方法13 零点性质，消元转化 方法14 参数范围，三法破解-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

方法13　零点性质，消元转化 　　证明关于零点与参数的不等式，通常的方法是利用消元思想转化为证明一元不等式成立.而证明一元不等式成立的方法有：（1）消元转化法；（2）构造函数法；（3）放缩法.其中消元转化法是最常规的方法. 【例】　已知函数f（x）＝＋ln（m∈R，a＞0）. （1）若f（x）的最小值为2，求的值； （2）若m＝1，a＞e，实数x0为f（x）的零点（x0＞1），求证：＋x0＜a－1. 【训练】　 已知函数f（x）＝x3＋3ax＋a3＋3（a∈R）恰有一个零点x0，且x0＜0. （1）求实数a的取值范围； （2）求x0的最大值. 方法14　参数范围，三法破解 　　已知含参不等式恒成立，求参数范围问题，常用策略如下： （1）直接法：通常需先将不等式进行适当变形转化为最值问题（有些问题先取特殊值以缩小参数的取值范围，从而避免或减少分类讨论的情况）； （2）参数分离法：化为a＞f（x）对x∈I恒成立，如果f（x）（x∈I）有最大值M，则a＞M；如果f（x）（x∈I）有上界M（取不到），则a≥M； 注：有些问题需要求极限确定f（x）（x∈I）的上界M（取不到）. （3）端点效应法：f（x）为可导函数，若不等式f（x）≥0（或f（x）≤0）对x≥a恒成立，且f（a）＝0，则f'（a）≥0（或f'（a）≤0）. 【例】　设a∈R，已知函数f（x）＝xln x＋ax2－（1＋a）x＋1，x∈（1，＋∞）.若f（x）＞0恒成立，求a的范围. 【训练】　 1.已知函数f（x）＝ex＋ax2－x，当x≥0时，f（x）≥x3＋1恒成立，求a的取值范围. 2.设函数f（x）＝ln（1＋x），g（x）＝xf'（x），x≥0，若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 方法13　零点性质，消元转化 【例】　解：（1）f'（x）＝－＋＝（x＞0）. 当m≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故f（x）无最小值； 当m＞0时，f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，＋∞）上单调递增， 所以f（x）min＝f（m）＝1＋ln＝2，故＝e. 综上，＝e. （2）证明：f（x）＝＋ln，由（1）得，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增， 所以f（x）min＝f（1）＝1－ln a＜0， 而f（a）＝＞0，所以存在x0∈（1，a），使f（x0）＝＋ln＝0. 于是ln a＝＋ln x0＝ln（x0），即a＝x0. 要证＋x0＜a－1，只需证＋x0＜x0－1. 设＝t∈（0，1），则只需证t＋＋1＜et. 即et＞t2＋t＋1. 设g（t）＝et－t2－t－1（0＜t＜1），则g'（t）＝et－t－1＞0（0＜t＜1）. 所以g（t）单调递增， 因此g（t）＞g（0）＝0， 故et＞t2＋t＋1. 即＋x0＜a－1. 【训练】 解：（1）f'（x）＝3x2＋3a. ①当a＝0时，方程f（x）＝0的根为x0＝－＜0，符合题意； ②当a＞0时，f'（x）＞0，f（x）在R上单调递增， 因为f（0）＝a3＋3＞0，f（x）＝－∞， 所以f（x）恰有一个零点x0，且x0＜0，符合题意； ③当a＜0时，令f'（x）＝0，得x＝±. f（x）在（－∞，－）上单调递增，在（－，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增， 由题意得f（）＝（）3＋3a＋a3＋3＞0， 令t＝，t＞0，则f（t）＝t3－3t3－t6＋3＝－（t3＋3）（t3－1）＞0， 所以0＜t＜1，于是－1＜a＜0. 综上，a＞－1. （2）由（1）知，存在x0＜0，使得＋3ax0＋a3＋3＝0在a∈（－1，＋∞）上有解， 令g（a）＝a3＋3x0a＋＋3， 则g（a）在（－1，＋∞）上有零点. g'（a）＝3a2＋3x0， 令g'（a）＝0，得a＝±. ①当x0≤－1时，g（a）在（－1，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增， 所以g（）≤0， 即（）3＋3x0＋＋3≤0， 令m＝，则m≥1，（1－m3）（3＋m3）≤0，故x0≤－1，x0的最大值为－1，此时a＝1. ②当－1＜x0＜0时，g（a）在（－1，－）上单调递增，在（－，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增， 因为g（－1）＝（x0＋2）（x0－1）2＞0，且g（）＝－[（）3－1]·[（）3＋3]＞0，所以g（a）在（－1，＋∞）上没有零点，不符合题意. 综上，x0的最大值为－1. 方法14　参数范围，三法破解 【例】　解：（直接法） 令g（x）＝＝ln x＋ax＋－（1＋a），则原问题转化为g（x）＞0在x∈（1，＋∞）上恒成立.g'（x）＝－＋a＝， ①当a≥0时，g'（x）＞0在x∈（1，＋∞）上恒成立， 即g（x）在（1，＋∞）上单调递增，g（x）＞g（1）＝0，符合条件； ②当a≤－时，则g'（x）≤0在x∈（1，＋∞）上恒成立， 即g（x）在（1，＋∞）上单调递减，g（x）＜g（1）＝0，不符合条件； ③当－＜a＜0时，令g'（x）＝0的两根分别为x1，x2， 此时－＞2，g'（1）＝a＜0，x2＞x1＞1. 当x∈（1，x1）时，g'（x）＜0，则g（x）＜g（1）＝0，不符合条件.综上，a≥0. 【训练】 1.解：（参数分离法） 当x≥0时，f（x）≥x3＋1恒成立， ①当x＝0时，a∈R； ②当x＞0时，转化为a≥恒成立， 令h（x）＝， 所以h'（x）＝， 记g（x）＝ex－x2－x－1， 因为当x≥0时，g'（x）＝ex－x－1，g″（x）＝ex－1≥0恒成立， 所以g'（x）单调递增，所以g'（x）min＝g'（0）＝0，g（x）单调递增，g（x）min＝g（0）＝0， 令h'（x）＝0，可得x＝2，当x∈（0，2）时，h'（x）＞0，所以h（x）在（0，2）上单调递增， 当x∈（2，＋∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（2，＋∞）上单调递减， 所以h（x）max＝h（2）＝，所以a≥. 综上，a的取值范围为［，＋∞）. 2.解：（端点效应法） 依题意，f'（x）＝， 由于g（x）＝xf'（x）， 即g（x）＝，而f（x）≥ag（x）恒成立， 即ln（1＋x）≥恒成立， 必要性：此时令F（x）＝ln（1＋x）－（x≥0）， 即保证当x≥0时，F（x）≥0恒成立. 由于F（0）＝0，故此时必须保证函数F（x）在[0，＋∞）上单调递增， 即保证F'（x）≥0在区间[0，＋∞）上恒成立， 而F'（x）＝－， 即函数F'（x）＝，而F'（0）＝1－a， 而要保证F'（x）≥0在[0，＋∞）上恒成立， 故F'（0）≥0，即a≤1. 充分性：当a≤1时，函数F'（x）＝≥＞0，故函数F（x）在[0，＋∞）上单调递增，即F（x）≥F（0）＝0， 故当a≤1时，函数F（x）≥0在[0，＋∞）上恒成立，即原命题成立， 故实数a的取值范围是（－∞，1]. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $