第8讲 利用导数研究函数的性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

第8讲　利用导数研究函数的性质 【基础·回扣】 1.B　2.C　3.B　4.A　5.－ 【典例·讲解】 【例1】　解：当a＞0时，对函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋ln x求导得， f'（x）＝2ax－（a＋2）＋＝＝＝＝（x＞0）， 若a＝2，则f'（x）＝≥0（x＞0），此时f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递增， 若0＜a＜2，则＞，当0＜x＜或x＞时，f'（x）＞0，当＜x＜时，f'（x）＜0，此时f（x）在（0，），（，＋∞）上单调递增，在（，）上单调递减， 若a＞2，则0＜＜，当0＜x＜或x＞时，f'（x）＞0，当＜x＜时，f'（x）＜0，此时f（x）在（0，），（，＋∞）上单调递增，在（，）上单调递减. 综上所述，若a＝2，则f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递增； 若0＜a＜2，则f（x）在（0，），（，＋∞）上单调递增，在（，）上单调递减； 若a＞2，则f（x）在（0，），（，＋∞）上单调递增，在（，）上单调递减. 【例2】　（1）C　函数f（x）的定义域是R，f'（x）＝ex＋a－x，若f（x）存在单调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1.故选C. （2）（－3，1）　解析：f（x）＝2x－sin 2x的定义域为R，∵f'（x）＝2－2cos 2x＝2（1－cos 2x）≥0，∴函数f（x）是R上的增函数，∵f（－x）＝－2x－sin（－2x）＝－（2x－sin 2x）＝－f（x），∴函数f（x）是奇函数，∴由f（x2）＋f（2x－3）＜0得f（x2）＜－f（2x－3）＝f（3－2x），∴x2＜3－2x⇒x2＋2x－3＜0⇒（x－1）（x＋3）＜0⇒－3＜x＜1，∴不等式f（x2）＋f（2x－3）＜0的解集为（－3，1）. 【训练1】　（1）A　因为f（－x）＝x2＋cos x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，f'（x）＝x－sin x，令g（x）＝x－sin x，x∈（0，＋∞），则g'（x）＝1－cos x≥0，x∈（0，＋∞），所以函数g（x）＞g（0）＝0，即当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（－2）＝f（2）＜f（3）＜f（π）.故选A. （2）D　由题图可知，先减后增的曲线为f'（x）的图象，先增后减再增的曲线为f（x）的图象，当0＜x＜1或x＞4时，f'（x）＜f（x），即g'（x）＝＜0，则函数g（x）＝的单调递减区间为（0，1），（4，＋∞）.故选D. （3）（，1）　解析：由题可得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－＝，易知当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，即函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.若函数f（x）＝－ln x在区间（m，m＋）上不单调，则需满足0≤m＜1＜m＋，解得＜m＜1，所以实数m的取值范围为（，1）. 【例3】　（1）BCD　因为函数f（x）＝aln x＋＋（a≠0），所以函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，因为函数f（x）既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选B、C、D. （2）解：易知函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－a. 当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上是增函数，无极值； 当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞ln a，由f'（x）＜0，得x＜ln a， 所以函数f（x）在区间（－∞，ln a）上单调递减，在区间（ln a，＋∞）上单调递增，所以f（x）的极小值为f（ln a）＝a－aln a－a3. 由题意知a－aln a－a3＜0（a＞0），等价于1－ln a－a2＜0（a＞0）. 法一（导数法）　令g（a）＝1－ln a－a2（a＞0）， 则g'（a）＝－－2a＜0，所以函数g（a）在（0，＋∞）上是减函数， 又g（1）＝0，故当0＜a＜1时，g（a）＞0；当a＞1时，g（a）＜0. 故实数a的取值范围为（1，＋∞）. 法二（图象法）　由1－ln a－a2＜0（a＞0），得ln a＞－a2＋1（a＞0）. 如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间（0，＋∞）上的大致图象， 由图易知当a＞1时，ln a＞－a2＋1，即1－ln a－a2＜0. 所以实数a的取值范围为（1，＋∞）. 【例4】　A　由题意得f'（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）.令f'（x）＞0，得x＜0或x＞2，令f'（x）＜0，得0＜x＜2，则f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞），单调递减区间为（0，2），即x＝2时，函数取得极小值f（2）＝－1.又因为当x3－3x2＋3＝－1，即x3＋1＋3（1－x2）＝（x＋1）·（x－2）2＝0时，解得x＝－1或x＝2，可作出f（x）的图象如图所示，故要使函数f（x）＝x3－3x2＋3在区间（a，a＋6）上存在最小值，则有解得－1≤a＜2，即实数a的取值范围为[－1，2）.故选A. 【训练2】　（1）C　由题意得f'（x）＝ex－2ax，故f'（0）＝1＞0，因为函数f（x）＝ex－ax2在R上无极值，所以f'（x）≥0在R上恒成立，当x＞0时，a≤，设g（x）＝（x＞0），则g'（x）＝＝，当0＜x＜1时，得g'（x）＜0，当x＞1时，得g'（x）＞0，则g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，从而g（x）≥g（1）＝，故a≤；当x＜0时，由f'（x）≥0得a≥，又＜0，则a≥0.综上，a的取值范围是［0，］. （2）C　当x≥2时，f（x）＝，则f'（x）＝，当2≤x＜e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，当x＞e时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，则函数f（x）在x＝e处取得极大值，且极大值为f（e）＝，因为函数f（x）＝有最大值，则解得0≤k≤，因此实数k的最大值为.故选C. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲　利用导数研究函数的性质 【备考指南】　利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考重点考查内容，多以选择题、填空题的形式考查，或以解答题的形式出现，难度中等. 1.求单调区间：解f'（x）＞0或f'（x）＜0（一定注意函数的定义域）. 1.函数f（x）＝x＋＋2ln x的单调递减区间是（　　） A.（－3，1） B.（0，1） C.（－1，3） D.（0，3） 2.f'（x）是一个函数，f'（x0）是函数f'（x）在x0处的函数值（常数），不一定为0. 2.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝x3＋x2f'（1）＋2x－1，则f'（2）＝（　　） A.1 B.－9 C.－6 D.4 3.f（x）在x＝a处取得极值⇔f'（a）＝0且x＝a两侧的单调性相反. 3.已知函数f（x）＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f（x）的极大值为（　　） A.2 B.－ C.3＋ln 2 D.－2＋2ln 2 4.将函数f（x）在[a，b]内的各极值与区间端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 4.函数f（x）＝x3－4x＋4在[0，3]上的最值是（　　） A.最大值是4，最小值是－ B.最大值是2，最小值是－ C.最大值是4，最小值是－ D.最大值是2，最小值是－ 5.f（x）在（a，b）上单调递增⇔f'（x）≥0在（a，b）上恒成立（参变分离）. 5.（2025·浙江台州一模）若f（x）＝＋ax在R上单调递减，则实数a的最大值为　　　　. 考点一　利用导数研究函数的单调性 考向1　判断函数的单调性 【通性通法】　导数与函数中分类讨论的界点 （1）根据二次项系数确定分类“界点”； （2）根据判别式确定分类“界点”； （3）根据导函数的零点与定义域的关系确定分类“界点”. 【例1】　（2025·山东临沂二模节选）已知函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋ln x，当a＞0时，讨论f（x）的单调性. 考向2　单调性的应用 【通性通法】　函数f（x）在区间D上存在单调递增（或递减）区间，可转化为f'（x）＞0（或f'（x）＜0）在x∈D上有解. 【例2】　（1）若函数f（x）＝ex＋ax－x2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（　　） A.（－1，＋∞） B.（0，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－∞，0） 【通性通法】　利用导数比较大小或解不等式的策略 利用导数比较大小或解不等式，常要构造函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式. （2）（2025·黑龙江齐齐哈尔二模）已知函数f（x）＝2x－sin 2x，则不等式f（x2）＋f（2x－3）＜0的解集为　　　　. 【训练1】　（1）（2025·北京通州一模）已知函数f（x）＝x2＋cos x，则f（－2），f（3），f（π）的大小关系是（　　） A.f（－2）＜f（3）＜f（π） B.f（π）＜f（3）＜f（－2） C.f（3）＜f（－2）＜f（π） D.f（－2）＜f（π）＜f（3） （2）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（　　） A.（0，4） B.（－∞，1），（，4） C.（0，） D.（0，1），（4，＋∞） 【瓶颈突破】　若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f'（x）＝0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数值是否异号）. （3）若函数f（x）＝－ln x在区间（m，m＋）上不单调，则实数m的取值范围为　　　　. 考点二　利用导数求函数的极值、最值 考向1　利用导数求函数的极值 【瓶颈突破】　函数f（x）既有极大值也有极小值等价转化为函数f'（x）在（0，＋∞）上有两个零点. 【例3】　（1）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0 【通性通法】　对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点附近两侧的导数值异号.f'（x0）＝0是x0为函数极值点的必要不充分条件，因此需要检验参数的值. （2）（2024·新高考Ⅱ卷16题节选）已知函数f（x）＝ex－ax－a3.若f（x）有极小值，且极小值小于0，求实数a的取值范围. 考向2　利用导数研究函数的最值 【通性通法】　求函数在开区间上的最值问题时，不仅要研究其极值，还需研究其单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象求解. 【例4】　已知函数f（x）＝x3－3x2＋3在区间（a，a＋6）上存在最小值，则实数a的取值范围为（　　） A.[－1，2） B.［－，1） C.［－2，） D.[－1，1） 【瓶颈突破】　若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内一定不具有单调性，反之，若函数在某区间上单调，则函数在此区间内没有极值. 【训练2】　（1）已知函数f（x）＝ex－ax2在R上无极值，则a的取值范围是（　　） A. B. C.［0，］ D. 【瓶颈突破】　f（x）＝kx，x＜2时不存在最值. （2）（2025·江苏宿迁二模）若函数f（x）＝有最大值，则实数k的最大值为（　　） A. B. C. D. 提示：完成课后作业　专题三　第8讲 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $