《7.4二元一次方程与一次函数》自主达标测试题2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

2025-2026学年鲁教版（五四学制）七年级数学下册《7.4二元一次方程与一次函数》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题 1．直线与的交点为，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．直线与轴，直线围成的三角形的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数（    ） A． B．1 C． D．2 4．已知关于的方程组的解为，则直线与直线的交点的坐标为(   ) A． B． C． D． 5．点是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组的解（a为任意实数），则当a变化时，点P一定不会经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，直线（，为常数，且）与直线相交于点，若点的纵坐标为8，则关于、的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 7．数学课上，老师给出了用图象法解二元一次方程组 时所画的图象(如图所示) ，让同学们说一说通过观察图象后自己的发现，则下列说法正确的是（   ） ①可能等于：②可能等于； ③这个方程组的解为 ；④可能等于 ． A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 8．如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 9．直线与直线的交点坐标_____． 10．以方程的解为坐标的点组成的图象是一条直线，这条直线对应的一次函数表达式为_________． 11．将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为______． 12．已知方程组无解，则直线与的位置关系是______． 13．对于一次函数的以下四个理解：①图象经过一、二、三象限；②点在该函数的图象上；③图象与直线平行；④图象与坐标轴围成的三角形面积为2．其中正确的结论是__________．（填写所有正确的代号） 14．若直线与交于点，则关于，的方程组的解是______，的解是______． 15．以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个二元一次方程的图像．如图，二元一次方程组 (a为常数)中的两个二元一次方程的图像交于点P， 则__________ 16．已知直线与直线交于点，直线经过定点． （1）点的坐标是______； （2）若点到直线的距离是定值，则这个定值是______． 三、解答题 17．已知直线与直线平行，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为18，求直线的表达式． 18．一次函数经过点、点， (1)求这个一次函数的解析式； (2)求这个一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积． 19．如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A， B两点． (1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； (2)求的面积 (3)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为2，直接写出a的值． 20．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象还过点． (1)求点的坐标及一次函数的表达式； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图象于点，连接，若，求的面积． 21．如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线，交于点C． (1)求点D的坐标及直线的表达式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点P，使得的面积是面积的2倍？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 22．阅读以下材料，解决问题：我们知道，二元一次方程有无数组解，我们把一组解中x，y对应的数值看作一个有序数对．在平面坐标系中，标出以这个方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如：二元一次方程． 有无数组解，方程的解 对应点，对应点 ，同理得到点、 我们把这些点用平滑的曲线连接正好是一条直线，如图所示．反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程的解，所以我们把这条直线就叫做方程的图象． 结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线． (1)以下选项中在方程的图像上的点有________． ①    ②    ③    ④ (2)已知是关于、方程和图像的交点上，求的值． (3)已知无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过某一定点，求这个点的坐标． 23．全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平．某校为响应全民健身，增强学生体质，计划购进一批篮球．经过调研，有，两个体育用品商店的篮球标价相同，且这两个商店分别推出了自己的优惠方案如下： 商店：若购买超过个，则超过部分按每个篮球标价的八折出售； 商店：若购买超过个，则超过部分按每个篮球标价的九折出售． 若用（个）表示购买篮球的数量，（元）表示购买篮球的实付费用，关于的函数图象如图所示． (1)每个篮球的标价为_________元； (2)当时，去商店购买实付费用与购买数量之间的函数关系式为_________，当时，去商店购买实付费用与购买数量之间的函数关系式为_________； (3)请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义； (4)若该校购买个篮球，直接写出选择哪个商店购买篮球更优惠． 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程，根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断即可，熟练掌握其性质并能知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解决此题的关键． 【详解】解：∵直线与的交点为， ∴方程组的解为， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴交点问题，直线与坐标轴围成图形面积．先令，求出直线与轴交点坐标；再令求出与直线的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：对于，令， ， 直线与轴的交点坐标为， 令，则， 解得：， 直线与轴的交点坐标为， 直线与轴，直线围成的三角形的面积为， ∴， 解得：． 故选：D． 3．D 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是将其变形可以解答．把变形为解答即可． 【详解】解：因为以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上， 把可以变形为， 与对照即可得到， ， 解得：， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组和一次函数的关系，把代入即可求出的值，再根据二元一次方程组和一次函数的关系，即可进行解答． 【详解】解：把代入， 得：， 关于x、y的方程组的解是， 直线与直线的交点的坐标为， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是首先消去a，求出y与x的函数关系式．首先用消元法消去a，得到y与x的函数关系式，然后根据一次函数的图象及性质即可得出结论． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴的图象经过一三四象限，不经过第二象限． 故选B． 6．C 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意、求出点P的坐标是解题的关键. 先求出点P的坐标为，再根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解解答即可. 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴点P的坐标为， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：C. 7．C 【分析】此题考查了图象法解二元一次方程组，一次函数的图像与性质，熟知根据图象交点即可得到方程组的解是解题的关键．根据一次函数图象的交点为方程组的解可判断③；根据其中一条直线与轴的交点是，可判断①；当时，将代入求出，可判断②；根据一次函数的图象与性质求出的取值情况，可判断④． 【详解】解：由图象可知，两条直线的交点为，则该方程组的解为，故③正确； 其中一条直线与轴的交点是， 可能等于，故①正确； 当时，第一个方程为，将代入得：， 解得：，故②正确； 当的图像过和时，将和代入得： ， 解得：， ， 当的图像过和时，， 可能等于或，故④错误； 正确的是①②③， 故选：C． 8．B 【分析】题目主要考查一次函数的基本性质及交点和三角形面积问题，根据题意得出，，结合图形计算面积即可，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点方法是解题关键 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，， 解得：， ∵一次函数, ∴当时，， 解得： ， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 边上的高即为点A的纵坐标1， ∴的面积为：， 故选：B 9． 【分析】本题主要考查了求两直线的交点坐标，联立两函数解析式，解方程组即可得到答案． 【详解】解：联立，解得， ∴直线与直线的交点坐标为， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程，关键是将方程转换成 将方程转换成，即可确定这条直线对应的一次函数表达式． 【详解】解：在方程中， 可得：， ∴这条直线对应的一次函数表达式为； 故答案为：． 11．1 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，两直线交点计算方程的解，理解平移的性质，两直线交点的含义是解题的关键． 【详解】解：直线向上平移个单位长度后得到的解析式为， ∵直线向上平移个单位长度后与直线交于点， ∴方程的解为， 故答案为：1 ． 12．平行 【分析】本题主要考查了两直线的交点和二元一次方程组之间的关系，熟知两直线的交点横纵坐标是两直线解析式组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵方程组没有解， ∴直线与直线没有交点，即直线与直线平行． 故答案为：平行． 13．④ 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．根据一次函数的系数与图象的关系，可判断①；求出时的函数值，可判断②；根据一次函数的k值可判断③；根据一次函数与坐标轴的交点，可判断④． 【详解】解：①函数的图象经过一、二、四象限，结论错误，不符合题意； ②当时，，即它的图象必经过点，不经过点，结论错误，不符合题意； ③函数中，中，两直线不平行，结论错误，不符合题意； ④当时，，当时，， ∴与坐标轴的交点为和，即该直线和两坐标轴围成的三角形面积为，结论正确，符合题意； 综上可得：正确的有④ 故答案为：④． 14． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解，明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴关于，的方程组的解是，的解是， ∴， 故答案为：，． 15． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是将坐标代入中，看等式是否成立． 将代入，可求出点P的坐标，即可解答． 【详解】解：将代入，得 ， 解得． ∴， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】（1）由，即可求得定点的坐标； （2）求得直线与直线的交点，可知点所在的直线为，由点到直线的距离是定值可知，解直角三角形即可求得点到直线的距离． 【详解】解：（1）∵， 当时，得， 即不论为何值，当时，都有， ∴定点， 故答案为：； （2）由， 解得：， ∴， ∴点所在的直线为，且点到坐标轴的距离相等， ∴直线在第一、三象限的平分线上， ∴直线与轴正半轴的夹角为， ∵点到直线的距离是定值， ∴点所在的直线与直线互相平行， 即直线平移后得到直线， ∴， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵直线过定点， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点坐标，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，确定定点的坐标是解题的关键． 17．或 【分析】此题考查一次函数平行的关系，直线与坐标轴围成的三角形面积问题，先根据直线平行得到，再根据面积求出b的值即可 【详解】解：因为直线与直线平行，所以， 所以． 令，则；令，则，解得， 所以图像与坐标轴所围成的三角形的面积，解得， 所以直线的表达式为或． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点等知识，熟知相关知识，正确求出函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）分别求出一次函数图象与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 把，代入得：， 解得， 则一次函数解析式为； （2）解：对于， 令，则； 令，则 ∴函数图象与两坐标轴交点坐标为， 则函数图象与坐标轴围成的三角形面积． 19．(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）把的坐标代入，求得，所以，再把代入，可求得；关于x，y的方程组即，结合图象即可得到答案； （2）先求出A，B的坐标，再根据三角形面积公式求解即可； （3）先求出，，得到方程，解方程即得答案． 【详解】（1）解：把的坐标代入，得， ， ， 把代入，得， ， ， 直线与直线相交于点， 方程组的解是， 整理方程组可得， 方程组的解是； （2）解：对于，令，则， ， ， 对于，令，则， ， ， ， 的面积为； （3）解：垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D， ，， ， ， 解得或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，两直线的交点与二元一次方程组，求直线围成的图形面积问题，一次函数与几何综合问题等知识，熟练掌握一次函数与几何的综合问题是解题的关键． 20．(1)， (2)28 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．注意数形结合思想的应用． （1）根据正比例函数可得A的坐标，再由A的坐标和点可得一次函数的解析式； （2）分别用含m的代数式表示出B和C的坐标，根据可得m的值，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把和代入可得， 解得， 所以一次函数的解析式为； （2）解：由题意可得， ∴， ∴，解得， 即， ∴． 21．(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，求解两直线的交点坐标，图形与坐标，掌握以上知识是解题的关键． （1）当时，由，解方程可得点D的坐标，设直线的表达式为，利用待定系数法求解解析式即可； （2）联立，先解方程组求解点C的坐标，再求解的长度，利用，从而可得答案； （3）设点P的坐标，再利用，解方程可得P的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 点D的坐标为， 由图知， 设直线的表达式为，则 ， 解得：， 直线的表达式为； （2）由题意得：， 解得：， 点C的坐标为， ， ， ， 的面积为； （3）存在，点P的坐标为或，理由如下： 点P在直线上， 设点P坐标为， ， ， ， ， ， 解得：， 点P坐标为或． 22．(1)①④ (2) (3) 【分析】（1）依据题意，将各项中点的坐标分别代入方程看是否满足，从而可以判断得解； （2）依据题意，由是关于、方程和图象的交点上，可得①，且②，从而②①得，，进而可以判断得解； （3）依据题意，由，则，从而当时，，即当时，，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：①当时，则， ，故在方程的图象上； ②当时，则， ，故不在方程的图象上； ③当时，则， ，故不在方程的图象上； ④当时，则， ，故在方程的图象上； 在方程的图象上的点有①④． 故答案为：①④； （2）由题意，是关于、方程和图象的交点上， ①，且②， 得，， 答：的值为； （3）由题意，， ， 当时，，即当时，， 无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过定点． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、规律型：点的坐标、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 23．(1)； (2)；； (3)；实际意义是当购买个篮球时，在、两个商店购买实付费用相同，均为元； (4)商店． 【分析】本题考查了一次函数的应用，分别根据两个商店的优惠方案写出对应的函数关系式，再根据一次函数图象的性质确定方案． 当不超过时，根据每个篮球的标价实付费用购买篮球的数量计算即可； 分别根据两个商店的优惠方案计算即可； 将中得到的两个函数关系式联立，建立关于和的二元一次方程组并求解，从而求得点M的坐标，再说明其表示的实际意义即可； 根据图象，当时，比较、两个商店的实付费用即可得出结论． 【详解】（1）解：由图象可知买个篮球需要元， 每个篮球的标价为（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 去商店购买实付费用与购买数量之间的函数关系式为： ， 当时， 去商店购买实付费用与购买数量之间的函数关系式为： ， 故答案为：，； （3）解：根据图象得：， 解得：， 点的坐标为，表示的实际意义是当购买50个篮球时，在、两个商店购买实付费用相同，均为元； （4）解：根据图象可知，当时，在商店购买的实付费用小于在商店购买的实付费用， 若该校购买个篮球，选择商店购买篮球更优惠． 学科网（北京）股份有限公司 $