精品解析：江苏省南京市联合体2025-2026学年八年级上学期数学期末练习卷

2025-2026学年度第一学期期末练习卷 八年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：． 2. 估计的值应在（ ）． A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算．熟悉利用已知平方数估算无理数的范围是解题的关键． 通过比较平方数的大小，确定的取值范围． 【详解】解：∵，，且， ∴ ，即， ∴和之间． 故选：． 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标，关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选C． 4. 如图，，添加下列条件不一定得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先根据“边边角”不一定能证明这两个三角形全等判断A，再根据“角边角”，“边角边”，“角角边”逐个判定即可． 【详解】解：∵， A、当时，和不一定全等，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 5. 下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 1，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 2，3，4 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股数的定义，熟练掌握“满足，且a，b，c是正整数，则a，b，c叫做勾股数”是解题的关键． 根据勾股数是满足 的三个正整数，需逐一验证各选项是否符合定义． 【详解】解：A． ∵ 和 不是正整数，∴ 不符合勾股数定义． B． ∵ 0.3， 0.4， 0.5 不是正整数，∴ 不符合勾股数定义． C． ∵ ， ，， ∴ 不满足 ． D． ∵ ， ， ∴ ， 且均为正整数，符合定义． 故选：D． 6. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—角平分线和线段垂直平分线，矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据痕迹得出平分，垂直平分，然后得出角之间的关系和直角，然后确定四边形为矩形，根据平行线的性质得出相等的角，最后利用角平分线的性质和直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：各交点如图所示， 根据作图痕迹可得，平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 直线y＝﹣2x+b上有三个点（﹣2.4，），（﹣1.5，），（1.3， ），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数解析式判断出一次函数的增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】， ， 随增大而减小， ， 故选：A 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数中，当 时，随的增大而减小是解答此题的关键． 8. 如图，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆柱体的体积计算、匀速注水函数分段分析、函数图像的信息提取．熟悉圆柱体的体积计算公式，匀速注水的函数分段分析：利用“均匀注水”的特点，通过时间与体积的对应关系计算注水速度，分段函数图像的信息提取：从图像中识别不同注水阶段的时间、高度变化，对应几何体的结构变化，体积差的转化：注水体积=容器内对应高度的体积-几何体占据的体积，是解题的关键． 根据图像可分三个部分：漫过“几何体”下方圆柱需，漫过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式，解方程即可． 【详解】解：根据函数图像可知圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为， 可列方程为， 解得， 即匀速注水的水流速度为， ∵“几何体”下方圆柱的高为， 可列方程为， 解得， ∴“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 可列方程为， 解得， ∴“几何体”上方圆柱的底面积为． 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的性质． 先求的算术平方根，再计算平方，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 将近似数精确到得到______． 【答案】1.90 【解析】 【分析】此题考查了近似数．根据四舍五入进行解答即可． 【详解】解：将近似数精确到得到， 故答案为： 11. 比较大小：_____．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据作差法，结合无理数估算比较大小即可得到答案． 【详解】解：， 又 ， ， 故答案为：． 12. 已知点在一次函数的图象上，则代数式的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象性质及代数式求值：由点A在函数图象上，可得n与m的关系式，变形代入所求代数式即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 13. 已知为等腰三角形，，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，构造辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，利用等腰三角形的三线合一性质，可得，再根据直角三角形的边角关系求解． 【详解】如图，过点A作于点D， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，一次函数与的图像相交于点，若点的纵坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组）（方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标），解题的关键是先利用直线确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标得到答案． 【详解】解：∵一次函数与的图像相交于点，且点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴点坐标为， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，是对角线上的动点，当时，________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理、等腰三角形三线合一性质．熟悉直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一性质：等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一，勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键． 连接辅助线，，根据直角三角形斜边中线定理得到是等腰三角形，过点作于点，根据等腰三角形三线合一性质得到，继而根据勾股定理得到此时的长度． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，是对角线的中点， ∴，， ∵，， ∴， 如图，过点作于点， ∴点是线段的中点， ∴， ∴在中，， ∴此时线段． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，旋转性质，点的坐标，根据题意，建立平面直角坐标系，再结合旋转的性质，得出点的位置，最后读取点的坐标，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转， ∴点A的对应点的坐标为， 故答案为：． 17. 已知一次函数（，为常数）自变量与函数值的部分对应值如下表： 则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，由表可知，当时，，当时，，然后代入求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当时，，当时，， ∴， 得，， 解得：， 故答案为 ：． 18. 如图，在等边三角形中，M和N分别是线段和上的动点，且，，则的最小值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，作交于点E，连接，由等边三角形的性质得，，可证明，则，而，所以，则，由，求得，当时，的值最小，此时的值最小，，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交于点E，连接，则， ∵是等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动， ∴当，即时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为2， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 求下列各式中的x． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的意义解方程， （1）移项后两边除以4，利用平方根的定义求解即可； （2）移项后两边除以2，然后根据立方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：由， 得：， 开平方得：； 【小问2详解】 由， 得：， 开立方得：， 解得：． 20 已知：如图，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的判定等．根据题意选用正确的判定三角形全等的方法是解题的关键．由等角对等边得到，利用“”判定，再由全等三角形对应角相等即可得出结论． 【详解】证明：， ， 在和中 ， ， ． 21. 如图，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）作出向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的，点的坐标为________． （2）作出关于直线l对称的，使点C的对应点为． （3）写出直线l的函数表达式为________． 【答案】（1）图见解析， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图，待定系数法求函数解析式，熟练掌握画图是解题的关键． （1）根据题意进行平移即可； （2）根据对应点作出图形； （3）由题意得直线l是第二、四象限的角平分线，进而写出函数解析式即可． 【小问1详解】 解：图形如图所示，， 故答案为：． 【小问2详解】 解：图形如图所示 【小问3详解】 解：根据关于直线l对称的，可得直线l是第二、四象限的角平分线， ∴直线l的函数解析式为， 故答案为：． 22. 某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． （1）“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价； （2）“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本，不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元；销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？ 【答案】（1）A图书标价27元，B图书标价25元 （2）购进A图书40本，B图书160本，利润最大 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一次函数是解此题的关键． （1）设图书标价x元，图书标价y元，根据“购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购进图书a本，图书本，利润为w元．根据题意得出关于的关系式，根据一次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设图书标价x元，图书标价y元． 由题意得：， 解得， 答：图书标价27元，图书标价25元； 【小问2详解】 解：设购进图书a本，图书本，利润为w元． 则 随a的增大而减小， ， 当时，w最大值为（元），（本）， 答：购进图书40本，图书160本，利润最大． 23. 如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． （1）求证：； （2）若，，则的长为________． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再结合运用可证明，根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证明结论； （2）证明得到，由可得， 再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：∵C是的角平分线上一点，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：4． 24 如图直线过点、点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． （1）求直线的解析式并直接写出点的坐标； （2）求的面积； （3）若当时，关于的不等式恒成立，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求两直线的交点坐标，解一元一次不等式组，根据不等式的解集情况求参数，熟知相关知识是解题的关键． （1）设出直线的解析式，再利用待定系数法可求出直线的解析式；再联立两直线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点C坐标，进而得到的长，再根据列式求解即可； （3）先解不等式得到，根据当时，关于的不等式恒成立，得到，且，则，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 解；设直线的解析式为， ∵直线过点、点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得， ∴； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵当时，关于的不等式恒成立， ∴，且， ∴， 解得． 25. 已知、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从地出发驶往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程（千米）与该日下午时间（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）直接写出：甲出发__________小时后，乙才开始出发；乙的速度为__________千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为__________千米/时． （2）求甲出发几小时后与乙在途中相遇？ （3）若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为千米．若乙到达地后休息半小时原路返回地，求甲乙两人能够通讯的最大时长． 【答案】（1）；； （2）甲出发小时后与乙在途中相遇 （3）甲乙两人能够通讯的最大时长为小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解此题的关键． （1）观察图象并根据速度路程时间计算即可得解； （2）求出段的函数关系式为，段对应的函数关系式为，结合当二人相遇时，得，计算即可得解； （3）将二人之间的距离不超过千米的时间段加起来即可． 【小问1详解】 解：由图可得：甲出发小时后，乙才开始出发； 乙的速度为千米/时； 甲骑自行车在全程的平均速度为千米/时； 【小问2详解】 解：设段的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得， 段的函数关系式为， 同理可得：段对应的函数关系式为， 当二人相遇时，得， 解得， （小时）， 故甲出发小时后与乙在途中相遇； 【小问3详解】 解：乙到达地后休息半小时原路返回地的图象（对应线段），如图所示： ， 二人第一次相遇前，相距千米时，得， 解得； 二人第一次相遇后至乙到达地前，相距千米时，得， 解得：； 由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米，（小时）， 当时，乙休息结束，乙开始返回地， 当时，乙返回地， 乙返回地过程中离地距离为（千米），这个过程中当二人之间的距离不超过千米时，得， 解得：， 由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米， （小时）， （小时）， 故甲乙两人能够通讯的最大时长为小时． 26. （1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末练习卷 八年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上） 1. 的平方根是（ ） A B. C. D. 2. 估计的值应在（ ）． A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，添加下列条件不一定得到的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A 1，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 2，3，4 D. 7，24，25 6. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算（ ） A. B. C. D. 7. 直线y＝﹣2x+b上有三个点（﹣2.4，），（﹣1.5，），（1.3， ），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：________． 10. 将近似数精确到得到______． 11. 比较大小：_____．（填“”、“”或“”） 12. 已知点在一次函数的图象上，则代数式的值为________． 13. 已知为等腰三角形，，，若，则________． 14. 如图，一次函数与的图像相交于点，若点的纵坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为_________． 15. 如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，是对角线上的动点，当时，________． 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转，则点A的对应点的坐标为________． 17. 已知一次函数（，为常数）自变量与函数值的部分对应值如下表： 则________． 18. 如图，在等边三角形中，M和N分别是线段和上的动点，且，，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 求下列各式中的x． （1）； （2）． 20. 已知：如图，，．求证：． 21. 如图，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）作出向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的，点的坐标为________． （2）作出关于直线l对称的，使点C的对应点为． （3）写出直线l的函数表达式为________． 22. 某书店“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． （1）“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价； （2）“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本，不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元；销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？ 23. 如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． （1）求证：； （2）若，，则的长为________． 24. 如图直线过点、点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． （1）求直线的解析式并直接写出点的坐标； （2）求的面积； （3）若当时，关于不等式恒成立，直接写出的取值范围． 25. 已知、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从地出发驶往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程（千米）与该日下午时间（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）直接写出：甲出发__________小时后，乙才开始出发；乙速度为__________千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为__________千米/时． （2）求甲出发几小时后与乙在途中相遇？ （3）若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为千米．若乙到达地后休息半小时原路返回地，求甲乙两人能够通讯的最大时长． 26. （1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $