精品解析：江苏省南京市鼓楼实验中学2025-2026学年八年级上学期期末数学练习试卷

2025-2026学年江苏省南京市鼓楼实验中学八年级（上）期末数学练习试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数：，－0.101001，，，，其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列各组数为勾股数的是（　　） A. 0.3 B. C. 7，24，25 D. 3. 等腰三角形的周长为12，则腰长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 4. 如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（ ） A. B. C. D. 5. 下列用表格表示的变量关系中，y是x的一次函数的是（　　） A. x … 1 2 3 4 … y … 8 6 6 8 … B. x … 1 2 3 4 … y … 12 10 7 3 … C x … 1 2 3 4 … y … … D. x … 1 2 3 4 … y … … 6. 如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 据南京市第七次全国人口普查结果显示全市常住人口约为9360000人，用四舍五入法将9360000取近似数，并用科学记数法表示为__________．（精确到十万位） 8. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 9. 比较大小：_____2（填“”、“”或“”号）． 10. 如图，，，若，则______°． 11. 如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________． 12. 如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为___________． 13. 在平面直角坐标系中，一次函数为常数，且的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，若的面积为1，则b的值为______． 14. 如图，在中，，平分，E是的中点，若，，则________． 15. 如图，光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点的反射光线交轴于点，则入射光线所在直线的解析式为________． 16. 如图，在中，，点D在边上，且，以D为直角顶点，构造等腰，则的最小值为___________． 三、解答题：本题共10小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）求x的值： 18. 已知数有平方根． （1）求x取值范围； （2）数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 19. 如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠PBQ的度数． 20. 在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为，点的坐标为． （1）写出点的坐标 ； （2）要使点与点重合，下列方式正确的有 ；（填上所有正确的序号） 将点向左平移个单位，再向上平移个单位； 将点沿直线翻折； 将点绕原点逆时针旋转，再向左平移个单位． （3）面积为 ． 21. 已知一次函数（为常数） （1）当函数是正比例函数时，的值为___________． （2）当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． （3）当时，一次函数的最大值为，求的值． 22. 如图，在中，垂直平分边，交于点，平分的外角，，垂足为点，，垂足为点． （1）求证：； （2）如果，求证：点在的垂直平分线上． 23. 如图，已知，点是上一点．请用两种不同的方法在射线上求作一点，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明） 24. 一辆出租车和货车同时从甲地出发，出租车到达乙地后停留了30分钟，然后按原路原速返回甲地；货车途径货站（甲地、货站、乙地依次在一条直线上）时，用30分钟装完货物继续前往乙地，此时出租车恰好到达乙地，结果货车到达乙地的时间比出租车返回甲地的时间早了1.5小时．在两车行驶过程中，甲、乙两车距甲地的距离y（单位：千米）与出租车所用时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）图中m的值是_______，出租车的速度为__________千米/时； （2）求货车装完货物后驶往乙地过程中，距其出发地的距离y与行驶时间x的函数关系式； （3）出租车出发多长时间，在返回甲地的过程中与货车相距60千米？直接写出答案． 25. 已知在，，点P在边上，连接． （1）如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； （2）过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 26. 【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对于两点和，用以下方式定义两点间距离：已知点，点 【初步理解】 （1）___________． （2）函数的图象如图①所示，是图象上一点，___________定值，___________定值两空均选填“是”或“不是” 【深入理解】 （3）在图②中画出使的所有点围成的图形． （4）函数（为常数）； ①当时，若点是这个函数的图象上一动点，则使的所有点构成的线段长度为___________； ②若这个函数的图象上存在点使，直接写出k的取值范围． 实际运用】 （5）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图③，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市鼓楼实验中学八年级（上）期末数学练习试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数：，－0.101001，，，，其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：， 无理数有，，共有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的定义，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含的，②一些有规律的数，③开方开不尽的数． 2. 下列各组数为勾股数的是（　　） A. 0.3 B. C. 7，24，25 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； C、7，24，25都是正整数，且，满足勾股数定义，该选项符合题意； D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； 3. 等腰三角形的周长为12，则腰长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解不等式，三角形的三边关系等知识，解题的关键是确定x的取值范围． 设腰长为x，底边长为y．利用三角形的三边关系确定x的取值范围即可判断； 【详解】设腰长为x，底边长为y， 根据题意得， ∴， 由，得， 由，得， ∴， ∴腰长可能是5． 故选：C． 4. 如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合作图解答即可． 【详解】解：由题意知， 在和中， ， ∴， ∴判定的理由是． 故选：A． 5. 下列用表格表示的变量关系中，y是x的一次函数的是（　　） A. x … 1 2 3 4 … y … 8 6 6 8 … B. x … 1 2 3 4 … y … 12 10 7 3 … C. x … 1 2 3 4 … y … … D. x … 1 2 3 4 … y … … 【答案】D 【解析】 【分析】本题中每次增加1，只需判断变化量是否一致即可． 【详解】解：对于一次函数，当每增加1时，的变化量始终相等， 分别计算各选项的变化量： 选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意； 选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意； 选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意. D选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，从3到4，变化量为，变化量恒定相等，因此是的一次函数，符合题意． 6. 如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取格点E，连接，，，由勾股定理结合可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理逆定理得为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：如图，四边形的四个顶点都在格点上，取格点E，连接，，， 由格点三角形得， ， ， ， ， ， ， ，， 等腰直角三角形， ， . 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 据南京市第七次全国人口普查结果显示全市常住人口约9360000人，用四舍五入法将9360000取近似数，并用科学记数法表示为__________．（精确到十万位） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法和近似数，精确到十万位，需看万位数字，万位为6，大于等于5，向十万位进位，得9400000，再用科学记数法表示． 【详解】解：9360000精确到十万位，十万位为3，万位为6，，向十万位进位，3变为4，故近似数为9400000，科学记数法表示为， 故答案为：． 8. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 【答案】10 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 在的垂直平分线上， ， 周长 ． 9. 比较大小：_____2（填“”、“”或“”号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握作差法是解题的关键．利用作差法求得两数之差，再根据无理数的估算，判断两数之差比0小还是比0大，即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 10. 如图，，，若，则______°． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，推出，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用函数图象，结合，得出x的取值范围． 【详解】解：∵交点坐标可知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集为 12. 如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：由题意，，， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴； 故答案为：15． 13. 在平面直角坐标系中，一次函数为常数，且的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，若的面积为1，则b的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出，的长，结合的面积为1，可得出关于b的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 又∵的面积为1， ∴，即， 解得：， ∴b的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，找出关于b的方程是解题的关键． 14. 如图，在中，，平分，E是的中点，若，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，过D作于H，根据角平分线的性质求出，然后计算的面积，最后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点的反射光线交轴于点，则入射光线所在直线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴于，设，则，由，可得，解得，，用待定系数法可得答案． 【详解】解：过作轴于，如图， ，， ，，， 设，则， 由反射定律可知， 又, ， 解得， ，， 设直线解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及反射定律，待定系数法，锐角三角函数等知识，解题的关键是求出B的坐标． 16. 如图，在中，，点D在边上，且，以D为直角顶点，构造等腰，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由于是等腰直角三角形，和长度相等且夹角，我们可以将绕点D顺时针旋转，利用旋转变换将分散的线段和拼接在一条直线上，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将绕点D顺时针旋转， ∵以D为直角顶点，构造等腰， ∴， 旋转后与重合， 设点A旋转后的对应点为点P， 由旋转性质可得：， ， ， 根据两点之间线段最短得，当C、E、P三点共线时，的值最小，最小值即为线段的长， 过点P作于点H， ， 四边形是矩形， ∴， 在中，根据勾股定理：， 的最小值为． 三、解答题：本题共10小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）求x的值： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据算术平方根、立方根的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） 则， ∴． 18. 已知数有平方根． （1）求x的取值范围； （2）数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）利用平方根的非负性列不等式求解； （2）依据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出a，再求． 【小问1详解】 解：根据题意可知，， 解得：； 【小问2详解】 解：根据题意可知，， 解得：， 将代入，得其中一个平方根为， 所以． 19. 如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠PBQ的度数． 【答案】（1）见解析；（2）30o 【解析】 【详解】试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠C=60°，然后利用“边角边”即可证明两三角形； （2）由SAS可得△ABE≌△CAD，进而得出对应角相等，再通过角之间的转化即可求解∠BPD的度数，进而求得结论． 试题解析： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°， 在△ABE与△CAD中， ∴△ABE≌△CAD（SAS）； （2）由（1）知△ABE≌△CAD， ∴∠ABE=∠CAD， ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°． ∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°． 20. 在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为，点的坐标为． （1）写出点的坐标 ； （2）要使点与点重合，下列方式正确的有 ；（填上所有正确的序号） 将点向左平移个单位，再向上平移个单位； 将点沿直线翻折； 将点绕原点逆时针旋转，再向左平移个单位． （3）的面积为 ． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换，平移变换，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据图形作出图形即可判断． （）根据平移，法则，旋转等知识一一判断即可． （）利用面积公式求解即可． 小问1详解】 解：如图， ∵点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：向左平移个单位，再向上平移个单位为，点与点重合； 将点沿直线翻折得，点与点重合； 点绕原点逆时针旋转得，再向左平移个单位得，点与点重合； 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 故答案为：． 21. 已知一次函数（为常数） （1）当函数是正比例函数时，的值为___________． （2）当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． （3）当时，一次函数的最大值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）一次函数中，，时，函数是正比例函数，据此列方程求解； （2）一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解； （3）①一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是，②函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是，据此列方程求解． 【小问1详解】 解：为正比例函数， ， ． 【小问2详解】 解：不经过第一象限， 可得， 解得． 【小问3详解】 解：分两种情况讨论， 当，即，随的增大而增大， 则当，， 可得， 解得； 当，即，随的增大而减小， 则当，， 可得， 解得； 综上或． 22. 如图，在中，垂直平分边，交于点，平分的外角，，垂足为点，，垂足为点． （1）求证：； （2）如果，求证：点在的垂直平分线上． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）通过四边形内角和的性质得到，从而得到，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【小问1详解】 证明：∵垂直平分边， ∴， ∵平分的外角，，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接，如下图： 由（1）可得，， 又∵， ∴， ∴， 由题意可得：为的中点， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 23. 如图，已知，点是上一点．请用两种不同的方法在射线上求作一点，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明） 【答案】见解析 【解析】 【分析】方法一：利用垂直平分线性质构造等腰三角形，将已知角转移到，再通过三角形外角定理求得； 方法二：直接在下方作一个与相等的角，然后利用三角形外角定理求得． 【详解】解：作法一：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接， 点位于线段的垂直平分线上， ， ， ； 作法二：在的下方作，射线交于点， ，， ， ． 24. 一辆出租车和货车同时从甲地出发，出租车到达乙地后停留了30分钟，然后按原路原速返回甲地；货车途径货站（甲地、货站、乙地依次在一条直线上）时，用30分钟装完货物继续前往乙地，此时出租车恰好到达乙地，结果货车到达乙地的时间比出租车返回甲地的时间早了1.5小时．在两车行驶过程中，甲、乙两车距甲地的距离y（单位：千米）与出租车所用时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）图中m的值是_______，出租车的速度为__________千米/时； （2）求货车装完货物后驶往乙地过程中，距其出发地的距离y与行驶时间x的函数关系式； （3）出租车出发多长时间，在返回甲地的过程中与货车相距60千米？直接写出答案． 【答案】（1）；； （2） （3）小时或7小时 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用，能准确地理解题意，根据题中信息求得所需数据是解题的关键． （1）根据出租车所用时间可得点坐标，再根据用30分钟装完货物继续前往乙地，此时出租车恰好到达乙地，即可求m的值，再利用出租车原路原速返回，即可求出出租车的速度； （2）求得两点的坐标，利用待定系数法即可解决； （3）求出出租车返回时的函数解析式，利用返回甲地的过程中与货车相距60千米列方程，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得出租车到达乙地的时间为小时， ； 出租车的速度为千米/时； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：根据题意可得货车到达甲地的时间为小时， ， 设距其出发地的距离y与行驶时间x的函数关系式为， 将，代入可得， 解得， 距其出发地的距离y与行驶时间x的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设出租车返回甲地的出租车距离y与行驶时间x的函数关系式为， 将代入，可得， 解得， ， 当出租车返回甲地的过程中与货车相距60千米时， 可得， 解得， 答：出租车出发小时或7小时，在返回甲地的过程中与货车相距60千米． 25. 已知在，，点P在边上，连接． （1）如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； （2）过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，则，再证，得，即可得出结论； （2）①取的中点E，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，再证，得，则，即可解决问题； ②分两种情况，a、时，b、时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图2，取的中点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，点P是线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即的度数为； ②∵，，， ∴， 分两种情况： a、如图3，时， 由（1）可知，， 过点P作于点M， 则， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； b、如图4，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，的长等于或， 故答案为：或． 　　　　 【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 26. 【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对于两点和，用以下方式定义两点间距离：已知点，点 【初步理解】 （1）___________． （2）函数的图象如图①所示，是图象上一点，___________定值，___________定值两空均选填“是”或“不是” 【深入理解】 （3）在图②中画出使的所有点围成的图形． （4）函数（为常数）； ①当时，若点是这个函数的图象上一动点，则使的所有点构成的线段长度为___________； ②若这个函数的图象上存在点使，直接写出k的取值范围． 【实际运用】 （5）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图③，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由） 【答案】（1）5；（2）不是，是；（3）图见解析；（4）①，②或，（5）见解析 【解析】 【分析】依据定义求解即可； 设，且，再依据定义求解即可； 根据新定义并结合可知：使的所有点围成的图形为正方形，据此画图即可； ①易得，设，则，再分类讨论，求出t的范围，即可得解； ②由知使的所有点围成的图形为正方形，则只要有满足的图象与正方形有交点，即存在点N使，据此求解即可； 以为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到E处，可由证明结论即可． 【详解】解：（1）； 设，且， 则， 当时，， 当时，，不是定值； ；是定值； 根据新定义并结合可知：使的所有点围成的图形为正方形，如图所示； ①当时，则， 设， 则， 当时，则， 解得， 此时； 当时，则， 解得， 此时； 当时，则， 解得，此时无解； 综上，当时，满足， 此时两个端点分别为、， 线段长度； ②， 这个函数的图象经过定点， 由图可知，只要满足的图象与正方形有交点，即存在点使， 代入点，得， 此时由图象可知当，均符合题意， ； 代入点得，， 解得， 此时由图象可知当，均符合题意； 综上，或； 如图，以为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止， 设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到E处． 理由：设过点E的直线与x轴相交于点在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线，与x轴相交于点 ， ，， 同理， ， ， 上述方案修建的道路最短． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $