专题6.7 正余弦定理及其应用导学案-2025-2026学年高一数学同步知识填空与考点专练（人教A版必修第二册）

该高中数学导学案以“正余弦定理及其应用”为核心，通过知识填空夯实基础，设计“定理辨析-运算应用-边角转化-面积计算-最值范围-实际应用”递进式考点专练，辅以解答题与达标检测，构建从概念理解到综合应用的完整学习路径。 亮点在于“实际问题解决”设计，如“测量湖泊两侧距离”“台风影响时段计算”等任务，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过三角形形状判断、最值证明等问题发展数学思维，规范解答题步骤培养数学语言表达，自检自纠与变式训练助力巩固提升，为教师单元复习提供系统教学支持。

专题6.7 正余弦定理及其应用 高中数学导学案 专题6.7 正余弦定理及其应用 一、知识填空 1.余弦定理： 三角形中任何一边的 ，等于其他两边 减去这两边与它们夹角的余弦的 . 2.余弦定理公式： （1）在中，角所对的边为，则. （2）公式变形： 3.正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等. 4.正弦定理公式： （1）在中，角所对的边为，则.(为外接圆半径) （2）公式变形：；； 5.任意三角形面积公式： 在中，角所对的边为，则 (1) （其中为外接圆半径，为内切圆半径） (2) (表示边上的高，表示边上的高，表示边上的高). (3)，即海伦公式，其中，为△ABC的半周长. 自检自纠： 1. 平方 平方的和 积的两倍 2.（1） （2） 3. 正弦 4. （1），（2） 5.（1） 二、考点专练 地 城 考点01 余弦定理辨析及运算 【经典例题】 1．设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据余弦定理可知，.故选：B 2．记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，因为，所以.故选：B. 3．在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】根据余弦定理得.由于，所以.故选：D. 4．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【详解】因为，，，由余弦定理可得，即， 可得，解得或．故选：A. 5．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】由余弦定理得，所以.故选：D 6．在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 【答案】 【详解】因为的角平分线交于D，所以，设，又因为，所以， 又因为，设，则，解得，在中，由余弦定理可得.故答案为：. 【变式训练】 1．在△ABC中，若，，，则_________． 【答案】 【详解】因为，，，由余弦定理可知，，化简可得，解得.故答案为： 2．在中，若，，，则____________． 【答案】 【详解】因为，，，所以，故， 所以由余弦定理得.故答案为： 3．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【详解】，. 故选:B 4．在中，，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且最大边长和最小边长分别是方程的两个实根，则第三边的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题可知最大边长与最小边长不相等，故最大角大于，最小角小于，∴第三边即为a，且，，，.故选：C． 5．在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图：因为平分，所以，又，所以.在中，根据余弦定理，可得，在中，根据余弦定理，，所以. 6．在中，若，则A=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可整理为，所以，又，所以.故选：B. 7．内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 【答案】B 【详解】，又，， 得 ，，，，当且仅当时等号成立，又，，，为钝角，，，，，，即，，，解得：，，，． 8．在中，、、分别是、、的对边，且.则________. 【答案】 【详解】，由，得，即.将代入分子，得，分子与分母相等，故.故答案为：. 【巩固练习】 1．（多选）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】A.由，可以得出，所以，故A正确； B.由，得，得，故B错误； C.假设，则，，， ，即，与矛盾，,故C正确； D.取，满足，此时,故D错误． 故选：AC 2．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，则___________． 【答案】 【详解】已知，由余弦定理得，解得. 故答案为：. 3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的值为_____________. 【答案】3 【详解】，即，解得.故答案为：3 4．在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为______． 【答案】/ 【详解】因为，所以由余弦定理可得.故答案为： 6．已知的面积，角的平分线交于，，，则________． 【答案】1 【详解】依题知，则有，由角平分线定理可知：，所以，所以，在中，，所以，在中，由余弦定理可得：,即，解得．故答案为：1 【经典例题】地 城 考点02 正弦定理辨析及运算 1．在△ABC中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理得,故选：A. 2．已知△ABC外接圆的半径为1，则sin A∶BC=（ ） A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．无法确定 【答案】C 【详解】由正弦定理，得=2R=2，所以sin A∶BC=1∶2.故选：C. 3．若在中，“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【详解】在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理得. 若，则由正弦定理得，根据大边对大角可知，所以“”是“”的充要条件．故选：C． 4．在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】因为，，，由正弦定理得，得， 所以或，经检验，均满足题意．当时，由三角形的内角和定理得；当时，由三角形的内角和定理得．因此或．故选：B. 5．在中，，则边长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，又，由正弦定理得，故，解得：.故选：C 6．如图所示，在河岸上测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可求出，由，可利用正弦定理求出，故选D． 7．在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，所以，所以．故选：D. 8．（多选）下列说法中正确的有（    ） A．在中， B．在中，若，则 C．在中，若，则；若，则 D．在中， 【答案】ACD 【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理得． 对于A，，正确； 对于B，由二倍角公式得，则，即，整理得，即， 则或，所以或，错误； 对于C，（大边对大角），正确； 对于D，，正确． 故选：ACD. 【变式训练】 1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理可得，对比选项可知只有B正确．故选：B． 2．（多选）在中，下列关系中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】在中，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以，所以AC错误，BD正确，故选：BD 3．（多选）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c， 则下列说法正确的有（    ） A．A:B:C= a :b :c B． C．若A>B， 则a>b D． 【答案】BCD 【详解】在三角形中，大角对大边，所以C选项正确.三角形的内角和为，所以D选项正确.由正弦定理得，所以A选项错误.设，则，B选项正确.故选：BCD 4．在中，“”是“”的（    ）． A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】由得，，，在中，所以，由正弦定理得，由大边对大角的结论知．所以为充要条件．故选：A 5．记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理，得：，，所以 ，再利用正弦定理：，代入已知值：，整理得：.故选：A 6．在中，已知，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设，则，由正弦定理得，，解得， 因为，所以，则或，故选：C． 7．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 【答案】B 【详解】，，，，，，，或，当时，，，不符合三角形内角和定理，故舍去， 则只有一个解，故此三角形只有一个解.故选：B. 8．在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 【答案】B 【分析】应用正弦定理判断满足条件的三角形个数即可. 【详解】．满足条件的三角形有2个．故选：B. 9．的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设边长分别为3，2的两边夹角为，另一条边为，则由余弦定理得， ，．由，得．．故选：B. 【巩固练习】 1．（多选）在中，下列关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由正弦定理，得，又，，B正确；A错误；C错误； 由，得，D正确．故选：BD. 2．（多选）在中，下列式于与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由正弦定理可得，设，则， 故满足条件为AC选项.故选：AC. 3．在中，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】因为，由正弦定理，得，因为，所以，因为，所以或.故选：D. 4．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可得，则、， 则.故选：C. 5．在中，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由正弦定理得，即，解得，又为三角形内角，所以或，又因为，所以，又，所以．故选：A． 6．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误; 对于B：因为，所以，且，所以,所以或，故有两解，故B错误；对于C：因为，所以无解，故C错误；对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确.故选：D 7．在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】对于A，若，，，由正弦定理可得，得，得，再根据，可得，得可能是锐角也可能是钝角，即角有个值，故有两解；对于B，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，只能是锐角，故有一个解； 对于C，若，，，由正弦定理可得，得，得， 再根据，则只能是锐角，故有一解；对于D，若，，，则由正弦定理可得，得，求得，故无解，得不存在.故选：A． 【经典例题】地 城 考点03 边角转化解三角形 1．在非等边三角形中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若A为钝角，则，即，所以．故选：D． 2．已知中，，则角A等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由中，可得 ,由于 ,故 ,故选：A 3．在中，角的对边分别是，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，则，又，.故选：B. 4．在中，若，则的形状一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，故，整理得到， 故，故或，即或，故的形状为等腰或直角三角形，故选：D. 5．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【详解】根据余弦定理知， ，所以，则,故三角形为直角三角形，故选： 6．记的内角的对边分别为，已知，则的周长（    ） A．9 B．14 C．19 D．24 【答案】B 【详解】由正弦定理可得：又因为，所以由余弦定理可得：，所以，又因为解得：所以的周长为.故选：B. 7．中，，，的对边分别是，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由正弦定理得. 故选：D 【变式训练】 1．在中，内角的对边分别为，若，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，两边同时乘以得：，由余弦定理可得，则，所以有，又，所以，又因为，所以.故选：A 2．在中，已知，则角A等于（    ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】C 【详解】因为，整理得，由余弦定理可得，且，所以.故选：C. 3．记的内角，，的对边分别为，，，若，则________． 【答案】 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 因为，所以.故答案为： 4．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为_____________． 【答案】2 【详解】由余弦定理，得.因为，所以，化简得.由正弦定理，得．故答案为：2. 5．在中，若，则该三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】A 【详解】因为，所以由余弦定理得，所以，所以， 因为，所以，所以为等腰三角形，故选：A 6．在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】由，即，整理得：，得或，所以为等腰或直角三角形.故选：D 7．在中，已知，则的形状为________． 【答案】等腰或直角三角形 【详解】由正弦定理及余弦定理可得： ， 即有，化简得， 故或，则为等腰或直角三角形.故答案为：等腰或直角三角形. 8．在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】因为向量，共线，则，由正弦定理可得：，则，因为，则，可知，，，均不为，可得，则，即；同理由向量，共线可得：；综上所述：.所以的形状为等边三角形.故选：A 【巩固练习】 1．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________. 【答案】 【详解】由a2－b2－c2＝bc可得： ，即cosA=，所以.故答案为： . 2．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若边上的高为4，则的面积为______. 【答案】12 【详解】设边上的高为，则， 由题意， 故则的面积为.故答案为：12. 3．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则边______. 【答案】 【详解】因，由余弦定理，，化简得，因，，故.故答案为：. 4．在中，内角的对边分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得：，，，，即， ，又，.故选：B. 5．记的内角的对边分别为，若，则____. 【答案】 【详解】由余弦定理得，又， 所以，即； 由正弦定理，得，所以， 即，即； 因为，所以①，当且仅当时取等号； 又，所以，所以②， 当，即时，等号成立；由①②知，即，此时； 所以.故答案为：. 6．在中，角对边为，且，则的形状为（        ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】因为，所以，即，所以， 在中，由余弦定理：，代入得，，即， 所以.所以直角三角形.故选：B 7．若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【详解】利用二倍角公式将已知等式化为，即，由正弦定理得，即，所以，所以是直角三角形. 故选：A. 8．在中，若，则是（ ）． A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】B 【详解】由正弦定理，即，，因为，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形.故选：B 【经典例题】地 城 考点04 三角形面积问题 1．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】由，，，由余弦定理得，又因为，所以，所以.故选：A 2．在中，为边上的中点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为.故选：D 3．已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由的面积为，得，则，解得，又，所以或.故选：C 4．的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设，，的外接圆的半径为，则，．，，,，．故选：C. 【变式训练】 1．在中，，D为的中点，，，则的面积_____________． 【答案】 【详解】因为，，，所以.又D是的中点，所以．故答案为：. 2．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题设有，故，故，，故，故三角形外接圆的半径为，故选：B. 3．在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由，得，因为，，所以.由余弦定理得，解得，所以.故选：C. 4．已知的三个内角所对的边分别为的面积为，角的平分线交边于点，且，则为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】因为，且角的平分线交边于点，所以，即，又，所以，即，由余弦定理得，所以，即.故选：C. 5．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 【答案】B 【详解】在中，由射影定理及得：，解得， 而，则，由余弦定理及得：， 而，因此，，即，又，则，所以.故选：B 6．在中，内角的对边分别为，已知，，则的面积为_____. 【答案】 【详解】由，根据正弦定理得：， 因为， 所以，即， 因为，所以，所以，即，又，所以， 由，结合余弦定理， 可得，又，所以， 因为，’所以， 由正弦定理，可得， 因为， 所以， 所以三角形的面积为.故答案为：． 【巩固练习】 1．在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理得，所以，因为，所以，又，所以，为，所以，所以，所以的面积.故选：B 2．已知的面积为，则边的长度为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，可得， 所以，故选:D． 3．在中，三个内角所对的边分别为，为的面积，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，由余弦定理：，两式相加得：，其中，因为，，又，所以，于是，所以，故选：A. 4．在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为. 所以， 所以 所以.由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为4，所以① 由余弦定理可得：, 所以：②，①②可得：，即. 所以.故选：C 5．（多选）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．中的面积为 【答案】BC 【详解】由，得，由，得为锐角且，，若，则，与矛盾，故，故A错误； 时，，因为，所以，故B正确；由正弦定理，即，得，即，故C正确； 所以的面积为，D错误．故选：BC． 【经典例题】地 城 考点05 解三角形中的最值与范围问题 1．在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，即，则，同理，即，则，又，综上，，故选：C 2．在中，内角所对的边分别为，且 则的取值范围为_______. 【答案】 【详解】由，所以，由正弦定理，得，有，又，故；，因为，所以，则， 所以，即.故答案为： 3．中，，则最大值______． 【答案】 【详解】设，，，由余弦定理：，所以，设，则，代入上式得，方程有解，所以，故，当时，此时，，符合题意，因此最大值为.故答案为：. 4．在中，内角的对边分别为，且，则的最大值为_____. 【答案】/ 【详解】因为的面积为，可得，由余弦定理得，所以， 又，则，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为： 5．在锐角中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，又 ， 所以.又，所以， 又，所以，所以.因为是锐角三角形，所以，所以，即.又是锐角三角形，所以，所以，则， 所以．又在上单调递减，所以，所以．故选：B. 6．在中，角所对的边分别为是的中点，若，且，则当面积取最大值时，的周长为__________． 【答案】 【详解】如图，设，则．在和中，分别由余弦定理可得，，又，所以，所以，① 由及正弦定理得，整理得，② 由余弦定理的推论可得，所以．所以面积为，所以求面积取最大值即的最大值.把①代入②整理得， 又，当且仅当时等号成立，所以，所以，即时等号成立．此时，即，所以当取最大值时的周长为． 故答案为： 【变式训练】 1．在钝角三角形ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a=1，b=3，则最大边c的取值范围是_____. 【答案】 【详解】依题意，即，因为三角形是钝角三角形，边最大，则角最大，所以，即，即，所以的取值范围是.故答案为： 2．在中，三边a，b，c互不相等，且a为最长边，若，则A的取值范围是______. 【答案】 【详解】∵，∴，则，∴，又∵a为最长边，∴. 所以A的取值范围是.故答案为： 3．在外接圆半径为的中，、、分别为角、、的对边，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理得，∴，∴，又，则，，又∵外接圆半径为，则，故，， ∵，∴，，即的最大值是.故选：B. 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（    ） A．12 B．24 C．27 D．36 【答案】A 【详解】因为，所以，即， 所以，又因，所以，由，得， 所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：A. 5．在中，，为中点，，则面积的最大值为______ 【答案】2 【详解】设，由于，所以， 故，所以 ，故当即时，此时取最大值4，故面积的最大值为2. 6．在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 . 【答案】 【详解】中，，，所以，所以， 根据正弦定理，，即，因为，所以，由为三角形内角可知，，根据正弦定理，，所以，其中，，当时取得最大值，所以的最大值为.故答案为： 7．在中，内角的对边分别为，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 所以，由余弦定理得， 当且仅当，即时，等号成立，所以，所以当时，取得最大值，此时，所以的最大值是．故选：D． 8．已知等腰中，，点D满足，且，则BD的最小值为______. 【答案】 【详解】取中点，连接，因为，所以，因为，所以，又，故，且，所以≌，设，则，，， 如图，要使最小，应在同侧，故，在中，由余弦定理知， 其中，于是，当且仅当，即时，取得最小值.故答案为： 9．在平面凸四边形中，，则的最大值为_____. 【答案】 【详解】令，则， 令，又为平面凸四边形，则，且，在中， 由，则， 所以，故当时，最大，则最大.故答案为：   10．在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在锐角，由余弦定理可知，由面积公式可得，代入到已知条件可得，因为，化简可得，根据恒等变换可得，因为锐角，所以，所以可得，所以，则 ，因为锐角，所以，则，在单调递增，则，令，所以，所以，由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增，当时，是极小值，当或时，最大值，则. 故选：C 【巩固练习】 1．在中，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，,所以.由余弦定理可得,当且仅当时等号成立,因为，所以.故选:A. 2．在锐角中，角的对边分别为，若，，则a的取值范围是______. 【答案】 【详解】设外接圆的半径为R，则， 即.因为，所以，由正弦定理得，由二倍角公式得，则.由和差化积公式得，即.又因为为锐角三角形，所以，，所以，所以或（舍去），即，，由正弦定理得，即.由题意得，解得，，解得，又，所以，所以，则a的取值范围是.故答案为：. 3．在锐角三角形中，，则边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由可得: ,所以，又因为，所以，所以，， 又因为三角形为锐角三角形，所以，所以，在中，由正弦定理可得：，即，故有， 因为，所以，所以，所以，又因为边上的高，所以.故选：D. 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得b2＋c2－bc＝3，即，解得：，，当且仅当时取等号，又，因此b＋c的取值范围是.故选：B 5．在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】如图所示，因为，所以，在Rt△ABD中，，即，因为，由，即，所以，所以， 因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8.故选：C 6．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若且，则的周长的最大值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【详解】由已知及正弦定理得， ∴， 所以，因为， 所以，即，因为，所以，从而， 由余弦定理得，即，又， ∴，即，∴，当且仅当时等号成立，从而， ∴的周长的最大值为15.故选：A. 7．在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（    ） A．7 B． C． D．4 【答案】C 【详解】由题可得，，即， 又，所以，则， 因为，所以，则，所以，即， 又因为，，所以，整理得，所以，解得或（舍去），所以，当且仅当时，等号成立，则， 故周长的最小值为.故选：C.. 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB的中点，且，，则（    ）． A． B．面积的取值范围为 C．周长的取值范围为 D．CD长度的取值范围为 【答案】BCD 【详解】由正弦定理可得，整理得，所以，又，所以．故A错误，对于B,由可得，当且仅当时取等号，所以,故面积的取值范围为，B正确， 对于C，由得，当且仅当时取等号，由于故周长的范围，故C正确，对于D， 由于，所以，由于，所以，故D正确，故选：BCD 9．在中， 内角的对边分别为，且满足，则的取值范围____________ 【答案】 【详解】，由正弦定理得：，由余弦定理得：，因为，所以，由正弦定理得：，因为， 所以，故当，即时，取得最大值，最大值为， 且，综上：的取值范围是.故答案为：. 地 城 考点06 解三角形的实际应用 【经典例题】 1．若点在点的北偏东方向上，则点在点的（    ） A．东偏北方向上 B．北偏东方向上 C．南偏西方向上 D．西偏南方向上 【答案】C 【详解】因为点在点的北偏东方向上，如图所示，点在点的南偏西方向上． ，选项C符合题意.故选：C. 2．气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，由余弦定理，得，于是， 解得或，所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00.故选：B. 3．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 【答案】B 【详解】由题意可知，∵，∴，从而可知灯塔在灯塔的北偏西．故选：B 4．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】对于①，利用内角和定理先求出，再利用正弦定理解出；对于②，直接利用余弦定理即可解出；对于③，先利用内角和定理求出，再利用正弦定理解出，故A正确.故选：A. 5．某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，，所以． 因为，在中，．故选：D 【变式训练】 1．某次测量中，点A在点B的北偏东，则点B在点A的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 【答案】D 【详解】由题意，点A在点B的北偏东55°方向，即从点B看，点A位于正北方向顺时针旋转55°． 那么从点A看，点B位于正南方向顺时针旋转55°，即南偏西55°．故选：D． 2．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【详解】如图， 由题意，在中，，，，则为正三角形，则， 在中，因为，，，所以，故，此时灯塔C位于渔船的北偏东方向.故选：D. 3．海上某货轮在处看灯塔，在货轮的南偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由处向正南航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（   ） A．海里 B．40海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【详解】如图，依题意．在中，，，．在中，，所以，故选：C 4．如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】由，得，而，， 由余弦定理得（米）.故选：C 5．某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（   ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 【答案】C 【详解】设这座塔的高度为米，因为从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，在中，，米；在中，，米，在中，，米，由余弦定理得：，即，整理得，即，解得或（舍），所以，这座塔的高度为米. 故选：C 6．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，在中，由正弦定理可得：，解得：，在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以；故选：C 【巩固练习】 1．一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【答案】C 【详解】因为，且..在中，由余弦定理得，即. 所以； 故选：C. 2．位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，由题意可得．在中，由余弦定理可得 海里， 故甲船至少需要航行的海里数为．故选：C.   3．如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【详解】如图，过点A作于点，由题可知，，，，在中，，在中，，在中，，因为，所以．故选：B 4．某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，则.所以，即为等腰三角形.所以.根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形.所以.故选：D. 5．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设树的高度为，由已知，得，在中，. 化简得，解得.所以树的高度为m.故选C. 地 城 考点05 解答题 【经典例题】 1．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 【详解】（1）由，得． 因为， 所以转化为， 所以． 因为，所以．因为，所以． （2）由正弦定理，得．所以或． ①当时，由，得，所以；②当时，由，得， 所以． 综上可得或2． 2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，的面积为，求的周长． 【详解】（1）由已知及正弦定理得，即． 故，又，所以，所以，所以． （2）由已知，又，所以， 由已知及余弦定理得，故，所以， 所以的周长为， 3．在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，求的面积. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，, 故，即，解得， 又，所以； （2）由（1）知，所以， 即，， 所以， 所以或， 又，所以，，或， 所以的面积. 4．记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【详解】（1）解：由，可得，所以， 即，所以， 又由余弦定理得，可得，所以，所以是直角三角形 （2）由（1）知，是直角三角形，且，可得， 所以周长为， 因为，可得， 所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为. 5．在中，A，B为锐角，C为钝角，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)求的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以， 从而，即， 因为，所以，所以，即； （2）因为，， 所以， 因为，C是钝角，B为锐角，所以，即，解得， 所以，于是，从而， 因此的取值范围是 6．在锐角中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【详解】（1） 整理得，故，又，所以； （2）由锐角知，得， 故 ， 因为，得， 所以. 【变式训练】 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)若，，是的中点，求. 【详解】（1）根据余弦定理可得，， 即，，所以； （2）由（1）可知，，所以， 因为是边的中点,所以, 所以. 2．在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角； (2)若，且的面积为，求的周长. 【详解】（1）由正弦定理知， 在中，， 所以. 又，，可得，所以. （2）由题意可知的面积. 因为，所以. 由余弦定理， 可得，即， 所以，所以，故的周长为12. 3．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足. (1)求A的大小； (2)若，，求的周长. 【详解】（1）因为向量，且满足， 所以，所以， 又，所以； （2）在中，由余弦定理及，得， ，所以，所以，所以， 所以的周长为. 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. (1)求角A的大小； (2)若，，求的值． 【详解】（1）因为 所以由正弦定理，得， ，，，． （2）由余弦定理，得， 因为，得，故． 5．在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求； (2)求的面积． 【详解】（1）由，得， 因为，所以， 所以，则， 因为，所以， 由正弦定理，，因为，则； （2）因为，所以， 则. 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)若，求A； (2)若，求证：. 【详解】（1）因为，所以由余弦定理得， 所以，得， 因为，所以，得， 所以由余弦定理得， 因为，所以； （2）证明：因为，所以， 化简整理得， ，解得或（舍去）， 所以由余弦定理得，所以， 因为，所以由余弦定理得， 整理得，所以， 所以，得，所以. 7．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若点在上，平分，，，求的长； (3)若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围. 【详解】（1）依题意，得，根据正弦定理得， 因为，所以，则，即， 即，所以． 又，则，所以； （2）在中，根据余弦定理，得， 即，解得或（舍去）， 依题意，，即， 化简得，则，所以； （3）依题意，的面积，所以． 又为锐角三角形，且，则，所以． 又，则，所以． 由正弦定理，得， 所以， 所以，即， 所以a的取值范围为． 8．在中，角，，的对边分别为，，，且满足，． (1)求周长的取值范围； (2)求面积的最大值． 【详解】（1）由余弦定理得，即． 又，所以， 当且仅当时，等号成立，所以，所以． 即．所以，当且仅当时，等号成立． 即周长的取值范围为． （2）由余弦定理，得， 又，所以，即， 当且仅当时，等号成立，所以， 即面积的最大值为． 【巩固练习】 1．已知 的三内角 A , B , C 所对的边分别为， 且 (1)求角C﹔ (2)若，,求的值； 【详解】（1）由得, 因为, 所以,因为,所以, 因为,所以. （2）由余弦定理得， 所以， 因为，所以，所以，解得. 2．在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【详解】（1）由正弦定理可知，而，所以， 又因为，于是或； （2）当时，因为的面积为， 所以， 又因为， 所以 ，所以的周长为， 当时，因为的面积为，所以， 又因为， 所以 ， 又因为，所以此时不构成三角形， 综上所述：的周长为. 3．在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 【详解】（1）由以及正弦定理得，， 所以 因为，所以，所以； （2）因为，且是锐角，所以， 由余弦定理可得， 则， 因为，所以，得， 故的面积为. 4．在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 【详解】（1）因为，由余弦定理得， 即，解得，所以， 又，所以. （2）将，代入得， 因为点是线段BC上靠近点的三等分点，所以， 在中，， 所以. 5．在中，， (1)求A； (2)若，求周长的最大值． （参考公式：，） 【详解】（1）由正弦定理和已知条件得 ① 由余弦定理得 ② 由①，②得，因为，所以． （2）由正弦定理及（1）得，从而， ， 故． 又，所以当时，周长取得最大值． 6．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以． （2）由正弦定理可得（为外接圆的半径），所以， 因为，则，， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，， 故周长范围为． 7．在中，分别为内角的对边，且. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【详解】（1）由余弦定理可得：， 有，即， 由，得，即. （2）由，有， ∴，得， . ， 由，有，则有，可得. 所以的取值范围为. 三、达标检测 《正余弦定理及其应用》小题检测 （限时40分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中利用余弦定理得，.故选：C 2．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A．30° B．45° C．150° D．30°或150° 【答案】A 【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，所以或150°．因为，所以，所以．故选：A 3．在中，，，，此三角形解的情况为（    ） A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定 【答案】B 【详解】由正弦定理，可得，则，因为，则，所以有两个解，故选：B. 4．在中，角的对边分别为，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A选项，因为，设，，，故A错误； 对于B选项，因为在上单调递减，，所以，故B错误； 对于C选项，，由正弦定理得，即，即，所以或，所以或，故C错误； 对于D选项，若，则，，由正弦定理得，因为，所以，故，即， 同理可得，故，所以，故D正确； 故选：D. 5．已知的面积为S，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则     A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】的面积中，.由，，可得.化简得，即.所以，解得（舍）或.所以.所以.故选：A. 6．在△ABC中，角A、角C、角C所对的边为a、b、c，若，则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个内角是30°的直角三角形 D．有一个内角是30°的等腰三角形 【答案】B 【详解】解：∵＝，∴，又∵由正弦定理，可得sinB＝cosB，sinC＝cosC，即tanB＝tanC＝1，∵A，B，C为三角形内角，∴B＝C＝45°，A＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形.故选：B. 7．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东的方向，此船的航速是（    ） A．8(＋)海里/时 B．8(－)海里/时 C．16(＋)海里/时 D．16(－)海里/时 【答案】D 【详解】由题意得在中， ，，∠BSA＝.由正弦定理得＝，即＝，得AB＝8(－)，因此此船的航速为＝16(－)(海里/小时)．故选：D. 8．在中，，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由可知， 是，的直角三角形，如图所示：设，，，则由余弦定理得，即，由正弦定理得，所以.连接，在中，由余弦定理，得， 当时，的长度取得最大值，为.故选:B 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．在中，，，，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由正弦定理可得，解得，所以或，故或，经检验这两种情况都成立.故选：AC 10．在中，角，，的对边分别为，，，则下列各组条件中使得有唯一解的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以，结合，唯一确定；对于B，由正弦定理得，.因为，所以，所以此时B只有一个解，唯一确定；对于C，由正弦定理得，.因为，所以，且，所以此时B在中有两个解，不唯一；对于D，由余弦定理知，，代入得，解得或（舍），唯一确定；故选：ABD 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.以下列选项为条件，一定可以推出的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，由余弦定理可得，又，所以，A正确；对于B，由正弦定理可得，又，所以，又， 所以或，B错误；对于C，取，为锐角，且，可得为锐角，且，此时，C错误；对于D，由可得，所以，所以，解得或（舍）， 又，所以，D正确；故选：AD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．设的内角，，的对边分别为，，.若，，，则_________. 【答案】 【详解】在中，因，，，由正弦定理得， 所以.故答案为： 13．若的面积为，，则_________． 【答案】 【详解】因为的面积为，，所以则. 所以.故答案为： 14．在中，角所对的边分别为是的中点，若，且，则当面积取最大值时，的周长为__________． 【答案】 【详解】如图，设，则．在和中，分别由余弦定理可得，，又，所以，所以，① 由及正弦定理得，整理得，② 由余弦定理的推论可得，所以．所以面积为，所以求面积取最大值即的最大值.把①代入②整理得， 又，当且仅当时等号成立，所以，所以，即时等号成立．此时，即，所以当取最大值时的周长为． 故答案为： 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 专题6.7正余弦定理及其应用 一、知识填空 1.余弦定理： 三角形中任何一边的 ，等于其他两边 减去这两边与它们夹角的余弦的 2.余弦定理公式： 「a= (1)在△4BC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,则{b2= lc= (2)公式变形：c0sA= ;cos B= cosC= 3.正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等 4.正弦定理公式： 1)在aMBC中，角4B,C所对的边为a,bc,则a=b=c in4 sinB sinc一·(R为1BC外接圆半径) a= sin4= (2)公式变形： sinB= C= sinC= 5.任意三角形面积公式： 在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,则 (1)SMABC= -R'sin Asin sinc abc 4R (其中R为△ABC外接圆半径，r为△ABC内切圆半径) 1 1 @Sa一hh表示边a上的癌：九表示边b上的高，h表示边c上的高 2 o⊙，即海伦公式，其中p=,(a+b+ 自检自纠： 1.平方平方的和积的两倍2.(1)b2+c2-2 bccos4cd+c2-2 ac cos B:+b2-2 ab cos C b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2 (2) 3.正弦 2be 2ac 2ab 4.(1)2R,(2)2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C a b c 2R’2R’2R 1/53 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 5.(1) 乏absin C. bc sin A ac sin B 二、 考点专练 目目 考点01 余弦定理辨析及运算 【经典例题】 1.设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，则下列等式成立的是() A.c2=a2+b2+2abcosC B.c2=a2+b2-2abcosC C.c2=a2+b2+2absinc D.c2=a2+b2-2absinC 【答案】B 【详解】根据余弦定理可知，c2=a2+b2-2 ab cosC.故选：B 2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=5,b=7,c=8,则B=() A音 c D.2n 3 【答案】B 【详解】cosB=a+C2-b2_52+82-7:1 因为0<B<元，所以B=亚故选：B 2ac 2x5x82 3 3.在△ABC中，已知b=2,c=3,A=60°，则a=() A.5 B.2 C.5 D.√万 【答案】D 【详解】根据余弦定理得d=b'+c2-2 bc cos4=4+9-2x2×3×号=7.由于a>0,所以a=√万.故选：D. 4.设△1BC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2V5,co4=5 则b=() A.2或4 B.3 C.5 D.2√2 【答案】A 详解】因为a=2,c=23,c04=,,由余弦定理可得d=b+c-2bcc084,即4=b+12-6b 可得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4.故选：A. 5.在△1BC中，角A,B,C的对边分别是ab,c,若b=3,c=2,cosA=3则a=（） 1 A.√6 B.7 C.22 D.3 【答案】D 【详解】由余弦定理得d=b'+c2-2bcc0sA=9+4-2×3x2×号=9，所以a=3.故选：D 3 6.在△ABC中，已知∠BAC的角平分线交BC于D,AB=AD,3DC=2AC,则cos∠BAD=: 2/53 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 【答案1日 【详解1因为<B4C份角Y分线交C千D,所以8肥把.设C-2,又因为3DC=2AC,所以4C-3x, 为AB=AD,设AB=4D=y,则。=，解得BD=3,在△ABD中，由余颜 2x 3x cOs∠BAD=-AB+AD2-BD 22、42 97.故答案为： 2AB.AD 2y.y 23 9 【变式训练】 1.在△ABC中，若A=60°，c=5,b=1,则a= 【答案】√2i 【详解】因为4上60°，c=5,b1,由余弦定理可知，c0sA=火5”=，化简可得26-：=5，解 得a=√21.故答案为：√21 2.在△ABC中，若a=3,b=8,C=60°，则c0sA= 【路1号 【详解】因为a=3,b=8,C=60°，所以c2=d+b2-2bc0sC=9+64-2x3×8×号=49，故c=7, 2 所以由余弦定理得0sA-公+心。873-64+9910数容案为：是 13 2bc 2×8×711211214 3.在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=7,则AB.AC等于() B.、5 c.15V5 D.15 2 2 【答案】B 2·AB.AC 2x5x3=- 故选B 4.在△ABC中，A=60°，角A,B,C的对边分别是，b,c,且最大边长和最小边长分别是方程x2-7x+11=0 的两个实根，则第三边的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【详解】由题可知最大边长与最小边长不相等，故最大角大于60°，最小角小于60°，.第三边即为α，且 b+c=7,bc=11,.a2=b2+c2-2 bc cosA=(b+c)2-3bc=16,.a=4.故选：C. 5.在△ABC中，AB=4,BC=5,AC=√21，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC,则BD=() 3/53 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 A.20V5 B. 21 9 C. 1 D. 9 3 3 【答案】A 【详解】如图： 国为0平分<AC,所以品船专又aC=瓦，所以0-回 在△ABC中，根据余弦定理，可得c0s4=4B+AC-BC-16+21-253 2.AB.AC 821一2√2，在△4BD中，根据余弦 定理，BD2=AB2+AD:-2ABAD-c0s4=16+16x21-2×4×423-16x25, 81 92227,所以 BD=4×520W5 359 6.在△ABC中，若(a+b+c(c+b-a)=bc,则A=() A. B号 C. D.交 6 【答案】B 【详解】(a+b+c)(c+b-ad)=bc可整理为b2+c2-a2=-bc,所以cosA= 2bc AE0,列，所以4行故选：B 元.△48C内角4B,C的对边分别为ac,满足2a-36-e=加，且cos4子则（） A.A为锐角 B.sing=2 4 C.c D.As3 4 【答案】B 【详解】d-b2+c2-2 bccosA,又2d-3(b2+c2)=bc,.2(b2+c2-2 bc cos A)-3(b2+c2)=bc, 得L+4skc+6+e)=0,cosA=-公4c）c,b+c≥2z,o4=G+c）ce2c-c- 4bc 4bc 4bc 4 当日仅当b=c时等号成立，又co4≥-名，：co4=一3 :A∈(0，，A为钝角，cs1=-3-2=c3江 420s As 3n b-c,小8=0-，m8=通，即sm8=6 92,c04=-3 A 3 4 2c0g2 -1, 4 2 解得：cosA-√2 24 sinB=v ,∴sinc=V21 =sin亚，C<亚. 4 42 6 6 6 8.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且∠A=60则_C,+ a+b a+c 【答案】1 4/53 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 【详解】C+b=ca+c)+ba+b)ec:bb2 a+ba+ca+b)a+c）a+c+b+bc,由∠A=60,得 a2=b2+c2-2 bccos60°=b2+c2-bc,即b2+c2=a2+bc.将b2+c2=a2+bc代入分子，得 r+(d+bc)+ab=心+ab+c+,分子与分母相等，故C+b=1.故答案为：1. a+b a+c 【巩固练习】 1.(多选)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A,若d+b<c2,则C B.若ab>c,则C≥ 3 c若d+b=c,则c<员 D.若a+b=2c,则C> 2 【答案】AC 【详解】A由G+6<c2,可以得出cosC=心+-c<0,所以C>,故A正确： 2ab 2 B由b>c2,得cosC=十6C2ab=2,得0<C<3,故B错误： 2ab C假设C≥受则c>a,c>b,cosC-+ -≤0， 2ab c2≥ad+b,即c≥cd+cb>d+b,与a+b=c2矛盾，C<,故C正确： 2 D取a=b=c=2,满足a+b=2c,此时C=于故D错误. 故选：AC 2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、c.若A=60°，c=2,b=1,则a= 【答案】√ 【详解】已知A=60°，c=2,b=1,由余弦定理得a2=b+c2-bc=1+22-1x2=3,解得a=√5 故答案为：√3 3.在△1BC中，角4，，C所对的边分别为a,b,c,若a=5,且cos4了c=是则6+c的值 为 【答案】3 b+c-a (b+c)-2bc-a (b+c)2-2×9 31 【详解】cosA= -,即 24一二 2bc 2bc 9 解得b+C=3.故答案为：3 2× 4 4,在△4BC中，角4，B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c2-d。bc,则c0sA的值为一 【答案】06 5/53 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 【详解】因为公+c-心-c,所以由余弦定理可得co4-+c心心 6bc 3故答案为：5 3 5 5 2bc 2bc5 6.已知△1BC的面积S=bsmA,角A的平分线AD交BC于D,AD=2W5, a=√3，则b= 3 【答案】1 【详解】依题知S=besin A=公sinA,则有c=2b,由角平分线定理可知： 2 器把-会2，期以 2 BC-24-25,所以cD=a-5,在△ABD中，AB=c=2b,所以 BD=2CD=2BC=。a= 3 3 3 3 3 1 AB COS∠ABD= b AD252,在△MBC中，由余弦定理可得：AC2=AB+BC:-2AB-BCos∠ABD, 3 即b2=4b2+3-6b2,解得b=1.故答案为：1 B 考点02 正弦定理辨析及运算 【经典例题】 1.在△ABC中，a=7,c=5,则sinA:sinC的值是() 5 1 A.5 B.7 D.12 【答案】A 【详解】由正弦定理得simA:sinC=a:c=5,故选：A 2.已知△ABC外接圆的半径为1，则sinA:BC=() A.1:1 B.2:1 C.1:2 D.无法确定 【答案】C 【详解】由正弦定理，得BC2R=2,所以sm4:BC=1:2故选：C sinA 3.若在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB的()条件 A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 【答案】C 【详解】在三角形中，若A>B,根据大角对大边可得边a>b,由正弦定理一a=一b。得smA>simB. sinA sin B 若si血A>sin B,则由正弦定理a=b “sinA sin B 得a>b,根据大边对大角可知A>B,所以“A>B”是 “sinA>sinB”的充要条件.故选：C. 6/53 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 4.在△ABC中，AB=√2，AC=1,B=30°，则A=() A.45° B.15°或105° C.45°或135° D.105° 【答案】B 【详棉1因为，=5,4C=1,8=0,由正孩定理得根符mC也ma 2b, AC 1 2 所以C=45°或C=135°，经检验，均满足题意.当C=45°时，由三角形的内角和定理得 A=180°-B-C=105°：当C=135°时，由三角形的内角和定理得A=180°-B-C=15°.因此A=15°或 A=105°.故选：B 5.在△ABC中，iA=3 4 COSB=3 4 2,a=10,则边长b=() 货 B.5 4 c.20 3 D.0 3 【答案】c 10b 【详解因为cosB=3,B∈0，)6=石，又mAs3 2 sinsin·故3了， 年a=10,由正弦定理得a=b 42 解得：b=20 3 故选：C 6.如图所示，在河岸AC上测量河的宽度BC,测量下列四组数据，较适宜的是() A.a,c,a B.b,c,a C.c,a,B D.b,a,y 【答案】D 【详解】由x,Y可求出B,由，B,b,可利用正弦定理求出BC,故选D. a+b+c 7.在△ABC中，若A=60,a=3, sinA+sinB+sinc=(） A.8V3 B. 2V39 C.28V3 D.23 3 3 3 【答案】D sinA"sin B"sinc-2R,所以a=2Rsin4b=2 Rsin B,.c=2 RainC,所以 【详解】由a b a+b+c 2R sinAt 2R sinB+2R sinc 2Ra 3 325 sin A+sin B+sin C sin A+sin B+sin C sinA sin60°V3 .故选：D 2 8.(多选)下列说法中正确的有() A.在△ABC中，a:b:c=sinA:sinB:SinC 7/53 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 B.在△ABC中，若sin2A=sin2B,则a=b C.在△ABC中，若sinA>sinB,则A>B;若A>B,则sinA>sinB D.在△ABC中，a a+b+c sin A sinA+sin B+sin C 【答案】ACD 【详解】设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得a, b sin4sin Bsinc=2R. 对于A,a:b:c=2 Rsin A:2 Rsin B:2 Rsin C=sinA:sinB:sinC,正确： 对于B,由二倍角公式得2sim4cosA=2 2sin B cosB,则2a.b2+c2-a=2b.d+c2-b,即 2bc 2ac d2(b2+c2-d2)=b2(a2+c2-b2),整理得ad-b-ac2+b2c2=0,即(a2-b2)(d+b2-c2)=0, 则d-形=0或d+B=c2,所以a=b或c=子，错误： 对于C,sinA>sinB→a>b台A>B(大边对大角)，正确： a+b+c 对于D, 2Rsin A+2Rsin B+2Rsin C=2R=a sin A+sin B+sin C sin A+sin B+sin C A’正确。 故选：ACD 【变式训练】 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.下列等式正确的是() A.a:b=A:B B.a:b=sinA:sin B C.a:b=sinB:sinA D.asinA=bsinB 【答案】B 【详解】由正弦定理a=b sinA sin B 可得a:b=sinA:sinB,对比选项可知只有B正确.故选：B. 2.(多选)在△ABC中，下列关系中一定成立的是() A.a>bsinA B.asin B=bsinA C.a<bsin A D.a>bsinA 【答案】BD 【详解】在△ABC中，由正弦定理得a=b sinsinB:所以asmB=bsinA,所以a-bsin4 因为B∈(0，)， sin B 所以simB∈(O,1,所以a=bsin4之bsind,所以AC错误，BD正确，故选：BD sin B 3.(多选)在△ABC中，角A,B,C所对的边为4，b,c,则下列说法正确的有() a+b+c a A.A:B:C-a:b:c B. sinA+sinB+sinC sinA C.若A>B,则心b D.A+B+C=π 【答案】BCD 【详解】在三角形中，大角对大边，所以C选项正确三角形的内角和为π，所以D选项正确由正弦定理 8/53 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 得a:b:c=sinA:sinB:sinC,所以A选项错误设a=b C sinA sin B sinC =k,则 a+b+c k(SinA+sinB+sin9-k三&，B选项正确故选：BCD sin A+sin B+sin C sin A+sin B+sinC sin A 4.在△ABC中，“A>B”是“c0s2A<cos2B”的（)· A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】由cos2A<cos2B得，1-sin2A1-sin2B,sin2A>sin2B,在△ABC中sinA>0,sinB>0,所以 sinA>snB,由正弦定理得a>b,由大边对大角的结论知A>B.所以为充要条件.故选：A 8C的内角A,B,C的对边分别为ab,c,B=4,c=V2,a=3,则s A.30 B. v10 C.v5 D.0 10 5 5 10 【答案】A 【详解】由余弦定理，得：b=d+c2-2ccoB=3+(-2x3x5xcos亚 =9+2-2×3×2×5=11-6=5,所以6=5，再利用正弦定理： a b 2 sinA-sinB'代入已知值： 3√5√525 sin4sim亚V2V2,整理得：sinA=3x √23√23M0 故选：A 2W52510 4 2 6.在△ABC中，已知AB=√2AC,∠B=30°，则∠C=() A.45 B.15° C.45°或135 D.15°或105° 【答案】C 【详解】设AC=m,则AB=VAC=V2m,由正弦定理得，AC AB √2m sin30° ,解得sinC= sin B sinC sin C 2 因为AB>AC,所以C>B=30°，则C=45°或135°，故选：C. 7.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若A=60°，c=6,a=9,则此三角形有 () A.两解 B.一解 C.无解 D.无穷多解 【答案】B sins4-60,6,a=9. 【详解】小：a sin 6osincsin 96 905g5,0<C<0 3<2 或120°<C<180°，当120°<C<180°时，A=60°，A+C>180°，不符合三角形内角和定理，故舍去， 则C只有一个解，故此三角形只有一个解.故选：B 8.在△ABC中，己知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,b=V6,A=45°，则满足条件的三角 形有() 9/53 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定 【答案】B 【分析】应用正弦定理判断满足条件的三角形个数即可. 【详解】：bsm4=6x5-5sn4a<b.满足条件的三角形有2个.故选：B 2 9.△1BC的两边长分别为3,2，其夹角的余弦植为分则其外接圆的直径为《) A. B. 9W2 2 C.3W2 D.92 4 【答案】B 【详解】设边长分别为3,2的两边夹角为日，另一条边为x,则由余弦定理得x2=32+22-2×3×2 3 =9.3由os0{得n9=co3a2W22R。39W2 1 sin62W24·故选：B. 3 3 【巩固练习】 1.(多选)在△ABC中，下列关系中一定成立的是() A.a>bsinA B.a≥bsinA C.a=bsinA D.bsinC csinB 【答案】BD 【详解】由正弦定理a-b ,得a= bsinA ,又0<siB≤1，a≥bsinA,B正确：A错误；C错误： sinA sinB sinB 由、b inB=sinc,得bsinc=csinB,D正确.故选：BD 2.(多选)在△4BC中，下列式于与sm4的值相等的是() a A. sin A+sin B B.sin C.sinc D. a+b sin A sin C 【答案】AC 器由弦定理可得4AS设如4s如s如C:如4公a士地 、ab-c a+b a+b 故满足条件为AC选项.故选：AC. 3.在△ABC中，V3a=2 bsinA,则∠B=() B. c. 【答案】D 【详解】因为5Ba=2sim4,由正弦定理，得3smA=2 sin Bsin4,因为0<A(，πsin40,所以si血B=V5 2 因为0<B<元，所以B=亚或B=2亚故选：D 3 3 10/53专题6.7 正余弦定理及其应用 高中数学导学案 专题6.7 正余弦定理及其应用 一、知识填空 1.余弦定理： 三角形中任何一边的 ，等于其他两边 减去这两边与它们夹角的余弦的 . 2.余弦定理公式： （1）在中，角所对的边为，则. （2）公式变形： 3.正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等. 4.正弦定理公式： （1）在中，角所对的边为，则.(为外接圆半径) （2）公式变形：；； 5.任意三角形面积公式： 在中，角所对的边为，则 (1) （其中为外接圆半径，为内切圆半径） (2) (表示边上的高，表示边上的高，表示边上的高). (3)，即海伦公式，其中，为△ABC的半周长. 自检自纠： 1. 平方 平方的和 积的两倍 2.（1） （2） 3. 正弦 4. （1），（2） 5.（1） 二、考点专练 地 城 考点01 余弦定理辨析及运算 【经典例题】 1．设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 4．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 5．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．3 6．在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 【变式训练】 1．在△ABC中，若，，，则_________． 2．在中，若，，，则____________． 3．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 4．在中，，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且最大边长和最小边长分别是方程的两个实根，则第三边的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，若，则A=（    ） A． B． C． D． 7．内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 8．在中，、、分别是、、的对边，且.则________. 【巩固练习】 1．（多选）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，则___________． 3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的值为_____________. 4．在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为______． 6．已知的面积，角的平分线交于，，，则________． 【经典例题】地 城 考点02 正弦定理辨析及运算 1．在△ABC中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知△ABC外接圆的半径为1，则sin A∶BC=（ ） A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．无法确定 3．若在中，“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 4．在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 5．在中，，则边长（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，在河岸上测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是（   ） A． B． C． D． 7．在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）下列说法中正确的有（    ） A．在中， B．在中，若，则 C．在中，若，则；若，则 D．在中， 【变式训练】 1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）在中，下列关系中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c， 则下列说法正确的有（    ） A．A:B:C= a :b :c B． C．若A>B， 则a>b D． 4．在中，“”是“”的（    ）． A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 5．记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，已知，，则（    ） A． B． C．或 D．或 7．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 8．在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 9．的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．（多选）在中，下列关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）在中，下列式于与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，则（    ） A． B．或 C． D．或 4．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 5．在中，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 6．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【经典例题】地 城 考点03 边角转化解三角形 1．在非等边三角形中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是（ ） A． B． C． D． 2．已知中，，则角A等于（    ） A． B． C． D． 3．在中，角的对边分别是，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．在中，若，则的形状一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 5．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 6．记的内角的对边分别为，已知，则的周长（    ） A．9 B．14 C．19 D．24 7．中，，，的对边分别是，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在中，内角的对边分别为，若，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．在中，已知，则角A等于（    ） A．150° B．120° C．60° D．30° 3．记的内角，，的对边分别为，，，若，则________． 4．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为_____________． 5．在中，若，则该三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 6．在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 7．在中，已知，则的形状为________． 8．在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 【巩固练习】 1．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________. 2．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若边上的高为4，则的面积为______. 3．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则边______. 4．在中，内角的对边分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 5．记的内角的对边分别为，若，则____. 6．在中，角对边为，且，则的形状为（        ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 7．若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 8．在中，若，则是（ ）． A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【经典例题】地 城 考点04 三角形面积问题 1．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 2．在中，为边上的中点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 4．的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在中，，D为的中点，，，则的面积_____________． 2．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（   ） A． B．2 C． D． 3．在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．已知的三个内角所对的边分别为的面积为，角的平分线交边于点，且，则为（    ） A． B． C． D．4 5．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 6．在中，内角的对边分别为，已知，，则的面积为_____. 【巩固练习】 1．在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 2．已知的面积为，则边的长度为（    ） A．3 B．4 C． D． 3．在中，三个内角所对的边分别为，为的面积，若，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A．2 B． C． D． 5．（多选）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．中的面积为 【经典例题】地 城 考点05 解三角形中的最值与范围问题 1．在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在中，内角所对的边分别为，且 则的取值范围为_______. 3．中，，则最大值______． 4．在中，内角的对边分别为，且，则的最大值为_____. 5．在锐角中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．在中，角所对的边分别为是的中点，若，且，则当面积取最大值时，的周长为__________． 【变式训练】 1．在钝角三角形ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a=1，b=3，则最大边c的取值范围是_____. 2．在中，三边a，b，c互不相等，且a为最长边，若，则A的取值范围是______. 3．在外接圆半径为的中，、、分别为角、、的对边，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（    ） A．12 B．24 C．27 D．36 5．在中，，为中点，，则面积的最大值为______ 6．在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 . 7．在中，内角的对边分别为，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．已知等腰中，，点D满足，且，则BD的最小值为______. 9．在平面凸四边形中，，则的最大值为_____. 10．在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．在中，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．在锐角中，角的对边分别为，若，，则a的取值范围是______. 3．在锐角三角形中，，则边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 6．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若且，则的周长的最大值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 7．在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（    ） A．7 B． C． D．4 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB的中点，且，，则（    ）． A． B．面积的取值范围为 C．周长的取值范围为 D．CD长度的取值范围为 9．在中， 内角的对边分别为，且满足，则的取值范围____________ 地 城 考点06 解三角形的实际应用 【经典例题】 1．若点在点的北偏东方向上，则点在点的（    ） A．东偏北方向上 B．北偏东方向上 C．南偏西方向上 D．西偏南方向上 2．气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 4．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．某次测量中，点A在点B的北偏东，则点B在点A的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 2．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 3．海上某货轮在处看灯塔，在货轮的南偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由处向正南航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（   ） A．海里 B．40海里 C．海里 D．海里 4．如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（   ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 6．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）   A． B． C． D． 【巩固练习】 1．一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 2．位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点05 解答题 【经典例题】 1．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，的面积为，求的周长． 3．在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，求的面积. 4．记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 5．在中，A，B为锐角，C为钝角，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)求的取值范围． 6．在锐角中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【变式训练】 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)若，，是的中点，求. 2．在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角； (2)若，且的面积为，求的周长. 3．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足. (1)求A的大小； (2)若，，求的周长. 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. (1)求角A的大小； (2)若，，求的值． 5．在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求； (2)求的面积． 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)若，求A； (2)若，求证：. 7．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若点在上，平分，，，求的长； (3)若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围. 8．在中，角，，的对边分别为，，，且满足，． (1)求周长的取值范围； (2)求面积的最大值． 【巩固练习】 1．已知 的三内角 A , B , C 所对的边分别为， 且 (1)求角C﹔ (2)若，,求的值； 2．在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 3．在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 4．在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 5．在中，， (1)求A； (2)若，求周长的最大值． （参考公式：，） 6．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 7．在中，分别为内角的对边，且. (1)求证：； (2)求的取值范围. 三、达标检测 《正余弦定理及其应用》小题检测 （限时40分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A．30° B．45° C．150° D．30°或150° 3．在中，，，，此三角形解的情况为（    ） A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定 4．在中，角的对边分别为，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知的面积为S，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则     A．2 B．4 C． D． 6．在△ABC中，角A、角C、角C所对的边为a、b、c，若，则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个内角是30°的直角三角形 D．有一个内角是30°的等腰三角形 7．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东的方向，此船的航速是（    ） A．8(＋)海里/时 B．8(－)海里/时 C．16(＋)海里/时 D．16(－)海里/时 8．在中，，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是（    ） A． B． C．3 D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．在中，，，，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 10．在中，角，，的对边分别为，，，则下列各组条件中使得有唯一解的是（    ） A． B． C． D．，， 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.以下列选项为条件，一定可以推出的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．设的内角，，的对边分别为，，.若，，，则_________. 13．若的面积为，，则_________． 14．在中，角所对的边分别为是的中点，若，且，则当面积取最大值时，的周长为__________． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 专题6.7正余弦定理及其应用 一、知识填空 1.余弦定理： 三角形中任何一边的 ，等于其他两边 减去这两边与它们夹角的余弦的 2.余弦定理公式： 「a= (1)在△4BC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,则{b2= lc= (2)公式变形：c0sA= ;cos B= cosC= 3.正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等 4.正弦定理公式： 1)在aMBC中，角4B,C所对的边为a,bc,则a=b=c in4 sinB sinc一·(R为1BC外接圆半径) a= sin4= (2)公式变形： sinB= C= sinC= 5.任意三角形面积公式： 在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,则 (1)SMABC= -R'sin Asin sinc abc 4R (其中R为△ABC外接圆半径，r为△ABC内切圆半径) 1 1 @Sa一hh表示边a上的高：九表示边b上的高，h表示边c上的高 2 o⊙，即海伦公式，其中p=,(a+b+ 自检自纠： 1.平方平方的和积的两倍2.(1)b2+c2-2 bccos4cd+c2-2 ac cos B:+b2-2 ab cos C b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2 (2) 3.正弦 2be 2ac 2ab 4.(1)2R,(2)2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C a b c 2R’2R’2R 1/23 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 5.(1) 2absin C. be sin .acin 二、考点专练 目目 考点01 余弦定理辨析及运算 【经典例题】 1.设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，则下列等式成立的是() A.c2=a2+b2+2abcosC B.c2=a2+b2-2abcosC C.c2=a2+b2+2absinc D.c2=a2+b2-2absinc 2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,C,若a=5,b=7,c=8,则B=() A日 B骨 a. D.2 3 3.在△ABC中，已知b=2,c=3,A=60°，则a=() A.√5 B.2 C.5 D.V万 4.设△1BC的内角4，B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,C=25,co4=5,则b=() 2 A.2或4 B.3 C.5 D.2√2 .在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2,cosA=,则a=( A.√6 B.√万 C.2√2 D.3 6.在△ABC中，已知∠BAC的角平分线交BC于D,AB=AD,3DC=2AC,则coS∠BAD=· 2/23 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 【变式训练】 1.在△ABC中，若A=60°，c=5,b=1,则a= 2.在△ABC中，若a=3,b=8,C=60°，则c0SA= 3.在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=7,则AB.AC等于() A号 B.、J5 c.155 D.15 2 2 4.在△ABC中，A=60°，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且最大边长和最小边长分别是方程x2-7x+11=0 的两个实根，则第三边的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 5.在△ABC中，AB=4,BC=5,AC=√21，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC,则BD=() A.20W5 B.21 9 3 c. D号 6.在△ABC中，若(a+b+c)(c+b-a)=bc,则A=() A.活 R c D. 6 7.△1BC内角A,B,C的对边分别为ab,c,满足2a2-3b+c)=bc,且co34≥-3 则() A.A为锐角 B.sing 4 C.C> D.As 3 4 8.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且∠A=60°.则 、6 a+b a+c 【巩固练习】 1.(多选)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A.若d+b<c2,则C>T 2 B.若ab>c2,则c≥ 3 C.若a+b=c,则C< 2 D.若a+b=2c,则C> 2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为b、c.若A=60°，c=2,b=1,则a= 区.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=V3,且cosA=,c=9 羊，则b+c的值 为 4.在△4BC中，角4，B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c2-2=c,则cosA的值为 6,已知△ABC的面积S=BFsi4,角A的平分线AD交BC于D,AD=2yY,a=√V5,则b= 目目 考点02 正弦定理辨析及运算 【经典例题】 1.在△ABC中，a=7,c=5,则sinA:sinC的值是() 3/23 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 B月 7 C.12 D.12 5 2.已知△ABC外接圆的半径为1，则sinA:BC=() A.1:1 B.2:1 C.1:2 D.无法确定 3.若在△ABC中，“A>B是“sinA>sinB的()条件 A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 4.在△ABC中，AB=2,AC=1,B=30°，则A=() A.45° B.15°或105° C.45°或135 D.105o 5.在△ABC中，A=3 41 co8B=3 a=10,则边长b=() C.20 10 4 3 D. 3 B 6.如图所示，在河岸AC上测量河的宽度BC,测量下列四组数据，较适宜的是() A.a,c,a B.b,c,a C.c,a,B D.b,a,y 7.在△1BC中，若A=60,a=3,则a+b+c sinA+sinB+sinc=（） A.83 B.2W39 ℃.28V3 D.25 3 3 3 4/23 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 8.(多选)下列说法中正确的有() A.在△ABC中，a:b:c=sinA:sinB:sinC B.在△ABC中，若sin2A=sin2B,则a=b C.在△ABC中，若sinA>sinB,则A>B;若A>B,则sinA>sinB D.在△ABC中，a a+b+c sin A sinA+sin B+sin C 【变式训练】 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.下列等式正确的是() A.a:b=A:B B.a:b=sinA:sin B C.a:6=sin B sinA D.asin A=bsinB 2.(多选)在△ABC中，下列关系中一定成立的是() A.a>bsinA B.asin B=bsinA C.a<bsinA D.azbsinA 3.（多选)在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,则下列说法正确的有() a+b+c A.A:B:C-ab:c B. sinA+sinB+sinC sinA C.若AB,则心b D.A+B+C=π 4.在△ABC中，“A>B”是“c0s2A<c0s2B的（). A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件 5.记△4BC的内角4a.C的对边分别为ac,B=牙c=万，a=3,则sm4=《) A.0 B.V10 D.v10 10 c.5 5 10 6.在△ABC中，已知AB=√2AC,∠B=30°，则∠C=() A.45° B.15° C.45°或135° D.15°或105 7.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若A=60°，c=6,a=9,则此三角形有 () A.两解 B.一解 C.无解 D.无穷多解 8.在△ABC中，己知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,b=√6，A=45°，则满足条件的三角 形有() A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定 5/23 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 9.△ABC的两边长分别为3,2，其夹角的余弦值为，，则其外接圆的直径为() 4.95 B.9W2 2 C.3V2 D.92 4 【巩固练习】 1.(多选)在△ABC中，下列关系中一定成立的是() A.a>bsinA B.a≥bsinA C.a=bsinA D.bsinC=csinB 2.(多选)在△4BC中，下列式于与sn4的值相等的是() a A. sin A+sin B B.sin C.sinc D. a+b sinA c sinC 3.在△ABC中，√3a=2 bsinA,则∠B=() A君 B.亚或5 6 6 4.已知△4BC的内角4,9，C所对的边分别是a,b,c,若a=1,A=135°，则+cnC的值为() sin B+sin C A.② B.② c.5 D.2√2 4 2 5.在△ABC中，己知A=45°，a=6,b=3√2，则B的大小为() A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 6.符合下列条件的三角形有且只有一个的是() A.a=2,c=3,A= 6 B.a=2W3,b=6,A= 6 C.a=2,b=√2，c=5 D.a=2,b=3,B= 6 7.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,根据下列条件解三角形，其中有两个解的是() A.a=8,b=10,A=459 B.a=60,b=81,B=60 C.a=7,b=5,A=80° D.a=14,b=20,A=45 目目 考点03 边角转化解三角形 【经典例题】 1.在非等边三角形ABC中，A为钝角，则三边a,b,c满足的条件是() A.b2+c2≥a2B.b2+c2>dC.b2+c2≤a2D.b2+c2<a2 2.已知△ABC中，a2=b2+c2-√3bc,则角A等于（) A.30° B.60° C.120° D.150° 6/23 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(a+c-b)(a+c+b)=ac,则B的大小为() A君 3 c. 4.在△ABC中，若acosA=bcosB,则△ABC的形状一定是() A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形 5.在△1BC中，内角AB,C的对边分别为a,bc.若bcosC+ccosB-B+ -,则△ABC的形状为() A.等腰三角形B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 6,记6BC的内角AB,C的对边分别为a6c.已知2nA=nB+mCa-=5csA引则6ABC的 周长() A.9 B.14 C.19 D.24 7.△ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,C,则acosB+bcosA等于() A.2cosC B.2sinC C.atb D.c 2 【变式训练】 1.在△MBC中，内角4B,C的对边分别为a6c,若2 beosC=a(2-c),且B=号，则a=《） A.1 B.√2 C.5 D.2 2.在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角A等于() A.150° B.120° C.60° D.30° 3.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若bsinB+csinc-asinA=√2 bsinC,则A= 4已知△ABC中，内角4，B,C所对的边分别为a,b,c且c2-B=ab,C=,则如的值为 sin B 5.在△ABC中，若2 acos B=c,则该三角形一定是（) A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不能确定 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+cc0SA=b+ccosB,则△ABC为() A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 7.在△ABC中，已知(sin2A+sinB)(acos B-bcosA)上Sin2A-sin2B)cosB+bcosA),则△ABC的形 状为 8在△4c中，内角48，C的对达分别为a,已知向量m-aco引n么ca号)p〔6o写共 线，则△ABC的形状为() A.等边三角形B.钝角三角形C.有一个内角是”的直角三角形D.等腰直角三角形 7/23 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 【巩固练习】 1.在△ABC中，若-b-c2=bC,则A= 2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c cosA+acosC=6,AC边上的高为4，则△ABC 的面积为一 3.在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a=√2，b=4,c.cosB+a=0,则边c= 4.在△4BC中，内角AB,C的对边分别为a.b,c.若d+B-C=c,则C=() a+b-c A.30° B.60° C.120 D.150 5.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b2+3c2-d=2 absin C,则cosA=· 6.在△ABC中，角AB,C对边为a,bc,且2ccos2=b+c,则△ABC的形状为() 2 A.等边三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 7.若△ABC的三个内角A,B,C满足cos2A-cos2B=2sin2C,则△ABC是（) A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.锐角三角形 8布a1c中，若C划a4C是（) A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形 目目考点04 三角形面积问题 【经典例题】 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b=5,c=7,则△ABC的面积为() A.4W6 B.2√6 C.4 D.8 2.在△ABC中，∠BAC=60°，BC=4,D为BC边上的中点，且AD=3,则△ABC的面积为() A.3 2 B.53 c.33 4 D.55 2 2 3.己知△4BC的面积为3，且b=2,c=3,则() 2 A.A=30° B.A=60° C.A=30°或150°D.A=60°或120° 8/23 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 4.△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，，则其外接圆半径为() A.9V2 B.9V2 c. 9W2 D.2 2 4 8 9 【变式训练】 1.在△ABC中，AB=V3,D为BC的中点，AD=1,∠BAD=30°，则△ABC的面积S。4G=」 2.在△ABC中，若b=2,A=120°，三角形的面积S=√5，则三角形外接圆的半径为() A.√ B.2 C.23 D.-2 3.在△4BC中，a,b,c分别是角A,日，C的对边，△ABC的面积为5，b=1,4=60,则 b+c 2 sin B+sin C 的值为() A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知△ABC的E个内角4B.C所对的边分别为a6c,A二△4BC的面积为6，角A的平分线交边BG 于点D,且BD=2DC,则a为() A.2 B.V10 C.14 D.4 5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积，若ccosB+bcosC=asinA, s-56+-2),则∠B=（) 12 A.90 B.60° C.45 D.30 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=V2,bsinC+ccosB=a,b+c2-ad=2V3 bcsin4, 则△ABC的面积为一 【巩固练习】 1.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=√2，b=√6，cosC=csinA,则△ABC的面积为() A. 2 B.1 C.√2 D.5 2.已知△4BC的面积为√5，B=匹，AB=4,则边AC的长度为() 3 A.3 B.4 C.V10 D.V13 9/23 专题6.7正余弦定理及其应用 高中数学导学案 3.在△ABC中，三个内角AB,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，若a2+2b2+c2=4√5S,则sinC= () A.30 B.2V5 c.6 D.6 6 5 6 5 C sinB 4.在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+b=8且tan 22-c0sB,若△ABC面积为4， 则tanC=() A.2 B. 2 c. D. 5(多选)在△ABC中，角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,若a=4,smA二，tamC=7,则下 列结论正确的是（) A.c0sA=± B.B=I D.△ABC中的面积为7√2 4 c.b=5② 2 目目 考点05 解三角形中的最值与范围问题 【经典例题】 1.在锐角三角形ABC中，a=1,b=2,则边c的取值范围是() A.1<c<V3B.1<c<5C.3<c<5D.√3<c<3 2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2sin4,b=2W3cosB,则a的取值范围为 3.△ABC中B=60°，AC=√3，则AB+2BC最大值一· 4.在a45c巾，内角4B.C的对边分别为a6c,且Sc-5):,则4+c的最大值为 4 ac 10/23