22.3 实际问题与二次函数（4）围栏面积问题 （题型专练） 2025--2026学年人教版九年级数学上册

围栏面积问题 （题型专练） 一．选择题 1．在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（　　） A．y＝（60+2x）（40+2x） B．y＝（60+x）（40+x） C．y＝（60+2x）（40+x） D．y＝（60+x）（40+2x） 2．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（　　） A．60m2 B．63m2 C．64m2 D．66m2 3．用长6m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户，使窗户的透光面积最大（如图），那么这个窗户的最大透光面积是（　　） A．m2 B．1m2 C．m2 D．3m2 4．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为80米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（　　） A．40米 B．30米 C．20米 D．10米 5．如图，一边靠墙（墙有足够长），其他三边用20米长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（　　）平方米． A．40 B．50 C．60 D．以上都不对 6．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE＝DF．四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为（　　） A．y＝5﹣x B．y＝5﹣x2 C．y＝25﹣x D．y＝25﹣x2 7．一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（　　） A．30cm B．25cm C．20cm D．15cm 8．用长度为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为（　　）m2． A． B． C．2 D．4 9．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（　　） A．48m2，37.5m2 B．50m2，32m2 C．50m2，37.5m2 D．48m2，32m2 10．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（　　） A．13 B．12 C．8 D．6 二．填空题 11．如图，某农场拟建造由甲，乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠15m长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造24m长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造　 　 m2． 12．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与AD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝　 　 m时，矩形土地ABCD的面积最大． 13．小宇想在边长为10的正方形纸片ABCD上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使正方形纸片EFGH的面积最小，则AE的长为 　 　 ． 14．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．则S与x的函数关系式为 　 　 ；花圃面积最大是 　 　 平方米． 15．如图1所示，某乡村准备修建一条100m长的水渠．水渠的过水横截面是如图2所示的矩形ABCD．如水渠底面与侧面的修建造价为100元/m2，AB+BC+CD＝tm，则修水渠的总价为 　 　 万元（用含t的代数式表示）；为了提高水渠的过水量，要使过水横截面的面积尽可能大，现有资金4万元，当过水横截面面积最大时，水渠的深度AB为 　 　 m． 16．如图，在长200米、宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路（图中阴影部分），请写出绿地面积y（m2）与路宽x（m）之间的函数关系式：　 　 ． 三．解答题 17．如图，准备在校园里利用25m长的旧围墙MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为xm，矩形花园ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； （2）矩形花园ABCD的面积能否达到500m2，若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 18．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为xm，宽为ym，面积为sm2． （1）分别求出y与x，s与x的函数解析式； （2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ （3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 19．综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动． 已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为450m2的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 20．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用79m长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有1m宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设AB＝xm，矩形ABCD的面积为ym2． （1）请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 21．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为33m，设与墙垂直的一边长为xm，饲养室的面积为ym2． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当x为何值时，能建成的饲养室的面积最大，最大为多少？ 22．根据以下素材，探索完成任务 如何设计纸盒 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图1和图2所示的两种纸盒，图1是无盖的纸盒，图2是一个有盖的纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子． 问题解决 任务1 初步探究：折一个底面积为484cm2无盖长方体盒子 求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2 探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值？ 如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C B D C B C B 二．填空题 11．48． 12．225． 13．5． 14．S＝﹣4x2+24x，36． 15．t；1． 16．y＝x2﹣280x+16000． 三．解答题 17．解：（1）AB的长为xm，则BC＝（60﹣2x）m， ∴y＝AB•BC＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x； ∵0＜BC≤25， ∴0＜60﹣2x≤25， ∴17.5≤x＜30， ∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x2+60x（17.5≤x＜30）； （2）矩形花园ABCD的面积不能达到500m2．理由： 当y＝500时，即x（60﹣2x）＝500， 整理得x2﹣30x+250＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝900﹣1000＝﹣100＜0， ∴原方程没有实数根， ∴矩形花园ABCD的面积不能达到500m2． 18．解：（1）由题意得，x+4y＝32， ∴． ∴，即． （2）由题意，∵， ∴S有最大值．当 时，． 答：当x＝16 时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64． （3）由题意得，x+4y＝32+8， ∴． ∴． ∴x1＝x2＝20． ∵18＜20， ∴矩形场地的最大总面积不能达到100m2． 19．解：（1）设与墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为 （60﹣2x）m， 根据题意得x（60﹣2x）＝450， 解得x1＝x2＝15， 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）设与墙平行的边的长度为tm，花圃的面积为Sm2， 根据题意得， ∴， ∵， ∴当t＝33时，S有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 20．解：（1）由题意得，， 则， 由题意得，1＜x≤45， ∴； （2）∵， ∴当x＝40米时，矩形场地的面积最大，最大值为800平方米． 21．解：（1）已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为33m，设与墙垂直的一边长为xm， 平行于墙的材料长为（33﹣3x+3）m，即（36﹣3x）m， ∴y＝（36﹣3x）x＝﹣3x2+36x， 其中36﹣3x＞0，则0＜x＜12； （2）∵y＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108， ∴当x＝6时，面积y最大，最大为108m2． 22．解：任务1：设剪掉的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面边长为（40﹣2x）cm， 根据题意可列方程得：（40﹣2x）2＝484， 解得：x1＝9，x2＝31， ∵40﹣2x＞0，即x＜20， ∴x＝9， 答：剪掉的小正方形的边长为9cm； 任务2：设剪掉的小正方形的边长为acm，折成的无盖长方体盒子的侧面积为Scm2， 根据题意可得：S＝4a•（40﹣2a）＝﹣8（a﹣10）2+800， ∵﹣2＜0，且0＜a＜20， ∴当a＝10时，S有最大值，最大值为800， 答：当剪掉的小正方形的边长为10cm时，折成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值，最大面积为800cm2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/14 16:33:43；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $