培优点03 等和线（5大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第二册）

培优点03 等和线 目录 01 方法总结 2 02 题型归纳 3 题型一：等和线 3 题型二：等差线 4 题型三：等积线 5 题型四：等商线 5 题型五：综合问题 6 03 过关测试 8 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。 （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 题型一：等和线 【例1】如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【变式1-1】勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在钝角三角形中，为钝角，为重心、外心、垂心、内心分别为、、、，（其中），当取最大值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 题型二：等差线 【例2】如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的个数为（    ） ①当时， ②当P是线段的中点时，， ③若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 ④的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 . 题型三：等积线 【例3】中，点，为边上动点，且，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-1】若P是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3-2】如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ）    A． B．1 C． D．2 题型四：等商线 【例4】如图，在中，点在边上，且.过点的直线分别交射线、于不同的两点、.若，，则（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值 【变式4-1】在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【变式4-2】如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 题型五：综合问题 【例5】（多选题）在等腰梯形中，，P是线段上的一个动点，且，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．n的取值范围是 C．是定值 D．的最大值是 【变式5-1】（多选题）如图，是边长为2的等边三角形，M为BC上靠近B的三等分点，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．若AM交BO于点N，，则 C．的最大值为5 D．若点Q为此半圆弧上的另一个动点，且满足，则的最大值为 【变式5-2】在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 1．在中，E是AC的中点，，则点P在直线BE上的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知O为的内心，角A为锐角，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 5．△ABC中，D为AB上一点且满足，若P为CD线段上一点，且满足（，为正实数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为3 6．在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知中，，，若与线段交于点，且满足，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在的直线分别交于点M、N，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 9．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n（m＞0，n＞0），则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．2 10．在中， 为边上的两个动点，且满足，则（    ） A．有最小值4 B．有最大值4 C．有最大值2 D．有最小值2 11．等腰梯形中，已知//，且，，若动点满足，设，则的最大值为     A．2 B． C． D． 12．（多选题）如图，在梯形ABCD中，，，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点，则（   ）    A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 13．（多选题）如图，已知点P是的中线上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是8 14．（多选题）如图，为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为5 D．若，则的最大值为 15．（多选题）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 16．（多选题）已知矩形中，、交于点，，，点是矩形所在平面内的一点，且满足，．则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值是为 C．的最小值为 D．的最大值为40 17．（多选题）已知是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 18．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为______． 19．已知O为的外心，满足，若的最大值为，则______． 20．在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为BD上一点，且满足，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为______. 21．如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为_________. 22．已知为的内心，，且满足，则的最大值为_________. 23．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，P为内一点．若点P满足，且，则的最大值为__________． 24．已知内一点是其外心，，且，则的最大值为_____________． 25．如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是__________. 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $培优点03等和线 目录 01方法总结 02题型归纳 题型一：等和线… 3 题型二：等差线 题型三：等积线 题型四：等商线… 10 题型五：综合问题 13 03过关测试 17 1/37 01 方法总结 (1)平面向量共线定理 已知OA=入OB+uOC,若2+u=1,则A,B,C三点共线；反之亦然。 (2)等和线 平面内一组基底OA,OB及任一向量OP,OP=2OA+uOB(2,H∈R),若点P在直线AB上或者在平行 于AB的直线上，则入+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和 线。 ①当等和线恰为直线AB时，k=1; ②当等和线在0点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在点0和等和线之间时，k∈L,+o); ④当等和线过0点时，k=0; ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数； 2/37 02 题型归纳 题型一：等和线 【例1】如图，边长为2的等边ABC的外接圆为圆0，点P为圆0上任意一点，若AP=xAB+yAC,则 2x+2y的最大值为() C B A.8 B.2 c. D.1 【答案】A 【解析】作BC的平行线与圆O相交于点P,与直线AB相交于点E,与直线AC相交于点F, B 设AP=入AE+μAF,因为P,E,F三点共线，所以2+H=1, 等边三角形边长为2，则外接圆半径为R?×5x22 32 3 由BCEF,可设4E=4g=k, AB AC 当EF过点A且与圆O相切时，k取最小值O, 当BC与EF在点O的同侧，且EF与圆O相切于点P时，k取最大值， 4V5 此时AP=2R=4y5,AB=AF=2R= 8 3 Sn60。-3=则k取最大值3-4 23 3/37 AE=kAB,AF=kAC,AP=2AE+HAF=元kAB+μkAC, 又AP=xAB+yAC,则x=元ky=uk,得x+y=k(2+H)=k, 所以2x+2y=2k≤背，则2x+2y的最大值为 3 故选：A. 【变式1-1】勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名该几 何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧 围成的曲边三角形.如图，己知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且 BM=入AB+uAC(2,H∈R),则+的最大值为() A.5 B.23 c25 D.5-1 3 【答案】C 【解析】由BM=元AB+μAC,得AM-AB=元AB+uAC,则AM=(I+)AB+μAC, 令AM与BC交于点D,设AM=1HD,则D=1+2B+业AC, t 由BC,D三点共线，得1+之+丝=1，则1+元+4=1==2 AD AD' 当M在弧AC、弧AB上（不含端点）时，1+入+u<1;当M在弧BC上（不含端点）时， 1+2+4>1;当M与B,C之一重合时，1+入+u=1;当M与A重合时，1+元+u=0, 因此1+入+u最大，当且仅当M在弧BC上（不含端点）且AD⊥BC, 22W3 测0+入+三万=3，所以元+4的最大值为2V3二h 3 故选：C 4/37 D B 【变式1-2】在钝角三角形ABC中，A为钝角，ABC为重心、外心、垂心、内心分别为G、G,、G、 G,AG,=2,AB+4,AC(其中正=1,2,34)，当九，+4，取最大值时，i=（) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】对于垂心G,设AH为BC边上的高，因为A为钝角，故G在AH的延长线上， 而AG=元AB+4AC,故23<0,3<0，此时23+43<0， G B H 对于重心G和内心G,,无论A为何角，G、G,都在三角形内部， 而AG=,AB+4,AC(i=1,4, ,14G=2十4入+ 故2，+，+0且+H =,-AB+,4,-AC(i=1,4, 段产西+n不：面，则成C0共线，且瓜可. 放AG,D共骏且2十4>1即0<+< G D 对于外心G,,因为A为钝角，故G,在ABC的外部且A,G2在BC的异侧， 而AG2=,AB+4,AC, 做+妈0且G中地c. 5/37 设，名+兰C=孤，则8，C,八三点光线，且无十-孤， 22+42 2+42 故4，G,D,共线且，+ 一<1即22+42>1. B D C 故选：B 【变式1-3】对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学 史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边ABC中，AB=2,以三条边为直径向外作三个半圆，M 是三个半圆弧上的一动点，若BM=入AB+μAC,则入+u的最大值为() ⊙ A B.3 C.1 3 D. 【答案】B 【解析】如图所示，过点M作MP11BC,交直线AB,AC于点P,O, 设AM=xAP+yA⑨，可得x+y=1 设AP=kAB,AO=kAC,则BM=AM-AB=(-1)AB+yAC, 因为BM=1AB+μAC,所以入+u=kx-1+内y=k-1, 由图可知，当PM与半圆BC相切时，k最大， 又由AB=2,BE=1=23 nT3，可得AE=2+25-6+25 sin 33 3 所以k=1E=3+V5 AB 3 即k最大为3+5，所以久+知的最大值为5 3 故选：B 6/37 A M B E F 题型二：等差线 【例2】如图，B是AC的中点，BE=2OB,P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且 OP=xOA+yOB(x,y∈R),则下列结论正确的个数为(） D E O ①当x=0时，y∈[2,3 ②当P是线段CE的中点时，x，ys3 2 ③若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 ④x-y的最大值为-1 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】当x=0时，OP=yOB,则P在线段BE上，故1≤y≤3，故①错 当P是线段CE的中点时，OP=OE+EP=3OB+(EB+BC) =306+-20丽+)=306-05+o丽-0网列=01+0丽，2对 x+y为定值1时，A,B,P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线 段，故③对 7/37 D E N A 如图，过P作PM/IA0,交OE于M,作PNI1OE,交AO的延长线于N, 则：OP=ON+OM; 又0P=x0A+y0B;x≤0，y≥1； 由图形看出，当P与B重合时：OP=0OA+1OB; 此时x取最大值0，y取最小值1；所以x-y取最大值-1，故④正确 所以选项②③④正确， 故选：C 【变式2,1】已知△4BC中，CD=号BC,C=4C,F-写，若点P为四边形4DF内一点不含边 界)且DP=-DC+xDE,则实数x的取值范围为」 【答案】 【解析】如图所示，在线段BD上取一点G,使得DG=-}DC, 设DC-3a,则DG=a,BC=5a,BG=a; 过点G作GHIDE,分别交DF、AE于K、H, 连接FH,则点K、H为临界点； GHDE,所以HE=EC,AH=2EC,HG=4DE, 3 AH 1 AF HC-2 FB 所以FHIBC: 所以H=BC, 所以FHKH DG KG' 所以KG=HK, 5 3」 1 KG-HG=DE. 8 8/37 所以实数x的取值范围是(23 14 故答案为：（ E G 题型三：等积线 【例3】ABC中，点D,E为边BC上动点，且AE=入AB+AC+HAD,则2u的最大值为() B.2 1 c.4 D8 1 A.1 【答案】D 【解析】由已知，设BC中点为M,易知AB+AC=2AM. 故AE=1(AB+AC)+μAD, 可化为AE=2AM+uAD,1,u>0. 因为D,E,M三点共线，故2元+u=1, 所以×业24兰时令当且仅当2以时取等号。 故选：D 【变式3-1】若P是ABC内部或边上的一个动点，且AP=xAB+yAC,则y的最大值是() A月 B. C.1 D.2 【答案】A 【解析】由P是ABC内部或边上的一个动点，且AP=xAB+yAC, 所以x+y≤1，且0≤x,y≤1， 由y≤5+少≤：，当且仅当x=y=时等号成立 4 4 2 故选：A 【变式3-2】如图，在ABC中，点O是BC边的中点，过点O的直线分别交射线AB,AC于不同的两点 9/37 M,N.设AB=mAM,AC=nAN,则mm的最大值为() A A. B.1 C.√5 D.2 【答案】B 【解折】根据题意，80：0C,80:8C, 所以40=B+8o=A+8C=AB+(B+404B+4C 又AB=mAM,AC=nAN, 所以A0=}m m+2n4 因为三点O,M,N共线， 所以+=1，即m+n=2,由图可知，m>0,1>0 所以2=m+n≥2√mn,当且仅当m=n=1时取等号， 所以mn≤1，mn的最大值为1. 故选：B M 题型四：等商线 【例4】如图，在ABC中，点O在边BC上，且2OC=3OB过点O的直线分别交射线AB、AC于不同的 两点M、N若B=mM,AC=n,则上+() m n 10/37