第7讲 函数的图象与性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

第7讲　函数的图象与性质 【备考指南】　函数的图象与性质、函数的零点是高考考查的重点和热点，主要考查函数图象的识别与应用、函数性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）的综合应用，函数零点所在的区间及零点个数、求参数的取值范围等，难度中等及以上.多以选择题、填空题的形式出现，有时出现在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题. 1.确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象. 1.（2024·全国甲卷理7题）函数y＝－x2＋（ex－e－x）sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为（　　） 2.f（x）为奇函数⇔f（－x）＝－f（x）（定义域为R的奇函数f（0）＝0），f（x）为偶函数⇔f（－x）＝f（x）.（定义域关于原点对称） 2.若函数f（x）＝是奇函数，则实数a＝（　　） A.0 B.－1 C.1 D.±1 3.对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则周期T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝f（x－a），则周期T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝±，则周期T＝2a（a＞0）. 3.函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝13，且f（3）＝2，则f（2 025）＝（　　） A.1 B. C. D.7 4.奇函数关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 4.（2025·广东湛江二模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2＋2x－3，则不等式f（2x－1）＞0的解集为（　　） A.（－∞，0）∪（1，＋∞） B.（0，）∪（1，＋∞） C.（0，）∪（，1） D.（－∞，0）∪（，1） 5.f（x）－g（x）的零点⇔方程f（x）＝g（x）的根⇔y＝f（x）的图象和y＝g（x）图象的交点的横坐标. 5.（2025·福建漳州模拟）函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 考点一　函数的图象 【通性通法】　寻找函数图象与解析式对应关系的方法：从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；从图象的变化趋势，观察函数的单调性；从图象的对称性，观察函数的奇偶性；从图象的循环往复，观察函数的周期性. 【例1】　（1）（2025·天津高考3题）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 【瓶颈突破】　当方程或不等式不能用代数法求解，但其与函数有关时，常转化为两个函数图象的关系问题，从而利用数形结合求解. 【常用结论】　设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2： （1）＜0⇔（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上单调递减； （2）＞k⇔ ＞0⇔f（x）－kx在[a，b]上单调递增. （2）已知函数f（x）＝g（x）＝f（x－2）.若g（x－1）≥1，则x的取值范围为　　　　. 【训练1】　（1）函数y＝f（x）的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（　　） A.y＝f（1－x） B.y＝－f（1－x） C.y＝f（4－2x） D.y＝－f（4－2x） （2）（2025·豫西北教研联盟第二次质检）已知函数f（x）＝若a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c），则cf（c）的取值范围为（　　） A.（0，e] B.（0，e） C.（0，＋∞） D.（－，＋∞） 考点二　函数的性质 考向1　函数的单调性 【例2】　（2025·山东威海一模）已知函数f（x）＝＋x，若对∀x1，x2∈（1，3），且x1≠x2，都有＜1，则（　　） A.a≤ B.a≤0 C.a≥－3 D.a≥1 考向2　奇偶性、周期性与对称性 【常用结论】　（1）若f（x＋a）为偶函数，则函数f（x）的对称轴为直线x＝a； （2）若f（x＋a）为奇函数，则函数f（x）的对称中心为（a，0）； （3）若f（a＋x）＝f（a－x），即f（x）＝（2a－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝a对称； （4）若f（a＋x）＝－f（a－x），即f（x）＝－f（2a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）对称. 【例3】　（1）〔多选〕（2025·河南郑州第一次质量预测）关于函数f（x）＝2cos x＋（）cos x，下列结论正确的是（　　） A.函数f（x）的图象关于y轴对称 B.函数f（x）的图象关于直线x＝对称 C.函数f（x）的最小正周期为2π D.函数f（x）的最小值为2 【常用结论】　（1）若函数f（x）满足关系式f（a＋x）＋f（a－x）＝2b，则函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称； （2）若函数f（x）满足关系式f（a＋x）＝f（b－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称. （2）〔创新命题角度〕（2025·山东日照一模）已知函数f（x）＝的图象关于点P对称，则点P的坐标为（　　） A.（1，） B.（1，） C.（2，） D.（2，） 【常用结论】　（1）若f（x）的图象有两条对称轴x＝a，x＝b（a≠b），则f（x）为周期函数，周期为T＝2｜a－b｜； （2）若f（x）的图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（a≠b），则f（x）为周期函数，周期为T＝2｜a－b｜； （3）若f（x）的图象关于x＝a成轴对称，同时关于（b，0）成中心对称，则f（x）为周期函数，周期为T＝4｜a－b｜. 【训练2】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞） （2）已知定义在R上的函数f（x）在区间[－1，0]上单调递增，且满足f（4－x）＝f（x），f（2－x）＝－f（x），则f（k）＝（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 （3）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1＋x）＝f（1－x），当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），则f（）＝（　　） A.－1 B.－2 C.2 D.1 【通性通法】　判断函数零点个数的方法 （1）利用零点存在定理判断； （2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根； （3）几何法：转化为两个函数图象的交点求解. 考点三　函数的零点 【例4】　（1）若函数f（x）＝x－，则方程f2（x）－f（x）－6＝0的实根个数为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【通性通法】　利用函数零点的情况求参数值（范围）的方法 （1）直接法：利用零点存在定理构建不等式（组）确定参数的取值范围； （2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. （2）（2025·江苏南京六校联合调研）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为　　　　. 【训练3】　（1）已知x0是函数f（x）＝（）x－x＋4的一个零点，若x1∈（2，x0），x2∈（x0，＋∞），则（　　） A.x0∈（2，4） B.f（x1）＞f（x2） C.f（x1）＜0，f（x2）＜0 D.f（x1）＞0，f（x2）＞0 （2）（2025·湖南湘潭质检）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝（x＋a）（x－）2.若f（x）有且仅有3个零点，则关于x的不等式f（x）＞f（）的解集为　　　　. 提示：完成课后作业　专题三　第7讲 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲　函数的图象与性质 【基础·回扣】 1.B　2.C　3.C　4.B　5.B　 【典例·讲解】 【例1】　（1）D　由题图可知函数f（x）的定义域为{x｜x≠±1}，且f（x）为偶函数，易得f（x）＝与f（x）＝均为奇函数，排除选项A、B；由题图可知当x＞1时，f（x）＞0，易得当x＞1时，f（x）＝＜0，f（x）＝＞0，排除C.故选D. （2）[2，4]　解析：∵函数f（x）＝∴对应的图象如图所示，∵g（x－1）≥1，即f（x－3）≥1⇒－1≤x－3≤1⇒2≤x≤4，∴x的取值范围为[2，4]. 【训练1】　（1）A　将f（x）关于y轴对称得f（－x），再向右平移1个单位长度，得f（－x＋1），最后横坐标伸长2倍得f（－x＋1），即得图2所示的函数. （2）A　因为f（x）＝所以当x＞0时，f（x）＝｜ln x｜＝所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（）＝f（e）＝1；当x≤0时f（x）＝2x，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增，且f（0）＝1，所以f（x）的图象如图所示.又a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c），不妨令f（a）＝f（b）＝f（c）＝t，结合图象可知0＜t≤1且1＜c≤e，即0＜f（c）≤1，所以0＜cf（c）≤e，即cf（c）的取值范围为（0，e].故选A. 【例2】　A　由题设，∀x1，x2∈（1，3），且x1≠x2，都有＜0，所以f（x）－x＝在（1，3）上单调递减，易知y＝ax2－2x－1在（1，3）上单调递减，当a＝0时，y＝－2x－1满足题设，当a≠0时，⇒0＜a≤或⇒a＜0，综上，a≤.故选A. 【例3】　（1）ABD　f（x）＝2cos x＋（）cos x＝2cos x＋2－cos x.A正确，因为f（x）的定义域为R，f（－x）＝2cos（－x）＋2－cos（－x）＝2cos x＋2－cos x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，f（x）的图象关于y轴对称；B正确，因为f（π－x）＝2cos（π－x）＋2－cos（π－x）＝2－cos x＋2cos x＝f（x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝对称；C错误，因为f（x＋π）＝2cos（π＋x）＋2－cos（π＋x）＝2－cos x＋2cos x＝f（x），所以π是函数f（x）的一个周期，所以函数f（x）的最小正周期不是2π；D正确，f（x）＝2cos x＋（）cos x≥2＝2，当且仅当2cos x＝（）cos x，即x＝kπ＋，k∈Z时取等号.故选A、B、D. （2）C　由9－3x≠0，解得x≠2，可知f（x）的定义域为{x｜x≠2}，又因为f（2＋x）＋f（2－x）＝＋＝（＋）＝，所以函数f（x）的图象关于点P（2，）对称. 【训练2】　（1）B　因为函数f（x）在R上单调递增，且当x＜0时，f（x）＝－x2－2ax－a，所以f（x）＝－x2－2ax－a在（－∞，0）上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1），所以函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增.若函数f（x）在R上单调递增，则－a≤f（0）＝1，即a≥－1，综上，a的取值范围是[－1，0].故选B. （2）A　对于函数f（x）有f（4－x）＝f（x），则函数f（x）关于直线x＝2对称.由f（2－x）＝－f（x），则函数f（x）关于点（1，0）对称，所以f（4－x）＝－f（x－2），所以得f（x－2）＝－f（－x），则f（4－x）＝f（－x），故函数f（x）的周期为4，且f（－x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，因为函数f（x）在区间[－1，0]上单调递增，所以f（x）在[0，1]上单调递减，则函数f（x）的大致图象如图，由对称性可得f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝0，所以f（k）＝[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]×3＝0. （3）B　因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，又当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），所以f（）＝f（8＋）＝f（）＝－f（－）＝－log2［－6×（－）＋2］＝－log24＝－2，故选B. 【例4】　（1）A　由f（x）＝x－＝则可作出函数f（x）＝x－的图象如图所示，由方程f2（x）－f（x）－6＝0，得f（x）＝3或f（x）＝－2，所以方程f2（x）－f（x）－6＝0的实根个数为3. （2）（4，5）　解析：由g（x）＝0，得f（x）＝1.当x≤1时，f（x）＝1，即ex－1＝1，所以ex＝2，所以x＝ln 2∈（－∞，1]，所以g（x）在（－∞，1]上有且只有1个零点. 法一（一元二次方程根的判定法）　因为函数g（x）有三个不同的零点，所以当x＞1时，f（x）＝1，即关于x的方程x2－4x＋a－1＝0有两个不相等的正实根，所以解得4＜a＜5.综上，若函数g（x）＝f（x）－1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（4，5）. 法二（数形结合法）　因为函数g（x）有三个不同的零点，所以当x＞1时，f（x）＝1，即关于x的方程a＝－x2＋4x＋1有两个不相等的正实根，即直线y＝a与函数y＝－x2＋4x＋1（x＞1）的图象有两个不同的交点，作出函数y＝－x2＋4x＋1（x＞1）的图象，如图所示，由图可知，4＜a＜5.综上，若函数g（x）＝f（x）－1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（4，5）. 【训练3】　（1）B　函数y＝（）x在区间（2，＋∞）上单调递减，函数y＝－x＋4在区间（2，＋∞）上单调递减，故函数f（x）＝（）x－x＋4在区间（2，＋∞）上单调递减，又f（2）＞0，f（3）＞0，f（4）＞0，f（5）＜0，所以x0∈（4，5），因为f（x0）＝0，x1∈（2，x0），x2∈（x0，＋∞），由函数f（x）的单调性知f（x1）＞0，f（x2）＜0，即f（x1）＞f（x2）.故选B. （2）（－∞，－2）∪（2，＋∞）　解析：因为f（x）为偶函数，有且仅有3个零点，所以f（0）＝0，即（0＋a）（0－）2＝0，解得a＝0，即当x≥0时，f（x）＝x（x－）2，所以f（x）的零点为－，0，，满足题意.当x≥0时，f（x）＝x（x－）2＝x3－3x2＋x，f（）＝，由f（x）＞f（），得x3－3x2＋x－＞0，即（x－）2（x－2）＞0，解得x＞2.又f（x）为偶函数，所以f（x）＞f（）的解集为（－∞，－2）∪（2，＋∞）. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $