专题26 多解问题（3压轴题型14难点，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

专题26 多解问题（3压轴题型14难点，题型清单） 题型一：点在线段（直线）上的不同位置 难点01：结合矩形 难点02：结合正方形 难点03：结合三角形 难点04：结合菱形 题型二：作图或变换引起顶点位置不确定 难点05：作正方形 难点06：结合平移 难点07：结合旋转 难点08：结合折叠 题型三：特殊图形存在时顶点位置不确定 难点09：等腰三角形存在性问题 难点10：直角三角形存在性问题 难点11：菱形存在性问题 难点12：矩形形存在性问题 难点13：正方形的存在性问题 难点14：相似三角形存在性问题 题型一：点在线段（直线）上的不同位置 【中考母题溯源·学方法】 难点01：结合矩形 【例1-1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形的面积是90，对角线交于点O，点E是边的三等分点，连接，点P是的中点，，连接，则的值为______． 难点02：结合正方形 【例1-2】（2025·河南·一模）如图，在正方形中，，将线段绕点A旋转得到线段，连接，过点D作于点E，当E是线段的三等分点时，的长为__________． 难点03：结合三角形 【例1-3】（2024·新疆·中考真题）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为_____________．    难点04：结合菱形 【例1-4】（2025·河南驻马店·三模）如图，菱形中，点P为对角线上一动点，作关于的对称图形，得到，点D的对应点为点Q，射线与菱形的边交于点M．若，，则当点P为的三等分点时，的长为_________．（温馨提示：） 【中考模拟闯关·练提分】 1.（2025·上海·模拟预测）如图，中，，，．点在边上；点分别在边与上．当四边形为矩形，且其宽为长的一半时，的长为_________． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，矩形中，，点M为对角线的三等分点，连接并延长交矩形一边于点E，若，则边的长为______． 3．（2025·河南许昌·一模）如图，在中，，点D为斜边上一动点，点B关于直线的对称点为点E，连接，，当时，的值为________． 4．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，D，E两点分别在直线和直线上运动（点E不与点C重合）．若与全等，则线段的长为_____． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，等边三角形的边长为6，点D在上，，于点E，点F为的中点， 点M为边的三等分点，连接，则的长为_______． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，D是直线上一点，，直线l与直线关于直线对称，过点D作直线于点F，交直线l于点E，，则线段的长为______． 7．（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，点为斜边上一动点，点关于直线的对称点为点，连接，当时，的长为_______． 8．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，，，过点的直线，点是直线上一点，连接．若中有一个的内角，则点到直线的距离为___________． 9．（2026·陕西西安·二模）如图，点是边长为4的正方形的对称中心，点、分别是边、上的动点，且，连接、、，点是的中点，连接、，当最大时，的面积为_________． 题型二：作图或变换引起顶点位置不确定 【中考母题溯源·学方法】 难点05：作正方形 【例2-1】（2025·江西南昌·三模）如图， 在等边中，， 点D为上一点，， 点E是边上的动点，连接，以为边作正方形，当的长为整数时，正方形的面积为______． 难点06：结合平移 【例2-2】（2025·河南驻马店·二模）如图所示，在矩形中，，，将沿射线平移得，连接，，当是直角三角形时，平移的距离的长度为____． 难点07：结合旋转 【例2-3】（2025·江西·模拟预测）如图，在中，是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转角度得到点，若点落在中位线所在直线上，则点到的距离为___________． 难点08：结合折叠 【例2-4】（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为______． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 2．（2025·江苏淮安·一模）如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对角线上时，则到的距离为_______． 3．（2025·山东潍坊·二模）如图，正方形的边长为2，为边的中点，为边上的一个动点，连接、、，将沿所在直线翻折，若点的对应点恰好落在的边上，则线段的长为______． 4．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在中，，点D为的中点，点E为上一点，把沿翻折得到，若与的直角边垂直，则的长为______． 5．（2025·河南信阳·三模）如图，在中，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，连接．若为直角三角形，则的长为___________． 6．（2025·山东淄博·一模）如图，在矩形中，，点E是射线上一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，交的延长线于点M，则________． 7．（2025·河南驻马店·一模）如图，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿折叠，使得点A落在点F处，点F到的距离分别记为，若，则的长为______． 8．（2025·河南平顶山·一模）如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为___________． 9．（2025·河南新乡·三模）如图，在中，，，若点、、分别为线段、、的中点，为线段上一动点，若将沿折叠，得到点的对应点，当点刚好落在直线上时，线段的长度为___________． 10．（2025·辽宁抚顺·二模）如图，在等腰直角三角形中，，是直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点的位置随点的位置变化而变化，连接．若，，则的面积为__________． 11．（2025·江苏泰州·三模）已知，在中，，，，是直线上一点，将点绕点逆时针旋转得其对应点，当时，则长为_______． 12．（2025·江西景德镇·一模）如图，在中，，，，是边上的点，将绕点逆时针旋转，使得点落在直线上的点处．若的垂直平分线经过一边的中点，则的长为________． 13．（2025·上海·模拟预测）中，，．点D在边上，取射线上一点P，将沿直线翻折至的位置，延长交边于点F，射线交边于点E．若，且点C在边上，则线段与线段长度的比值为_________． 14．（2025·上海·二模）定义：一三角形中有两角与，若角的两倍与角的和为，则此三角形叫作准直角三角形，其中叫作二倍角．已知在准直角三角形中， ，是二倍角，且．连接中点D与中点E，将绕点B旋转，点D落在点处，点E落在直线上，则___________． 15．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知矩形中，点是的中点，连结和交于点，过作的垂线交于点，延长交于点．若，在上取一点（不与和重合），使得直线刚好经过四边形某一条边的中点，则的值为_______． 16．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知矩形中，点是的中点，连结和交于点，过作的垂线交于点，延长交于点．若，在上取一点（不与和重合），使得直线刚好经过四边形某一条边的中点，则的值为_______． 17．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】 小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】 如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 题型三：特殊图形存在时顶点位置不确定 【中考母题溯源·学方法】 难点09：等腰三角形存在性问题 【典例3-1】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，为的中点，为边上一动点，连接．过点作，交线段于点．在点的移动过程中，当为等腰三角形时，的长是________；当经过点时，的长是________． 难点10：直角三角形存在性问题 【典例3-2】（2025·河南洛阳·一模）如图，为等边三角形，，D为边上一动点，过点D作交于点E，作交于点F，连接．当为直角三角形时，线段的长为________． 难点11：菱形存在性问题 【典例3-3】（2025·青海·二模）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，直线的解析式为．将矩形沿直线折叠，点落在点处，与轴交于点．点是轴负半轴上一个动点，点在坐标平面内，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，且为该菱形的一条边，则点的坐标为___________． 难点12：矩形形存在性问题 【典例3-4】（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 难点13：正方形存在性问题 【典例3-5】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 难点14：相似三角形存在性问题 【典例3-6】（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，点D是边上的动点，过点D作，垂足为E，将沿直线折叠得到，点G，H分别是和上的点，连接，将沿直线折叠使得点B和F重合，连接，当和相似时，的长为______． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·河南郑州·二模）如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一个动点（点不与点重合），连接，把沿折叠，使点的对应点总落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则的长为______． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，，，且，当为等腰三角形时，的长为___________． 3．（2025·河南许昌·二模）如图，正方形的边长为4，点为边上的动点（不与点重合），将沿折叠，点的对应点为点，连接，若为等腰三角形，则的长为______ 4．（2025·江西宜春·三模）如图，在矩形中，，，点E为的中点，点P在下方矩形的边上，当为直角三角形，且点P为直角顶点时，的长为______． 5．（2025·陕西咸阳·三模）如图，在中，，为边上一点，以为直径的与相切于点，连接，，是上的动点，且在的左侧．当为等腰三角形时，以为边的正方形的面积为______． 6．（2025·山西长治·三模）如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，点在边上从点往点运动（点不与点，重合），将沿所在直线翻折到的位置，交或于点．当为等腰三角形时，______． 7．（2025·河南郑州·三模）已知如图，菱形的边长为6，，点E是直线上的一个动点（不与B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，在平面内存在一点G，若以点C、F、D、G为顶点的四边形也是菱形，则此时线段的长为_______． 8．（2025·江西吉安·一模）如图，平行四边形在平面直角坐标系中， ， ，．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为__________． 9．（2025·河南周口·二模）如图，在中，．D是射线上的一个动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段（E，F分别是A，B的对应点）．连接，当是以为腰的等腰三角形时，的长为______． 10．（2025·黑龙江牡丹江·二模）在矩形中，，，点为射线上一点，将沿折叠得到，连接，．若是以为腰的等腰三角形时，的长为____________． 11．（2025·江西·模拟预测）如图，在边长为8的正方形中，，G是对角线上一点， 点P是上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为________． 12．（2025·江西宜春·二模）如图，在矩形中，，点E在直线上移动，连接，将沿着翻折得到，连接．当是等腰三角形时，的度数为_______．    13．（2025·江西新余·三模）在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，斜边交于点．若是等腰三角形，则的长为______． 14．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，，，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿直线折叠，点落到点处，连接，．当为等腰三角形时，的长为_______．    15．（2025·江西吉安·二模）矩形的边，，点E是边上一点，将沿折叠得到，点D恰好落在边上点F处，如图，将线段沿着射线方向平移得到对应线段，连接，当是等腰三角形时，平移的距离为______________． 16．（2025·上海·二模）如图，中，，，．点在边上，将沿着翻折至的位置，射线交线段于点．当是等腰三角形时，的面积为_________． 17．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)求点坐标； (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2025·四川眉山·中考真题）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点，的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、． 【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系．创新小组经过探究，发现，证明过程如下：由折叠可知，．由矩形的性质，可知，．①________．．智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为②________．经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程． 【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接．当为直角三角形时，求出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题26多解问题(3压轴题型14难点，题型清单) 题型盘点·中考全景扫描 题型一：点在线段（直线）上的不同位置 题型三：特殊图形存在时顶点位置不确定 难点01：结合矩形 难点09：等腰三角形存在性问题 难点02：结合正方形 难点10：直角三角形存在性问题 难点03：结合三角形 难点11：菱形存在性问题 难点04：结合菱形 难点12：矩形形存在性问题 题型二：作图或变换引起顶点位置不确定 难点13：正方形的存在性问题 难点05：作正方形 难点14：相似三角形存在性问题 难点06：结合平移 难点07：结合旋转 难点08：结合折叠 02 题型突破·解题技巧攻坚 题型一：点在线段（直线)上的不同位置 【中考母题溯源·学方法】 难点01：结合矩形 【例1-1】(2024黑龙江牡丹江中考真题)矩形ABCD的面积是90，对角线AC,BD交于点O,点E是BC 边的三等分点，连接DE,点P是DE的中点，OP=3,连接CP,则PC+PE的值为 【答案】13或√109 【详解】解：当CE>BE时，如图， E :矩形ABCD, 点O是BD的中点， :点P是DE的中点， .BE =20P=6,CP=PE PD, :点E是BC边的三等分点， CE=2BE=12,BC=3BE=18, 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :矩形ABCD的面积是90， .BC×CD=90, CD=5, DE=V52+122=13, .PC+PE DE =13 当CE<BE时，如图， 0 :矩形ABCD, 点O是BD的中点， :点P是DE的中点， ∴BE=2OP=6,CP=PE=PD, :点E是BC边的三等分点， CEBE=3,BC=3+639 :矩形ABCD的面积是90， .BCx CD=90, CD=10, DE=V32+102=V109, .PC+PE=DE=109; 故答案为：13或√109. 难点02：结合正方形 【例1-2】（2025河南一模)如图，在正方形ABCD中，AB=4,将线段AB绕点A旋转得到线段AF,连 接BF,过点D作DE⊥BF于点E,当E是线段BF的三等分点时，DE的长为 2 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】80或4Wid 5 5 【详解】解：如图，连接DF,DB. :在正方形ABCD中，AB=4, .AD=AB=4,∠BAD=90°， BD=AD2+AB2=42, 当E是BF的三等分点时，分以下两种情况讨论： O如图1，当BE=BF时， 设∠ABF=a, 根据旋转可得AB=AF, :ZAFB=ZABF a, ∠FAB=180°-2a, .∠FAD=360°-90°-(180°-2a=90°+2a. AF AD, ∠ADF=∠AD=180°-90+2a=45-a, LEFD=45°-a+a=45°， aDEF为等腰直角三角形， :DE EF 设BE=x,则EF=ED=2x, 在RtaBED中，BE2+ED'=BD2,即x2+(2x=(4V2, 解得：x= 4V10 5 3 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE=&0 A D E ---- 图1 图2 ②如图2，当EF=BF时， 3 设∠ABF=a, 根据旋转可得AB=AF, :LAFB=∠ABF=a, ∠FAB=180°-2a, ∴∠FAD=180°-2-90°=90°-2a. :AF=AD, LADF=∠AFD=45°+a, ∠EFD=45°+Q-a=45°， △DEF为等腰直角三角形， :DE EF. 设EF=ED=y,则BE=2y, 在RtaBED中，BE2+ED2=BD2, 即y2+(22=(42, 解得：y=410 则DE=4vi0 5 综上所述，DE的长为8i0或40 5 5 故答案为： 8vi0或4i0 5 5 难点03：结合三角形 4 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例1-3】(2024新疆.中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8.若点D在直线AB上 (不与点A,B重合)，且∠BCD=30°，则AD的长为 ca 【答案】6或12 【详解】解：：∠C=90°，∠A=30°，AB=8, 1 ∠B=60，BC=2AB=4, ①点D在线段AB时， D ∠BCD=30°，∠B=60°， .∠BDC=90°， :BD-BC-2 :AD AB-BD=6; ②点D在线段AB延长线上时， D B C A :∠BCD=30°，∠ABC=60°， ∴.∠D=∠ABC-∠BCD=30°=∠BCD, ·BC=BD=4, .AD=AB+BD=12; ③点D在线段BA延长线上时， 5 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 此时∠BCD>LACB,即∠BCD>90°，故不符合题意，舍去， 综上，AD的长为6或12 难点04：结合菱形 【例1-4】(2025河南驻马店.三模)如图，菱形ABCD中，点P为对角线BD上一动点，作△ADP关于AP的 对称图形，得到△AQP,点D的对应点为点Q,射线PO与菱形ABCD的边交于点M.若AB=5,BD=6, 则当点P为BD的三等分点时，PM的长为 (温馨提示：382=1444) D B 【答案】 【详解】解：如图，连接AC,交BD于点O, 四边形ABCD为菱形， :.0D=OB=BD=3,LA0D=∠A0B=90°， A0=VAB2-0B2=V52-32=4, 分两种情况：①当DP=PB=2时，0P=0D-DP=1, 如图，连接AQ,AP,AQ与BD交于点N, D 由对称性可知，DP=PQ=2,∠AQP=LADB=LABD,LPNQ=LANB, .△PNQ∽△ANB, 6 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AN AB 5 PN PO2 设PW=2x,则AN=5x, :.ON NP-OP =2x-1, 在RtA AN0中，AW2=AO2+ON2, 即(5x)2=42+(2x-1)2, 17 解得：=-1（舍去)，为= 1 PW=34 1 :LPQA=∠DBC=LADB,∠NPQ=LMPN, ·△PNQ∽△PMB, PM PN PB PO' PM=PN·PB68 P021 ②当DP=2DB=4时，连接A0,4P, 由对称性可知，AQ=AD=5,PQ=DP=4,LADP=LAQP=LABD,∠APD=∠APM, 过点A作AN⊥PQ于点N,如图， D 0 C ZAOM ZPBM ZAMO=ZBMP, :△AMQ∽△PMB, PMBP 2 AM AO3 设EF=2x,则AF=5x, 在△AP0和△ANP中， [∠APO=∠APN ∠AOP=∠ANP=90°， AP=AP :△APO≌△APN(AAS), 7 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :.OP=PN =1, NM=2x-1,AN=A0=4, 在Rt△ANM中，AM2=AN2+NM2, 即(5x)2=42+(2x-1)2, 解得：x=1（舍)，为=2 17 34 ∴.PM=2x= 21 综上，PM的长为或· 68或34 故答案为： 68或4 2121 【中考模拟闯关·练提分】 1.(2025上海.模拟预测)如图，ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=8.点D,E在边AB上；点 F,G分别在边BC与AC上.当四边形DEFG为矩形，且其宽为长的一半时，DE的长为 G D E 【答案】 分线340 60 49 【详解】解：：∠ACB=90°，BC=6,AC=8, AB=VAC2+BC2=V82+6=10, :四边形DEFG为矩形， .DG=EF,DE=FG,∠GDE=∠DEF=90°， LADG=LBEF=90°， ∠ACB=∠ADG=∠BEF=90°， ∠A=∠A, △ADGn△ACB, ADAC84 DG BC 63 AD-4DG, 3 同理AFEB∽aACB, 8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BE BC 6 3 EFAC84' .BE-3EF. 4 当DE为矩形的宽时，DG=EF=2DE, AD-x2DE-DE.BE-3x2DE-DE. 3 4 2 AB AD DE BE, 0E+nE+0E=10, .DE=6 31 当DE为矩形的长时，DG=EF=DE, Γ2 8AD=古×pB2DE,BE3DE3hDE 42 2DE+DE+2DE=10, 3 8 ·DE=240 49 综上，DE的张为 60或240 49 60 240 故答案为： 一或 3149 2.(2025黑龙江哈尔滨.二模)己知，矩形ABCD中，AD=6,点M为对角线BD的三等分点，连接AM并 延长交矩形一边于点E,若DE+CD=9,则边CD的长为 【答案】4或6 【详解】解：当BM=兮D时，如图。 D DM=BD-IBD-28D. 3 3 E DM=2, BM 在矩形ABCD中，AD=BC=6,AD∥BC,∠C=90°， △ADM∽△EBM, AD_DM=2. BE BM 9 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 六g0=, .CE=DC-BE=3, 设CD=x,则DE=9-x, DE2=CE2+CD2, (9-x)2=32+x2, 解得x=4, 即CD=4, 当BM=2BD时，如图， D EDM=BD 2BD= BD, 3 B BM D2, 在矩形ABCD中，AB=CD,AB∥CD, △ABM∽△EDM, BM_AB=2, DEDE DE-24B-CD. 2 DE+CD-CD+C ∴CD=6; 综上可知，CD的长为4或6. 故答案为：4或6 3.(2025河南许昌.一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，点D为斜边AB上一动点，点B关于直线 CD的对称点为点E,连接AE,CE,当AE=CE时， AD的值为。 A 10