第九章 因式分解重难点检测卷（压轴卷）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

第九章 因式分解重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：因式分解全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级上·重庆渝北·期末）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是整式乘法，不是因式分解； B．右边不是积的形式； C．左边是多项式，右边是积的形式，符合因式分解； D．左边是单项式，不是多项式，不是因式分解． 故选：C． 2．（24-25八年级上·重庆合川·期末）将因式分解，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【详解】解：∵ ， ∴应提取的公因式是． 故选A． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据平方差公式和完全平方公式分析即可． 【详解】解： ＋两项符号相同，无法运用公式法进行因式分解； ，能用公式法分解因式； －，两项符号相同，不能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式． 综上，正确的有个． 故选． 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2-b2=(a+b) (a-b)，a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键． 4．（24-25八年级下·重庆万州·期末）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲看错了的值可以知道，甲的分解结果中的值是正确的，根据乙看错了的值可以知道，乙的分解结果中的值是正确的，据此即可得到、的值，进而得到答案． 【详解】∵甲看错了的值， ∴， ∴； ∵乙看错了的值， ∴， ∴， ∴分解因式正确的结果为： ， 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义． 5．（24-25八年级下·河北唐山·月考）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法， 故选：B． 6．（24-25八年级上·山东日照·月考）取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码可以是（   ） A．101030 B．010103 C．100130 D．301001 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，把进行因式分解，再根据产生密码的方法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴当，时，， ∴产生的密码可以为：，，， 故选A． 7．（24-25八年级下·四川泸州·期末）阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握非负数的性质是解题的关键．先把代数式进行配方，再根据非负数的性质求解． 【详解】解：, 因为, 所以, 当时，, 因此的最小值是， 故选：B. 8．（25-26八年级下·江苏苏州·课后作业）如图，大长方形由一个边长是a的小正方形和两个长、宽分别是a，b的小长方形组成．整个图形可表示出几个有关多项式因式分解的等式，其中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用面积分割法检验乘法算式以及多项式的因式分解． 根据计算面积的方法多种多样，因此可以用不同的方式表达求解即可． 【详解】解：A、把图形分割成一个正方形，两个长方形计算面积，则有：，故A正确； B、无法分割得到，故B错误； C、把图形分割成两个长方形，边长分别是，宽都是，则有：，故C正确； D、用整个图形的面积减去一个边长为的长方形，得到另外一个长方形，边长是，即：，故D正确． 故选：B 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级下·江苏苏州·课后作业）因式分解：． 上述结果_______（填“正确”或“不正确”）．理由：_______． 【答案】 不正确 还可以再因式分解成 【分析】本题考查因式分解，注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止． 先用平方差公式分解，得，再继续用平方差公式分解即可． 【详解】解：∵， ∴上述结果不正确， 理由：还可以再因式分解成． 故答案为：不正确；还可以再因式分解成． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·单元测试）化简，结果为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的因式分解能力．特别是对复杂三次多项式的处理技巧． 发现表达式的对称性，并通过巧妙的展开或变量替换简化计算． 【详解】解：当时， ， ∴原多项式含有因式，即含有因式， 同理，原多项式含有因式和， 又∵原式是三次对称式， ∴化简后结果不超过三次， ∴设， 令，，， ∴， 解得． ∴结果为． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·山东德州·期末）设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是__________． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查因式分解，根据新定义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：， ∴；故①正确； ； ∴；故②正确； ， ∴，故③错误； ∴；故④错误； 故答案为：①②． 12．（25-26八年级上·山东日照·月考）规律探究题计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式．先利用平方差公式分解，再计算即可得到结果． 【详解】解： 故答案为： 13．（24-25八年级下·江苏苏州·课后作业）因式分解： （1）______________； （2）______________； （3）______________． 【答案】 【分析】（1）利用提公因式法，即可因式分解； （2）利用提公因式法，即可因式分解； （3）利用提公因式法，即可因式分解． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键． 14．（2025·广东中山·三模）小明抄在作业本上的式子x⊕﹣9y2（“⊕”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：__________________． 【答案】（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y） 【分析】分两种情况讨论①当⊕＝2时，②当⊕＝4时，分别因式分解即可． 【详解】解：由题意知，共有⊕＝2时，⊕＝4两种情况： 情况①，当⊕＝2时，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）； 情况②，当⊕＝4时，x4﹣9y2＝（x2+3y）（x2﹣3y）； 综上所述，整式分解因式的结果：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y） 故答案为：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解．解题的关键在于正确的使用平方差公式． 15．（24-25八年级下·山东济宁·月考）阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 若多项式含有因式和，则___________． 【答案】 【分析】根据题干中的解法设，然后将和代入得到，，然后解方程组求出m和n的值，然后代入求解即可． 【详解】∵多项式含有因式和， ∴设 ∵上式为恒等式， ∴当时，， 当时，， ∴联立①②解得 ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的实际应用，首先应该仔细分析题干内容，理解解决这类高次多项式求参数的通用方法，再运用方程的思想进行解题，读懂题意是解题关键． 16．（24-25八年级上·新疆·期末）阅读材料：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成． 例如， ，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角：然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”． 解决问题：若多项式可以分解成（m，n为整数）的形式，则的最大值为_____． 【答案】11 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据题意得到，进而得到，再把分解成两个整数的乘积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵，且， ∴的最大值为11， 故答案为：11． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级下·江苏苏州·课后作业）分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，正确确定公因式是解题的关键． （1）提取公因式，分解因式即可； （2）提取公因式，分解因式即可； （3）提取公因式，分解因式即可； （4）提取公因式，分解因式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 18．（2025八年级下·江苏苏州·专题练习）把分解因式．小亮的解法是这样的： 解：原式． 他的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法． 【答案】不正确， 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：小亮的解法是不正确． 正确的解法： ． 19．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值． 【详解】解：∵，小明看错了b， ∴， ∵，小张看错了a， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的． 20．（24-25八年级下·江苏苏州·单元测试）先将分解因式，然后当时，求A的值，并写出你对本题求值过程的感受． 【答案】，4047，感受是先分解因式后再计算本题较为简便 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法．后三项结合，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解因式即可，再将a、b的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， ， 感受是先分解因式后再计算较为简便． 21．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读下列分解因式的过程，回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； (2)若将分解因式，则需要应用上述方法________次，试写出分解因式的过程． 【答案】(1)提公因式法，2； (2)2024，过程见解析． 【分析】（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论； （2）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法． 【详解】（1）解：根据题意，上述分解因式的方法是：提公因式法 共应用了2次提公因式 （2）原式＝ ＝ ＝ …… ＝ 需要应用上述方法2024次． 22．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即， ∴，解得． 故另一个因式为，m的值为－21． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为：（x＋8），k的值为40． 【分析】设另一个因式为（x＋p），则，可得p−5＝3，−5p＝−k，求出p和k的值即可． 【详解】解：设另一个因式为x＋p， 由题意得：， 即， 则有， 解得， 所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40． 【点睛】本题考查了因式分解的意义．解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 23．（25-26八年级上·河南商丘·月考）根据下面的探究过程完成内容： 猜想 比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． 验证 （1） （写结果）= ． 推理 （2）比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． 延伸 （3）请利用整数说明“比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为”． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、提公因式和平方差公式的应用，熟练掌握提公因式和平方差公式是解题的关键． （1）利用平方差公式运算即可； （2）先设偶数为（为整数），再利用平方差公式和提取公因式法运算即可； （3）先根据整数，可知比大的数为，再利用平方差公式和提取公因式法运算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵设偶数为（为整数）， ∴， ， ， ． ∵为整数， ∴是的倍数， ∴ 比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除； （3）∵根据整数，可知比大的数为， ∴， ， ， ， ， ， ． ∵为整数， ∴被除的余数为， ∴比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为． 24．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）阅读理解： 当一个多项式既不能用提公因式法又不能用公式法因式分解时，这里再介绍一种因式分解的方法，叫分组分解法．比如： 这种分组法是分组后用提公因式法分解．又比如： ． 这种分组后用公式法分解．根据以上信息分解下列因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）前两项一组，后两项一组，第一组提公因式之后，再提取两组的公因式即可分解； （2）前三项一组，最后一项单独一组，第一组用完全平方公式进行因式分解，然后两组再用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．（25-26八年级上·云南昆明·期末）利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式，进而解决求多项式的最值（最大值或最小值）问题． 例如： ①求多项式的最值． 解：， ， ， 当时，多项式有最小值，最小值为． ②求多项式的最值． 解：， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为1． 阅读上述材料，解决下列问题： (1)已知，当______时，多项式有最______值（填“大”或“小”），最值为______； (2)某公园计划用米长的篱笆围成一个长方形花坛．如图，当为多少米时花坛面积最大，最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)；小； (2)当米时花坛面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2）设为米时花坛面积最大，得到，求得长方形花坛面积，然后即可求解； 【详解】（1）解：已知， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最值为； 故答案为：；小；； （2）解：设为米时花坛面积最大， ∴，， ∴长方形花坛面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 即当米时花坛面积最大，最大面积是平方米． 26．（24-25八年级上·河南新乡·期中）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：_____； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面式子分解因式： （2） 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：．反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试对下面的式子进行分解因式： ①_____； ②若、均为整数，且、满足，则_____． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②7或3． 【分析】本题考查阅读理解，因式分解，读懂题意，理解材料中因式分解的方法是解题的关键． （1）根据“十字相乘法”进行因式分解即可； （2）先把看成整体，运用“十字相乘法”进行因式分解，再运用完全平方公式和“十字相乘法”进行因式分解． （3）①将式子分为，两组进行因式分解即可； ②将式子化为，根据、均为整数，求解即可． 【详解】解：（1）如图， ． 故答案为：． （2）如图， ，． （3）① ． 故答案为：． ②∵， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴或或或， ∴或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ∴当时，， 当时，． 综上所述，或3． 故答案为：7或3． 27．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）（1）[知识再现]  在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________． （2）[知识迁移]  在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）． 图3中的几何体的体积为_____________， 图4中的几何体的体积为_____________， 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）． （3）[知识运用]  因式分解：． 【答案】（1）；（2）；；；（3） 【分析】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件找到因式分解的公式进行求解． （1）根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； （2）图3的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为；图4的几何体由 3 个几何体拼接而成，故可得出体积为；再根据体积相等，故可写出等式； （3）根据（2）中公式直接因式分解即可； 【详解】解：（1）根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式， （2）如图3中的几何体的体积为； 图4的几何体体积为； 根据它们的体积关系得到关于的等式为：； （3）根据（2）中结论可得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 因式分解重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：因式分解全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级上·重庆渝北·期末）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆合川·期末）将因式分解，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25八年级下·重庆万州·期末）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河北唐山·月考）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 6．（24-25八年级上·山东日照·月考）取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码可以是（   ） A．101030 B．010103 C．100130 D．301001 7．（24-25八年级下·四川泸州·期末）阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（   ） A． B． C． D．4 8．（25-26八年级下·江苏苏州·课后作业）如图，大长方形由一个边长是a的小正方形和两个长、宽分别是a，b的小长方形组成．整个图形可表示出几个有关多项式因式分解的等式，其中错误的是（ ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级下·江苏苏州·课后作业）因式分解：． 上述结果_______（填“正确”或“不正确”）．理由：_______． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·单元测试）化简，结果为_______． 11．（24-25八年级上·山东德州·期末）设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是__________． 12．（25-26八年级上·山东日照·月考）规律探究题计算：_____． 13．（24-25八年级下·江苏苏州·课后作业）因式分解： （1）______________； （2）______________； （3）______________． 14．（2025·广东中山·三模）小明抄在作业本上的式子x⊕﹣9y2（“⊕”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：__________________． 15．（24-25八年级下·山东济宁·月考）阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 若多项式含有因式和，则___________． 16．（24-25八年级上·新疆·期末）阅读材料：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成． 例如， ，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角：然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”． 解决问题：若多项式可以分解成（m，n为整数）的形式，则的最大值为_____． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级下·江苏苏州·课后作业）分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 18．（2025八年级下·江苏苏州·专题练习）把分解因式．小亮的解法是这样的： 解：原式． 他的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法． 19．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 20．（24-25八年级下·江苏苏州·单元测试）先将分解因式，然后当时，求A的值，并写出你对本题求值过程的感受． 21．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读下列分解因式的过程，回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； (2)若将分解因式，则需要应用上述方法________次，试写出分解因式的过程． 22．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即， ∴，解得． 故另一个因式为，m的值为－21． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 23．（25-26八年级上·河南商丘·月考）根据下面的探究过程完成内容： 猜想 比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． 验证 （1） （写结果）= ． 推理 （2）比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． 延伸 （3）请利用整数说明“比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为”． 24．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）阅读理解： 当一个多项式既不能用提公因式法又不能用公式法因式分解时，这里再介绍一种因式分解的方法，叫分组分解法．比如： 这种分组法是分组后用提公因式法分解．又比如： ． 这种分组后用公式法分解．根据以上信息分解下列因式： (1)； (2)． 25．（25-26八年级上·云南昆明·期末）利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式，进而解决求多项式的最值（最大值或最小值）问题． 例如： ①求多项式的最值． 解：， ， ， 当时，多项式有最小值，最小值为． ②求多项式的最值． 解：， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为1． 阅读上述材料，解决下列问题： (1)已知，当______时，多项式有最______值（填“大”或“小”），最值为______； (2)某公园计划用米长的篱笆围成一个长方形花坛．如图，当为多少米时花坛面积最大，最大面积是多少平方米？ 26．（24-25八年级上·河南新乡·期中）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：_____； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面式子分解因式： （2） 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：．反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试对下面的式子进行分解因式： ①_____； ②若、均为整数，且、满足，则_____． 27．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）（1）[知识再现]  在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________． （2）[知识迁移]  在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）． 图3中的几何体的体积为_____________， 图4中的几何体的体积为_____________， 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）． （3）[知识运用]  因式分解：． 学科网（北京）股份有限公司 $