高中课本函数中的数学思想应用策略 讲义-2026届高三二轮专题复习

高中课本函数中的数学思想应用策略讲义 函数是贯穿于高中数学的一条主线，其特点是包含的知识点多、覆盖面大、综合性强和应用性广,它既是高中阶段学习的重点内容,又在高考试题中所涉及内容份额最大，且是历年高考考查的热点.思想是行动的指南,解函数问题离不开正确思想的引领，而数学思想是对数学知识和方法的本质认识，数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具；因此数学思想方法是数学知识的精髓,决定了其成为高中《数学课程标准》的核心价值和人文素养.下面结合典型试题介绍解函数问题中的四大数学思想，以供同学们参考和借鉴. 一、函数与方程思想 函数思想是指用运动和变化的观点来分析和研究具体问题中的数量关系，并用函数的解析式将其表示出来，从而通过借助函数的图像与性质而使问题获解.方程思想就是分析数学中的变量间的等量关系，通过构建方程或方程组，然后转化为对方程的解的讨论，并最终使问题获解.函数思想与方程思想是密切相关的，它们可以相互转化、彼此借鉴，在处理问题时相辅相成，达到和谐统一；如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以借用函数图像、性质等加以解决. 例1.设关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【解析】由于,知,将方程变形为.令 (),设,而;因为 ，则,即，所以在上是单调递增的.从而有，于是,解得,故得实数的取值范围为. 【点评】本题是通过分离常数的方法将方程问题转化为函数问题，然后利用函数的单调性求出其值域，并通过解不等式组的形式求出参变量的取值范围而使问题获解，体现了利用函数思想解题的灵活性和便捷性. 【变式训练1】已知，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 二、分类讨论思想 分类讨论思想是指当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.事实上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的一种思维策略，分类的对象是确定的，标准是统一的.要注意:分类不重复，不遗漏；讨论时,分层次进行，不越级讨论.  例2.已知函数的定义域为，求的最大值. 【解析】由于函数图像的对称轴为,而,下面分三种情形讨论:(1)当,即时，易知在上是递减的，则 ；(2)当,即时，可得；(3)当,即时，易知在上是递增的，则.综上可得. 【点评】本例是一个二次函数最值的讨论问题,在确定其抛物线图像开口方向与定义域的前提下，要注意按其图像对称轴的位置进行分类讨论,讨论应遵循“不重复、不遗漏”的原则.在含有待求参数的函数问题解题中，当这些参数直接影响着函数图像的位置与形状时，也影响着函数的其它性质(如最值、零点、单调性、奇偶性、周期性等),此时需要对参数进行分类讨论. 【变式训练2】试讨论函数的零点个数. 三、数形结合思想 数形结合思想是指在处理某些数学问题时,能够将抽象的数学语言(文字、符号、式子等)与直观的几何图像有机地结合起来进行思索,通过“以形助数，以数析形”来促使抽象思维与形象思维的和谐统一，通过对规范图形或示意图形的观察和分析,化抽象为直观、化直观为精确，从而使复杂问题得到简捷的解决.在运用数形结合的思想方法解题时，一般要遵循等价性、双向性和简单性原则. 例3.已知函数,若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【解析】作出函数的图像如图所示.要使函数有两个不同零点,只需函数与的图像有两个不同交点.由图像观察和分析可得,解得；故实数的取值范围为. 【点评】由于函数的图像是“数与形”结合的最佳载体，因此在处理有些涉及函数的零点、求解函数中含参数的取值范围及解一些特殊不等式等问题时,可结合函数的图像使问题轻松获解.在解题训练中，同学们要争取做到胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野. 【变式训练3】若不等式对恒成立,求实数的取值范围. 四、转化与化归思想 转化与化归思想是指在研究和解决数学问题时采用某些方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的一种数学思想方法.转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程；而化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题来处理.转化与化归是中学数学最基本的思想方法，每一个数学问题的解决总离不开转化与化归，它堪称数学思想的精髓.使用转化与化归思想的原则是化生为熟、化难为易、化繁为简、化未知为已知等等. 例4.若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围. 【解析】依题意不等式对任意恒成立,可等价转化为成立即可.令,得函数()；设,则.易证得:当时, ，当时,；故知函数在上是递减的，在上是递增的.从而，则只需，解得；故实数的取值范围为. 【点评】对于这类不等式或方程恒成立问题的基本解题策略是采用转化与化归的数学思想，有时需转化为最值问题解决，有时可转化为图像问题来解决.另外，本例也用到了反客为主和换元的数学策略，这些都是常用的解题方法；然后通过函数单调性的定义来证明函数的单调性,从而才能求出的最小值并使问题获解. 【变式训练4】若函数的图像恒在轴的上方，求实数的取值范围. 变式训练题答案及解析 1.解:因为，所以，从而.可将原不等式转化为恒成立.由于当,上述不等式不成立，故.令()为关于的一次函数.问题转化为在上恒成立,于是有，解得或为所求的取值范围. 2.解:依题意令,得；又设和,则问题等价于两个函数图像的交点个数.而,作出偶函数的图像,再作出常函数的图像,根据两者图像交点的情况可知:当时，函数有个零点(无零点);当或时，函数有个零点;当时，函数有个零点;当时，函数有个零点. 3.解:作出函数和的图像如图所示，依题意应有，即得；故实数的取值范围为. 4.解:由于函数的图像恒在轴的上方，可等价转化为关于的不等式对任意恒成立.(1)当时,即得或.若,不等式化为,此时不满足题意；若,不等式化为,此时满足题意.(2)当时,依题意应有，解得.综合(1)(2)可得实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $