三角函数题中所蕴含的数学思想解题策略讲义-2026届高三二轮专题复习

三角函数题中所蕴含的数学思想解题策略 在三角函数题中，蕴含着许多普遍的数学思想和方法，解题时若能有效转化和应用这些数学思想和方法，会对三角变换或解决三角函数问题起到正确的指南作用，对提高解题质量起着“催化剂”的功效. 一、蕴含分类讨论思想 当涉及的角所在象限会影响三角函数值或三角函数性质时，通常需要对角进行分类讨论;当要确定一个角所在的象限时，需对整数进行讨论. 例1、 若时，化简. 分析：要化简含有无理根式的三角函数式，需要将根号下的式子化为完全平方式，通常用二倍角公式或平方关系进行处理. 解：因；①当时，则，；②当时,则,;③当,则, 故综合①②③可得. 例2、已知函数，则集合的非空真子集个数有 个. 分析：先要将函数式中的绝对值按角的三角函数在各象限内的符号一一去掉，才能求出的函数值；然后再确定集合的非空真子集个数，一般地集合的非空真子集个数的计算公式为 . 解：由于函数的定义域为；①当为第一象限角时，;②当为第二象限角时，;③当为第三象限角时，;④当为第四象限角时，.则集合，故集合的非空真子集个数有个. 例3、已知角为第一象限角，试确定角所在的象限. 解：因角为第一象限角，即，则；①当时，为第一象限角；②当时，为第二象限角；③当时，为第三象限角；综合①②③知：角为第一或二或三象限角. 二、蕴含函数与方程思想 根据三角函数或三角方程的式子特点，利用同角三角函数的平方关系、二倍角与半角公式、万能代换公式等进行有效转化，将式子通过消元的手段由多元变为单元，待式子化成二次函数或一元二次方程的形式后，再通过研究函数的性质和图像、或解方程(组)的方式进行求解，是函数与方程的思想在解决三角问题的最佳体现. 例4、求函数的值域. 解法1：令，平方变形得;设，则原方程等价于在上有实数根；令，由于，；故只需,即,则,即；故的值域为. 解法2：由万能代换公式，设，则；；①当时,;②当时, (当且仅当时取等号).综合①②得,即;故的值域为. 例5、已知且；求的值. 解法1：由知;解方程组, 得或(舍去)；故. 解法2：由知；将 ①两边平方得，从而有，得(取正) ②;由①②式解得，故. 解法3：(前同法2)易得(万能代换),因,则;方程化简得,解得(舍去). 解法4：(前同法2)解出，因，则，得，故由半角公式得. 三、蕴含化归与转化思想 在解决某些数学问题时，我们通过采用一些有效手段使之得到化归或转化，进而使问题得到解决，这是一类特有的数学思想方法和一种有效的思维策略.化归与转化思想的核心是将生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题转化较易问题，将未解决问题化归为已解决问题.化归与转化思想在三角函数中的主要体现：化多种函数名称为一种函数名称；化多个角的形式为一个角的形式；化未知角为已知角；化高次为低次(有时转化为二次函数形式求解)等等. 例6、求函数的最值. 解：因 ；由于，故当时，；当时. 例7、已知函数.(1)求的最小正周期与值域；(2)求的单调递减区间. 解：(1)由 ;故的最小正周期为.当时，当时，则值域为. (2)因，由,得;则的单调递减区间为. 例8、已知的三个内角成等差数列，且满足,求角的值. 解：依题意知,可得;将已知式化为，即,由和差化积及积化和差公式得:, 则有,即; 因,于是，从而由方程解得或由此得,又, 故有. 例9、已知，且有;求与的值. 解：因,则;由,可得 ;故，. 四、蕴含数形结合思想 数形结合思想是数学解题中常用的思想方法,通过运用数的严谨和形的直观,将抽象的数学语言与直观的图形语言揉合起来,使抽象思维和形象思维有机地结合在一起,利用图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。三角函数这一章有着丰富的数形结合的情境、载体和问题,许多题目由于采用数形结合的思维策略,能使一些看似复杂问题迎刃而解,且解法灵巧简捷. 例10、已知，求证：. 证明：如图1,在单位圆中，设；过P作轴于M,过A作圆的切线AT交角的终边OP于T;由单位圆中的三角函数线定义得：,,且圆半径;由图形面积知,即,注意,从而得对成立. 例11、已知方程在内恰有个解，求实数的取值范围. 解：令和;则原方程在内恰有个解，转化为两函数的图像在内恰有个交点；在同一坐标系中作出个函数的图像如图2所示，由图2知当两者图像有个交点时，易得；故实数的取值范围为. 例12、若关于的不等式对总成立,求实数的取值范围. 解：令在是单调递增的上凸函数，而是一条过原点的直线；由于与直线在上有且仅有两个交点和,并且当时的图像总在直线的上方;为了使不等式对总成立,只需当时的图像总在直线的上方;故利用图3可得直线的斜率为所求的取值范围. 例13、求函数的值域. 解：如图4，令,则动点在轴上方的半圆()上;设表示动点与定点连线的斜率,当半圆割线处于切线时,易得切线方程为;则圆心到切线的距离,解得(舍去),或;由于,由图3知:;故函数的值域为. 五、蕴含整体思想 整体思想就是指在研究问题时着眼从整体出发，对问题的整体结构、形式和特征进行综合分析、整体处理的一种数学思想方法.利用整体思维分析问题，往往可以找到最合理、最简捷、最有用的解题方法，起到化难为易、化繁为简的特效作用，能极大提高解题效率. 例14、计算值. 解：由,则; 利用诱导公式得：. 例15、求的值. 解法1：令,由三角函数关系可设;则 ①,而 ②;由①②得：,故. 解法2：利用半角公式降次及两角和余弦公式展开得： . 例16、若函数求的值域. 解：因;令(当且仅当时取等号),则;则在上为增函数，于是;故的值域为. 例17、已知求 解法1：由,则;因得又;将各值代入，得. 解法2：由,则;因即 ①,易得即 ②;由①②得，则;故. 6、 蕴含函数有界性思想 三角函数的有界性是指:或至少能取满函数一个完整的单调区间;否则另当别论);它是正余弦函数的一个重要性质之一,正确运用三角函数的有界性,往往能帮助我们明确解题方向,找到解题的突破口,使一些比较复杂的三角函数求值域与最值的问题得以简化.但三角函数的有界性往往是隐含条件,需要解题者善于发现和灵活运用这一基本性质去处理关键环节,才能使问题巧妙而快捷地获得解决. 例18、求函数的最值. 解:因;而,故. 点评:本问题解决的关键是通过二倍角公式及半角公式降次后化为同角三角的正弦、余弦函数,转化为的形式,然后再利用辅助角化为含一个角的正弦函数(其中为辅助角,);或转化(其中);最后利用正弦、余弦函数的有界性使问题得到解决. 例19、求函数的值域. 解法1：由于对恒成立，知原函数的定义域为,并且，再由原函数式解出;因,化简得,从而解得；故原函数的值域为. 解法2：因;而,易得,则；故原函数的值域为. 解法3：由万能代换公式,令,则代入原函数式化简得,整理得 ①,方程①是一个关于的方程在实数集上有解.(1)当时,由①得成立;(2)当时,方程①是一个关于的一元二次方程在实数集上有解,由,解之得：;综合(1)(2)得,故原函数的值域为. 点评:原函数式是一个分子、分母均为关于(或)一次的分式;求这类函数的值域通常有三种方法:法1是先将(或)解出用含的解析式表示,然后利用(或)函数的有界性求出变量的取值范围即可;法2是将原函数式进行分子分离后,再根据分母的有界性求解;法3是先通过三角公式中的万能代换将原函数式转化为关于新变量的一元二次方程,再根据方程有实数解,利用判别式进行求解. 例20、已知实数满足；求的取值范围. 解：设 ①,又 ②;由①②两式平方相加得：,即;因,则且,即,从而;故的取值范围为. 点评：根据题中条件和结论关系,将两式平方相加,就能顺利将多个角和多个三角函数化为含一个复角的三角函数,然后利用三角函数的有界限性可快捷求解. 例21、求函数的最值. 解法1：由原函数解析式化为,即得(其中);因,化简得,解之得;故. 解法2：由万能代换公式,令,则,代入原函数式化简得,即得 ⑴式是一个关于变量的方程在实数集上有解;①当时,由方程⑴解得;②当时,方程⑴是一个关于的一元二次方程在上有解,由,解之得 ;综合①②得;故. 解法3；设,则表示过动点与定点的直线斜率,而点在单位圆上,设直线方程为;在直角坐标系中,作出单位圆和直线的图形,由于两者的图形有交点,考察图形可知当直线与单位圆相切时斜率取得最值;由圆心到直线的距离,解出;故. 点评：由于原函数式是一个分子、分母分别含有正弦、余弦函数的分式,这类求三角函数的值域或最值问题的题型一般都可以用法1的方法,通过利用辅助角化为含一个角的正弦或余弦函数,然后根据三角函数的有界限就能迅速解决;法2是利用万能代换公式通过转化成一元二次方程再进行求解;法3是根据函数式的结构和特点,与过两点的直线的斜率公式一样,通过数形结合的数学思想将问题巧妙解决. 学科网（北京）股份有限公司 $