专题08：解三角形与三角函数 （思维导图+14大考点精练+真题检验）- 2026年高考数学百日冲刺基础全通关（上海专用）

2026年高考数学百日冲刺基础全通关（上海专用） 专题08 解三角形与三角函数 考点01：任意角及其度量 1. 2弧度的角所在的象限是第 象限． 【答案】二 【分析】根据象限角的定义判断. 【详解】解：因为， 所以2弧度的角所在的象限是第二象限， 故答案为：二 2．已知角第二象限角，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】写出象限角的取值范围，可求出是第一象限角或第三象限角，再由可得出选项. 【详解】因为角第二象限角，所以， 所以，所以角是第一象限角或第三象限角． 又因为，即，所以角是第一象限角， 故选：A． 3.（2023闵行区三模）已知扇形的半径为2，圆心角为，则其弧长为_________. 【答案】/ 【分析】根据扇形弧长公式进行求解 【详解】若扇形的圆心角为，半径为， 则扇形弧长公式，代入， 得：. 故答案为：. 4．一个扇形的面积是,它的周长是,则圆心角为 弧度；弧长为 cm． 【答案】2,2 【解析】假设圆心角为，弧长为，则半径。则由题意，得 故 扇形的圆心角为2弧度，弧长为2厘米 5.圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为_________ 【分析】根据扇形面积公式计算即可得解. 【详解】由扇形面积公式（其中为扇形弧长，为扇形圆心角，为扇形半径）可得，扇环面积. 考点02：任意角的三角与诱导公式 6.已知角的终边经过点，则_______ 【分析】先求出角的终边上的点到原点的距离为，再利用任意角的三角函数的定义求出结果，再用倍角公式求解． 【详解】解：角的终边经过点， ，， ， ， ． 7．（2024·上海闵行·二模）始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则= . 【答案】/ 【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解． 【详解】始边与轴的正半轴重合的角的终边过点， 则， 故． 故答案为：． 8.已知角的终边经过点，则_______ 【分析】根据三角函数的定义求出，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：D． 9. 已知，则= . 【答案】 【分析】根据角所在的象限判断符号，然后求出 【详解】 又因为，则 故答案为： 10. 已知，则_______ 【分析】首先求出，再根据平方关系及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为，显然，所以， 所以 . 故选：C 11.已知＝5，则cos2α＋sin 2α的值是________ 【解析】由＝5得＝5，可得tan α＝2，则cos2 α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝.. 12.已知，则 . 【答案】3 【分析】利用诱导公式化简得到，化弦为切，代入求值求出答案. 【详解】，. 故答案为：3 13.已知，，则______． 【答案】7 【分析】由已知条件利用同角三角函数关系式求出，从而得出，再利用诱导公式，弦化切即可得结果. 【详解】因为，且， 所以， 所以． 所以 ． 故答案为：7. 考点03：常用三角公式与三角变换 14．（2024·上海虹口·一模）若，则 ． 【答案】 【分析】直接利用二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 15.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据辅助角公式求得，再用诱导公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B 16.已知为三角形的两个内角，，则=（  ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到、，再用凑角求解. 【详解】∵为三角形的两个内角，且， ∴，， ∵，， ， ， ，，∴． 故选：B 17.已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为所以则 所以 则， 因为，所以， 又则， 所以 故 因为所以 则. 故选：A. 18.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合同角三角函数的基本关系式、降次公式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， ，解得，负根舍去. 故选：B 考点04：正弦定理与余弦定理 19．（2024·上海嘉定·一模）在中，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，所以. 故答案为： 20．（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 【答案】/0.625 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得，而， 因此，即，所以. 故答案为： 21．（2024·上海徐汇·二模）在中，，，，则的外接圆半径为 . 【答案】 【分析】由正弦定理求解． 【详解】由已知，设三角形外接圆半径为，则，所以． 故答案为：1. 22．（2024·上海青浦·一模）在中，已知，若，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，，， 由余弦定理得， 解得， 所以的面积为. 故答案为： 23. （2021·上海·模拟预测）已知的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则内角A的大小是___________ 【答案】或或 【分析】利用余弦定理以及二倍角的正弦公式即可求解. 【解析】因为， 所以由余弦定理可得，， 从而，即或， 又因为，所以或或. 故答案为：或或. 24. 已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状. 【详解】由，得， 整理得，则， 因为，所以， 又由及正弦定理，得，化简得， 所以为等边三角形， 故选：B 考点05：解三角形 25.（2023·上海奉贤·统考一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再试用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积. 【详解】（1）由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 化简得， 则， 所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 因为， 所以， ， 所以 . 26．（2023上·上海浦东新·高三上海中学东校校考期中）在中，角所对应的边分别为，且，，．求： (1)a的值； (2)和的面积． 【答案】(1) (2)故，的面积为 【分析】（1）应用余弦定理列方程求值即可； （2）由同角三角函数平方关系求，应用正弦定理求，三角形面积公式求的面积. 【详解】（1）因为，，， 所以，由余弦定理得：，解得． 故. （2）由，则， 由正弦定理得， 又，得， ． 故，的面积为. 27．（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题设及余弦定理可得，进而结合三角形面积公式求解即可； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而结合平方关系求解即可. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得，即， 所以，即， 所以的面积为. （2）由，由正弦定理得， 可得， 则， 因为，所以， 则，又， 所以. 28．（2023·上海奉贤·一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再使用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积. 【解析】（1）由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 化简得， 则， 所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 因为， 所以， ， 所以 . 29. (2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. ①求A； ②若a＋b＝2c，求sin C. 【答案】①A＝60°② 【解析】①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝＝. 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°. ②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－. 由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝， 故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝. 考点06：解三角形的最值与范围问题 30．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理即可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值. 【解析】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即. （2）由（1）可知， 所以或. 在中，由余弦定理得 ， 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 综上所述，的面积最大值为. 31．（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 32 已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解. （2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解. 【详解】（1）及， ，化简得， ，又，. （2）由（1）可得 为锐角三角形， 且，， . ，， 故的取值范围为. 33.．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1)或；当时，；当时， (2) 【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得，求出B，进而求出即可； （2）由题意可得，求出C的范围，根据正弦定理可得，利用三角恒等变换化简计算得（），结合的范围和正弦函数的性质即可求解. 【解析】（1）由，得，则， 又，所以或. 当时，； 当时，. （2）若为锐角三角形，则， 有，解得. 由正弦定理，得，则， 所以 ， 其中，又，所以， 则，故当时，取到最大值1， 所以的最大值为. 34.．（24-25高三上·上海·期中）设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角. (1)若,，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和同角三角函数关系得到，结合为钝角得到 ，，利用正弦定理得到，由三角形面积公式得到答案； （2）由（1）知，，变形得到，求出，故得到. 【解析】（1）， 因为，，故， 因为为钝角，所以，， 由正弦定理得，故， 其中， 所以，解得， ， ； （2）由（1）知，， ， 因为为钝角，所以，且， 解得， 所以， . 考点07：解三角形的实际应用 35．（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 【答案】1 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理求解. 【详解】如图，在中，，. 由余弦定理，可得 ， 即， 解得，即乙丙两人间的距离为1km. 故答案为：1. 36．（24-25高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 【答案】 【分析】令，，在中应用余弦定理及基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得答案. 【详解】令，，且， 在中，， 当且仅当米时，取最小值，此时最大. 故答案为： 37．（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 . 【答案】 【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可. 【详解】分别过点作的垂线，垂足分别为， 则根据正切函数的定义得，， 则，解得. 故答案为：. 38．（24-25高三上·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．    (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数表达出的长，再由面积公式即可求解. （2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值. 【详解】（1）设与相交于点，则， 则，， 易知等于到的距离， 所以    （2）过点作于点，则， 而，    则三角形区域面积为 ， 设，因为，所以， 故，而， 则，故当时，取得最大值， 故三角形区域面积的最大值为 考点08：求三角函数的定义域、值域与最值 39．（2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . 【答案】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 40. 函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根式、分式及对数函数的性质列不等式组，结合三角函数的性质即可求定义域. 【详解】由函数式知：， ∴，即. 故选：B. 41．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数求值域即可. 【详解】， 其中， 则其值域为 故答案为：. 42.已知，求函数的最值． 【答案】，． 【分析】令，将问题转化为二次函数在上的最值问题，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】因为， 令， 则． 因此，当时，该函数取得最小值； 当时，该函数取得最大值． 43. 已知y＝2sinθcosθ＋sinθ－cosθ(0≤θ≤π)，求y的最大值、最小值 解：设t＝sinθ－cosθ＝sin(θ－) ∴2sinθcosθ＝1－ｔ2 ∴y＝－ｔ2＋ｔ＋1＝－(ｔ－)2＋ 又∵t＝sin(θ－)，0≤θ≤π ∴－≤θ－≤ ∴－1≤t≤ 当t＝时，ymax＝ 当t＝-1时，ymin＝－1 说明：此题在代换中，据θ范围，确定了参数t∈［－1，］，从而正确求解，若忽视这一点，会发生ｔ＝时有最大值而无最小值的结论 考点09：三角函数的图象 44.要得到函数的图象，只需将的图象（  ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】借助正弦型函数平移的特征计算即可得.. 【解析】由题意可得的图象向右平移个单位可得，故B正确. 故选：B. 45.将函数的图象向右平移φ个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式，结合三角函数平移的性质即可求解. 【详解】因为，其中， 因为的图象向右平移φ个单位长度得到函数， 所以，所以. 故选：A. 46.已知函数，为了得到函数的图象，只需把的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据图象平移变换知识对各选项进行辨析即可. 【详解】对于A，把的图象向左平移个单位长度，可以得到 ，故选项A不正确； 对于B，把的图象向右平移个单位长度，可以得到 ，故选项B不正确； 对于C，把的图象向右平移个单位长度，可以得到 ，故选项C不正确； 对于D，把的图象向左平移个单位长度，可以得到 ，故选项D正确. 故选：D. 考点10：三角函数的周期性与单调性 47．（2024·上海宝山·一模）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】应用余弦型函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数，所以, 即函数的最小正周期为. 故答案为：. 48.下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可. 【详解】对A，是偶函数，周期为，故A错误； 对B，设，定义域为，且，则其为偶函数， 因为周期为，则的周期为，故B正确； 对C，是奇函数，周期为，故C错误； 对D，是奇函数，周期为，故D错误. 故选：B. 49.函数的最小正周期为________ 【分析】由已知结合正切函数的周期公式即可求解. 【详解】根据正切函数的性质可知， 的最小正周期 . 51.已知函数，则函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用整体代入法求单调递减区间，然后结合定义域可得答案. 【详解】由解得， 因为，所以的单调递减区间为. 故答案为： 52．函数的单调递增区间为 . 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、求cosx型三角函数的单调性 【分析】根据对数函数的单调性、定义域和余弦函数的单调性求解即可. 【详解】设，则在上是单调递减的， 因为，所以， 即①. 要求原函数的单调递增区间，即是求余弦函数的单调递减区间. 当时，单调递减， 此时，结合①式，可得. 所以原函数的单调递增区间为. 故答案为：. 53．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，解得， 依题意，需满足，解得. 因为在上单调递减，所以，解得. 当时，，不符合题意；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 考点11：三角函数的奇偶性与对称性 54．若为偶函数，则（    ） A． B． C．0或 D． 【答案】A 【详解】若为偶函数，又，则或，解得或， 若，则， 若，则，所以. 故选：A 55.已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据奇函数可得与. 【详解】由， 又函数为奇函数， 则，， 解得，， 所以， 故选：D. 56．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数的对称性性质计算即可. 【详解】令，得，显然当时， 所以A正确；其余选项均不存在整数满足条件． 故选：A 57.将函数的图象向左平移1个单位长度后，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求出图象的一个对称中心的坐标 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数图像平移法则可得出的解析式，再由余弦函数的对称中心可得出答案. 【详解】由题可知 则函数图象的一个对称中心的横坐标满足， 所以 则函数的对称中心为． 故答案为：（答案不唯一） 58．已知函数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，可知为的对称中心， 则，可得， 解得， 且，可知：当时，取到最小值. 故答案为： 59．设函数，对都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意都有，可知函数的图象的对称中心为， 由函数可得， 解得，又， ，. 故选：A 考点12：三角函数零点与方程的根 60.已知函数，则在上的零点的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将函数零点转换为两函数的交点，通过图像即可得到答案. 【解析】∵ ∴ 设，画出图像    可得在图像上的零点的个数为3. 故选：C. 61.函数的零点个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】D 【解析】由题意可知：的定义域为， 且，可知为偶函数， 令，，可得，    由图象可知与在内有3个交点， 即在内有3零点， 结合对称性可知在定义域内有6个零点. 故选：D. 62.已知函数的最大值为． （1）求函数的单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-＝0在∈上有解，求实数的取值范围． 【解析】（1）[来源:学科网ZXXK] ， 由，解得， 所以函数的单调递增区间 当时，，取最小值-3． 方程在∈上有解，即 -3≤≤ 【点评】(1)本题就是先分离参数，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用.学@科网 考点13：三角函数的范围问题 63．（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，其中，在上单调递增，然后结合函数的单调性及可得答案. 【详解】， 因在（其中）上单调递增， 则，. 又因，则取，则. 故选：A 64. 已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B．. C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有2个整数k符合，解不等式即得解. 【详解】因为， 令，，则，， 函数在区间上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合， 又在区间上恰好有两条对称轴， 由，得， 若，则，∴； 若，则，∴. 故选：A. 65. 已知函数（）在区间上有且仅有3个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的取值范围求出的取值范围，将问题转化为函数在区间上的极值点个数问题，计算求解即可. 【详解】因为且， 所以， 又因为函数在区间上有且仅有3个极值点， 所以满足，即， 故答案为： 66．（2024·上海崇明·一模）已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据零点个数和极小值点的个数可得关于的不等式，故可求其取值范围. 【详解】当时，， 因为函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点， 所以，故， 故答案为： 67.已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用两角和正弦公式和辅助角公式将函数整理为，由，得，结合正弦函数的图像求得的范围，从而求得的范围. 【详解】 当时， 在有且仅有3个零点，结合正弦函数图像可知， 解得： 故选：A. 【点睛】本题考查函数的零点问题，解答本题关键是先利用三角恒等变换公式将三角函数整理为形式，再利用数形结合思想求解，考查学生的数形结合与计算能力，属于中档题 考点14：三角函数综合题 68．（23-24高三上·上海静安·期末）记，其中为实常数． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简解析式即可得出答案； （2）求出，再整体换元，找出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【解析】（1）． ∴函数的最小正周期为． （2）， ，则． 令，因为，则． 当或，即或时，． 当，即时，． 69．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数，． (1)求函数的严格减区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换化简得出，由可求出的取值范围，再由正弦型函数的单调性可求出函数的减区间； （2）求出的取值范围，由参变量分离法可得出，求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【解析】（1）解：因为， 因为，则，由可得， 所以，函数的严格减区间为. （2）解：由（1）可知，，则， 所以，，即， 所以，， 由可得， 所以，，所以，， 因此，实数的取值范围是. 70．（2024·上海·模拟预测）已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质求出递减区间. （2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解析】（1）依题意， ， 当时，，由，得， 所以函数的在上的单调递减区间为. （2）当时，，又函数在区间上有且只有两个零点， 即函数在只有两个零点， 因此，解得， 所以的取值范围为. 71．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据图象的两条相邻对称轴之间的距离为求出即可； （2）由得出，过点作于点，得出，分别求出的长，结合即可得出，进而得出，根据即可求得答案． 【解析】（1）， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以, 则，解得， 所以． （2）由得，， 因为，所以，即， ，解得(舍负)， 过点作于点，如图所示， 由得，，则， 所以，则， 所以，则． 72．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知，. (1)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围； (2)设的三边分别是，若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数解析式为，由可求得的取值范围，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围. （2）先求出C，再用正弦定理边角互化，转化为三角函数求值域即可. 【解析】（1） 所以 所以即，由于， 即，故，而，故. 又由于，所以. （2），所以，即或， 由于为的内角，故. 所以由正弦定理，，. 所以，. 所以的取值范围是. 1. （2025上海秋季高考）函数在上的值域为_________． 【答案】 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 2. （2025上海秋季高考）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到） 【答案】 【分析】先根据在处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的旗杆算出斜面角. 【详解】如图，在处，，在处满足， （其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于）， 故设，则， 由勾股定理，，解得， 于是 故答案为： 3.（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 4.（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 5.（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 6.（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 7．【2024年上海市高考数学第14题】下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 8.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 9.（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 10.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 11.（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 12.（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 13.（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 14.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 15.（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 16.（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【答案】 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 17．【2023年上海市高考数学第4题】已知tanα＝3，则tan2α＝　　　　． 【答案】4 【解答】解：∵tanα＝3， ∴tan2α． 故答案为：． 18．【2023年上海市高考数学第8题】已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝　　　　． 【答案】． 【解答】解：a＝4，b＝5，c＝6， 由余弦定理得，cosA， 又∵A∈（0，π）， ∴sinA＞0， ∴sinA． 故答案为：． 19.（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答. 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值. 20.（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 21.（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 22.（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 23.（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 24.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 25.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学百日冲刺基础全通关（上海专用） 专题08 解三角形与三角函数 考点01：任意角及其度量 1. 2弧度的角所在的象限是第 象限． 2．已知角第二象限角，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3.（2023闵行区三模）已知扇形的半径为2，圆心角为，则其弧长为_________. 4．一个扇形的面积是,它的周长是,则圆心角为 弧度；弧长为 cm． 5.圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为______ 考点02：任意角的三角与诱导公式 6.已知角的终边经过点，则_______ 7．（2024·上海闵行·二模）始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则= . 8.已知角的终边经过点，则________ 9. 已知，则= . 10. 已知，则_______ 11.已知＝5，则cos2α＋sin 2α的值是________ 12.已知，则 . 13.已知，，则______． 考点03：常用三角公式与三角变换 14．（2024·上海虹口·一模）若，则 ． 15.若，则（    ） A． B． C． D． 16.已知为三角形的两个内角，，则=（  ） A．30° B．60° C．120° D．150° 17.已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 18.已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点04：正弦定理与余弦定理 19．（2024·上海嘉定·一模）在中，若，则 . 20．（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 21．（2024·上海徐汇·二模）在中，，，，则的外接圆半径为 . 22．（2024·上海青浦·一模）在中，已知，若，则的面积为 . 23. （2021·上海·模拟预测）已知的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则内角A的大小是___________ 24. 已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 考点05：解三角形 25.（2023·上海奉贤·统考一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 26．（2023上·上海浦东新·高三上海中学东校校考期中）在中，角所对应的边分别为，且，，．求： (1)a的值； (2)和的面积． 27．（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 28．（2023·上海奉贤·一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 29. (2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. ①求A； ②若a＋b＝2c，求sin C. 考点06：解三角形的最值与范围问题 30．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 31．（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 32 已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 33.（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 34.（24-25高三上·上海·期中）设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角. (1)若,，求的面积； (2)求的取值范围. 考点07：解三角形的实际应用 35．（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 36．（24-25高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 37．（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 . 38．（24-25高三上·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．    (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值． 考点08：求三角函数的定义域、值域与最值 39．（2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . 40. 函数定义域为（    ） A． B． C． D． 41．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 42.已知，求函数的最值． 43. 已知y＝2sinθcosθ＋sinθ－cosθ(0≤θ≤π)，求y的最大值、最小值 考点09：三角函数的图象 44.要得到函数的图象，只需将的图象（  ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 45.将函数的图象向右平移φ个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 46.已知函数，为了得到函数的图象，只需把的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 考点10：三角函数的周期性与单调性 47．（2024·上海宝山·一模）函数的最小正周期为 . 48.下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 49.函数的最小正周期为________ 51.已知函数，则函数的单调递减区间为 . 52．函数的单调递增区间为 . 53．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 考点11：三角函数的奇偶性与对称性 54．若为偶函数，则（    ） A． B． C．0或 D． 55.已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 56．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 57.将函数的图象向左平移1个单位长度后，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求出图象的一个对称中心的坐标 ． 58．已知函数满足，则的最小值为 . 59．设函数，对都有，则（    ） A． B． C． D． 考点12：三角函数零点与方程的根 60.已知函数，则在上的零点的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 61.函数的零点个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 62.已知函数的最大值为． （1）求函数的单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-＝0在∈上有解，求实数的取值范围． 考点13：三角函数的范围问题 63．（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 64. 已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B．. C． D． 65. 已知函数（）在区间上有且仅有3个极值点，则的取值范围是 . 66．（2024·上海崇明·一模）已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 67.已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点14：三角函数综合题 68．（23-24高三上·上海静安·期末）记，其中为实常数． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值． 69．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数，． (1)求函数的严格减区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 70．（2024·上海·模拟预测）已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 71．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 72．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知，. (1)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围； (2)设的三边分别是，若，，求的取值范围. 1. （2025上海秋季高考）函数在上的值域为_________． 2. （2025上海秋季高考）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到） 3.（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 4.（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5.（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 6.（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 7．【2024年上海市高考数学第14题】下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 8.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 9.（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 10.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 11.（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 12.（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 13.（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 14.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 15.（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 16.（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 17．【2023年上海市高考数学第4题】已知tanα＝3，则tan2α＝　　　　． 18．【2023年上海市高考数学第8题】已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝　　　　． 19.（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 20.（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 21.（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 22.（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 23.（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 25.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $