分类透析导数在解题中的综合应用策略(二) 讲义-2026届高三二轮专题复习

分类透析导数在解题中的综合应用策略(二) 导数是高中数学的重点知识和精华内容，它不仅拓展了学生学习的领域,使学生能以导数为工具,更加深入地研究中学数学出现的有关问题,加强同学们对高中数学知识的深刻理解和直观认识.导数的出现和引入大大丰富了高中数学的知识体系,拓宽了解决各类问题的思路,特别对研究曲线的切线、函数的单调性与极值、求解参数的取值范围及有关各种最值问题开辟了新的途径,带来了极大的便利，能化解或避免解题过程中出现的一些繁琐的计算而使问题迅速获解.本文结合经典实例以导数为工具,可巧妙解决各类试题中的一些常见热点问题，供同学们参考与借鉴. 类型六、处理存在与恒成立问题 例6.已知函数,;若对任意,存在,使成立,求实数的取值范围. 【解析】依题意问题等价于对成立即可.而由且,得;由且,得;则在上递减,在上递增,故得.因,其对称轴为;①当时,在上递增,则且解得; ②当时,则且解得;③当时,在上递减,则且解得综上所述得实数的取值范围为. 【点评】对,使得成立;其充要条件是:对, ,只需成立.按照左边是恒成立要大于右边,此时把右边看作常数可得;现左边是常数要大于右边存在成立,自然得出成立.先利用导数为工具求出在其定义域上的最小值;再通过分类讨论的思想求出在其定义域上的最小值;然后通过两者的最小值关系得出解. 类型七、求解面积中的最值问题 例7.如图,曲线段上的点满足方程,轴于点,曲线段上一点处的切线交轴于点,交线段于点.(1)试用表示切线的方程；(2)试用将的面积表示为,求的最大值,并求出此时点的坐标. 【解析】(1)由得则切线的斜率故切线的方程为,即. (2)易知.由,令,得,即；令,得,即.于是 ,则.易知:当时,；当时,.从而得在上递增,在上递减.故当时,,此时点. 【点评】在解析几何中常会遇到求三角形、四边形面积的最值,求两点之间距离或弦长的最值等,对于这类求面积或长度的最值问题,一般是将所求对象表示成以某字母为自变量的函数,若用常规方法不易求出该函数的最值时,可借助导数为工具来求解会得心应手. 类型八、求函数最值、极值或证明函数不等式 例8.设函数，其中.(1)若，求在的最小值；(2)如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；(3)是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立. 【解析】（1）由题意知,的定义域为，时，由，得（舍去）.当时，;当时，.则当时，单调递减；当时，单调递增.所以. (2)由题意在有两个不等实根，即在有两个不等实根;设，则，解之得. (3)对于函数，令函数, 则;则当时,恒成立,故函数在上单调递增;又则当时,恒有,即对恒成立.取，则有恒成立.故存在最小正整数,使得时,不等式恒成立. 【点评】纵观近年高考数学试卷,可以发现对导数的考查有两个方面的创新：一是研究对象的多元化,由研究单一函数转向研究两个或多个函数;二是研究内容的多元化,由用导数研究函数的性质(单调性、最值、极值)转向运用导数进行函数图象的交点、方程根的分布、参变量的取值范围以及不等式的证明等综合研究.本题第(3)问就是按照证明结论不等式的需要,构造一个新的函数,通过研究新函数的单调性与最值而获得结论的最终证明,这样的题有一定难度,需特别关注. 【跟踪训练题】 6.已知函数,,若,使得对,都有成立,求实数的取值范围. 7.如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为,短半轴长为,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底是半椭圆的短轴,上底的端点在椭圆上,记,梯形面积为.(1)求面积以为自变量的函数式,并写出其定义域；(2)求面积的最大值. 8.设函数,且.(1)当,时,设，求证：对任意的，；（2）当时，若对任意，不等式恒成立.求实数的取值范围. 跟踪训练题答案与解析 6.解:依题意只需对成立即可;而在上递增,则;又对成立,则在上递减,则,从而由,即. 7.解:(1)依题意,以的中点为原点建立平面直角坐标系,如图.设点坐标为,则满足方程,解得.所以 ,其定义域为. (2) 记,,则. 令解得.因为当时,；当时,.从而知在上递增,在上递减,所以.因此,当时,取得最大值,.即梯形面积的最大值为. 8.解析:(1)当,时,,则等价于;令，则，可知函数在上单调递增,则，即，亦即;从而证明 成立. (2)当时,,;则不等式等价于. 法1：令(); 则. ①当时，，则函数在上单调递增;则， 则根据题意知有，即成立.②当时，由，知函数在上单调增减;由,知函数在上单调递增;则,由条件知,即.设(),则对恒成立,故在上单调递减；又，所以与条件矛盾,不合. 综上可知实数的取值范围为. 法2：令();则在上恒成立，则由，得. 又， 显然当时，，则函数在上单调递增，则，所以.综上可知的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $