21.3—21.4 二次函数与一元二次方程 二次函数的应用 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（沪科版）

21.3—21.4 二次函数与一元二次方程 二次函数的应用 一、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，即为一元二次方程ax²+bx+c=0的根。 2.利用二次函数的图象可以求解一元二次方程的解。具体方法包括： 作出二次函数的图象，确定图象与x轴交点的横坐标；函数图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解。当交点横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围来估计一元二次方程的解。 二、二次函数的应用 1.利用二次函数解决实际问题，如求抛物线的顶点坐标、对称轴，以及抛物线与直线的交点等。 2.二次函数在几何问题中的应用，如利用二次函数图象求解面积、周长等问题。 3.二次函数在经济问题中的应用，如求解最大利润、最小成本等问题。这通常涉及到二次函数的最值问题，需要利用配方法或公式法将二次函数化为顶点式，从而求解出最大值或最小值。 巩固课内例1:图象法求一元二次方程的近似解 1．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程的一个解x的范围是（   ） x …     … y … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查确定一元二次方程的近似根，根据二次函数图像与x轴交点的性质，当函数值y由负变正或由正变负时，对应的x区间内必有一个根．观察表格中y的值变化即可确定解的范围． 【详解】解：由表格数据可知，当时，（负数）；当时，（正数）． 因此，在到之间，函数值y由负变正， ∴方程在此区间内有一个解． 故选C 2．已知，依据下表，它的其中一个解的范围是 ． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… 【答案】 【分析】本本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的x的取值范围是解题的关键．观察表格可以发现的值和0.75最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：当时，； 当时，， 当在的范围内取某一值时，， 方程的一个解的范围是为． 故答案为． 3．下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题：由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．如图，若取的值为，使得函数值满足，那么抛物线与轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解． 例5利用二次函数的图象方程的解（或近似解）． 解设，则方程的解就是该函数图象与轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象，得到与轴的交点为，则点，的横坐标就是方程的解．观察如图，得到点的横坐标，点的横坐标．所以方程的近似解为． 【任务】 (1)在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可） A．数形结合    B．分类讨论    C．统计思想    D．转化思想 (2)先完成下表，并判断： 方程的解分别在哪两个相邻的整数之间 的值 0 1 的值 (3)若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况． 【答案】(1)A，D (2)填表见解析，， (3)方程有两个不相等的实数根，且， 【分析】本题考查了数学思想和二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意结合数学思想可得答案； （2）分别把x的值代入即可填表，根据表格可得答案； （3）根据二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【详解】（1）根据例5求解过程，可知求解过程中，主要运用的数学思想是数形结合，转化思想 故答案为：A，D； （2）填表如下： x的值 0 1 的值 13 3 1 根据上表可得，； （3）， 当时，， 又， 方程有两个不相等的实数根，且，． 巩固课内例2:二次函数的应用——矩形面积最大问题 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ②当时， 解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； 综上，正确结论是②③． 故选：C． 2．如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列式． 设的长度为，则，即可得出． 【详解】解：设的长度为，则， 由题意得，， 故答案为：． 3．为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校准备开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地．在综合实践课上，数学兴趣小组利用所学知识来解决这一问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、皮尺、篱笆 活动过程 【了解场地】用皮尺测出墙的长为，墙的前面是一片空旷的场地． 【设计图纸】如图，用篱笆围成一个矩形实验田，中间用篱笆隔成三个小矩形，分别作为三个年级的实践基地，在边上给每个小矩形区域各留一个宽的门． 【准备材料】篱笆总长为，三个门不用篱笆． 设，矩形的面积为，请你帮兴趣小组解决以下问题： (1)分别求出与，与的函数解析式； (2)若矩形实验田的面积为，求矩形验田的边长； (3)当长为多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)的边长 (3)当长为时，实验田的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了二次函数在几何中的应用，涉及到了矩形的性质，通过篱笆长度建立等式是解决问题的关键，长不能超过墙的长时间易错点． （1）根据题意，篱笆长度，由此可知与的函数解析式，矩形的面积，从而可得与的函数解析式； （2）当时，代入二次函数求自变量的值，结合题意即可； （3）根据二次函数求最值的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴矩形的面积， ∴与，与的函数解析式分别是； （2）解：当时，， 整理得，， 解得：， ∵墙的长为， ∴， ∴， 当时，， ∴矩形实验田的边长； （3）解：∵， 该二次函数开口向下，对称轴是直线， 由题意可知， ∴当时，， 此时， ∴当长为时，实验田的面积最大，最大面积是． 巩固课内例3:二次函数的应用——悬索桥问题 1．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁． 其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住．某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图．小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD，两个索塔均与桥面垂直．主桥AC的长为600m，引桥CE的长为124m．缆索最低处的吊杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆PQ长为13m．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离（     ）米． A．150 B．155 C．160 D．165 【答案】B 【分析】先建立适当的平面直角坐标系，AC所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，再由已知条件和抛物线的对称性确定出点坐标：，，，设抛物线的表达式为，将Q的坐标带入，解得a的值，就可得出抛物线的表达式，当时，带入抛物线的表达式，得出y值就是CD的长度，在Rt△DCE中利用勾股定理得出DE的长度，也就是塔顶端D与锚点E的距离． 【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系， 依题意可知，，，，，，，，，， 由抛物线的对称性可知，， 则得点坐标：，，， 设抛物线的表达式为 ， ∵抛物线经过点Q， ∴将点Q的坐标带入得， 解得得抛物线的表达式为 ， 当时，得，   ∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，结合勾股定理，是解题的关键． 2．图1是一座三拱悬索桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点，处．从桥头点处的碑文得知桥面长为270米，小张从桥头点出发到桥尾点的微信步数（步长视为定值）统计如下表： 计数位置 点 点 点 点 点 点 步数/步 0 140 180 360 400 540 根据上述数据信息得小张的步长为 米，中间两桥墩的距离 米． 【答案】 / 【分析】根据路程等于步数乘步长可求得步长；建立坐标系，分别求得段和段抛物线的解析式，求得点M的横坐标，进一步计算即可求解． 【详解】解：步长（米）； 设点A为原点，所在直线为x轴，则，，， 设段抛物线的解析式为， 将代入得， ∴， ∴段抛物线的解析式为， ∵三条抛物线的形状相同，C、D的中点为 ∴设段抛物线的解析式为， 将代入得， ∴， ∴抛物线的解析式为， 解方程， ， 即点M的横坐标为162， 由对称性知点N的横坐标为， ∴（步）， （米）， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，分别求得段和段抛物线的解析式是解题的关键． 3．如图是一座悬索桥侧面示意图．桥塔与桥塔均垂直于桥面，缆索段与缆索段、缆索段均呈抛物线型．缆索段所在的抛物线与缆索段所在的抛物线关于所在的直线对称，桥塔与桥塔之间的距离（桥塔的粗细忽略不计），缆索段的最低点到的距离．请你建立适当的坐标系，解答问题： (1)在你所建坐标系下，求缆索段所在的抛物线的函数解析式； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据已知条件确定抛物线的顶点坐标和抛物线上一点的坐标，然后设出抛物线的顶点式解析式，将点的坐标代入求出解析式中的系数． （2）先根据抛物线的对称性得到另一段抛物线的解析式，再将的值代入解析式求出的值，最后结合条件确定的长． 本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， ∵， ∴． 又，缆索段的最低点到的距离， ∴抛物线的顶点的坐标为． 故可设抛物线解析式为． 将代入抛物线解析式， 得． ∴． ∴缆索段所在抛物线的解析式为． （2）解：∵缆索段所在抛物线与缆索段所在抛物线关于所在直线对称， 又缆索段所在抛物线的解析式为， ∴缆索段所在抛物线的解析式为． ∵， ∴可令， ∴． 解得或． 又， ∴． ∴的长为． 巩固课内例4:二次函数的应用——重力加速度问题 1．以初速度竖直上抛的物体的高度和时间满足关系式（为重力加速度，），爆竹在地面点燃后以初速度米/秒上升，经过（   ）秒爆竹离地面米? A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把已知数据代入关系式，解方程即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：把已知数据代入得，， 整理得，， 解得，， 故选：． 2．物理学中自由落体的公式是（为重力加速度，），若物体下降高度为，则下落时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数图像上点的坐标特征，将代入求出对应的的值即可．正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴下落时间是． 故答案为：． 3．一个小球从地面竖直向上抛，其运动关系式：（不计空气阻力），其中是物体距离地面的高度，是初速度，是重力加速度（取），是抛出后所经历的时间，用发射器（发射器的高度忽略不计）将小球以的初速度从地面竖直向上抛． (1)当小球的高度为时，求时间的值； (2)小球的高度能达到吗？请作出判断，并说明理由； (3)若在抛出之后将另一个完全相同的小球以相同的速度从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为，求两次抛球的时间差． 【答案】(1)小球的高度为时，所用时间为或 (2)不能，理由见解析 (3)两次抛球的时间差为 【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用． （1）把，，代入所给关系式求出二次函数解析式，再把代入解析式求t的值即可； （2）把代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，由判别式判定方程是否有解即可； （3）把代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，求出方程的两个根，两根之差即为所求． 【详解】（1）解：把，代入得，， 当时，，即， 解得，， 答：小球的高度为时，所用时间为或； （2）解：小球的高度不能达到，理由如下： 把代入得，， ， ， 无实数解， 小球的高度不能达到； （3）解：由题意得：， ． 解得：，， ， 答：两次抛球的时间差为． 类型一、抛物线与x轴、y轴的交点问题 1．已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（    ） A．－5 B．－1 C．3 D．7 【答案】A 【分析】根据韦达定理可知，，然后将其代入所求的代数式求值即可． 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时，充分利用了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的根与系数的关系，难度不大． 【详解】解： 由抛物线与x轴交于点A和B， 知，． ∴． 故选：A． 2．抛物线与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．令，即可求出抛物线的与y轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 抛物线与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 3．已经抛物线与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若该抛物线的顶点为P，求的面积． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的顶点坐标． （1）令，则，计算求解可得、B点的坐标；令，则，可得C点的坐标； （2）由，可得顶点，利用三角形面积公式计算求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：∵， ∴顶点， ∴． 类型二、二次函数的应用——平均增长率问题 1．某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意列出二次函数解析式即可． 【详解】解：由题意得，与的函数解析式为， 故选：D ． 2．某商店月份的利润是万元，，月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为，月份的利润为，则关于的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据平均增长率的定义列式表示出2、3月份的利润即可． 【详解】解：由题意知，2月份的利润为万元，3月份的利润为万元， 因此关于的函数关系式是， 故答案为：． 3．为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元. （1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？ （2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？ 【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元 【分析】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列出方程，即可求解； (2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元，列不等式，求出a的范围，再求出的函数解析式，进而可求出答案. 【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得:，（舍去）. 答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%； （2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元. 根据题意，得:， 解得:， ， ∵， ∴随a的增大而减小. ∵a为整数， ∴当时，最小，最小值为（万元）. 此时，. 答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元. 【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函数解析式和一元一次不等式，是解题的关键. 类型一、二次函数的应用——炮弹发射问题 1．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（   ） A．25米 B．30米 C．40米 D．45米 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据题意，把代入计算即可求解． 【详解】解：炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为， ∴第5秒时炮弹的飞行高度为（米）， 故选：D ． 2．在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且与的关系式为．若此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等，则此炮弹飞行第 秒时的高度是最高的． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据题意利用二次函数图象对称性可知第5秒和第13秒中间数值时炮弹飞行高度是最高的． 【详解】解：∵炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等， ∴对称轴为：直线， ∵向上发射一枚炮弹， ∴图象开头向下， ∴当第9秒时，炮弹飞行高度是最高的， 故答案为：9． 3．图1展示的是威力强大的红衣大炮，作为古代战场上的关键武器，它发射的炮弹的运动轨迹呈抛物线形．经过精准测量与仔细观察，炮弹发射后，距离发射点水平距离60米时达到最大高度30米．一次演练场地选在一处地势复杂且带有一定坡度的山地，将红衣大炮稳固地安置在山坡底部的点处，山坡上点处精心布置了一座模拟敌军营地，营地中的指挥官营帐无疑是关键目标．营帐底部点与点的水平距离为90米，与地面的竖直距离为16米，为进一步增强演练的挑战性与真实感，在营帐顶部竖起了一面醒目的旗帜，旗帜顶端比营帐底部高出米．以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求炮弹运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)判断炮弹能否越过旗帜顶端？请说明理由； (3)若要使炮弹恰好击中旗帜顶端，在抛物线形状不变的情况下，红衣大炮应该向后移动多少米？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3)红衣大炮应该向后移动6米 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是关键． （1）根据题意设设抛物线的解析式为，再把代入即可得到答案； （2）把代入解析式，可得，再进一步进行判断即可； （3）设此时抛物线的解析式为．把点代入，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，点是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 即， 解得， 炮弹运动轨迹所在抛物线的解析式为． （2）解：能，理由如下： 由题可知，点的横坐标为90，纵坐标为， 点． 把代入解析式，得 ， 解得． ， ∴炮弹能越过旗帜顶端． （3）解：炮弹恰好击中旗帜顶端，且抛物线形状不变， ， 设此时抛物线的解析式为． 把点代入，得 ． 当时，； 当时，． 原抛物线顶点横坐标为60， 当时，抛物线向左移，大炮应该向后移动6米； 当时，此时大炮向前移动，不符合题意， 红衣大炮应该向后移动6米． 类型二、二次函数的应用——种植问题 1．某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，然后设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，根据题意可得：，最后进行计算即可解答． 【详解】解：设， 把代入中得：， ； 设， 把代入中得： ， 解得：， ； 设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元， 由题意得： ， ， 当时，， ， 当时，， 能获取的最大总利润是万元， 故选：D． 2．大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．如图是蔬菜大棚的截面示意图，其形状近似看作抛物线．其中大棚的跨径，最顶端点到保温墙的水平距离为4m，到地面的距离为3.6m．现要使得高度为1.1m的机械农具在不碰到棚顶的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度为 m． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先建立坐标系求解二次函数的解析式为，求解当时的自变量的值，从而可得答案； 【详解】解：如图，建立坐标系如下： 由题意可得，顶点， ∴设抛物线为：， ∴， 解得：， ∴抛物线为； 当时， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 而， ∴农具活动范围的宽度为； 故答案为： 3．某科研机构计划种植一种药材，收集信息如下： 单位面积产量（单位：亩）与种植面积（单位：亩）的关系为：； 种植成本（单位：万元）与种植面积（单位：亩）的关系为：； 销售价格：万元． (1)求总产量w与种植面积x的函数关系式； (2)求总产量为时的种植面积总产量单位面积产量种植面积； (3)求该科研机构种植这种药材能获的最大利润（利润销售额种植成本）． 【答案】(1) (2)12亩 (3)400万元 【分析】（1）依据题意，由单位面积产量单位：亩与种植面积单位：亩的关系为：，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，由总产量为，则可令，进而计算可以得解； （3）依据题意，设总利润为Q，则，进而可得当时，Q有最大值，最大值为400，故可判断得解． 【详解】（1）由题意，单位面积产量单位：亩与种植面积单位：亩的关系为：， ； （2）由题意，总产量为， 令， 答：总产量为时的种植面积为12亩； （3）由题意，设总利润为Q， ， 当时，Q有最大值，最大值为万元， 答：该科研机构种植这种药材能获的最大利润为400万元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 类型一、二次函数各项系数问题 1．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知，，， ∴， ∴，故①正确； 根据抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象知对称轴为直线，则 ∴ ∴故③正确； ∵对称轴为直线 ∴当和时，函数值相等 根据函数图象可得当时，， ∴当时， ∴即，故④错误； ∴当时，故⑤不正确． 故选：B． 2．如图，二次函数的图像与轴交于点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④(为任意实数)，其中正确的是 ．(只填写序号) 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．由开口方向，对称轴位置以及与轴的交点得到的符号，即可判断①；根据抛物线的对称性得出时，，即可判断②；由对称轴为直线得到，然后由当时，即可判断③；时，函数有最大值为，即可得出为任意实数，即可判断④． 【详解】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又对称轴是直线， ． ． 又抛物线交轴正半轴， ． ，故①正确． 由对称轴是直线， 当时的函数值与时函数值相等． 由图象可得，当时，． 当时，，故②错误． 由对称性当时的函数值与当的函数值相等， 当时，． 又， ，故③正确． 时，函数有最大值为， 为任意实数时，，即为任意实数，故④错误， 故答案为：①③． 3．已知二次函数（m为常数） (1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________． (2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的开口方向，函数值正负，对称性，增减性，是解题的关键．（1）根据二次函数（m为常数）时，图像开口向上，判断①；根据  得对称轴是直线，判断②； ③令，则， ，两点关于对称轴对称，得函数的图像一定经过，两点，判断③； （2）根据与对称，当时，当时，y随x增大而增大，得，根据，得当时，， ，解得，或 当时，得，解得；当时，当时，y随x增大而减小，则，当时，， ，解得，或当时，得，解得，即可． 【详解】（1）①∵二次函数（m为常数）， ∴当时，该函数的图像开口向上， 正确． ②∵   ∴该函数的图像的对称轴是直线， 不正确． ③令，则， ∴函数的图像一定经过， ∵，两点关于对称轴对称， ∴函数的图像一定经过，两点， 正确． 故答案为：①③． （2）解：∵点在函数图像上， ∴的对称点为， 若， ∵当时，y随x增大而增大， ∴， ∵， ∴当时， ， ∴， ， ∴， ∴； 或当时， ， ∴， 不合； 若， ∵当时，y随x增大而减小， ∴， ∴当时， ， ∴， ， ∴， ∴； 或当时， ， ∴， 不合． 综上， 或． 类型二、解一元二次不等式 1．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 先确定，再由根与系数的关系得到，继而设，则，则不等式化为，再由二次函数与不等式的关系即可求解． 【详解】解：关于的不等式的解集为， 令 ∴由图象得 ∴和是方程的两个根， ∴， ∴设， ∴， ∴不等式化为：， ∴， 令，当时，则， 解得：， ∵开口向上， ∴当时，， ∴解析为：， 故选：C． 2．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的应用，解题关键是运用数形结合的思想解决问题．由图像判断是对称轴，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图像即可求解． 【详解】解：由图像可知二次函数的对称轴是直线， ∵该函数图像与x轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是， ∴的解集为， 故答案为：． 3．我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题，如图是一个二次函数的图象，与轴交点的横坐标分别是和，所以的解集是或；的解集是，所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式．例：解不等式：． 第一步：化为一般式：； 第二步：求相应方程的根：，解得，； 第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象（如图）； 第四步：根据图象得到不等式的解集为． 根据以上方法解决问题： (1)一元二次不等式的解集为 ； (2)一元二次不等式的解集为 ； (3)一元二次不等式的解集为，则 ， ； (4)已知不等式对实数都成立，则的取值范围是 ． 【答案】(1)或； (2)任意实数 (3)，； (4)． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数与不等式的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题中例题即可求解； （）当时，所以无实数根，则与轴无交点，从而求出的范围； （）由一元二次不等式的解集为，则的两个实数根为，，然后根据根与系数的关系得，，求出的值即可； （）分当时，，对实数都成立，当时，设，则，然后根据不等式对实数都成立，所以，最后求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：求相应方程的根：，解得，， 画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象，如图， ∴根据图象得到不等式的解集为：或， 故答案为：或；； （2）解：当时， ∴， ∴无实数根， ∴与轴无交点， 作二次函数的图象，如图， ∴的解集为：任意实数， 故答案为：任意实数； （3）解：∵一元二次不等式的解集为，如图， ∴的两个实数根为，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （4）解：当时，，对实数都成立， 当时， 设， ∴， ∵不等式对实数都成立， ∴， ∴， ∴时，无解； 时，， 综上可知：的取值范围是， 故答案为：． 类型三、二次函数的应用——销售问题 1．某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 2．一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为 元． 【答案】2450 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意，正确列出函数解析式是解题的关键；先求出每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，再求出日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，根据日销售利润等于日销售数量与每件利润的积，得到二次函数，由二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：设每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图1知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得， ∴； 设日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图2知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得：， ∴； 设日销售利润为w，则， 即， ∵， ∴当时，有最大利润，且最大利润为2450元； 故答案为：2450． 3．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨万元出售，平均每天可售出吨．市场调查反映：如果每吨降价万元，每天销售量相应增加吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”最大？并求出其最大值． 【答案】当售价定为万元吨时，才能使每天的利润最大，最大利润为万元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，设售价定为万元吨，每天获得的利润为万元，利用日销售利润每吨的销售利润日销售量，可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设售价定为万元吨，每天获得的利润为万元， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：当售价定为万元吨时，才能使每天的利润最大，最大利润为万元． 类型四、二次函数的应用——扔铅球问题 1．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 2．如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 【答案】10 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，铅球落地时，，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， ∴铅球运行水平距离为10米时落到地面． 故答案为：10． 3．再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：. x 0 1 2 3 4 y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 (1)求出铅球的运动轨迹的解析式； (2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离； (3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少． 【答案】(1) (2)所以G到F的距离 (3)增大，该男同学成绩增大 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点代入得：解答即可； （2）当时，，解方程求解即可； （3）设变化后的二次函数表达式为，将点代入得：；解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入得：； 解得：， ∴， （2）解：当时， ， 解得：， ， 所以G到F的距离 （3）由题意，变化后的二次函数表达式为， 将点代入得：； 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ， 所以该男同学成绩增加. 类型五、二次函数的应用——拱桥问题 1．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据已知建立平面直角坐标系，则可确定顶点坐标为，点B的坐标为，再把解析式设为顶点式，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点， 由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和为的一半，即2米，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为， ∴这个抛物线的解析式为， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降2米， 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴水面宽度增加到米， ∴比原先的宽度增加了米， 故选：C． 2．湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的的值，进而可求解． 【详解】解：依题意得： 当，， 当水位上升 时，则此时， 则：， 解得：或， ∴水面宽为：， 故答案为：． 3．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度为，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽度为． (1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每天的速度上升，求水过警戒水位后几天淹到桥的拱顶； (3)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出用n表示为l的函数解析式． 【答案】(1) (2)水过警戒水位后天淹到桥的拱顶； (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键． （1）以所在直线为轴，中点所在直线为轴建立平面直角坐标系，令与轴的交点为，顶点为，根据题意可得，，，，设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）先得到顶点坐标，从而得出，再除以水位上涨速度求解即可； （3）由题意可知，点在抛物线上，代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，以所在直线为轴，中点所在直线为轴建立平面直角坐标系，令与轴的交点为，顶点为， 由题意可知，，，， ，，，， 设该抛物线的解析式为， 则，解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：， ， ， ， 水位以每天的速度上升， ， 即水过警戒水位后天淹到桥的拱顶； （3）解：由题意可知，点在抛物线上， 则． 类型六、二次函数的应用——学生接受能力问题 1．心理学家发现：学生对概念的接受能力与提出概念的时间之间是二次函数关系，当提出概念时，学生对概念的接受力最大，为；当提出概念时，学生对概念的接受能力就剩下，则与满足的二次函数关系式为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意设出二次函数的顶点式，代入点即可求解． 【详解】解：∵当提出概念时，学生对概念的接受力最大，为， ∴可设与满足的二次函数关系式为， 将点代入得：， 解得： ∴ 故选：D 2．心理学家研究发现，某年龄段的学生内对概念的接受能力y与提出概念所用时间x之间满足函数表达式：，则第 时学生接受概念的能力最强． 【答案】13 【分析】本题主要考查了二次函数性质的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据二次项系数小于零判断该二次函数的图像开口向下，y有最大值，求出对称轴即可． 【详解】解：所用时间为时，学生接受概念的能力最强，理由如下： ∵， ∴该二次函数的图像开口向下，y有最大值， 此时， ∴所用时间为时，学生接受概念的能力最强． 故答案为：13． 3．心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（分钟）之间满足函数，值越大，表示接受能力越强． (1)在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？ 【答案】(1)时，学生的接受能力逐步增强；时，学生的接受能力逐步降低 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据题意可得该二次函数开口向下，则函数图像在对称轴的左边随的增大而增大，在对称轴的右边随的增大而减小，据此即可求解； （2）求出时的值即可求解； （3）根据函数的性质可得函数在顶点处有最大值． 【详解】（1）解：函数中，，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 即 时，学生的接受能力逐步增强；时，学生的接受能力逐步降低； （2）当时，， 故第分钟时，学生的接受能力是； （3）当时，值最大，是， 故第分钟时，学生的接受能力最强． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3—21.4 二次函数与一元二次方程 二次函数的应用 一、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，即为一元二次方程ax²+bx+c=0的根。 2.利用二次函数的图象可以求解一元二次方程的解。具体方法包括： 作出二次函数的图象，确定图象与x轴交点的横坐标；函数图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解。当交点横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围来估计一元二次方程的解。 二、二次函数的应用 1.利用二次函数解决实际问题，如求抛物线的顶点坐标、对称轴，以及抛物线与直线的交点等。 2.二次函数在几何问题中的应用，如利用二次函数图象求解面积、周长等问题。 3.二次函数在经济问题中的应用，如求解最大利润、最小成本等问题。这通常涉及到二次函数的最值问题，需要利用配方法或公式法将二次函数化为顶点式，从而求解出最大值或最小值。 巩固课内例1:图象法求一元二次方程的近似解 1．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程的一个解x的范围是（   ） x …     … y … A． B． C． D． 2．已知，依据下表，它的其中一个解的范围是 ． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… 3．下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题：由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．如图，若取的值为，使得函数值满足，那么抛物线与轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解． 例5利用二次函数的图象方程的解（或近似解）． 解设，则方程的解就是该函数图象与轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象，得到与轴的交点为，则点，的横坐标就是方程的解．观察如图，得到点的横坐标，点的横坐标．所以方程的近似解为． 【任务】 (1)在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可） A．数形结合    B．分类讨论    C．统计思想    D．转化思想 (2)先完成下表，并判断： 方程的解分别在哪两个相邻的整数之间 的值 0 1 的值 (3)若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况． 巩固课内例2:二次函数的应用——矩形面积最大问题 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ． 3．为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校准备开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地．在综合实践课上，数学兴趣小组利用所学知识来解决这一问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、皮尺、篱笆 活动过程 【了解场地】用皮尺测出墙的长为，墙的前面是一片空旷的场地． 【设计图纸】如图，用篱笆围成一个矩形实验田，中间用篱笆隔成三个小矩形，分别作为三个年级的实践基地，在边上给每个小矩形区域各留一个宽的门． 【准备材料】篱笆总长为，三个门不用篱笆． 设，矩形的面积为，请你帮兴趣小组解决以下问题： (1)分别求出与，与的函数解析式； (2)若矩形实验田的面积为，求矩形验田的边长； (3)当长为多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？ 巩固课内例3:二次函数的应用——悬索桥问题 1．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁． 其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住．某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图．小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD，两个索塔均与桥面垂直．主桥AC的长为600m，引桥CE的长为124m．缆索最低处的吊杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆PQ长为13m．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离（     ）米． A．150 B．155 C．160 D．165 2．图1是一座三拱悬索桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点，处．从桥头点处的碑文得知桥面长为270米，小张从桥头点出发到桥尾点的微信步数（步长视为定值）统计如下表： 计数位置 点 点 点 点 点 点 步数/步 0 140 180 360 400 540 根据上述数据信息得小张的步长为 米，中间两桥墩的距离 米． 3．如图是一座悬索桥侧面示意图．桥塔与桥塔均垂直于桥面，缆索段与缆索段、缆索段均呈抛物线型．缆索段所在的抛物线与缆索段所在的抛物线关于所在的直线对称，桥塔与桥塔之间的距离（桥塔的粗细忽略不计），缆索段的最低点到的距离．请你建立适当的坐标系，解答问题： (1)在你所建坐标系下，求缆索段所在的抛物线的函数解析式； (2)若，求的长． 巩固课内例4:二次函数的应用——重力加速度问题 1．以初速度竖直上抛的物体的高度和时间满足关系式（为重力加速度，），爆竹在地面点燃后以初速度米/秒上升，经过（   ）秒爆竹离地面米? A． B． C． D．或 2．物理学中自由落体的公式是（为重力加速度，），若物体下降高度为，则下落时间是 ． 3．一个小球从地面竖直向上抛，其运动关系式：（不计空气阻力），其中是物体距离地面的高度，是初速度，是重力加速度（取），是抛出后所经历的时间，用发射器（发射器的高度忽略不计）将小球以的初速度从地面竖直向上抛． (1)当小球的高度为时，求时间的值； (2)小球的高度能达到吗？请作出判断，并说明理由； (3)若在抛出之后将另一个完全相同的小球以相同的速度从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为，求两次抛球的时间差． 类型一、抛物线与x轴、y轴的交点问题 1．已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（    ） A．－5 B．－1 C．3 D．7 2．抛物线与y轴的交点坐标是 ． 3．已经抛物线与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若该抛物线的顶点为P，求的面积． 类型二、二次函数的应用——平均增长率问题 1．某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．某商店月份的利润是万元，，月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为，月份的利润为，则关于的函数关系式是 ． 3．为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元. （1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？ （2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？ 类型一、二次函数的应用——炮弹发射问题 1．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（   ） A．25米 B．30米 C．40米 D．45米 2．在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且与的关系式为．若此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等，则此炮弹飞行第 秒时的高度是最高的． 3．图1展示的是威力强大的红衣大炮，作为古代战场上的关键武器，它发射的炮弹的运动轨迹呈抛物线形．经过精准测量与仔细观察，炮弹发射后，距离发射点水平距离60米时达到最大高度30米．一次演练场地选在一处地势复杂且带有一定坡度的山地，将红衣大炮稳固地安置在山坡底部的点处，山坡上点处精心布置了一座模拟敌军营地，营地中的指挥官营帐无疑是关键目标．营帐底部点与点的水平距离为90米，与地面的竖直距离为16米，为进一步增强演练的挑战性与真实感，在营帐顶部竖起了一面醒目的旗帜，旗帜顶端比营帐底部高出米．以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求炮弹运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)判断炮弹能否越过旗帜顶端？请说明理由； (3)若要使炮弹恰好击中旗帜顶端，在抛物线形状不变的情况下，红衣大炮应该向后移动多少米？ 类型二、二次函数的应用——种植问题 1．某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（    ） A． B． C． D． 2．大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．如图是蔬菜大棚的截面示意图，其形状近似看作抛物线．其中大棚的跨径，最顶端点到保温墙的水平距离为4m，到地面的距离为3.6m．现要使得高度为1.1m的机械农具在不碰到棚顶的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度为 m． 3．某科研机构计划种植一种药材，收集信息如下： 单位面积产量（单位：亩）与种植面积（单位：亩）的关系为：； 种植成本（单位：万元）与种植面积（单位：亩）的关系为：； 销售价格：万元． (1)求总产量w与种植面积x的函数关系式； (2)求总产量为时的种植面积总产量单位面积产量种植面积； (3)求该科研机构种植这种药材能获的最大利润（利润销售额种植成本）． 类型一、二次函数各项系数问题 1．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，二次函数的图像与轴交于点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④(为任意实数)，其中正确的是 ．(只填写序号) 3．已知二次函数（m为常数） (1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________． (2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围． 类型二、解一元二次不等式 1．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是 ．    3．我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题，如图是一个二次函数的图象，与轴交点的横坐标分别是和，所以的解集是或；的解集是，所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式．例：解不等式：． 第一步：化为一般式：； 第二步：求相应方程的根：，解得，； 第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象（如图）； 第四步：根据图象得到不等式的解集为． 根据以上方法解决问题： (1)一元二次不等式的解集为 ； (2)一元二次不等式的解集为 ； (3)一元二次不等式的解集为，则 ， ； (4)已知不等式对实数都成立，则的取值范围是 ． 类型三、二次函数的应用——销售问题 1．某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为 元． 3．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨万元出售，平均每天可售出吨．市场调查反映：如果每吨降价万元，每天销售量相应增加吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”最大？并求出其最大值． 类型四、二次函数的应用——扔铅球问题 1．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 3．再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：. x 0 1 2 3 4 y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 (1)求出铅球的运动轨迹的解析式； (2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离； (3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少． 类型五、二次函数的应用——拱桥问题 1．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（    ） A． B． C． D． 2．湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 3．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度为，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽度为． (1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每天的速度上升，求水过警戒水位后几天淹到桥的拱顶； (3)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出用n表示为l的函数解析式． 类型六、二次函数的应用——学生接受能力问题 1．心理学家发现：学生对概念的接受能力与提出概念的时间之间是二次函数关系，当提出概念时，学生对概念的接受力最大，为；当提出概念时，学生对概念的接受能力就剩下，则与满足的二次函数关系式为(   ) A． B． C． D． 2．心理学家研究发现，某年龄段的学生内对概念的接受能力y与提出概念所用时间x之间满足函数表达式：，则第 时学生接受概念的能力最强． 3．心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（分钟）之间满足函数，值越大，表示接受能力越强． (1)在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$