微突破3 最值、范围问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

微突破3　最值、范围问题 【基础·回扣】 1.C　2.D　3.A　4.B 【典例·讲解】 【例1】　解：（1）由TnTn－1＋2Tn＝2Tn－1，得－＝. 又＝＝，所以数列{}是首项为，公差为的等差数列， 所以＝＋（n－1）＝，所以Tn＝， 所以an＝＝（n≥2）. 因为n＝1时，a1＝符合上式，所以an＝. （2）由（1）知，an＝， 所以bn＝an＋＝＋＝－＋2. 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（－＋2）＋（－＋2）＋…＋（－＋2）＝－＋2n， 显然Sn＝－＋2n在n∈N*上单调递增， 所以当n＝1时，Sn取得最小值，无最大值. 【例2】　解：（1）因为S1＝2a2－3且S1＝a1＝，所以a2＝， 由Sn＝2an＋1－3，可得Sn－1＝2an－3（n≥2）， 两式相减得an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an， 易知an≠0，所以＝， 又＝，所以对任意的n∈N*，＝， 所以{an}是首项和公比均为的等比数列，所以an＝a1×qn－1＝（ ）n. （2）由（1）可得cn＝（ ）n（n2＋n）， 当n≥2时，由＝＝＞1，可得n＜5. 故当n＜5时，c1＜c2＜c3＜c4，当n＞5时，c5＞c6＞c7＞…， 又当n＝4时，c4＝（ ）4（42＋4）＝， 当n＝5时，c5＝（ ）5（52＋5）＝， 所以c4＝c5，所以c1＜c2＜c3＜c4＝c5＞c6＞c7＞…， 综上，当n＝4或n＝5时，cn取得最大值. 【训练1】　解：（1）因为＝an＋（1－n）t，n∈N*， 所以＝a2－t，又S2＝a1＋a2，所以a2－a1＝2t. 又a2＝a1＋2，所以t＝1. （2）证明：由（1）可得＝an＋1－n，n∈N*，所以Sn＝nan＋n－n2， 因此Sn＋1＝（n＋1）an＋1＋n＋1－（n＋1）2， 两式相减得an＋1＝（n＋1）an＋1－nan－2n， 整理得an＋1－an＝2，n∈N*，所以{an}为等差数列. （3）由（2）得Sn＝na1＋×2＝n2＋（a1－1）n， 由n2＜Sn＜（n＋1）2，n∈N*，得得1＜a1＜3＋. 因为1＜a1＜3＋对∀n∈N*恒成立， 所以1＜a1≤3，故a1的取值范围为（1，3]. 【训练2】　解：（1）设数列{an}的公差为d，d＞1， ∵2a1＝a2，∴2a1＝a1＋d，解得a1＝d，a2＝2d， ∴S2＝a1＋a2＝3d， 由＝－，可知＝，b1＝＝，＝，b2＝＝＝， 又T2＝b1＋b2＝＋＝， ∴S2＋T2＝3d＋＝16， 即3d2－16d＋5＝0，解得d＝5或d＝（舍去）， ∴an＝a1＋（n－1）d＝5n. （2）由（1）知an＝5n， 又＝－，可得＝，解得bn＝n＋， ∴{bn}为等差数列，故Tn＝＝＝， ∵存在n∈N*，使得10Tn－9n＋t＋t2＜3，即（10Tn－9n）min＋t＋t2＜3， 又10Tn－9n＝n2－6n＝（n－3）2－9， ∴＝－9， 故－9＋t＋t2＜3，整理得t2＋t－12＜0，解得－4＜t＜3. ∴实数t的取值范围是（－4，3）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破3　最值、范围问题 【备考指南】　近几年高考试题中，与数列有关的最值、范围问题既有解答题，也有选择题、填空题，难度中等或偏上. 1.在数列{an}中，若an最大，则；若an最小，则 1.在数列{an}中，an＝（n＋1）（）n，则数列{an}中的最大项是（　　） A.第6项 B.第8项 C.第6项和第7项 D.第7项和第8项 2.相邻项比较，作商（与1比较，要求是正项数列），或作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）. 2.已知bn＝，则数列{bn}的最小项的值为（　　） A. B. C. D. 3.求Sn最值的方法：（1）邻项变号法：当a1＞0，d＜0时，满足的m使得Sn取得最大值为Sm；当a1＜0，d＞0时， 满足的m使得Sn取得最小值为Sm；（2）把数列看成函数，利用函数的性质求最值. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若a1＝－11，当且仅当n＝6时Sn取得最小值，则d的取值范围为（　　） A.（，） B.（，） C.［，） D.［，） 4.化归为关于参数的不等式. 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，且对任意的n∈N*，－Sn≤t2＋3t恒成立，则实数t的取值范围为（　　） A.（－∞，－5] B.（－∞，－5]∪[2，＋∞） C.[－5，0） D.[－5，0）∪[2，＋∞） 【思维建模】　数列中有关最值、范围问题的常见题型及解题策略 【易错提醒】　利用数列和式的单调性求其最值，要首先判断其单调性，且注意数列中的n≥1，n∈N*. 【例1】　设数列{an}的前n项积为Tn，满足TnTn－1＋2Tn＝2Tn－1（n∈N*，n≥2），且an≠0，a1＝. （1）求数列{an}的通项公式an； （2）若数列{bn}满足bn＝an＋，求数列{bn}的前n项和Sn的最值. 【通性通法】　求n的值或最值，一般涉及数列的项或前n项和的最值与范围，通常化归为解关于n的不等式，或根据数列的单调性求解. 【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，Sn＝2an＋1－3. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若cn＝，求使cn取得最大值时的n的值. 【易错提醒】　切勿由n2＜Sn＜（n＋1）2，取n＝1直接得答案，n2＜Sn＜（n＋1）2相当于恒成立问题，应由Sn的关系式列不等式组求解. 【训练1】　（2025·江苏南京、盐城一模）已知数列{an}的前n项和Sn满足＝an＋（1－n）t，n∈N*，t为常数，且a2＝a1＋2. （1）求t的值； （2）证明：{an}为等差数列； （3）若n2＜Sn＜（n＋1）2，n∈N*，求a1的取值范围. 【训练2】　（2025·辽宁葫芦岛一模）设数列{an}是公差大于1的等差数列，{an}，{bn}满足＝－，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，且2a1＝a2，S2＋T2＝16. （1）求{an}的通项公式； （2）若存在n∈N*，使得10Tn－9n＋t＋t2＜3，求实数t的取值范围. 提示：完成课后作业　专题二　微突破3 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $