2026年中考数学一轮复习 高频考点专练19 等腰三角形（讲义+练习+测试）(广东专用)

高频考点专练19 等腰三角形 （4个知识点+7个题型+1个专练+验收卷） 1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）； 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线．底边上的中线．底边上的高重合． （2）等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 2．等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）． 等边三角形的概念 三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形． 等边三角形的性质 1）等边三角形的三条边相等． 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°． 等边三角形的判定 1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形． 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 特别注意：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 类型1 等腰三角形的定义 【例题】 1．（2025·广东广州·模拟预测）已知等腰三角形的两边长分别为、，则等腰三角形的周长是（ ） A． B． C．或 D． 【变式】 2．（2024·广东河源·二模）如果等腰三角形的一个底角为，那么另外两个角的度数分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（2025·广东清远·一模）将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 5．（2025·广东广州·一模）已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为__________． 类型2 等边对等角 【例题】 6．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】 7．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，中，，将逆时针旋转（），得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（   ） A． B． C． D． 8．（2025·广东珠海·三模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点、，连接，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025·广东汕头·一模）如图在中，边，的垂直平分线交于点D，连结，，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·广东深圳·一模）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 类型3 三线合一 【例题】 11．（2020·广东深圳·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式】 12．（2025·广东清远·模拟预测）如图，在中，，垂足为，点是上一点，连接．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·广东广州·二模）如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为8，则四边形的面积为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 14．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 类型4 等腰三角形的性质与判定 【例题】 15．（23-24八年级下·广东深圳·期中）由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【变式】 16．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 17．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，在中，已知和的平分线相交于点F．过点F作，交于点，交于点E．若，，则的周长为（　 ） A．8 B．9 C．10 D．13 19．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为_________海里． 20．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交于点D、E，且．若，则的周长为_____． 21．（25-26八年级上·广东江门·月考）如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个． 22．（24-25八年级上·广东江门·月考）在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有________个． 类型5 等边三角形的性质与判定 【例题】 23．（2023·广东广州·一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值．则_____________度． 【变式】 24．（25-26八年级上·广东汕头·期中）已知：如图，P、Q是边上两点，且，则___________度． 25．（24-25八年级上·广东韶关·期末）如图，若，则的度数为______________． 26．（24-25八年级下·广东深圳·期末）苯分子式为的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的随着研究的不断深入，发现如图的一个苯分子中的个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图，点为正六边形对角线的中点，连接．若，则的长是______． 27．（2025·广东广州·三模）如图，是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在边上找一点D修建便民服务中心，在右侧修建一个等边三角形的草坪，沿铺设一条石子小路（宽度忽略不计）．已知，．若在线段上找一点P修建游客休息亭，且，当点B到点P的距离与的长度之和最小时，______． 28．（2024·广东河源·二模）如图，均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，，则的值为________． 29．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在等边中，平分分别为上的一点，且，若当时，则的最小值为____________． 满分：60分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共24分） 1．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共12分） 9．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 10．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 ． 11．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    12．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度． 三、解答题（共24分） 13．（2025·江苏常州·中考真题,12分）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 14．（2025·福建·中考真题,12分）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 等腰三角形验收卷 满分：120分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共30分） 1．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 3．如图，一艘渔船由南向北航行，上午8时，发现灯塔在渔船的北偏西方向，上午10时，却发现灯塔在渔船的南偏西方向．已知渔船的速度是28海里/小时，渔船上午8时和10时的位置分别用点表示，则的距离为（    ）    A．28海里 B．42海里 C．56海里 D．70海里 4．如图，，点为线段上一点．若，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．一副三角板如图所示摆放，，以A为旋转中心，逆时针旋转三角板，当点E再次落到边上时，点D走过的长度为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，点D在边上，点O为的内心，当为钝角三角形时，，则和的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 9．题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：d＝1.6，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 10．如图，等腰直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转（），得到，连接，点H在射线上，则的度数（    ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．不变 D．随着的增大，先增大后减小 二、填空题（每题3分，共15分） 11．已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____． 12．已知的三条边的长度依次为a，b，c，且满足，则一定是___________三角形． 13．如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________． 14．将一副三角尺按图所示方式摆放，它们共用顶点，，分别交于点，．若，，，，则的度数是______． 15．如图，在等腰三角形中，，，D是边上靠近点C的三等分点，且满足，点是点B关于直线的对称点，则线段的长为______． 三、解答题（共75分） 16．（9分）如图，点，在的边上，，，．求证：．请你补全下述证明过程： 证明：， ．（依据：___________） ， ．（依据：___________） ，___________， ， ， ． 17．（9分）小明与小红是学习伙伴，下面是他们学习中的讨论与交流内容，请你帮助他们解答相关问题． 小明：我发现课本第40页第7题只要几步就能证明，不需要用三角形全等的方法． 小红：噢，这一题讲的是：在等腰三角形中，如果底边上的一点到两腰的距离相等，那么这点一定是底边的中点． 请你根据小红的叙述画出图形，写出已知、求证，并完成证明．（图形画在答题纸相应的方框中） 已知： 求证： 证明： 18．（9分）在数学活动课上，同学们学习了三角形全等的判定后，继续探索特殊三角形的判定方法：若与均为等腰三角形，其中，． (1)下列条件中，可以判定的是________；（填序号） ①，； ②，； ③，； ④，． (2)从（1）中选择一个合适的条件进行证明． 19．（9分）如图，某建筑工地需在两墙之间架设测量设备．地面上有一可移动梯子，初始时梯子长为米，斜靠在左侧墙上，梯子底端固定在地面，顶端靠在墙上，此时梯子与地面的夹角为（即）．随后，工人将梯子底端保持不动，将顶端转向右侧墙，此时梯子与地面的夹角为（即）．图中所有点均在同一平面内，求两墙上的测量点和的距离（即的长度）． 20．（9分）如图，直线经过线段的中点，，为射线上的一动点，为射线上的一动点，，连接. (1)求证：. (2)若，当时，求的长. 21．（10分）如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．    (1)在图1中，画出线段的中点M． (2)在图2中，线段与水平网格线相交于D、E两点，在直线l上画一点P，连接和，使得最小． (3)在图3中的直线l上画一点F，使． (4)在图4中，线段与水平网格线相交于D点，过D点画于H点． 22．（10分）如图1，在中，，点在上（不与，重合），连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，． (1)从①；②；③三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成真命题，并说明理由：你选择的条件是________，结论是________； (2)在（1）的条件下，如图2，是的中点．当运动到何处时，在的垂直平分线上？说明理由． 23．（10分）如图，是等边三角形，是边上一点，在右侧作，且，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)若是等边外一点，且与点都在直线同侧，若，连接，画出图形，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点专练19 等腰三角形 （4个知识点+7个题型+1个专练+验收卷） 1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）； 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线．底边上的中线．底边上的高重合． （2）等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 2．等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）． 等边三角形的概念 三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形． 等边三角形的性质 1）等边三角形的三条边相等． 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°． 等边三角形的判定 1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形． 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 特别注意：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 类型1 等腰三角形的定义 【例题】 1．（2025·广东广州·模拟预测）已知等腰三角形的两边长分别为、，则等腰三角形的周长是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分两种情况讨论：3为腰或7为腰，结合三角形两边之和大于第三边解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，三边长为， ∵，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，此种情况不存在； 当为腰时，三边为，满足三角形三边关系，能构成三角形， 此时等腰三角形的周长是； 综上，等腰三角形的周长是， 故选：． 【变式】 2．（2024·广东河源·二模）如果等腰三角形的一个底角为，那么另外两个角的度数分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可得，两个底角相等，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角为， ∴顶角为， ∴另外两个角的度数分别为和， 故选：B ． 3．（2025·广东清远·一模）将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形定义，根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【详解】解：是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选：C． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分顶角是钝角和锐角两种情况，分别根据题意画图，运用三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：如图：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，由题意可得，则顶角； 如图：当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，由题意可得， 则顶角． 故顶角的度数为或． 故选C． 5．（2025·广东广州·一模）已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的定义，一元二次方程的根，分情况讨论：当时，当时，分别讨论求解即可． 【详解】解：2，4，a分别是等腰三角形三边的长， 当时，2，4，2不能构成三角形，不符合题意； 当时， ∴， ， 故答案为：． 类型2 等边对等角 【例题】 6．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由平行线的性质可得，再由等边对等角并结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式】 7．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，中，，将逆时针旋转（），得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，根据旋转的性质可知，，根据等腰三角形的性质可以求出，从而可得，利用三角形外角的性质可以求出，根据旋转的性质可知． 【详解】解：将逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 是的外角， ， ， 由旋转的性质，可知． 故选：D． 8．（2025·广东珠海·三模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点、，连接，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，可判断A选项结论；由三角形内角和定理，可得，再根据旋转的性质，得到，可判断B选项结论；根据旋转的性质和等边对等角的性质，可判断C、D选项结论． 【详解】解：由旋转的性质可知，， A选项结论正确，不符合题意； ，， ， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， B选项结论正确，不符合题意； 由旋转的性质可知，，，， ， ， 与不垂直， C选项结论错误，符合题意； 由旋转的性质可知，，，， ，， ， D选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握旋转的性质是解题关键． 9．（2025·广东汕头·一模）如图在中，边，的垂直平分线交于点D，连结，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质，正确作出辅助线是解题关键．连接并延长交于点，首先根据垂直平分线的性质可得，进而可得，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，同理可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接并延长交于点， ∵边，的垂直平分线交于点，， ∴， ∴， ∴，同理可得， ∴． 故选：A． 10．（2025·广东深圳·一模）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角度、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质结合等边对等角可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 类型3 三线合一 【例题】 11．（2020·广东深圳·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据尺规作图的方法步骤判断即可． 【详解】由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线， 而AB=AC， 由等腰三角形的三线合一知D为BC中点， BD=3， 故选B 【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质. 【变式】 12．（2025·广东清远·模拟预测）如图，在中，，垂足为，点是上一点，连接．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据等等腰三角形的三线合一得，，进而得，再根据直角三角形的性质得，即可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴，，A、B正确，不符合题意； ∴是线段的垂直平分线， ∴，D正确，不符合题意； 在，是斜边，是直角边，， ∴C错误，符合题意． 故选：C． 13．（2025·广东广州·二模）如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为8，则四边形的面积为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证明三角形全等，是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一，证明，结合图形得出四边形的面积，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    等腰直角三角形中，为边上中点， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴四边形的面积， ∵的长为8， ∴， ∴四边形的面积， 故选：B． 14．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 类型4 等腰三角形的性质与判定 【例题】 15．（23-24八年级下·广东深圳·期中）由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（    ）    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了复杂作图，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据作图痕迹判断是否符合题意即可． 【详解】解：①根据作图得，故，符合题意； ②根据作图得，不符合题意； ③根据作图得   平分，， ∴， ∴， ∴， 因此③符合题意； ④根据作图得，不符合题意， ∴符合题意的有①③， 故选：C． 【变式】 16．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 17．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，利用分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．分别以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为，，，从这三方面分别考虑点B的位置． 【详解】解：如图所示， 当时，以点为圆心，的长为半径作圆，与直线b在点两侧各有一个交点，此时B点有2个； 当时，以点A为圆心，的长为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个； 当时，作的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个； ∴满足条件的B点总共有4个， 故选：D． 18．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，在中，已知和的平分线相交于点F．过点F作，交于点，交于点E．若，，则的周长为（　 ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，根据等角对等边可得，，于是可得结论． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长为： . 19．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为_________海里． 【答案】90 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键． 根据已知条件求得，，即可得到，即可得解． 【详解】由题可得：海里， 点在灯塔P的南偏东方向处，点位于灯塔P的北偏东处， ，， 是等腰三角形， 海里； 故答案是． 20．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交于点D、E，且．若，则的周长为_____． 【答案】18 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，证明三角形是等腰三角形是解题的关键． 根据已知利用平行线的性质及等角对等边、角平分线的定义证明出，，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴三角形的周长为． 故答案为：． 21．（25-26八年级上·广东江门·月考）如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，直线上与已知两点组成等腰三角形的点． 根据等腰三角形的定义，结合线段垂直平分线的性质，分三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】解：为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 作的垂直平分线，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 22．（24-25八年级上·广东江门·月考）在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有________个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，能正确进行分类求出所有的情况是解题的关键．有三种情况：当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，作的中垂线，看中垂线与轴的交点个数，从而得到答案． 【详解】解：如图，有三种情况 当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有1个； 当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有2个； 当时，作的中垂线，中垂线与轴的交点有1个． 故答案为：4． 类型5 等边三角形的性质与判定 【例题】 23．（2023·广东广州·一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值．则_____________度． 【答案】240 【分析】由等边三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， 故答案为：240． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【变式】 24．（25-26八年级上·广东汕头·期中）已知：如图，P、Q是边上两点，且，则___________度． 【答案】60 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质．由已知可得为等边三角形，进而得出结果． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：60． 25．（24-25八年级上·广东韶关·期末）如图，若，则的度数为______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，先证明是等边三角形，得到，再由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为；． 26．（24-25八年级下·广东深圳·期末）苯分子式为的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的随着研究的不断深入，发现如图的一个苯分子中的个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图，点为正六边形对角线的中点，连接．若，则的长是______． 【答案】 【分析】此题重点考查正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，推导出，且是解题的关键． 由点为正六边形的对角线的中点，可得， ，且平分，从而得到是等边三角形，即可得到问题的答案． 【详解】解：∵多边形是正六边形， ∴， 点为正六边形对角线的中点， ，且平分， ∴， 是等边三角形， ， 故答案为：． 27．（2025·广东广州·三模）如图，是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在边上找一点D修建便民服务中心，在右侧修建一个等边三角形的草坪，沿铺设一条石子小路（宽度忽略不计）．已知，．若在线段上找一点P修建游客休息亭，且，当点B到点P的距离与的长度之和最小时，______． 【答案】 【分析】过点作， 且， 连接交于点， 连接，即可得到进而得到当，， 三点共线时， 取得最小值即点与点重合，取得最小值，过点作于点，即可得到，，然后根据等边三角形的性质证明，即可得到，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：过点作， 且， 连接交于点， 连接， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当，， 三点共线时， 取得最小值即点与点重合，取得最小值， 过点作于点， ∵， ， ∴， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 过点作于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质。等边三角形的性质，两点间线段最短，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 28．（2024·广东河源·二模）如图，均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，过点B作于H，先求出，再由等边三角形的性质得到，解直角三角形得到，则，证明，则，可得；同理可得，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于H， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 同理可得， ∴， 故答案为：． 29．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在等边中，平分分别为上的一点，且，若当时，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，过点作，使，连接，证明，当点三点共线时，取最小值，可证是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，平分， ∴，， 如图所示，过点作，使，连接， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取最小值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 满分：60分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共24分） 1．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形的外角性质，得：， ∴． 故选：C． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识； 根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解. 【详解】解：根据题意可得：平分，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：A. 4．（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 5．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 6．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有D选项正确． 故选：D． 7．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 8．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共12分） 9．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 10．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 11．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度． 【答案】40 或60 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当点D在射线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在射线上，且在点B之外， ∴，即， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在线段上，且在点B之内， ∴， ∴； 故答案为：40 或60． 三、解答题（共24分） 13．（2025·江苏常州·中考真题,12分）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：如图，即为所求作． 14．（2025·福建·中考真题,12分）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 等腰三角形验收卷 满分：120分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共30分） 1．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，即， 当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，为等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 3．如图，一艘渔船由南向北航行，上午8时，发现灯塔在渔船的北偏西方向，上午10时，却发现灯塔在渔船的南偏西方向．已知渔船的速度是28海里/小时，渔船上午8时和10时的位置分别用点表示，则的距离为（    ）    A．28海里 B．42海里 C．56海里 D．70海里 【答案】C 【分析】本题主要考查了方位角、三角形内角和定理、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由题意可得：，运用三角形内角和定理可得，即，再根据等角对等边以及行程问题即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ， ， （海里）． 故选C． 4．如图，，点为线段上一点．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据得出，，，结合等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：， ，，， ． 又， ， 故选：C． 5．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明 ，即D选项正确； 【详解】由旋转可知， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵为钝角， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 6．一副三角板如图所示摆放，，以A为旋转中心，逆时针旋转三角板，当点E再次落到边上时，点D走过的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，求弧长，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，根据旋转的性质推出为等边三角形，求出，即旋转角为60度，进行利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即：旋转角为， ∴， ∴点D走过的长度为为； 故选A． 7．如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN， ∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠ACN=∠B， 而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB， ∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B， ∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC， ∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN， ∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN， 而AC不一定平分∠MAN， ∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键． 8．如图，在中，，，点D在边上，点O为的内心，当为钝角三角形时，，则和的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解决本题的关键是掌握三角形的内心， 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得，由为的内心，可得，所以，由点在线段上（不与重合），可得，进而可得，再根据为钝角三角形，得出，即可得出． 【详解】解：在中，，， ， ∵为的内心， ， ， ∵点在线段上（不与重合）， ， ， ， ∵为钝角三角形，，， ， ， ， ， 综上，， ∴，． 故选：C． 9．题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：d＝1.6，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】过点C作于，在上取，发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于对称，分情况分析即可 【详解】过点C作于，在上取 ∵∠B＝45°，BC＝2， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC 通过观察得知： 点A在点时，只能作出唯一一个△ABC（点A在对称轴上），此时，即丙的答案； 点A在射线上时，只能作出唯一一个△ABC（关于对称的AC不存在），此时，即甲的答案， 点A在线段（不包括点和点）上时，有两个△ABC（二者的AC边关于对称）； 故选：B 【点睛】本题考查三角形的存在性质，勾股定理，解题关键是发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于对称 10．如图，等腰直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转（），得到，连接，点H在射线上，则的度数（    ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．不变 D．随着的增大，先增大后减小 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解． 【详解】解：过点A作于点M，如图 ∵将绕点B顺时针旋转θ（），得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即的度数是定值， 故选C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11．已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____． 【答案】40°或100° 【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°； 当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°； 故答案为：40°或100°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论． 12．已知的三条边的长度依次为a，b，c，且满足，则一定是___________三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系及因式分解，合理利用因式分解进行计算是解决本题的关键． 对，通过分组因式分解进行形式变形，再根据三角形中的三边关系，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴①， 又∵a，b，c是的三边， ∴， ∴①式中只能，即， ∴一定是等腰三角形． 故答案为：等腰． 13．如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________． 【答案】 【分析】由等腰三角形，“等边对等角”求出，再由垂直平分线的性质得到，最后由三角形外角求解即可． 【详解】解：, , 垂直平分 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形外角概念，能正确理解题意，找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键． 14．将一副三角尺按图所示方式摆放，它们共用顶点，，分别交于点，．若，，，，则的度数是______． 【答案】/75度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，，得出，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，在等腰三角形中，，，D是边上靠近点C的三等分点，且满足，点是点B关于直线的对称点，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 连接．根据轴对称的性质得到点三点共线，则，，，由三角形内角和定理证明，由对称性可得，最后在中，由勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接． 点是点关于直线的对称点， ． ， 点在上，即点三点共线， ． 又， ， ，． ， ，即． ，是边上靠近点的三等分点， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16．（9分）如图，点，在的边上，，，．求证：．请你补全下述证明过程： 证明：， ．（依据：___________） ， ．（依据：___________） ，___________， ， ， ． 【答案】等角对等边，三线合一， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等角对等边，等腰三角形的三线合一的性质填空，即可求解． 【详解】证明：， ．（依据：等角对等边） ， ．（依据：三线合一） ，， ， ， ． 故答案为：等角对等边，三线合一，． 17．（9分）小明与小红是学习伙伴，下面是他们学习中的讨论与交流内容，请你帮助他们解答相关问题． 小明：我发现课本第40页第7题只要几步就能证明，不需要用三角形全等的方法． 小红：噢，这一题讲的是：在等腰三角形中，如果底边上的一点到两腰的距离相等，那么这点一定是底边的中点． 请你根据小红的叙述画出图形，写出已知、求证，并完成证明．（图形画在答题纸相应的方框中） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，三线合一定理，先根据题意写出已知，求证的内容，并画出对应的图形，由角平分线的判定定理可证明平分，再由三线合一定理即可证明结论． 【详解】解：已知：如图，在中，，点D在上，于E，于F，且． 求证：点D是的中点（或）． 证明：连接，如图所示， ∵，，， ∴平分． 又∵， ∴（三线合一）．即D为的中点． 18．（9分）在数学活动课上，同学们学习了三角形全等的判定后，继续探索特殊三角形的判定方法：若与均为等腰三角形，其中，． (1)下列条件中，可以判定的是________；（填序号） ①，； ②，； ③，； ④，． (2)从（1）中选择一个合适的条件进行证明． 【答案】(1)②③ (2)见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）判断添的条件是否满足全等三角形的判定定理即可求解； （2）见详解，根据全等三角形的判定定理即可求证． 【详解】（1）解：①，， ①中的条件不能判定； ②，，， , 又， 可依据“”判定， ②中的条件能判定； ③与均为等腰三角形，，， ，， 又， ， 可依据“”判定， ③中的条件能判定； ④，， ，， ，， ， 三个角对应相等不能判定， ④中的条件不能判定； 故答案为：②③； （2）选择②时，证明如下： ，，， ， 在和中， ， （）； 选择③时，证明如下： 与为等腰三角形，，， ，， 又， ， 在和中， ， （）． 19．（9分）如图，某建筑工地需在两墙之间架设测量设备．地面上有一可移动梯子，初始时梯子长为米，斜靠在左侧墙上，梯子底端固定在地面，顶端靠在墙上，此时梯子与地面的夹角为（即）．随后，工人将梯子底端保持不动，将顶端转向右侧墙，此时梯子与地面的夹角为（即）．图中所有点均在同一平面内，求两墙上的测量点和的距离（即的长度）． 【答案】米 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知米， ． ， 为等边三角形， 米． 20．（9分）如图，直线经过线段的中点，，为射线上的一动点，为射线上的一动点，，连接. (1)求证：. (2)若，当时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用证明即可； （）先证为等边三角形，可得，进而即可求解； 本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键. 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴. 21．（10分）如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．    (1)在图1中，画出线段的中点M． (2)在图2中，线段与水平网格线相交于D、E两点，在直线l上画一点P，连接和，使得最小． (3)在图3中的直线l上画一点F，使． (4)在图4中，线段与水平网格线相交于D点，过D点画于H点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）取格点，，连接交于点，点即为所求； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求； （3）取格点，，，，连接，交于点，连接交直线于点，点即为所求； （4）作线段交网格线于点，连接交直线于点，连接交于点，直线即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点即为所求；    （2）如图2中，点即为所求；    （3）如图3中，点即为所求；    （4）如图4中，直线即为所求．    【点睛】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题，属于中考常考题型． 22．（10分）如图1，在中，，点在上（不与，重合），连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，． (1)从①；②；③三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成真命题，并说明理由：你选择的条件是________，结论是________； (2)在（1）的条件下，如图2，是的中点．当运动到何处时，在的垂直平分线上？说明理由． 【答案】(1)①②；③ (2)当运动到的中点时，在的垂直平分线上； 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记相关结论即可； （1）证明即可； （2）若在的垂直平分线上，则平分，推出；即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 由旋转可知：； 选择①；②；推出③； ∵； ∴， ∴，即； ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵；； ∴是等边三角形； 若在的垂直平分线上，则平分， ∴， ∴， ∴； 即：； ∵是等边三角形， ∴当运动到的中点时，在的垂直平分线上． 23．（10分）如图，是等边三角形，是边上一点，在右侧作，且，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)若是等边外一点，且与点都在直线同侧，若，连接，画出图形，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)当点在右侧时，；当点在左侧时，，理由见详解 【分析】（1）是等边三角形，，，可证，由此即可证； （2）如图所示（见详解），当点在右侧时，当点在左侧时， 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形； （2）解：如图所示，当点在右侧时，． 证明：在上取点，使，连结，设与交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴； 如图，当点在左侧时，． 在上取点，使，连接，同理可得， ∴，，同理可得为等边三角形，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $