第九章 因式分解重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

第九章 因式分解重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：因式分解全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）下列多项式能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握能用平方差公式分解的多项式特点． 根据平方差公式，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意； B、三项式，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意； C． 是三项式，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意； D． ，故本选项符合题意； 故选：D 2．（24-25八年级上·河南商丘·月考）把多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式因式分解中的提公因式法，先考虑系数5和10的最大公因数是5，再考虑相同字母a、b的最低次幂分别是a，b，则其积是多项式的公因式．公因式是各项系数的最大公因数、相同字母的最低次幂的积，当首项是负时，一般连负号也一并提出来． 【详解】，应提取的公因式是． 故选：C． 3．（25-26八年级下·江苏南京·周测）利用因式分解可以知道能够被某个数整除，这个数是（   ） A．18 B．28 C．36 D．64 【答案】D 【分析】使用平方差公式对 进行因式分解，找出其因子． 本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵ 又 ∵ ∴ ∴ 能够被 64 整除． 故选：D． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）把多项式因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先提公因式-3a，再运用完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式=-3a(-x+) =， 故选：D． 【点睛】本题考查提公因式与公式法综合运用，熟练掌握提公因式与公式法分解因式是解题的关键． 5．（24-25八年级下·四川达州·期中）已知多项式分解因式的结果为，则的值是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】把根据乘法法则计算后与比较即可． 【详解】解： =2(x2+x-2x-2) =2x2+2x-4x-4 =2x2-2x-4， ∵=2x2-2x-4， ∴b=-2，c=-4， 故选B． 【点睛】本题考查了因式分解，以及多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握因式分解与乘法运算是互为逆运算的关系是解答本题的关键． 6．（2025八年级下·江苏南京·专题练习）用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A． ，故选项A分组正确，不符合题意； B． ，故选项B分组正确，不符合题意； C．无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意； D． ，故选项D分组正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法． 7．（25-26八年级上·甘肃陇南·月考）请你估计一下的值应该最接近于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，利用平方差公式分解分子中的每一项，通过约分简化表达式即可得到答案． 【详解】解： ， 故选；D． 8．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中p，q，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式解 （说明：a，b均为不等于零的常数） 有学生探究得到以下四个结论：①当时，则；②当时，则；③时，则；④当时，，以上结论中正确的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题通过两个二次多项式的因式分解，建立参数之间的关系，进而验证四个结论的正确性，需结合代数运算、方程求解及配方法的应用进行分析 【详解】解：∵因式分解为 ∴， 第二个多项式：， ∴， ①当时，代入得，此时，，则，正确； ②当时，由和，解得，正确； ③当时，，得，正确； ④当时，设，则，，得，错误； 故选：A 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若多项式因式分解的结果为，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据因式分解的结果求参数，根据题意可得，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可求出m、n的值，进而可求出答案． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·北京·期中）若，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．原式变形为，提公因式合并同类项后得，再提公因式2得，将已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， 代入得： 原式， 故答案为：． 11．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）把下列多项式的公因式和分解因式的结果填入表格中： 多项式 公因式 分解因式的结果 【答案】见解析 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法是解题的关键． 通过找出多项式中各项系数的最大公约数和变量的最低次幂，确定公因式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】对于第一个多项式： 各项系数为5和10，最大公因数为5； 变量部分均有，故公因式为， 提取公因式后，第一项为，第二项为， 因此分解结果为； 对于第二个多项式： 各项系数为12和9，最大公因数为3； 变量部分均有和，的最小指数为1，的最小指数为1，故公因式为， 提取公因式后，第一项为，第二项为， 因此分解结果为， 对于第三个多项式： 各项系数为2、4和6，最大公因数为2； 变量部分均有，最小指数为1，故公因式为， 提取公因式后，第一项为，第二项为，第三项为， 因此分解结果为． 多项式 公因式 分解因式的结果 12．（24-25八年级下·陕西西安·月考）甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为__________． 【答案】 【分析】根据甲、乙看错的情况求出、的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， ， 乙看错了的值，分解的结果为， ， 原二次三项式为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了十字相乘法进行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法以及根据甲、乙看错的情况求出、的值，是解题的关键． 13．（2025八年级下·上海·专题练习）因式分解：______________；________； __________；________ 【答案】 / ； ； ． 【分析】利用完全平方公式、十字相乘法、提取公因式法以及分组分解法求解即可． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 14．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）（1）分式的分子、分母的最大公因数是_______，各相同字母的最低次幂的积是_______，所以公因式是_______，约分后为_______； （2）分式的分子分解因式为_______，分母分解因式为_______，所以公因式为_______，约分后为_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分，找出分式分子和分母的最大公因式是解题的关键． （1）找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可； （2）先用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可． 【详解】解：（1）分式的分子、分母的最大公因数是，相同字母的最低次幂是，所以公因式是，约分后为； 故答案为：，，，； （2）分式的分子分解因式为，分母分解因式为，所以公因式为，约分后为． 故答案为：，，，． 15．（24-25八年级上·四川眉山·期中）在对二次三项式 进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因看错了常数项而将其分解为，试将此多项式进行正确的因式分________ 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、提取公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．分别将和展开，然后取展开后的常数项，取展开后的一次项，最后因式分解即可． 【详解】解：， ， ∴，， 由题意可知：原二次三项式为， ∴． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·湖南常德·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲热门是世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即：．人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”请你依照苏菲热门的做法，对下列多项式进行因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用完全平方公式和平方差公式． 原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)不是；理由见解析 (3)是；理由见解析 (4)是；理由见解析 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟知因式分解的定义是关键． 根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可． 【详解】（1）解：是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． （2）不是因式分解，因为变形后的式子不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义． （3）是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． （4）是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． 18．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法因式分解，熟练掌握换元思想是解题的关键． （1）设，则原式化为，即可求解； （2）设，则原式化为，则，即可求解． 【详解】（1）解∶ 设， 则 ， 故． （2）解：设， 原式 ， ∴， 故 ． 19．（24-25八年级上·河北保定·月考）按要求回答问题： (1)把下列各式因式分解： ①；     ②． (2)用简便方法计算： ①；     ②． 【答案】(1)①； ② (2)①； ② 【分析】（1）①利用提公因式直接因式分解；②先利用完全平方公式展开、合并同类项，然后再利用完全平方公式进行因式分解； （2）①利用提公因式法进行简便运算即可；②利用平方差公式简便运算即可． 【详解】（1）①原式 ； ②原式 ． （2）① ； ② . 【点睛】本题考查了因式分解及其在简便运算中的应用，解题的关键是熟练运用提公因式法和公式法进行因式分解． 20．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）下面是嘉淇同学把多项式因式分解的具体步骤： 利用加法交换律变形，得， 提取公因式，得， 逆用积的乘方公式，得， 运用平方差公式因式分解，得． (1)事实上，嘉淇的解法并不完全正确，原因是 ． (2)请给出这个问题的正确解法． 【答案】(1)公因式没有提取完 (2) 【分析】本题考查了因式分解的提取公因式法和平方差公式，掌握因式分解时先提取完整的公因式，再用公式分解的原则是解题的关键． （1）检查嘉淇的步骤，发现他提取的公因式仅为，而系数和的最大公约数是，因此公因式没有提取完整； （2）先提取完整的公因式，再对剩余的用平方差公式分解． 【详解】（1）解：公因式没有提取完． 嘉淇只提取了公因式，但系数和的最大公约数是，完整的公因式应为，因此公因式没有提取完． （2）解：原式 ． 21．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）［核心素养］张老师在黑板上写了下列三个式子： ①；②；③． (1)请结合上述三个式子的规律，写出式子： ④__________；⑤__________； (2)用含（为正整数）的式子表示上述规律：__________； (3)试证明（2）中的规律的正确性． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由已知式子得到规律； （2）将规律进行总结即可； （3）由平方差公式因式分解即可证明． 【详解】（1）解：由已知式子可得④；⑤； （2）解：由已知式子可得规律为； （3）证明： ． 22．（25-26八年级上·河南周口·月考）阅读材料：若 则 利用整体代入的方法可对类似代数式进行求值． 例如：． 请你根据材料，解决下列问题： 已知，求代数式 的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解以及代数式求值，仿照例题将，整体代入代数式求值，即可． 【详解】解： +1 23．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1) (2)9 (3)； 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解，待定系数法的运用，理解题意是解本题的关键． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，k的值为12． 24．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）先把第一项和第二项提公因式，把第三项和第四项提公因式3，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先把第一项和第二项用平方差公式分解因式，把第三项和第四项提公因式2，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 25．（25-26八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)请在①、②处填空： ①_____②______ (2)将下列各式因式分解： ①_______； ②______； ③______． 【答案】(1)， (2)①；②；③ 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为，再利用平方差公式因式分解． ③仿照阅读材料，运用配方法将转化为与的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： 故答案为：①，②； （2）解：① ； 故答案为：． ② 故答案为：． ③ ； 故答案为：． 26．（24-25八年级下·江苏常州·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，解题的关键是理解题意，熟练掌握十字相乘法． （1）根据题干中提供的信息，进行因式分解即可； （2）分两种情况对将进行因式分解，得出或，然后再分别代入进行验证即可． 【详解】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴． （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意． 27．（25-26八年级上·四川乐山·期中）我们把多项式，叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．（1）例如：①； 是非负数，即， (1)已知代数式，则它的最小值_____． (2)当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)知识迁移：如图，在中，，，，点在边上以的速度从点向移动，点在边上以的速度从点向点移动，若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止．设四边形的面积为，运动时间为秒．求的最小值． 【答案】(1) (2)时，有最小值 (3) 【分析】本题主要考查完全平方式的非负性，因式分解的应用； （1）仿照例题根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数的性质得出代数式的最小值，即可求解； （2）同（1）的方法进行计算即可求解； （3）根据列出代数式，进而根据（1）的方法求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值是； （2）解：， ， ， ∵，， ∴， ∴时，有最小值； （3）解：依题意，，， ∴ ， ∵ ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 因式分解重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：因式分解全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）下列多项式能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南商丘·月考）把多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏南京·周测）利用因式分解可以知道能够被某个数整除，这个数是（   ） A．18 B．28 C．36 D．64 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）把多项式因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川达州·期中）已知多项式分解因式的结果为，则的值是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 6．（2025八年级下·江苏南京·专题练习）用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·甘肃陇南·月考）请你估计一下的值应该最接近于（   ） A．1 B． C． D． 8．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中p，q，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式解 （说明：a，b均为不等于零的常数） 有学生探究得到以下四个结论：①当时，则；②当时，则；③时，则；④当时，，以上结论中正确的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若多项式因式分解的结果为，则________． 10．（25-26八年级上·北京·期中）若，则的值是___________． 11．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）把下列多项式的公因式和分解因式的结果填入表格中： 多项式 公因式 分解因式的结果 12．（24-25八年级下·陕西西安·月考）甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为__________． 13．（2025八年级下·上海·专题练习）因式分解：______________；________； __________；________ 14．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）（1）分式的分子、分母的最大公因数是_______，各相同字母的最低次幂的积是_______，所以公因式是_______，约分后为_______； （2）分式的分子分解因式为_______，分母分解因式为_______，所以公因式为_______，约分后为_______． 15．（24-25八年级上·四川眉山·期中）在对二次三项式 进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因看错了常数项而将其分解为，试将此多项式进行正确的因式分________ 16．（25-26八年级下·湖南常德·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲热门是世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即：．人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”请你依照苏菲热门的做法，对下列多项式进行因式分解：_____． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）因式分解： (1)； (2)． 19．（24-25八年级上·河北保定·月考）按要求回答问题： (1)把下列各式因式分解： ①；     ②． (2)用简便方法计算： ①；     ②． 20．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）下面是嘉淇同学把多项式因式分解的具体步骤： 利用加法交换律变形，得， 提取公因式，得， 逆用积的乘方公式，得， 运用平方差公式因式分解，得． (1)事实上，嘉淇的解法并不完全正确，原因是 ． (2)请给出这个问题的正确解法． 21．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）［核心素养］张老师在黑板上写了下列三个式子： ①；②；③． (1)请结合上述三个式子的规律，写出式子： ④__________；⑤__________； (2)用含（为正整数）的式子表示上述规律：__________； (3)试证明（2）中的规律的正确性． 22．（25-26八年级上·河南周口·月考）阅读材料：若 则 利用整体代入的方法可对类似代数式进行求值． 例如：． 请你根据材料，解决下列问题： 已知，求代数式 的值． 23．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 24．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 25．（25-26八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)请在①、②处填空： ①_____②______ (2)将下列各式因式分解： ①_______； ②______； ③______． 26．（24-25八年级下·江苏常州·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 27．（25-26八年级上·四川乐山·期中）我们把多项式，叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．（1）例如：①； 是非负数，即， (1)已知代数式，则它的最小值_____． (2)当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)知识迁移：如图，在中，，，，点在边上以的速度从点向移动，点在边上以的速度从点向点移动，若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止．设四边形的面积为，运动时间为秒．求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $