微突破1 切线与公切线问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

微突破1　切线与公切线问题 【备考指南】　曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，一般单独考查，难度较小，也可与函数的单调性、极值、最值综合考查，难度较大. 1.曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）. 1.（2025·广东湛江二模）已知函数f（x）＝ex＋2x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　） A.y＝2x＋1 B.y＝3x＋1 C.y＝2x D.y＝3x 2.若两曲线共切点，则切线为两曲线的公切线. 2.已知曲线y＝ln x与曲线y＝a（x－）在交点（1，0）处有相同的切线，则a＝（　　） A.1 B. C.－ D.－1 3.若直线是曲线的切线，则切点既在切线上又在曲线上. 3.（2025·全国Ⅰ卷12题）若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝　　　　. 4.求切线时要注意是过点处的切线还是在点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点. 4.曲线y＝ex－2＋1过坐标原点的切线方程为　　　　. 【思维建模】　求曲线y＝f（x）的切线方程的三种类型及方法 （1）已知切点P（x0，f（x0）），求切线方程：求出切线的斜率f'（x0），由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率k，求切线方程：设切点为P（x0，f（x0）），通过方程k＝f'（x0）解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点（非切点），求切线方程：设切点为P（x0，f（x0）），利用导数求得切线斜率f'（x0），再由斜率公式求得切线斜率，列方程（组）解得x0，再由点斜式或两点式写出方程. 【例】　（1）（2024·全国甲卷理6题）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　） A. B. C. D. （2）（2025·辽宁省部分重点中学协作体考试）过原点且与曲线y＝xsin x相切的直线有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【通性通法】　求两曲线不共切点的公切线的一般思路 （1）分别设出两曲线的切点； （2）分别求两曲线的切线方程； （3）由公切线转化为两切线方程对应项系数相同，然后求解即可. 【通性通法】　两曲线公切线条数的判断方法 （1）由两曲线公切线的几何特征，构建等量关系式f'（x1）＝g'（x2）＝； （2）解上述方程组，当无解时，两曲线不存在公切线；当有一解时，公切线只有一条；当有两个不同的解时，公切线有两条. （3）（2024·新高考Ⅰ卷13题）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝　　　　. 【训练】　（1）（2025·河南郑州一模）已知曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为（　　） A.（1，3） B.（－1，3） C.（1，3）或（－1，3） D.（1，－3） （2）若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则直线l的方程为（　　） A.y＝2x＋1 B.y＝2x＋ C.y＝x＋1 D.y＝x＋ （3）已知曲线f（x）＝x2－4x＋4，g（x）＝x－1，则f（x）和g（x）的公切线的条数为（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 提示：完成课后作业　专题三　微突破1 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破1　切线与公切线问题 【基础·回扣】 1.B　2.B　3.4　4.y＝x 【典例·讲解】 【例】　（1）A　f'（x）＝ ，所以f'（0）＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），（－，0），所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝.故选A. （2）C　设切点为（x0，x0sin x0），因为曲线y＝xsin x，所以y'＝sin x＋xcos x，所以＝sin x0＋x0cos x0，所以x0cos x0＝0，所以x0＝0或cos x0＝0，当x0＝0时，k＝0，所以切线方程为y－0＝0（x－0），即y＝0；当x0＝时，k＝1，所以切线方程为y－0＝1（x－0），即y＝x；当x0＝－时，k＝－1，所以切线方程为y－0＝－1（x－0），即y＝－x，所以切线有3条.故选C. （3）ln 2　解析：由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1，由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝，设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），由两曲线有公切线得y'＝＝2，解得x0＝－，则切点为（－，a＋ln），由切点在直线y＝2x＋1上得，a＋ln＝0，故a＝ln 2. 【训练】　（1）C　设切点P（x0，y0），f'（x）＝3x2－1，又直线x＋2y－1＝0的斜率为－，∴f'（x0）＝3－1＝2，∴＝1，∴x0＝±1，又切点P（x0，y0）在y＝f（x）上，∴y0＝－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为（1，3）或（－1，3）. （2）D　易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则＝　①.设直线l与曲线y＝的切点坐标为（x0，）（x0＞0），则y'＝＝k　②，＝kx0＋b　③.由②③可得b＝，将b＝，k＝代入①得x0＝1或x0＝－（舍去），所以k＝b＝，故直线l的方程为y＝x＋.故选D. （3）A　设公切线与f（x）和g（x）分别相切于点（m，f（m）），（n，g（n）），f'（x）＝2x－4，g'（x）＝－x－2，g'（n）＝f'（m）＝，解得m＝－＋2，代入化简得8n3－8n2＋1＝0，构造函数h（x）＝8x3－8x2＋1，则h'（x）＝8x（3x－2），所以h（x）在（－∞，0），（，＋∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，极大值h（0）＞0，极小值h（）＜0，当x→－∞时，h（x）→－∞；当x→＋∞时，h（x）→＋∞，故函数h（x）的图象和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有三个解，故公切线有3条. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $