专题01 用提公因式法分解因式重难点题型专训（1个知识点+4大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

专题01 用提公因式法分解因式重难点题型专训 （1个知识点+大4题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 拓展训练一 利用提公因式法化简求值 拓展训练二 提公因式法的综合应用 拓展训练三 运用提公因式法分解因式求多项式的值 知识点一：因式分解的意义 基本概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： ①因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； ②因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； ③因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； 【即时训练】 1．（2025·江苏常州·二模）下列多项式分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·单元测试）把一个多项式化为_________的形式，叫做因式分解，分解因式是________的逆变形． 知识点二： 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列多项式可以提取公因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏常州·期末）用提取公因式法将多项式分解因式时，应提取的公因式是____． 【经典例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）下列式子从左到右的变形，属于因式分解且正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级下·江苏镇江·专题练习）在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是_____________，属于整式乘法的是____．（填序号） 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 2．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例1】（25-26八年级下·江苏徐州·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）若多项式有一个因式是，则的值为___________． 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 2．（2025八年级下·江苏·专题练习）已知多项式能分解为，则______，______． 3．（25-26八年级上·江苏·江苏苏州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【经典例题三 公因式】 【例1】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江苏徐州·课堂例题）（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 1．（24-25八年级下·江苏南京·月考）把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·课后作业）把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25八年级下·江苏常州·期末）因式分解：（n是正整数）______． 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为_______． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 【拓展训练一 利用提公因式法化简求值】 【例1】（24-25八年级上·海南海口·期中）化简所得的结果为（  ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏·月考）代数式化简的结果是___________________． 1．（2025·河北秦皇岛·二模）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东东营·月考）化简：_________． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·单元测试）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【拓展训练二 提公因式法的综合应用】 【例1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）已知下列各组多项式：①和；②和；③和；④和．上述各组中有相同公因式的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【例2】（25-26八年级上·河北保定·期末）一个关于a的二项式，其中一项是，若这个二项式能因式分解，则另一项是______．（只写一种即可） 1．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）应用意识农场里有一个长方形鸡舍，如图．长方形鸡舍的一边长及其邻边长分别为，，周长为10，且，则鸡舍的面积为（   ） A．6 B．10 C．3 D．8 2．（25-26八年级上·北京海淀·月考）已知实数a，b，c满足，有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若a，b，c中只有两个数相等，则． 其中正确的是____．(把所有正确结论的序号都选上) 3．（24-25八年级下·江苏徐州·课后作业）学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 【拓展训练三 运用提公因式法分解因式求多项式的值】 【例1】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）多项式与多项式的公因式为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏徐州·周测）把多项式提取公因式后，另一个因式为_____． 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西柳州·二模）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式： ①； 又比如多项式可以这样分解： ②； 仿照以上方法，分解多项式的结果是______． 3．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． A基础训练 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）所得的结果是（　　） A． B．2100 C． D． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南新乡·月考）明明和丽丽在因式分解关于x的多项式时，明明获取的其中一个正确的因式为，丽丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C．11 D．13 5．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）计算 的结果为（   ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（24-25八年级上·山东烟台·期中）多项式8x2myn﹣1﹣12xmyn中各项的公因式为_____． 7．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）因式分解： （1）______； （2）______． 8．（24-25八年级下·江苏徐州·课后作业）把一个多项式化成几个______，叫做因式分解． 因式分解和整式乘法具有_____的关系． 9．（24-25八年级下·广西贵港·期中）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________. 10．（24-25八年级上·河北邢台·开学考试）如图，长和宽分别为，的长方形的周长为，面积为，则的值为_____；    C 培优训练 11．（24-25八年级下·江苏徐州·课后作业）检验下列因式分解是否正确． (1)9b2－4a2＝(2a＋3b)(2a－3b)； (2)x2－3x－4＝(x＋4)(x－1)． 12．（24-25八年级上·湖南长沙·月考）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 13．（24-25八年级下·河北保定·期末）下面为李老师在黑板上布置的因式分解的作业题目： ①； ②； ③． 一位同学完成了题目③． (1)题目①的公因式为__________． (2)完成李老师布置的题目②． (3)该同学完成的题目③是否正确？若正确，请说明II处应用的因式分解的方法；若不正确，请直接写出错误的位置（直接回答“I”或“II”）． 14．（25-26八年级上·山东德州·月考）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解： (2)若，求式子的值． 15．（24-25八年级上·北京西城·期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程 解：设①，将①带入原式后， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法； (2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果； (3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 用提公因式法分解因式重难点题型专训 （1个知识点+大4题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 拓展训练一 利用提公因式法化简求值 拓展训练二 提公因式法的综合应用 拓展训练三 运用提公因式法分解因式求多项式的值 知识点一：因式分解的意义 基本概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： ①因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； ②因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； ③因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； 【即时训练】 1．（2025·江苏常州·二模）下列多项式分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式表示成几个多项式积的形式；根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，故分解错误； B、不能分解，故错误； C、不是因式分解，故错误； D、分解正确； 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·单元测试）把一个多项式化为_________的形式，叫做因式分解，分解因式是________的逆变形． 【答案】 几个整式的积 整式乘法 【分析】根据分解因式的定义进行解答即可． 【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，分解因式是整式乘法的逆变形． 故答案为：几个整式的积；整式乘法． 【点睛】本题主要考查了分解因式的定义，解题的关键是熟练掌握分解因式的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，分解因式是整式乘法的逆变形． 知识点二： 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列多项式可以提取公因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，提取公因式是指多项式中各项有公共的因子，可以因式分解提出来．据此逐一检查各选项，只有B选项有公因式x． 【详解】解：A、无公因式，不符合题意； B、有公因式x，可分解为，符合题意； C、无公因式，不符合题意； D、无公因式，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏常州·期末）用提取公因式法将多项式分解因式时，应提取的公因式是____． 【答案】/ 【分析】根据提公因式法，找出各项的公因式即可． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是准确找出各项的公因式． 【经典例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）下列式子从左到右的变形，属于因式分解且正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，需明确因式分解是将多项式转化为几个整式乘积的形式，且变形需正确，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项：是单项式乘以多项式，是整式的乘法，不是因式分解，故A选项不符合题意； B选项：是把多项式转化为整式乘积的形式，是因式分解，故B选项符合题意； C选项：，变形错误，故C选项不符合题意； D选项：是整式的乘法，不是因式分解，故D选项不符合题意． 故选：B． 【例2】（2025八年级下·江苏镇江·专题练习）在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是_____________，属于整式乘法的是____．（填序号） 【答案】 ①③ ② 【分析】本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式乘法是将整式的积展开为多项式形式，根据等式左右形式判断即可． 【详解】解：①是因式分解； ②这是整式乘法，不是因式分解； ③是因式分解； 故答案为：①③；②． 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的乘法和因式分解，根据因式分解的定义，因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积的形式.． 甲的变形是将乘积展开为多项式，属于整式的乘法；乙的变形结果不是乘积形式，因此不是因式分解． 【详解】解：因式分解需满足结果为整式的乘积， 甲: ，左边为乘积，右边为多项式， 甲是整式的乘法，不是因式分解； 乙: ，右边为和的形式，不是乘积， 乙不是因式分解. 甲、乙均不是因式分解． 故选：D． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③④ 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的对象是多项式，结果是几个整式的积，与整式乘法互为逆运算是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各等式变形是否符合定义． 【详解】解：等式①左边为积的形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 等式②左边为单项式，不是多项式，不符合因式分解对象要求； 等式③左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式④左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式⑤右边不是积的形式，因此不是因式分解． 故答案为：③④． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)不是；理由见解析 (3)是；理由见解析 (4)是；理由见解析 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟知因式分解的定义是关键． 根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可． 【详解】（1）解：是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． （2）不是因式分解，因为变形后的式子不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义． （3）是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． （4）是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例1】（25-26八年级下·江苏徐州·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）若多项式有一个因式是，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求整式中的系数，解题的关键是正确设另一个因式． 由于是多项式的一个因式，根据因式定理，当时，多项式的值为零． 【详解】解：将代入多项式，得 ， 计算得 ， ， ， 解得． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，负整数指数幂，利用多项式乘以多项式的法则将展开，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故选C． 2．（2025八年级下·江苏·专题练习）已知多项式能分解为，则______，______． 【答案】 ； ． 【分析】把展开，找到所有和的项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可． 【详解】解：∵ ． ∴展开式乘积中不含、项， ∴，解得：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可． 3．（25-26八年级上·江苏·江苏苏州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2), (3) 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，把代入， ∴ ∴； （2）解：把和分别代入， 即 解得： （3）解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时，， 当时， ∴是的因式 ∴． 【经典例题三 公因式】 【例1】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【详解】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·江苏徐州·课堂例题）（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 1．（24-25八年级下·江苏南京·月考）把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 【答案】 2 【分析】本题考查了多项式最大公因式的确定方法，掌握先找系数的最大公约数，再找各字母的最小指数的步骤是解题的关键． 对于每个多项式，先找出系数的最大公约数，再确定变量部分的最小指数，组合得到最大公因式． 【详解】解：（1）多项式的系数和的最大公约数为，变量和无公共变量，故最大公因式为； （2）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，故最大公因式为； （3）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，变量的最小指数为，故最大公因式为． 故答案为：；；． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·课后作业）把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】前3个小题直接提取公因式即可； 后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为：及． 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的混合运算，利用负数的奇偶次幂的性质化简表达式，再提取公因式计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 【例2】 （24-25八年级下·江苏常州·期末）因式分解：（n是正整数）______． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键，直接利用提取公因式法分解因式得出即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将左边的式子提取公因式得，再通过对比即可求出被遮盖的式子． 【详解】解：， ∴被遮盖的式子为． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，长方形的面积公式，由题意得，，再将要求的式子变形为，代入求解即可，掌握提公因式法是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3) 【分析】（1）根据提公因式法分解因式的过程可得答案； （2）根据因式分解的结果可直接得出答案； （3）仿照已知的计算过程进行因式分解即可． 【详解】（1）解：上述因式分解的方法是提公因式法，共用了2次； （2）解：把多项式进行因式分解， 结果是； （3）解： … ． 【拓展训练一 利用提公因式法化简求值】 【例1】（24-25八年级上·海南海口·期中）化简所得的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用提公因式法，进行计算即可解答． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解提公因式法，有理数的混合运算，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 【例2】（25-26八年级下·江苏·月考）代数式化简的结果是___________________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解、约分等知识点，掌握分式的约分是解题的关键． 先对分子约分，然后再运用分式的基本性质约分即可． 【详解】解： ． 故答案为． 1．（2025·河北秦皇岛·二模）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，先由得到，再利用“降次法”将转化为，进一步得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ， ， ， ， ， 故选：C。 2．（24-25八年级上·山东东营·月考）化简：_________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用提取公因式法进行化简，本题属于基础题型． 把当作一个整体，提取公因式计算即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·单元测试）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的约分； （1）分子分母提取公因式后约分即可； （2）分子分母提取公因式后约分即可； （3）分子分母因式分解后约分即可； （4）分子分母因式分解后约分即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【拓展训练二 提公因式法的综合应用】 【例1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）已知下列各组多项式：①和；②和；③和；④和．上述各组中有相同公因式的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题考查公因式的判断，解题思路为对每组中两个多项式分别因式分解，再判断是否有相同公因式，统计符合要求的组数即可． 【详解】解：① ，有相同公因式，； ② ，有相同公因式； ③ ∵，本组有相同公因式； ④ ，另一多项式为，本组无相同公因式； 综上，共有3组有相同公因式． 【例2】（25-26八年级上·河北保定·期末）一个关于a的二项式，其中一项是，若这个二项式能因式分解，则另一项是______．（只写一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是熟练掌握提取公因式或平方差公式这两种方法 考虑因式分解的常见方法，如提取公因式或平方差公式，另一项可选择常数或一次项以使二项式可分解即可． 【详解】解：若另一项可以为， 则二项式为； 或另一项可以为， 则二项式为． 故答案为：（答案不唯一）． 1．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）应用意识农场里有一个长方形鸡舍，如图．长方形鸡舍的一边长及其邻边长分别为，，周长为10，且，则鸡舍的面积为（   ） A．6 B．10 C．3 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的提取公因式法和长方形的周长与面积公式，掌握提取公因式将代数式转化为已知条件的形式，结合周长公式求出，进而求出面积是解题的关键． 先根据长方形周长公式求出的值，再对已知等式提取公因式，代入的值求出，即鸡舍的面积． 【详解】解：∵鸡舍的周长为10， ∴， 解得：． ∵， ∴． 故鸡舍的面积为． 故选；A． 2．（25-26八年级上·北京海淀·月考）已知实数a，b，c满足，有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若a，b，c中只有两个数相等，则． 其中正确的是____．(把所有正确结论的序号都选上) 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了分式的求值，因式分解的应用，根据题意可得，则，据此可判断①；当时，可解方程求出b、c的值，则可判断②；分三种情况：和，根据所给等式推出对应情形下a、b、c，则可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 当时，， ∴， ∴， ∴，故②错误； 当时，， ∴， ∴， ∴， 根据乘法计算法则可得或， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 综上所述，a，b，c中只有两个数相等，则，故③正确； 故答案为：①③． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·课后作业）学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 【答案】错在分解不彻底，括号里还有公因数3．正确答案为 【分析】本题主要考查了分解因式，正确找到公因式是解题关键． 先观察式子中的各项，判断过程是否正确；再找出公因式为； 然后提取公因式分解因式即可． 【详解】解：错在分解不彻底，括号里还有公因数3． 正确的解题过程如下： ． 【拓展训练三 运用提公因式法分解因式求多项式的值】 【例1】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）多项式与多项式的公因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公因式，提公因式法、公式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键． 利用提公因式法、公式法进行因式分解，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴公因式为， 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·江苏徐州·周测）把多项式提取公因式后，另一个因式为_____． 【答案】 【分析】先将多项式中的变形为，使两项都含有公因式，再提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】解： 提取公因式后，另一个因式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过符号变形统一公因式，再完成提取，从而确定另一个因式． 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新运算法则，再结合因式分解的方法即可得到结果．根据新运算定义，先计算 得到多项式，然后进行因式分解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·广西柳州·二模）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式： ①； 又比如多项式可以这样分解： ②； 仿照以上方法，分解多项式的结果是______． 【答案】 【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查添项与拆项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想． 3．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】(1)是“双一次可分解式”，理由见解析 (2)是“双一次可分解式”，理由见解析 (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． 【详解】（1）， 是“双一次可分解式”； （2）， 是“双一次可分解式”； （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． A基础训练 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），结合因式分解的方法逐一判断选项． 【详解】解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误； ∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误； ∵C选项中，原式分解错误，错误； ∵D选项中，提取公因式，，符合因式分解定义且分解正确； ∴故选：D． 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）所得的结果是（　　） A． B．2100 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，通过提取公因式，将原式化简为 ，然后利用负数的偶次幂为正的性质计算． 【详解】解：∵ 又∵（指数为偶数） ∴原式 故选A 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【详解】， 则余下的部分是x． 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南新乡·月考）明明和丽丽在因式分解关于x的多项式时，明明获取的其中一个正确的因式为，丽丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C．11 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，熟练掌握“多项式因式分解后，展开因式的乘积可通过系数对应求出原多项式的系数”是解题的关键．根据因式分解的性质，多项式等于两个正确因式的乘积，通过展开比较系数求和的值，再计算 【详解】解：∵ 多项式 有两个正确因式 和， ∴ ， 展开右边：， 比较系数得：，， ∴ ，， ∴ ． 故选：A． 5．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）计算 的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式、因式分解的应用，正确找出公因式是解题关键． 直接利用提取公因式法分解因式即可解答． 【详解】解： =． 故选：D． B 提高训练 6．（24-25八年级上·山东烟台·期中）多项式8x2myn﹣1﹣12xmyn中各项的公因式为_____． 【答案】4xmyn﹣1 【分析】先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】系数的最大公约数是4，各项相同字母的最低指数次幂是xmyn﹣1， 所以公因式是4xmyn﹣1， 故答案为：4xmyn﹣1． 【点睛】此题考查多项式因式分解中公因式的确定方法，系数取最大公约数，字母取相同字母的最低指数次幂． 7．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）因式分解： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】根据多项式的结构特征，运用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：(1) ； (2) 8．（24-25八年级下·江苏徐州·课后作业）把一个多项式化成几个______，叫做因式分解． 因式分解和整式乘法具有_____的关系． 【答案】 整式的积的形式 互逆 【分析】根据因式分解的定义进行填空即可解题. 【详解】解：因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解, 因式分解和整式乘法具有互逆的关系． 【点睛】本题考查了因式分解的定义,因式分解和整式的乘法之间的关系,属于简单题,熟悉因式分解的概念是解题关键. 9．（24-25八年级下·广西贵港·期中）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________. 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可． 【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6， ∵小刚看错了m的值， ∴n＝﹣6； （x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2， ∵小芳看错了n的值， ∴m＝﹣1． ∴x2+mx+n ＝x2﹣x﹣6 ＝（x﹣3）（x+2）． 故答案为：（x﹣3）（x+2）． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键． 10．（24-25八年级上·河北邢台·开学考试）如图，长和宽分别为，的长方形的周长为，面积为，则的值为_____；    【答案】 【分析】根据长方形周长和面积的公式得到，，再将因式分解等于，再代入求值即可． 【详解】解：长方形的长和宽分别为，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，掌握因式分解的方法是解答本题的关键． C 培优训练 11．（24-25八年级下·江苏徐州·课后作业）检验下列因式分解是否正确． (1)9b2－4a2＝(2a＋3b)(2a－3b)； (2)x2－3x－4＝(x＋4)(x－1)． 【答案】（1）不正确．（2）不正确． 【分析】计算右侧的整式乘法,看左右两边是否相等,即可判断因式分解是否正确. 【详解】解：(1)∵(2a＋3b)(2a－3b)＝(2a)2－(3b)2＝4a2－9b2≠9b2－4a2，∴因式分解9b2－4a2＝(2a＋3b)(2a－3b)不正确． (2)∵(x＋4)(x－1)＝x2＋3x－4≠x2－3x－4，∴因式分解x2－3x－4＝(x＋4)(x－1)不正确． 【点睛】本题考查了整式的乘法与因式分解的联系,属于简单题,正确计算整式的乘法是解题关键. 12．（24-25八年级上·湖南长沙·月考）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，对比二次三项式的系数列方程求解即可； （2）将展开，对比二次三项式的系数列方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 解得． 13．（24-25八年级下·河北保定·期末）下面为李老师在黑板上布置的因式分解的作业题目： ①； ②； ③． 一位同学完成了题目③． (1)题目①的公因式为__________． (2)完成李老师布置的题目②． (3)该同学完成的题目③是否正确？若正确，请说明II处应用的因式分解的方法；若不正确，请直接写出错误的位置（直接回答“I”或“II”）． 【答案】(1) (2) (3)不正确，错误的位置是II 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． （1）根据公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积即可得解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）根据解答过程分析即可得解． 【详解】（1）解：题目①的公因式为； （2）解：； （3）解：根据解答过程可得，该同学完成的题目③不正确，错误的位置是II，再利用完全平方公式分解时分解错误，正确应为． 14．（25-26八年级上·山东德州·月考）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解： (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解-分组分解法，此方法因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系． （1）原式前两项与第四项结合，利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解即可； （2）原式两项两项结合后，提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； ， ， ， ∴原式． 15．（24-25八年级上·北京西城·期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程 解：设①，将①带入原式后， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法； (2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果； (3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 【答案】(1)提取公因式 (2) (3) 【分析】（1）根据因式分解的方法判断即可； （2）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，将因式分解成即可； （3）用换元法设，代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：从到运用了因式分解中的提取公因式法 故答案为：提取公因式 （2）解：由题意得： （3）解：设，将代入中得： 原式 【点睛】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项式进行因式分解，达到去繁化简的效果． 学科网（北京）股份有限公司 $