江西九江市永修县第三中学2025-2026学年度下学期阶段（一）质量评估试卷九年级 数学

2025-2026学年度上学期阶段（一）质量评估答案 九年级 数学 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B A C A B 1．B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需依据“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”这三个核心条件逐一判断各选项． 【详解】解： A选项：只含一个未知数，但未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义； B选项：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义； C选项：中含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程定义； D选项：只含一个未知数，但未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义． 故选B 2．B 【分析】本题考查的知识点是比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质． 将点，点，点分别代入反比例函数，求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：点，点，点在反比例函数的图象上， ，，， ， ． 故选：． 3．A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，关键是理解二次函数与一元二次方程的关系，利用判别式求解．抛物线与x轴只有一个公共点，则关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得， 故选：A 4．C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 5．A 【详解】A． ，时， ， B． ，时， ， C． ，时， ， D． ，时， ． 故选：A． 6．B 【分析】先求出点，的坐标，连接并延长交于点，过点作轴，根据已知条件可得，所求长的最大值，即求的长最大，即点运动到与圆的交点时，此时的长最大，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，过点作轴，连接， 根据题意，联立，得， 解得，， ，， 点为中点， 是的中点， ，， 若长最大，则的长最大， 即点运动到与圆的交点时，此时的长最大， ，， ，， 由勾股定理，得， ， 则． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 7．1 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质． 根据直角三角形斜边中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，且为斜边的中线， ∴， 故答案为：1． 8．0.50 【分析】本题考查了用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握在大量重复试验下，频率趋近于概率的规律 当试验次数很大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，由此计算即可． 【详解】解：根据试验获得的数据可知，随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.50左右， ∴可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为0.50 ． 故答案为：0.50 ． 9． 【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据题意可证明得到，再根据正切的定义可得． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查勾股定理，垂径定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．作交于，则，连接，根据勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：作交于，则，连接，如图 有， 对折后半圆弧的中点M与圆心O重合， 则，， ∴， 在中， ， ． 故答案为：． 11．10 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 根据题意和锐角三角函数，可以求得的取值范围，再根据为整数，即可得到的值． 【详解】解：由题意可得， ，，，…，， ∴， ∵是第一个小于的角，， ∴， 解得， 为整数， ， 故答案为：． 12．4个 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的增减性、二次函数的最值以及特殊点的函数值应用，熟练掌握二次函数图象与系数的关系及利用图象分析函数性质的方法是解题的关键． 先根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判断、、的符号及相关关系，再逐一分析四个结论：抛物线的对称性和增减性判断与的大小；根据、、的符号判断的符号；利用函数最大值的性质推导不等式；结合特殊点的函数值和、的关系判断的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为直线，即， ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴． ①∵抛物线对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为． ∵当时，随的增大而减小，且， ∴，故①正确． ②∵，，， ∴，故②正确． ③∵当时，函数取得最大值， ∴， ∴，即，故③正确． ④∵当时，，且，即， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：． 13．(1)2 (2)， 【分析】（1）分别计算零指数幂、负整数指数幂、化简二次根式，特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解： ； （2）解： 或 ∴，． 14． 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于，利用锐角三角函数的定义分别求出，再相加即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质： （1）根据题意得，根据两角相等即可判定相似； （2）根据面积比等于相似比的平方即可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵． ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴． 16．(1)见详解 (2)， 【分析】（1）确定各顶点的对应点即可作图； （2）由图即可求解； 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：由图可知：点的坐标为，点的坐标为． 17．灯管D距地面的高度约为 【分析】过点D作，垂足为G，设，则．解直角三角形得出．，证明．得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，垂足为G． 设，则． 在中， ． 在中， ， ∴． ∴， 解得． ∴． ∴灯管D距地面的高度约为． 18．(1)10米 (2)47米 【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，解直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过C作交延长线于H，利用30度角所对的直角三角形等于斜边一半求解即可； （2）过H作交于E，则四边形为平行四边形，在中，米，则米，再根据平行投影求解即可． 【详解】（1）解：如图，过C作交延长线于H， 在中，，， （米）； 答：点C到水平地面的距离为10米； （2）解：如图，过H作交于E， ，， ， 四边形为平行四边形， 米， 在中，（米）， （米）， 身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， ，即， 解得， （米）． 答：小明测得的水塔高度约为47米． 19．(1) 证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）令，得，由根的判别式可判断一元二次方程有实数解，即该函数的图象与轴总有公共点； （2）先判断该函数的对称轴位置，结合图象的开口方向推出当时，随着的增大而增大后即可得解． 【详解】（1）证明：令，得， 此时， ， ， ， ， ， 即一元二次方程有实数解， 二次函数的图象与轴总有公共点； （2）解：二次函数的对称轴， ， ， ， ， 即二次函数的对称轴， 又，即二次函数图象开口向上， 当时，随着的增大而增大， 当时，． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程与二次函数的关系、根的判别式、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握一元二次方程与二次函数的关系． 20．(1)证明过程见解答 (2)的长为 【分析】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质、解直角三角形，平行线的性质和判定等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题． （1）连接，证明，即可得到结论： （2）根据锐角三角函数先求出半径和的长，然后根据，进而根据线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ， ， ， ， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 21．(1)； (2)或 (3)4 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． （1）将代入反比例函数表达式求出的值，进而求出B点坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）根据图象中的交点求解即可； （3）求出点C的坐标，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数表达式为， 将代入得：， ， 将和代入一次函数得： ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：由图象可知：当或时，反比例函数的值小于一次函数的值； （3）解：将代入得：， ， 、、， ， 即． 22．(1) (2)每包售价是17元时，周销售利润最大是845万元 (3)至少升级14条生产线才能达到在最大周销售利润时的周销售量 【分析】本题考查一次函数解析式的求解、二次函数的最值应用及一元一次不等式的实际应用，解题关键是结合实际问题构建函数模型和不等式模型，利用函数性质与不等式求解解决实际问题． （1）设一次函数解析式，代入表格中两组售价与销售量的对应值，解方程组求出、，验证后确定函数解析式． （2）根据“利润=（售价-成本）×销售量”，结合一次函数解析式构建二次利润函数，利用二次函数的顶点性质求售价和最大利润． （3）先求出最大利润时的销售量，设升级生产线数量，结合原有与升级后生产线的产能，列一元一次不等式，求解得出至少升级的数量． 【详解】（1）解：设． 选取和 代入解析式∶ 用第一个方程减第二个方程∶ 将代入， 当 时， ， 与表格一致． 因此， 函数解析式为∶ （2）设周销售利润为W元， ∴ 时，W取最大值．最大值为845万元． 答：每包售价是17元时，周销售利润最大是845万元． （3）当时，周销售量万包，利润最大时周销售量为130万包 设升级m条生产线， 则 ， ∴m至少为14． 答：至少升级14条生产线才能达到在最大周销售利润时的周销售量． 23．(1) (2) (3)存在，最大值为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据与y轴相切圆的直径等于点D横坐标的2倍列方程求解即可； （3）先求出，，，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大．证明求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：设， ∵轴， ∴， ∴． ∵与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵以为直径作，， ∴， ∵把向上平移，使圆心落在x轴上，得到， ∴， ∵过点作轴， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴． 如图2，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大． ∵，与y轴相切， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度下学期阶段（一）质量评估答题卷 九年级数学 学校」 班级 贴条形码区 姓名」 考号 注1.答题前考生务必首先认真核准条形码上的姓名、考号然后使0.5毫米墨水签字笔将考生学校、班级、姓名、考号填写在相应位置。 2.答第1卷时，必须使用2B铅笔填涂。修改时，要使用橡皮擦干净。正确填涂样例：■ 意 3.答第Ⅱ卷时，必须使0.5毫米黑色墨水签字笔书写清楚。要求字体工整、笔迹清晰。严格按题号所指的答题区域作答，超出答题区域 事 书写的答案无效；在试卷、草稿纸上答题无效。 4,保持答题卡清洁、完整。严禁在答题卡上作任何标记严禁使用涂改液、胶带和修正液。 项 5.未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负。 、 选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分.） 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分.） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13（1) (2) 14. 15. 16.(1) yA (2) 65432 A 65-4 2 23456主 1 B 3 56 17. C 图1 图2 18. 2.4 19题. 20题. C D B 21题. 22题. 23 B 0 D 图1 图2 2025-2026学年度下学期阶段（一）质量评估试卷 九年级 数学 命题人：曹圆芳 审题人：欧阳学国 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟；2. 试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3．请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分。 一、单选题（共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点，点，点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D．4 4．如图，在△ABC中，，，，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A．B． C． D． 5．按如图所示的运算程序，能使输出值为的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，函数：与函数的图象交于，两点，点在以为圆心，为半径的圆上，是的中点，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图，在中，，则它斜边上的中线为___________cm． 抛掷次数 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 499 8．2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如表： 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为_____．（精确到0.01） 第10题图 第9题图 第7题图 9．如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边上，则的值等于_____． 10．半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则折痕的长为______． 11．如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，其中， A0A1 = A1A2 = A2A3 = … = An-1An = 1，每个三角形都以点为顶点．若是第一个小于180的角，则的值为_____（参考数据：sin180≈0.309，cos180≈0.951，tan180≈0.325，，，） 12．如图为二次函数（）的图象．有下列四个结论：①若，分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④．其中正确的个数是_______． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13．计算或解方程： (1) (2) 14．如图，在△ABC中，，，，求的长． 15．如图，在△ABC和△ADE中，已知，． (1)求证：；(2)若S△ABC：S△ADE = 4：9，，求的长． 16．如图，平面直角坐标系的原点在格点上，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上． (1)以原点为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为，且点的对应点在第一象限，请在网格内画出； (2)点的坐标为 ；点的坐标为 ． 17．图1是太阳能路灯，图2是路灯的简易平面图．在地面E，F处测得灯管D的仰角分别为，．点A，E，F在同一条直线上，．求灯管D距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18．阜新西山水塔公园的核心景观是始建于1937年的西山水塔，该塔是阜新市历史上的第一座水塔．在一个阳光灿烂的午后，小明来水塔公园游玩，萌生了测量该塔高度的想法．他观察到水塔垂直于水平地面，阳光下水塔的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长是米，坡面上的影长是20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高米的小明在水平地面上的影长是米（参考数据） (1)求点C到水平地面的距离； (2)求小明测得的水塔的高度（结果精确到1米） 19．已知二次函数．（为常数，且）． (1)求证：该函数的图象与轴总有公共点； (2)若点，在函数图象上，且，，比较与的大小，并说明理由． 20．如图，在△ABC中，，平分交于点E，⊙O是△ABE的外接圆，过点E作于点D交的延长线于点P． (1)求证：是⊙O的切线；(2)若，，求的长． 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围； (3)连接，，求△AOB的面积． 22．某食品企业经调查发现，该企业生产的零食礼包的周销售量（单位：万包）和售价（单位：元/包）成一次函数的关系，其售价与周销售量的对应值如下表所示： (1)求出与的函数解析式； 售价x/（元/包） 20 19 18 周销售量y/万包 70 90 110 (2)若该零食礼包的生产成本是10.5元/包，则当每包的售价是多少元时，周销售利润最大？最大周销售利润是多少？ (3)在（2）的条件下，该食品企业当前共有20条生产线，平均每条生产线每周生产零食礼包5.5万包，由于按目前的产能无法满足该周销售量，于是该企业决定对现有的生产线进行升级，升级后的每条生产线能达到每周生产7万包的产量，求至少升级多少条生产线才能达到在最大周销售利润时的周销售量？ 六、解答题（共12分） 23．如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作⊙E，当⊙E与y轴相切时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，把⊙E向上平移，使圆心落在x轴上，得到⊙E，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在⊙E上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $