精品解析：江苏省常州市正行中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

常州市正行中学2025—2026学年第一学期期末学情调研高 一年级数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，，所以集合，， 所以. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为角的终边经过点，， 所以. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】当时，不妨取，，满足条件，但推不出； 当时，一定有，故“”是“”的必要不充分条件. 4. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的单调性判断的范围，从而得到其大小关系. 【详解】因为函数是增函数，所以； 因为函数是增函数，且所以； 又，所以. 5. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再代入特殊值，排除选项. 【详解】设，则，所以为奇函数，排除. 令，则，排除. 故选：. 6. 已知函数，对任意，，且，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为对任意，，且，都有， 所以在上单调递增，则有， 解得，即. 7. 已知函数是定义在区间上的偶函数，且，则（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求出值，得到函数解析式，结合函数解析式求值即可. 【详解】因为是偶函数，所以即，解得：或. 又，所以，所以函数. 所以. 8. 已知函数，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得出，分析函数的单调性，可得出，即可得出，结合二次函数的性质求最大值即可. 【详解】易知在上为增函数. . 因为，，所以， 故，当且仅当等号成立. 所以的最大值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列等式不成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两角和余弦和正切公式分别判断AC，再根据二倍角的正弦和余弦公式分别判断BD. 【详解】对于A，，故A不成立； 对于B，，故B不成立； 对于C，，故C成立； 对于D，，故D不成立. 10. 幂函数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. D. 函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意，结合幂函数的概念，可求得，代入函数解析式，根据幂函数的图像性质，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. 11. 函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D. 函数的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，画出函数图象或整体思想分析可判断选项A，B；方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题可判断选项C；利用同角三角函数的关系化简函数解析式可判断选项D． 【详解】， 对于A，由，得，而在上单调递增，故函数在上单调递增，A正确； 对于B，，故函数的图象不关于直线对称，B错误； 对于C，由，可得，由，得， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且当，即时，，当，即时，， 当，即时，， 要使方程在上有两个不相等的实数根， ，故，C错误； 对于D，因 ， 因，则当时，取得最大值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【详解】根据题意，若命题“，使得成立”为假命题， 则一元二次方程无实数根， 必有，解得，故的范围是. 13. 面积为16的扇形周长取到最小值时，扇形圆心角的大小是______. 【答案】2 【解析】 【分析】设出扇形所在圆半径，借助扇形面积公式建立函数关系，再求出最小值即得. 【详解】解：设扇形的半径为，圆心角为，则， 即，则扇形周长， 当且仅当时取等，此时. 14. 设函数，则满足的的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，结合图象分析函数，的单调性，结合单调性解不等式即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 可知函数在定义域内单调递增， 令，可知函数在定义域内单调递增， 且， 不等式等价于，可得， 所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，，其中. （1）若全集，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 集合或，， ，. 【小问2详解】 ，或，，其中. ，解得， 的取值范围是. 16. （1） （2）已知，且，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂和对数的运算法则求值. （2）先利用同角三角函数的基本关系求，再利用诱导公式转化为齐次式求值. 【详解】（1）原式. （2），且，所以为第三象限角. 所以，且，所以， 所以. 17. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的单调性可得，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以，即，即，，则，解得，因为，所以. 当时，，由，得，解得，即的定义域为，，满足题意. 综上，； 【小问2详解】 因为，使得，所以，由（1）知，. 由为上的单调递增函数，为单调递增函数，所以在上单调递增，故. ，当时，， 所以，由题意得，即，解得，即实数的取值范围为. 18. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移一个单位，得到的图象. （1）求函数的解析式以及对称中心； （2）当时，求的值域； （3）若，，求的值. 【答案】（1），对称中心为，； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象求函数的解析式，结合函数图象变换可得函数的解析式，再根据余弦函数的性质求函数的对称中心. （2）结合余弦函数的图象求函数的值域. （3）先根据的取值范围，判断的符号，再根据二倍角公式求的值. 【小问1详解】 由的图象得，，，， 由， 又，，，而，. ， 把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象， 再把得到的曲线向左平移个单位长度，可得， 再向上平移一个单位，得. 令，，解得，，则的对称中心为，. 【小问2详解】 ∵，， ， 则的值域为； 【小问3详解】 ，，，所以. ∵，即， 解得：. 19. 设函数，，. （1）求函数在上的单调减区间； （2）若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围； （3）求证：函数在上有且只有一个零点，并求（表示不超过的最大整数，如，）. 参考数据：，. 【答案】（1），； （2）； （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的单调性求函数的单调区间，结合运算求解即可； （2）换元令，结合二次函数的性质求值域即可得实数的取值范围； （3）分和，利用单调性结合零点存在性定理分析函数零点，可得，结合二次函数性质求，即可得结果. 【小问1详解】 因为， 令，，解得，， 又因为，则或1，可得或， 所以函数在上的单调减区间是，. 【小问2详解】 因为，令，可得， 可知的图象开口向上，对称轴为， 则在内单调递增，且，， 可得在内的值域为，则， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 因为， 由题意可得：， 当时，由（1）可知：在内单调递减，且在内单调递增， 则在内单调递减，且，， 根据零点存在性定理和函数单调性可知在上有唯一零点， 当时，则，，可得， 可知在上无零点， 综上所述：在上有且只有一个零点， 则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市正行中学2025—2026学年第一学期期末学情调研高 一年级数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，对任意，，且，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在区间上的偶函数，且，则（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 10 8. 已知函数，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列等式不成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 幂函数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. D. 函数的值域为 11. 函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D. 函数的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 13. 面积为16的扇形周长取到最小值时，扇形圆心角的大小是______. 14. 设函数，则满足的的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，，其中. （1）若全集，求； （2）若，求的取值范围. 16. （1） （2）已知，且，求的值. 17. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，，使得，求实数的取值范围. 18. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移一个单位，得到的图象. （1）求函数的解析式以及对称中心； （2）当时，求的值域； （3）若，，求的值. 19. 设函数，，. （1）求函数在上的单调减区间； （2）若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围； （3）求证：函数在上有且只有一个零点，并求（表示不超过的最大整数，如，）. 参考数据：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $