数字中选取， 总的基本事件个数为1000， 其中恰有两位数字相同的个数为， 则其中恰有两位数字相同的概率是； 方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在数字中选取， 总的基本事件个数为1000， 其中三位数字均不同和全相同的个数为， 可得其中恰有两位数字相同的概率是． 故答案为：． 37.（2021•上海高考）已知花博会有四个不同的场馆，，，，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 　　． 【解析】甲选2个去参观，有种，乙选2个去参观，有种，共有种， 若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有种，然后从剩余3个馆种选2个进行排列，有种，共有种， 则对应概率， 故答案为：． 38.（2022•上海高考）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 　　． 【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测， 则每一类都被抽到的方法共有种， 而所有的抽取方法共有种， 故每一类都被抽到的概率为， 故答案为：． 39. （2025进才中学高三模拟）有3名男生与2名女生排成一队照相，则2名女生互不相邻的概率为______. 【答案】##0.6 【分析】利用插空法求出女生互不相邻的排法，进而得到概率. 【详解】先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有种排法， 所以符合条件的共有种排法， 故女生互不相邻的排法的概率为. 故答案为：. 40. （2025上海市金山中学高三三模）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种__________. 【答案】186 【详解】试题分析：设取红球个，白球个，则 ，取法为. 41. （2025上海市进才中学高三5月模拟）已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是__________. 【答案】## 【分析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，分别求出和，利用条件概率能求出在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率. 【详解】设事件A表示：在所取的球中至少有一个是红球，事件B表示：两个球都是红球， 则，， 已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为： . 故答案为：. 1．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种． 【答案】288 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 2．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种． 【答案】288 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 3．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 【答案】329 【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可. 【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数． 首先讨论三位数中的偶数， ①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个； ②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选， 根据分步乘法这样的偶数共有， 最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个． 故答案为：329． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 5．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 【答案】 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为： 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 【答案】 24 112 【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解. 【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果. 7．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 8．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 10．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 11．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 12．【2022年上海市高考数学第9题】为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为　　　　． 【答案】． 【解答】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测， 则每一类都被抽到的方法共有 种， 而所有的抽取方法共有种， 故每一类都被抽到的概率为， 故答案为：． 13．【2021年上海市高考数学第10题】已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 　　　　． 【答案】 【解答】解：甲选2个去参观，有6种，乙选2个去参观，有6种，共有6×6＝36种， 若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有4种， 然后从剩余3个馆中选2个进行排列，有6种，共有4×6＝24种， 则对应概率P， 故答案为：． 14．【2020年上海市高考数学第9题】从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有　　　　种安排情况． 【答案】180 【解答】解：根据题意，可得排法共有180种． 故答案为：180． 15．【2018年上海市高考数学第9题】有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是　　　　（结果用最简分数表示）． 【答案】 【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个， 从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况， 所有的事件总数为：10， 这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个， 所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：， 故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用） 专题06 计数原理与排列组合 考点01：两个计数原理的应用 1.（2024上海市曹杨第二中学高三三模） 将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ） A. B. C. D. 2.（2022·上海崇明·二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定： （1）每位学生每天最多选择1项； （2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、 体育、编程 口语、阅读、 编程、美术 手工、阅读、 科技、体育 口语、阅读、 体育、编程 音乐、口语、 美术、科技 若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有______种．（用数值表示） 3．某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目．如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看________个不同的节目． 4.（2022宝山高三阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（    ） A．120种 B．150种 C．210种 D．216种 5.（2025复旦大学附属中学高三6月检测） 甲、乙两位学生从6科中选三科，则甲、乙两位学生恰好只有一门相同的概率为 ______． 考点02：排列数与组合数的推导、化简和计算 6.（2023嘉定二模）已知，若，则 . 7．若,则的值为______ 8.（2022·全国·高三专题练习）已知，则的值为_______ 9.（24-25高二上·河南南阳·期末）若，则 ． 考点03：特殊元素与特殊位置优先安排 10.（2026届高三奉贤区一模）从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法_____种.(用数字表示答案) 11.（2026届高三青浦区一模）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有_____种(用数字作答). 12.（2026届高三松江区一模）将3名男生和3名女生排成一排，若从左边第一个学生开始依次往右数，无论数到几人，男生人数都大于或等于女生人数，则有_____种不同的排法.(结果用数值表示) 13.（2026虹口区高三一模）若甲、乙、丙3人要站在一个有7级台阶的楼梯上拍照，每级台阶至多站2人，同一级楼梯上的人不区分站的位置，则不同的站法有_________种(结果用数值表示) 14.现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为___ 15.将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有 种. 16.某单位国庆期间有4天假期，现安排甲、乙、丙3人值班，每人至少值班一天，每天只安排一人值班，且甲不安排在第一天值班的安排方法共有_______ 17.有个空置车位排成一排，每个车位只能停放一辆车，现将3辆不同的车停放在车位上，若3辆车互不相邻与恰有2辆车相邻的停车方法数相等，则 （用数字作答）. 考点04：相邻捆绑法与不相邻插空法 18.（2022·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（    ） A．72种 B．60种 C．48种 D．36种 19.（2024春•浦东新区期中）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有　　 A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 20.甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有 .（用数字作答） 21.（2026届高三金山区一模）某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有_____种。 22.（2026届高三闵行区一模）某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为_____. 考点05：分组与分配问题 23.（2025上海市育才中学高三三模） 4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有______种. 24.（2024春•浦东新区期中）建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是 　　． 25.（2026届高三徐汇区一模）从名男生和名女生中选取人组成一个宣传小组，其中男生和女生都不少于人的选法有_____种。 26.三所医院派出5名医生到乡镇卫生院指导，要求每所医院至少派遣一名医生，则不同的派出方法有_____ 27. （2025上海市徐汇中学高三三模）将6位工作人员分为3组，其中甲不能单独作为一组，共有______种不同的分法 考点06：相同元素分配中隔板法 28.将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有 种. 29．将编号为1，2，3的三个小球，放进编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子至多放3个球至少放0个球，则总共的方法数为（   ） A．15个 B．18个 C．19个 D．27个 30．将编号为1，2，3，4的四个小球放到三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球且编 号为1，2的两个小球不能放到同一个盒子里，则不同放法的种数有　 ．（用数字作答） 31.已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有_________个正整数解. 考点07：其他排列组合 32.某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有_______ 33.如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有______ 34.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 种. 35. 袋中装有7个互不相同的小球，白球4个，黑球2个，红球1个．现在甲、乙两人从袋中轮流揽取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，则乙取到白球且红球已经被取出的不同取法种数有_____________． 考点08：排列组合在古典概率中的应用 36.（2019•上海高考）某三位数密码，每位数字可在这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是 　　． 37.（2021•上海高考）已知花博会有四个不同的场馆，，，，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 　　． 38.（2022•上海高考）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 　　． 39. （2025进才中学高三模拟）有3名男生与2名女生排成一队照相，则2名女生互不相邻的概率为______. 40. （2025上海市金山中学高三三模）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种__________. 41. （2025上海市进才中学高三5月模拟）已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是__________. 1．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种． 2．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种． 3．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 10．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 11．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 12．【2022年上海市高考数学第9题】为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为　　　　． 13．【2021年上海市高考数学第10题】已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 　　　　． 14．【2020年上海市高考数学第9题】从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有　　　　种安排情况． 15．【2018年上海市高考数学第9题】有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是　　　　（结果用最简分数表示）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $