第10讲 不等式的证明问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

第10讲　不等式的证明问题 【备考指南】　导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单调性、极值和最值的综合运用，试题难度中等偏上，若以压轴题出现，则难度较大. 1.证明f（x）＜g（x）（或f（x）＞g（x）），x∈（a，b），可以构造函数F（x）＝f（x）－g（x），即证明F（x）＜0（或F（x）＞0）. 1.（2023·新高考Ⅱ卷22题节选）证明：当0＜x＜1时，x－x2＜sin x. 2.（1）ex≥x＋1（x∈R，当且仅当x＝0时等号成立）； （2）ln x≤x－1（x＞0，当且仅当x＝1时等号成立）； （3）常见变式 ①ex－1≥x；e－x≥1－x；eax≥ax＋1（a为常数）； ②ln x＋1≤x；ln ≤－1⇒ln x≥1－；≤1－. 2.设函数f（x）＝ex－1，其中e为自然对数的底数. 求证：（1）当x＞0时，f（x）＞x； （2）ex－2＞ln x. 【思维建模】　利用导数研究不等式证明问题的思路 【例1】　（2024·全国甲卷文20题节选）已知函数f（x）＝a（x－1）－ln x＋1，当a≤2时，证明：当x＞1时，f（x）＜ex－1恒成立. 【瓶颈突破】　根据ln x与ex变量分离，构造双函数f（x），g（x），证明f（x）min＞g（x）max. 【例2】　已知函数f（x）＝ln x，g（x）＝ex，证明：f（x）＋＞g（－x）. 【瓶颈突破】　对于（2），利用（1）中的结论，得到不等式ln ＜·，并对所有项进行累加，即可证明不等式成立. 【训练1】　已知函数f（x）＝－k. （1）若f（x）≤0恒成立，求实数k的取值范围； （2）证明：ln ＋ln ＋…＋ln ＜（＋＋…＋）（n＞1）. 【瓶颈突破】　可分0＜x≤1和x＞1两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性与最值证明不等式. 【训练2】　（2025·山东日照一模节选）已知函数f（x）＝xln x，求证：f（x）＜ex＋cos x－2. 提示：完成课后作业　专题三　第10讲 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com● 您身边的互联网+款辅专家 第10讲不等式的证明问题 【基础·回扣】 1.证明：设h(x)=sinx一x十x2,则h'(x)=cosx-1+2x. 令m(x)=cosx-1+2x,则m'(x)=-sinx+2>0, 所以h'(x)在(0,1)上单调递增， 所以h'(x)>h'(0)=0, 所以h(x)在(0,1)上单调递增， 所以h(x)>h(0)=0, 所以当0<x<1时，x-x2<sinx. 2.证明：(1)令g(x)=f(x)一x=e-1-x, 则g'(x)=e-1, 当x>0时，g'(x)>0,g(x)在(0，十∞)上单调递增， 故当x>0时，g(x)>g(0)=0, 即当x>0时，f(x)>x (2)由(1)可得当x>0时，e>1十x. 要证e-2>lnx, 可证e-2>x-1≥lnx, 即证x-1-lnx≥0. 令h(x)=x-1-nx,则(x)=1-1=x-1 XX 当x>1时，h'(x)>0,h(x)单调递增； 当0<x<1时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 则h(x)min=h(1)=0, 即h(x)=x-1一lnx≥0恒成立（当且仅当x=1时等号成立）， 所以e-2>lnx. 【典例讲解】 【例1】证明：法一（作差法直接求导证明） 设g（x)=a(x-1)一lnx+1-e-1,只需证当x>1时，g(x)<0即可. 易知g'(x)=a 1-e X 令h(x)=g(x),则h(x)=专-e1, 1/4 ·独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 由基本初等函数的单调性可知h'(x)在(1，十∞)上单调递减， 则当x>1时，h'(x)<h'(1)=1-1=0, 所以h(x)=g'(x)在(1，十∞)上单调递减， 于是当x>1时，g'(x)<g'(1)=a-2, 又a≤2，所以a-2≤0，则当x>1时，g'(x)<0,故g(x)在(1，+∞)上单调递减， 所以当x>1时，g(x)<g(1)=0,即当x>1时，f(x)<e-1恒成立. 法二（放缩法)因为a≤2，所以当x>1时，e-1-f(x)=e-1-a(x-1)+lnx-1≥e-1-2x+ In x+1. 令g(x)=e-1-2x十lnx十1，则只需证当x>1时g(x)>0. 局知g)=g-2+号 令hx)=g),则)=Q1-是在(1，十)上草调搅增， 则当x>1时，h'(x)>h'(1)=0, 所以h(x)=g'(x)在(1，十∞)上单调递增， 所以当x>1时，g'(x)>g'(1)=0,故g(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以当x>1时，g(x)>g(1)=0, 即当x>l时，f(x)<e1恒成立. 【例2】证明：根据题意，g(-x)=e, 所以了)+忌>g《一)等价于≥e”一 e 设函数m(x)=xnx,x>0,则m'(x)=1+lnx, 所以当x∈(0，时，m'(x)<0,当x∈（忌+o)时，m()>0, 故m(x)在(0，子上单调递减，在（日，十0）上单调递增，从而m(x)在(0，十∞)上的最 小值为m(白=- e 设函数h(x)=e- e’x>0, 则h'(x)=ex(1-x), 所以当x∈(0,1)时，h'(x)>0, 当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0, 2/4 ·独家授权侵权必究。 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，从而h(x)在(0，+∞)上的最大 值为h(1)=- e 因为两函数不会同时取得一。所以当x>0时，m(x)>h(x), 即f(x)+ 2 ex>g (-x). 【训练1】解：I)若f(x)≤0恒成立，则k≥(X), X 设g(x=hx(x>0),g0）=1=nx X x2, 由g'(x)>0,得0<x<e;由g'(x)<0,得x>e, 所以函数g(x)在(O,e)上单调递增，在(e,十∞)上单调递减， 则g()m=g(0)己所以≥。，故实数长的取值苑围为[日十). (2)证明：令k=则f()≤0，即≤。，则n≤名x(当且仅当x=e时等号成立)， 1 X 因为hh写诗，h 111 n e n 所以n+h写计+h片c分+号++片m≥ 【训练2】证明：依题意，要证f(x)<e+cosx一2，即证xlnx<e+cosx一2， 当0<x≤1时，xlnx≤0， 令m(x)=e+cosx-2,0<x≤1， 因为m'(x)=e-sinx>0,所以m(x)在(0,1]上单调递增， 所以m(x)>m(0)=1+1一2=0，所以不等式成立； 当x>l时，要证xlnx<e+cosx-2,即证xlnx-e-cosx+2<0. h(x)=xlnx-e-cosx+2,x>1,h(x)=Inx-e+sinx+1,x>1. 设9)-nxe+smx+1,>1,则0)-义c+cs,x>1 当x>1时，ee,是<1，cosx1,所以pG)-e+cs<0,>1, 所以0（x)在（1，十∞)上单调递减. 所以p(x)<p(1)=1-e十sin1<0,即h'(x)<0,x>1, 3/4 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 所以h(x)在(1，+∞)上单调递减，h(x)<h(1)=2-e一cos1<0, 即当x>1时，xlnx<e*十cosx-2成立， 综上，f(x)<e十cosx一2在(0，+∞)上恒成立. 4/4 ·独家授权侵权必究