专题05 因式分解章末50道压轴题型专训（5大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题05 因式分解章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 十字相乘法 题型二 因式分解与方程或化简问题 题型三 公式法因式分解 题型四 因式分解彻底分解问题 题型五 因式分解的综合应用 【经典例题一 十字相乘法】 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 2．（25-26八年级上·江苏常州·月考）阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： 因此，可以得出． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 4．（25-26八年级下·江苏连云港·月考）阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项 ③横向写出两因式 我们将这种十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或．试用上述方法和原理解下列方程： （1） （2） （3） 变式：菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为______． 5．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 6．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）阅读与理解 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现八年级上册教材133页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即，，则口算就可以得到，或，，然后再将p与q的值代入式子中即可得到．” (1)按照以上方法，若，那么二次三项式应如何分解呢？ ________； (2)请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：； (3)在松松，南南的共同努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，为了锻炼大家的思维，老师准备了一道拓展思考题：若可分解为两个一次因式，且m为整数，求m的所有可能值．请你帮他们一起完成这个题吧． 7．（25-26八年级下·江苏南京·单元测试）下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．   解：设 ，则 原式 ， ， ， (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 8．（25-26八年级下·江苏扬州·单元测试）阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解的方法有提公因式法和公式法，对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，看作由得到；第二步，去括号，和对比发现，二次项系数为，二次项由和相乘得出， （为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数的积为，和为，就不难凑出．检验一下：．换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： 分解因式： (1)． (2)． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）阅读材料： 分解因式． 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为，进一步化简得到．先对代数式进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到． 以上对代数式进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”． 将代回原式得，进一步因式分解，得到． 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： (1)； (2)． 10．（25-26八年级上·江苏常州·月考）综合实践 活动目的 探究因式分解的其他方法 材料1 在因式分解中有一类形如二次三项式的因式分解的方法叫作“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，如图所示，则． 材料2 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是“换元法”． 例如：因式分解：． 解：设， 则原式． 学习上述材料内容，合作交流完成下列任务 任务1 （1）因式分解： ①； ②． 任务2 （2）①因式分解：； ②求证：多项式的值一定是非负数． 【经典例题二 因式分解与方程或化简问题】 11．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）化简或分解因式． (1)化简： (2)因式分解： 12．（25-26八年级下·江苏南京·月考）因式分解与化简求值 (1)因式分解：． (2)化简：． (3)先化简，再求值：，其中，． 13．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）化简下列多项式：． 14．（25-26八年级下·江苏南京·单元测试）整式的乘法与因式分解是有理数运算的自然延伸，也是代数知识的基本内容，请利用相关知识解决下面的问题： (1)化简计算：； (2)在（1）结果的基础上，增加一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式进行因式分解，请写出所有这样的单项式，并进行因式分解． 15．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知多项式可以分解为式，那么关于x的方程可以变成，所以可以得到或者，所以方程的解为或，这种方法称为因式分解法解方程．书写过程如下： 解： ∴或者 ∴或 根据以上信息，解下列方程： (1) (2) 16．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）【阅读材料】①“换元法”是我们解数学题时常用的一种方法．它主要是将一个较为复杂的表达式用一个较为简单的符号或字母代替，从而简化问题，降低难度，使问题易于解决．②例如解分式方程时，可以设，则原方程可以化为，解得，即，去分母得，所以，检验：当0时，，所以是原方程的解． 【基本应用】 （1）用换元法解方程； （2）已知x，y满足方程，结合“换元法”的解题思路，求的值． 【创新应用】 （3）结合“换元法”的思路探究分解因式． 17．（24-25八年级下·江苏南京·单元测试）阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 18．（24-25八年级下·广东珠海·期末）所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式．配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用．是一种很重要、很基本的数学方法．如以下例1，例2： 例1：分解因式 x2﹣120x+3456 解：原式=x2﹣120x+3600+3456﹣3600 =（x﹣60）2﹣144 =（x﹣60+12）（x﹣60﹣12） =（x﹣48）（x﹣72） 例2：化简： 解：原式= = =﹣ 阅读以上材料，请问答以下问题： （1）分解因式：x2﹣40x+319= ； （2）化简：； （3）利用配方法求4x2+y2﹣2y﹣4x+15的最小值． 19．（24-25八年级下·山西晋中·期末）阅读与思考： 下面是小华同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 巧用数学思想，妙解数学问题． 今天，我去书店买书，无意间发现一本书上记录了这样一段有趣的话：“整体思想”是中学数学解题思路中一种重要的思维方法，贯穿于中学数学的全过程，在多项式的化简与求值中应用极为广泛，比如整体代入，整体换元，整体约分，整体求和，整体构造，……，很多问题若从局部求解，各个击破，多数很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，再复杂的问题也能迎刃而解． 有这样一道题：如果时，求的值，它的解题过程如下： 方法一： 当时，原式． 方法二： 将当做一个整体， 那么 当时，原式． 通过对比两种方法，我得到了这样一个结论：巧用数学思想解题，不仅有助于加深对代数式结构的理解，而且还能提高我们做题的效率，同时也能培养我们的创新思维． 尝试应用： (1)根据“方法二”，将代数式进行化简； 拓展探究： (2)已知，那么的值为___． 20．（24-25八年级下·山西太原·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 课堂上，老师让同学们复习一元二次方程的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下： 小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式(其中，均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或，依据是▲ ，进而得到原方程的根为，； 小文：既然能用分解因式法求解关于的一元二次方程，那么，能否运用一元二次方程的根，，将多项式分解因式呢? 小颖：可以!例如时，如果方程的两个根为，，逆推回去可得两个一元一次方程是或，则原方程即可表示为，这样就可得到多项式分解因式的结果为! 例如：已知方程的两根为，，则分解因式为；已知方程的两根为，.则分解因式为. 任务： (1)上述材料中“▲”处的依据为_____________（填写字母序号即可）； A：若或，则； B：若，则或． (2)已知方程的两个根为，，则多项式分解因式的结果为__________； (3)请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择_______题． A：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果． B：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果． 【经典例题三 公式法因式分解】 21．（24-25八年级下·江苏南京·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 22．（25-26八年级上·河南周口·月考）小莉做了4道因式分解题，题目如下： ① ② ③ ④ (1)小莉做错的或过程不完整的题目是 (填序号) ； (2)把（1）中选出的题目写出正确的因式分解结果． 23．（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读以下材料： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，设，则原式 再将“”还原，则原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)求证：无论为何值，式子的值一定不小于1． 24．（25-26八年级下·上海松江·月考）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 25．（2025·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式） 26．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式与叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： ， ， ， 有最小值，最小值为4． 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式：①；②；③；④，其中是完全平方式的为______；（请填写序号） (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 27．（25-26八年级上·河南南阳·期中）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式  第一步   第二步   第三步 任务： (1)填空：以上解题过程中，第三步进行因式分解用到的方法是______法． (2)在同桌互查过程中，小明的同桌指出小明的因式分解结果是错误的，具体错误是______． (3)在小组交流过程中，大家发现这道题可以先运用公式法进行因式分解，再继续完成．请你按照这样的思路完成正确的因式分解过程． 28．（24-25八年级下·福建龙岩·开学考试）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解： ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 29．（25-26八年级上·广西玉林·期末）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 30．（25-26八年级上·广西北海·月考）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ∵， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为1984， ∴代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)根据上面材料学习的方法进行下列题目的分解因式： ①； ② (2)若，求的最小值； 【经典例题四 因式分解彻底分解问题】 31．（25-26八年级上·山东烟台·期末）下面是喜羊羊同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请写出因式分解的最后结果； (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 32．（25-26八年级上·贵州黔西南·月考）阅读理解:对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程． 解：设，则 (第一步) (第二步) (第三步) (第四步)． 回答下列问题: (1)该同学第二步到第三步运用了（    ） A．平方差公式  B．两数和的完全平方公式      C．两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，多项式因式分解的最后结果为　　　　　． (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 33．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 34．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，再结合课堂所学就可以对多项式彻底因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． (1)求式子中m、n的值； (2)用“试根法”分解多项式． 35．（25-26八年级上·河北邢台·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…… (1)题干中，因式分解的最后结果是：______； (2)运用配方法解决：若，，求的值； (3)对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解． ＝…… 36．（24-25八年级上·广西南宁·月考）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路： 将“”看成一个整体，设， 则：原式 再将“”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设， 则：原式 问题： (1)以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程； (2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解． 37．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式        （第一步）            （第二步）              （第三步）         （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ． A.提取公因式                            B.两数和乘以两数差公式 C.两数和的完全平方公式                    D.两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底或不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 38．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则：原式．再将“m”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设，则：原式． 问题： (1)以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： ； (2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解； (3)换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算： ． 39．（24-25八年级上·北京西城·期中）我们有公式：． 反过来，就得到可以作为因式分解的公式：． 如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有． 例如：；； ；． 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式． (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解． 40．（24-25八年级上·河南南阳·月考）学完因式分解后，小帅同学总结出了因式分解的流程图，如图． 下面是小明同学的因式分解过程： 回答下面的问题： (1)如果按照小帅同学的流程图进行因式分解，那么小明同学从第______步（填序号）开始出现了问题，与流程图的第______步不一致，造成分解不彻底． (2)写出正确的因式分解过程． (3)把多项式进行因式分解． 【经典例题五 因式分解的综合应用】 41．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则．当，时，求的值． 42．（25-26八年级上·河南开封·期末）阅读材料：对于某些二次三项式（a、b、c是常数，且），可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方式，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”．例如：因式分解：． 解：原式． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用“配方法”因式分解：； (2)若，求M的最小值． 43．（2025八年级上·湖南长沙·专题练习）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． (1)设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (2)，为正整数，且，若是“正巧数”． ①求的值； ②若是“正巧数”，请说明是“正巧数”． 44．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则______，______． (2)已知，求的值． 45．（25-26八年级上·山东东营·月考）如图，在半径为R的圆形钢板上冲出半径为r的四个小圆孔．若，，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（取3） 46．（25-26八年级下·江苏南京·单元测试）【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 47．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 由得．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：将式子分解因式． 分析：这个式子的常数项，一次项系数． 解答：． 请仿照上面的方法，解答以下问题： (1)分解因式：__________； (2)若可分解为两个一次因式的积，求整数p的所有可能值． 48．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）小明发现：对于任意两个连续的正整数的乘积与较大数的和，一定为较大数的平方． 例如4和5，有． (1)【证明结论】请填写该结论证明过程的依据． 设m，n是连续的正整数，且， 可得； 所以        （______）                         （______） 所以一定是正数n的平方． (2)【类比证明】小红发现：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差，一定为较小数的平方．请你完成证明． 49．（25-26八年级上·山东烟台·期末）先阅读下题的解答过程，然后完成后面的问题． 已知二次三项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， ， ，解得， 的值为． 解法二：设（为整式）， 当，即时，， 把代入，得， 根据上面材料，选择一种方法解答下列各题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求的值； (2)多项式分解因式后有一个因式是，求的值． 50．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 十字相乘法 题型二 因式分解与方程或化简问题 题型三 公式法因式分解 题型四 因式分解彻底分解问题 题型五 因式分解的综合应用 【经典例题一 十字相乘法】 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键． （1）仿照题意找到两个数的和为负1，积为负12即可得到答案； （2）可分解为，其中，，根据题意可推出a、b都为整数，再把分解成两个整数的乘积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得，可分解为，其中，， ∵m为整数， ∴为整数， 又∵， ∴a、b都为整数， ∵， ∴或或或或或 ∴的可能值为，，． 2．（25-26八年级上·江苏常州·月考）阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： 因此，可以得出． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了十字相乘法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先写成，再用题中的结论分解因式； （2）先写成，再用题中的结论分解因式； （3）先写成，再用题中的结论分解因式． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，理解并运用题中的分解因式方法是解题的关键． （1）①仿照题中十字相乘法将原式分解即可；②先根据平方差公式分解因式，再利用十字相乘法分解因式得出答案； （2）把8分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）∵，，，， ∴整数的可能值为：，，，， ∴整数的所有可能值为：，． 故答案为：，． 4．（25-26八年级下·江苏连云港·月考）阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项 ③横向写出两因式 我们将这种十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或．试用上述方法和原理解下列方程： （1） （2） （3） 变式：菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为______． 【答案】（1）；（2）；（3）；变式：20 【分析】本题考查了菱形的性质，解一元二次方程-十字相乘法，熟练掌握解一元二次方程-十字相乘法是解题的关键． （1）（2）（3）根据乘法原理：若，则或解答即可． 变式：根据乘法原理先求出方程的根，再分情况求出菱形的周长即可． 【详解】解：（1）， ∴， 或， 解得：． （2）， ∴， 或， 解得：． （3） ∴， 或， 解得：． 变式：， ∴， 或， 解得：． 当菱形的边长为5时，根据菱形的性质可得，另一条对角线长为，符合题意，此时菱形的周长为， 当菱形的边长为4时，根据菱形的性质可得，另一条对角线长为，不符合题意，舍去， 综上，菱形的周长为20． 故答案为：20． 5．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 6．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）阅读与理解 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现八年级上册教材133页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即，，则口算就可以得到，或，，然后再将p与q的值代入式子中即可得到．” (1)按照以上方法，若，那么二次三项式应如何分解呢？ ________； (2)请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：； (3)在松松，南南的共同努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，为了锻炼大家的思维，老师准备了一道拓展思考题：若可分解为两个一次因式，且m为整数，求m的所有可能值．请你帮他们一起完成这个题吧． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（）根据题意中十字相乘的方法即可求解； （）先提“” ，再用十字相乘的方法即可求解； （）根据十字相乘的方法把分成两个整数的积，再求这两个整数的和即可； 此题考查了利用十字相乘法因式分解，解题的关键是正确理解和掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】（1）解：二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后将与的值代入式子中即可得到， 故答案为： （2）解： ， ； （3）解：∵， ，，，，，， ∴可能为：，，． 7．（25-26八年级下·江苏南京·单元测试）下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．   解：设 ，则 原式 ， ， ， (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)不彻底； (2)，见解析 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键． （1）满足完全平方公式，因此还可以因式分解； （2）设，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可． 【详解】（1）解：该同学因式分解的结果不彻底； 原式 ， 故答案为：不彻底，； （2）解：设 ，则    原式 ． 8．（25-26八年级下·江苏扬州·单元测试）阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解的方法有提公因式法和公式法，对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，看作由得到；第二步，去括号，和对比发现，二次项系数为，二次项由和相乘得出， （为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数的积为，和为，就不难凑出．检验一下：．换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： 分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，即可得到答案； （2）根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴可凑数． 故． （2）解：由题意得， ∴可凑数， 则， 又可凑数． 故． 【点睛】本题考查了新定义“凑数法”因式分解，正确理解阅读材料中的思维方法是解题关键． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）阅读材料： 分解因式． 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为，进一步化简得到．先对代数式进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到． 以上对代数式进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”． 将代回原式得，进一步因式分解，得到． 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键． （1）模仿示例方法直接利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）模仿示例，利用换元法逐步进行因式分解即可． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式， （2）解：设，则原代数式化为， 对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解得到 所以，． 10．（25-26八年级上·江苏常州·月考）综合实践 活动目的 探究因式分解的其他方法 材料1 在因式分解中有一类形如二次三项式的因式分解的方法叫作“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，如图所示，则． 材料2 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是“换元法”． 例如：因式分解：． 解：设， 则原式． 学习上述材料内容，合作交流完成下列任务 任务1 （1）因式分解： ①； ②． 任务2 （2）①因式分解：； ②求证：多项式的值一定是非负数． 【答案】（1）①；②；（2）①；②见解析 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据十字相乘法可进行求解①②； （2）①仿照题中所给方法可进行分解因式； ②原式可变形为，然后仿照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：（1）①； ②； （2）①， 设， 原式 ； ②证明： ， 令， 原式 ； 故的值一定为非负数． 【经典例题二 因式分解与方程或化简问题】 11．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）化简或分解因式． (1)化简： (2)因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用乘法公式化简，进而合并同类项得出答案； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算以及因式分解，正确掌握乘法公式是解题关键． 12．（25-26八年级下·江苏南京·月考）因式分解与化简求值 (1)因式分解：． (2)化简：． (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)； (2) (3)，14 【分析】本题考查了整式的运算与因式分解，解题的关键在于识别公式结构，遵循运算顺序，易错点在于公式记忆不清或应用错误，去括号时符号错误． （1）观察分组，将前三项运用完全平方公式，之后再用平方差公式； （2）从左到右按照平方差公式和完全平分差公式分别展开，再合并同类项； （3）先展开大括号里的所有项，再合并同类项，然后进行除法，最后代值． 【详解】（1） ． 故原式． （2） ． 故原式． （3） ， 代入 ， 原式 故原式． 13．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）化简下列多项式：． 【答案】 【分析】原式利用提公因式法逐步分解因式得出答案． 【详解】原式 ． 【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，掌握解答的方法是关键． 14．（25-26八年级下·江苏南京·单元测试）整式的乘法与因式分解是有理数运算的自然延伸，也是代数知识的基本内容，请利用相关知识解决下面的问题： (1)化简计算：； (2)在（1）结果的基础上，增加一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式进行因式分解，请写出所有这样的单项式，并进行因式分解． 【答案】(1) (2)或或，因式分解见解析 【分析】本题主要完全平方式及平方差公式在因式分解中的应用，单项式的定义，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）第二个因式提取公因数4，然后利用平方差公式即可求得； （2）完全平方公式有两种形式． 【详解】（1）解： ， ． （2），，， 新增单项式为或或． 15．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知多项式可以分解为式，那么关于x的方程可以变成，所以可以得到或者，所以方程的解为或，这种方法称为因式分解法解方程．书写过程如下： 解： ∴或者 ∴或 根据以上信息，解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】（1）用十字相乘法把等号的左边分解因式，转化为2个一元一次方程求解； （2）用因式分解法和十字相乘法把等号的左边分解因式，转化为3个一元一次方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或或， ∴或或． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及一元一次方程的解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 16．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）【阅读材料】①“换元法”是我们解数学题时常用的一种方法．它主要是将一个较为复杂的表达式用一个较为简单的符号或字母代替，从而简化问题，降低难度，使问题易于解决．②例如解分式方程时，可以设，则原方程可以化为，解得，即，去分母得，所以，检验：当0时，，所以是原方程的解． 【基本应用】 （1）用换元法解方程； （2）已知x，y满足方程，结合“换元法”的解题思路，求的值． 【创新应用】 （3）结合“换元法”的思路探究分解因式． 【答案】（1），过程见解析；（2）6；（3）． 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，因式分解，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，利用换元法求解即可； （2）设，利用换元法求解即可； （3），利用换元法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）设，则原方程可以化为，解得， ，去分母得， 解得，检验：当时， 是原方程的解． （2）设，则原方程可以化为， 即， ， ． （3）设，则原式 故原式． 17．（24-25八年级下·江苏南京·单元测试）阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】（）仿照例题的方法，利用因式分解法求解即可； （）仿照例题的方法，利用因式分解法求解即可； （）仿照例题的方法，利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，； （2）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，； （3）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，． 18．（24-25八年级下·广东珠海·期末）所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式．配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用．是一种很重要、很基本的数学方法．如以下例1，例2： 例1：分解因式 x2﹣120x+3456 解：原式=x2﹣120x+3600+3456﹣3600 =（x﹣60）2﹣144 =（x﹣60+12）（x﹣60﹣12） =（x﹣48）（x﹣72） 例2：化简： 解：原式= = =﹣ 阅读以上材料，请问答以下问题： （1）分解因式：x2﹣40x+319= ； （2）化简：； （3）利用配方法求4x2+y2﹣2y﹣4x+15的最小值． 【答案】（1）（x﹣11）（x﹣29）；（2）﹣2；（3）13． 【详解】试题分析：（1）利用例1中给出的方法分解因式即可； （2）利用例2中给出的方法分解因式，进一步开方即可； （3）分组分解，利用非负数的性质求得最小值即可． 解：（1）x2﹣40x+319 =x2﹣40x+400﹣400+319 =（x﹣20）2﹣81 =（x﹣20+9）（x﹣20﹣9） =（x﹣11）（x﹣29）； （2） = = =﹣2； （3）4x2+y2﹣2y﹣4x+15 =4x2﹣4x+1+y2﹣2y+1+13 =（2x﹣1）2+（y﹣1）2+13 （2x﹣1）2≥0，（y﹣1）2≥0， 所以4x2+y2﹣2y﹣4x+15的最小值是13． 考点：配方法的应用． 19．（24-25八年级下·山西晋中·期末）阅读与思考： 下面是小华同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 巧用数学思想，妙解数学问题． 今天，我去书店买书，无意间发现一本书上记录了这样一段有趣的话：“整体思想”是中学数学解题思路中一种重要的思维方法，贯穿于中学数学的全过程，在多项式的化简与求值中应用极为广泛，比如整体代入，整体换元，整体约分，整体求和，整体构造，……，很多问题若从局部求解，各个击破，多数很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，再复杂的问题也能迎刃而解． 有这样一道题：如果时，求的值，它的解题过程如下： 方法一： 当时，原式． 方法二： 将当做一个整体， 那么 当时，原式． 通过对比两种方法，我得到了这样一个结论：巧用数学思想解题，不仅有助于加深对代数式结构的理解，而且还能提高我们做题的效率，同时也能培养我们的创新思维． 尝试应用： (1)根据“方法二”，将代数式进行化简； 拓展探究： (2)已知，那么的值为___． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据材料给出的整体思想进行计算合并即可； （2）根据材料给出的整体思想再利用提公因式法进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴ ∵ ∴原式． 【点睛】本题考查了整体代入，整体换元思想，理解整体思想是解题的关键． 20．（24-25八年级下·山西太原·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 课堂上，老师让同学们复习一元二次方程的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下： 小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式(其中，均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或，依据是▲ ，进而得到原方程的根为，； 小文：既然能用分解因式法求解关于的一元二次方程，那么，能否运用一元二次方程的根，，将多项式分解因式呢? 小颖：可以!例如时，如果方程的两个根为，，逆推回去可得两个一元一次方程是或，则原方程即可表示为，这样就可得到多项式分解因式的结果为! 例如：已知方程的两根为，，则分解因式为；已知方程的两根为，.则分解因式为. 任务： (1)上述材料中“▲”处的依据为_____________（填写字母序号即可）； A：若或，则； B：若，则或． (2)已知方程的两个根为，，则多项式分解因式的结果为__________； (3)请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择_______题． A：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果． B：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果． 【答案】(1)B (2) (3)A：；B： 【分析】本题主要考查了因式分解以及一元二次方程的应用． （1）根据“两个因数的乘积为零，那么这两个因数中至少有一个为零”，即可获得答案； （2）结合材料叙述，即可获得答案； （3）解方程或，结合材料叙述，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据“两个因数的乘积为零，那么这两个因数中至少有一个为零”， 可得上述材料中“▲”处的依据为B． 故答案为：B； （2）∵一元二次方程的两个根为，， ∴多项式分解因式的结果为． 故答案为：； （3）选择A题： 对于方程， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴多项式分解因式的结果为； 选择B题： 对于方程， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴多项式分解因式的结果为． 【经典例题三 公式法因式分解】 21．（24-25八年级下·江苏南京·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解的应用； （1）先提取，再利用完全平方公式进行因式分解运算即可； （2）直接利用完全平方公式进行因式分解运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 22．（25-26八年级上·河南周口·月考）小莉做了4道因式分解题，题目如下： ① ② ③ ④ (1)小莉做错的或过程不完整的题目是 (填序号) ； (2)把（1）中选出的题目写出正确的因式分解结果． 【答案】(1)②③ (2)②；③ 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键． （1）根据题意判断即可； （2）根据提取公因式和公式法因式分解即可． 【详解】（1）解：小莉做错的或过程不完整的题目是②③， 故答案为：②③； （2）解：② ； ③ ． 23．（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读以下材料： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，设，则原式 再将“”还原，则原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)求证：无论为何值，式子的值一定不小于1． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了用换元法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． （1）设，然后利用完全平方公式因式分解； （2）设，则原式，然后展开再进行因式分解即可； （3）设，则原式，再由完全平方公式的非负性求解即可． 【详解】（1）解：设，则原式， ∴， 故答案为：； （2）解：设，则 原式， ， ， ； （3）证明：设， 原式， ， ， ， ， 无论为何值，式子的值一定不小于1． 24．（25-26八年级下·上海松江·月考）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)时，为“完美数”，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用 （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用完全平方公式，将配成完美数，可求的值， 【详解】（1）解：， 是完美数， （2）解：时，为“完美数”，理由如下： ， ∵是整数， ∴，也是整数， ∴当，即，是完美数． 25．（2025·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式） 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）根据题目中给出的等式寻找规律得到每一部分的规律总结出整个式子的规律，通过规律即可得到第5个等式； （2）根据上面得到的规律，将规律数替换成n，使之由特殊到一般规律即可； 本题考查了数与代数式中的规律，读懂题意，找出等量关系以及利用整式的乘法公式进行化简证明是解题的关键． 【详解】（1）解：第5个等式：； 故答案为： （2）解：猜想：， 证明：左边 右边． 26．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式与叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： ， ， ， 有最小值，最小值为4． 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式：①；②；③；④，其中是完全平方式的为______；（请填写序号） (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)③ (2)有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了完全平方式的定义，用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式和完全平方式是解题的关键． （1）根据“完全平方式”的特点逐个判断即可； （2）利用完全平方公式把原代数式变形为，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：①②④都不是完全平方式，，则③是完全平方式； （2）解： ， ， ∴ ． 有最大值，最大值为． 27．（25-26八年级上·河南南阳·期中）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式  第一步   第二步   第三步 任务： (1)填空：以上解题过程中，第三步进行因式分解用到的方法是______法． (2)在同桌互查过程中，小明的同桌指出小明的因式分解结果是错误的，具体错误是______． (3)在小组交流过程中，大家发现这道题可以先运用公式法进行因式分解，再继续完成．请你按照这样的思路完成正确的因式分解过程． 【答案】(1)提公因式 (2)因式分解的结果不彻底，其中还可以进行因式分解 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式、提公因式法以及因式分解等知识点，熟练掌握平方差公式的识别与因式分解必须彻底的原则是解题关键． （1）直接观察可得出方法为提公因式法； （2）小明分解至第三步时停止，应继续利用平方差公式对展开； （3）对原式直接应用平方差公式，化简并提取公因数，最终得到． 【详解】（1）解：第三步中把8提取出来，并将其作为公因式，因此用到的方法为提公因式法， 故答案为：提公因式 （2）解：第三步中未对进行因式分解，应该利用平方差公式对其展开为， 故答案为：因式分解的结果不彻底，其中还可以进行因式分解 （3）解： 28．（24-25八年级下·福建龙岩·开学考试）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解： ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)当时，的值最小，最小值为 【分析】本题考查了因式分解，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． （1）仿照题干，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将所求式子进行配方，再结合平方的性质即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ ∴当时，的值最小，最小值为． 29．（25-26八年级上·广西玉林·期末）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，掌握好配方法和换元法是关键． （1）先使用题干的配方法，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）将看作整体，利用完全平方公式进行因式分解，再将换成即可； （3）先将系数化整，分别对、、进行配方，由非负数的性质求出、、的值，然后判断的形状． 【详解】（1）解：； （2）解：设， ， ∴； （3）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形． 30．（25-26八年级上·广西北海·月考）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ∵， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为1984， ∴代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)根据上面材料学习的方法进行下列题目的分解因式： ①； ② (2)若，求的最小值； 【答案】(1)①；② (2)的最小值28 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式以及平方差公式，准确理解题意的配方法是解题的关键． （1）①根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可；②根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解： ， ∵， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为28， ∴的最小值是28． 【经典例题四 因式分解彻底分解问题】 31．（25-26八年级上·山东烟台·期末）下面是喜羊羊同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请写出因式分解的最后结果； (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)不彻底， (2) 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，灵活运用完全平方公式分解因式是解题的关键． （1）中的还可以运用完全平方公式分解因式，即可得到答案； （2）设，原式可化为，根据完全平方公式可得，所以可化为，进一步运用完全平方公式即得到答案． 【详解】（1）解：不彻底，设， 原式 ； （2）设， 原式 ． 32．（25-26八年级上·贵州黔西南·月考）阅读理解:对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程． 解：设，则 (第一步) (第二步) (第三步) (第四步)． 回答下列问题: (1)该同学第二步到第三步运用了（    ） A．平方差公式  B．两数和的完全平方公式      C．两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，多项式因式分解的最后结果为　　　　　． (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底． （1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式； （2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可； （3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：B； （2）解：设，则 ； （3）解：设． ． 33．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底，； (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． （1）根据分解因式的过程直接得出答案； （2）该同学因式分解的结果不彻底，将继续分解因式即可得解； （3）利用换元法，将看成一个整体，设，进行因式分解即可得解； 【详解】（1）解：，是利用了两数和的完全平方公式， 故选：C． （2）解： ， 该同学因式分解的结果不彻底， ， ． （3）解：设， ． 34．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，再结合课堂所学就可以对多项式彻底因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． (1)求式子中m、n的值； (2)用“试根法”分解多项式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用． （1）根据，得出有关m，n的方程组求出即可； （2）由把代入，得其值为0，则多项式可分解为的形式，先根据（1）的方法求出a，b的值，进而将多项式分解得出答案． 【详解】（1）解：在等式中， 分别令，，得 ， 解得； （2）解：把代入，得其值为0， 则多项式可分解为的形式， 分别令，，得 ， 解得， 所以． 35．（25-26八年级上·河北邢台·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…… (1)题干中，因式分解的最后结果是：______； (2)运用配方法解决：若，，求的值； (3)对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解． ＝…… 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，重点考查配方法在因式分解中的应用． （1）先通过配方法将二次三项式转化为完全平方式，再利用平方差公式完成因式分解． （2）首先通过配方法和平方差公式分解因式，再整体代入求值． （3）在已有步骤的提示下，首先对分组后的两部分分别进行因式分解，再提取公因式，接着使用配方法，利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ∵，， ∴，即； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 36．（24-25八年级上·广西南宁·月考）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路： 将“”看成一个整体，设， 则：原式 再将“”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设， 则：原式 问题： (1)以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程； (2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解． 【答案】(1)不彻底；见解析 (2) 【分析】本题考查公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）根据材料，用换元法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：分解不彻底；分解过程如下： 设 则：原式 ； （2）解：设， 则 ． 37．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式        （第一步）            （第二步）              （第三步）         （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ． A.提取公因式                            B.两数和乘以两数差公式 C.两数和的完全平方公式                    D.两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底或不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底， (3) 【分析】（1）根据完全平方公式可得答案； （2）由可知因式分解的结果不彻底，然后写出最后结果即可； （3）设，然后对原式变形，利用多项式乘多项的法则进行展开，再利用两次完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故答案为：C； （2）解：该同学因式分解的结果不彻底， 原式 ， 故答案为：不彻底，； （3）解：设， 原式 ． 【点睛】本题考查了整式乘法与因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 38．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则：原式．再将“m”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设，则：原式． 问题： (1)以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： ； (2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解； (3)换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查公式法分解因式； （1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）根据材料，用换元法进行分解因式； （3）设，再将y代入即可求解． 【详解】（1）设 则：原式 ， 故答案为：； （2）设 原式= ； （3）设 ∴原式 ． 39．（24-25八年级上·北京西城·期中）我们有公式：． 反过来，就得到可以作为因式分解的公式：． 如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有． 例如：；； ；． 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式． (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)否， (2) 【分析】本题考查了十字相乘法，掌握整体思想是解题关键． （1），故可继续分解； （2）设， 原式可分解为；将代入可继续分解． 【详解】（1）解：设， 则原式 故答案为：否， （2）解：设， 则原式， ∴ 40．（24-25八年级上·河南南阳·月考）学完因式分解后，小帅同学总结出了因式分解的流程图，如图． 下面是小明同学的因式分解过程： 回答下面的问题： (1)如果按照小帅同学的流程图进行因式分解，那么小明同学从第______步（填序号）开始出现了问题，与流程图的第______步不一致，造成分解不彻底． (2)写出正确的因式分解过程． (3)把多项式进行因式分解． 【答案】(1)②，三 (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． （1）根据小帅同学的解答过程和因式分解的流程图分析即可； （2）根据因式分解的流程图的步骤分解即可； （3）根据因式分解的流程图的步骤分解即可． 【详解】（1）小明同学从第②步开始出现了问题，与流程图的第三步不一致，造成分解不彻底． 故答案为：②，三； （2）； （3）． 【经典例题五 因式分解的综合应用】 41．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则．当，时，求的值． 【答案】88 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练掌握提公因式法因式分解．根据电压计算公式直接代值计算求解即可． 【详解】解：，，， ∴， ∴， ∴． 42．（25-26八年级上·河南开封·期末）阅读材料：对于某些二次三项式（a、b、c是常数，且），可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方式，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”．例如：因式分解：． 解：原式． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用“配方法”因式分解：； (2)若，求M的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用： （1）原式常数项化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵， ∴当时，有最小值． 43．（2025八年级上·湖南长沙·专题练习）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． (1)设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (2)，为正整数，且，若是“正巧数”． ①求的值； ②若是“正巧数”，请说明是“正巧数”． 【答案】(1)能被8整除，理由见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用、新定义，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）根据“正巧数”的定义得到，化简得到，即可证明； （2）①将所给式子变形为，再根据“正巧数”的定义可得；②根据已知“正巧数”得到也是“正巧数”，再将变形得到，即可判断． 【详解】（1）解：“正巧数”能被8整除，理由如下： 又是正整数， 能被8整除． ∴能被8整除， 即由它们构成的“正巧数”能被8整除． （2）解：① ； ②由①可知：， ， ． 是“正巧数”， 可设，其中为正整数， ， ， ， ， 由（1）得：任何一个“正巧数”都是8的倍数， 是“正巧数”． 44．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则______，______． (2)已知，求的值． 【答案】(1)3，0； (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解是解题的关键； （1）由可变形为，然后根据偶次幂的非负性可进行求解； （2）由可变形为，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：3，0； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．（25-26八年级上·山东东营·月考）如图，在半径为R的圆形钢板上冲出半径为r的四个小圆孔．若，，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（取3） 【答案】剩余钢板的面积为 【分析】本题是因式分解的应用，用大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩余部分的面积，分解因式后把半径的值代入后可得结果，熟练地运用平方差公式进行计算是解题的关键． 【详解】解： ． 则剩余钢板的面积为． 46．（25-26八年级下·江苏南京·单元测试）【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将B还原即可； （2）设，则原式化为，即，再将C还原求解即可． 【详解】（1）解：设， 则原式， 将“”还原，原式． （2）证明：原式． 设，则原式． 将“”还原，原式． 为正整数， 为正整数， 的值一定是某个整数的平方． 47．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 由得．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：将式子分解因式． 分析：这个式子的常数项，一次项系数． 解答：． 请仿照上面的方法，解答以下问题： (1)分解因式：__________； (2)若可分解为两个一次因式的积，求整数p的所有可能值． 【答案】(1) (2)整数p的所有可能值为、 【分析】本题考查了因式分解中的十字相乘法，还涉及到利用因式分解求解一元二次方程．熟练掌握因式分解中的十字相乘法和理解题意是解题的关键． （1）分析式子的常数项为，可分解为，一次项系数，即可求解； （2）因为可分解为两个一次因式的积，常数项6的分解情况有：，，，，即可求解 【详解】（1）解： （2）解：，，，， ，，，． 若可分解为两个一次因式的积， 所以整数p的所有可能值为、． 48．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）小明发现：对于任意两个连续的正整数的乘积与较大数的和，一定为较大数的平方． 例如4和5，有． (1)【证明结论】请填写该结论证明过程的依据． 设m，n是连续的正整数，且， 可得； 所以        （______）                         （______） 所以一定是正数n的平方． (2)【类比证明】小红发现：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差，一定为较小数的平方．请你完成证明． 【答案】(1)乘法分配律；等量代换 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）根据乘法分配律解答即可； （2）设，m、n是连续的正整数，可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解：设m，n是连续的正整数，且， 可得； 所以（乘法分配律） （等量代换） ， 所以一定是正数n的平方． 故答案为：乘法分配律；等量代换 （2）证明：设，m、n是连续的正整数， 所以， 所以， 所以． 所以一定是正数m的平方． 49．（25-26八年级上·山东烟台·期末）先阅读下题的解答过程，然后完成后面的问题． 已知二次三项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， ， ，解得， 的值为． 解法二：设（为整式）， 当，即时，， 把代入，得， 根据上面材料，选择一种方法解答下列各题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求的值； (2)多项式分解因式后有一个因式是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键． （1）把代入即可求解； （2）把代入即可求解． 【详解】（1）解：设（为整式） 当，即时，． 把代入，得， ． （2）解：设（为整式） 当，即时，， 把代入，得， ． 50．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据多项式，由3个边长为的小正方形和8个边长为的长方形和4个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ． 学科网（北京）股份有限公司 $