3.2 函数的单调性与最值-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第二节　函数的单调性与最值 1．增函数、减函数 增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有__f(x1)<f(x2)__，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 当x1<x2时，都有__f(x1)>f(x2)__，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 图象描述 自左向右看图象是__上升__的 自左向右看图象是　下降　的 增函数与减函数形式的等价变形 (1)∀x1，x2∈D且x1≠x2，则(x1－x2)．[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在D上单调递增； (2)∀x1，x2∈D且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在D上单调递减． 2．单调性、单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上__单调递增__或__单调递减__，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，__区间D__叫做y＝f(x)的单调区间． 3.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(m) 条件 (1)对于任意x∈I，都有__f(x)≤M__； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有__f(x)≥m__； (4)存在x0∈I，使得__f(x0)＝m__ 结论 M为最大值 m为最小值 1．复合函数的单调性 函数y＝f(u)，u＝φ(x)，在函数y＝f[φ(x)]的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单 调性相同，那么y＝f[φ(x)]单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减． 2．函数单调性的常用结论 (1)若f(x)、g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)的单调性相反． (3)函数y＝f(x)(f(x)>0)与y＝－f(x)，y＝在公共定义域内的单调性相反． 　函数的单调性(区间) 角度一　确定不含参函数的单调性(区间) (1)(2025·湖北荆州高三期末)设max{a，b}＝则函数f(x)＝max{x2－x,1－x2}的单调递增区间为(　　) A．[－1,0]， B．(－∞，1]， C.，[0,1] D.，[1，＋∞) (2)(2025·黑龙江大庆高三模拟)函数f(x)＝的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－3) B．[2，＋∞) C．[0,2) D．[－3,2] 【解析】　(1)由x2－x＝1－x2得2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－.当x≥1或x≤－时，f(x)＝max{x2－x,1－x2}＝x2－x，此时函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)；当－<x<1时，f(x)＝max{x2－x,1－x2}＝1－x2，此时函数f(x)的单调递增区间为.综上所述，函数f(x)的单调递增区间为，[1，＋∞)．故选D. (2)要使函数有意义，则x2＋x－6≥0，解得x≥2或x≤－3，易知y＝x2＋x－6在区间(－∞，－3]上单调递减，在区间[2，＋∞)上单调递增，y＝在定义域内单调递增，结合复合函数的单调性可得函数f(x)＝的单调递增区间是[2，＋∞)． 【答案】　(1)D　(2)B 角度二　确定含参函数的单调性(区间) (1)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． (2)已知f(x)＝(a∈R，x≠a)． ①若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增； ②若a>0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 【解】　(1)f(x)＝a·＝a. 任取x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝a－a ＝.因为－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0. 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． (2)①证明：任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 易知(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． ②任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 因为a>0，x2－x1>0， 所以要使f(x1)－f(x2)>0恒成立，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立， 所以a≤1.综上所述0<a≤1. 1．求函数的单调区间时，应先求函数的定义域，在定义域内求单调区间，单调区间不能用集合或不等式表示，且图象不连续的单调区间要用“和”或“，”连接． 2．(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． (2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则． [针对训练] 1．判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在x∈[1,2]上的单调性． 解：函数f(x)在[1,2]上单调递增．证明如下： 任取x1，x2∈[1,2]，且x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－ ＝(x2－x1)， 由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0,2<x1＋x2<4,1<x1x2<4，－1<－<－. 因为1<a<3，所以2<a(x1＋x2)<12， 得a(x1＋x2)－>0， 从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增． 　函数的最值(值域) (1)(一题多解)函数y＝x＋的最小值为________． (2)( 2025·福建漳州质检)已知函数f(x)＝有最小值，则实数a的取值范围是________． 【解析】　(1)法一(换元法)：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0. 配方得y＝2＋， 又因为t≥0，所以y≥＋＝1， 故函数y＝x＋的最小值为1. 法二：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)内为增函数，所以ymin＝1. (2)(基本不等式法)由题意知，当x>0时，函数f(x)＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a,1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4. 【答案】　(1)1　(2)[4，＋∞) 求函数最值的五种常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元将其转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． [针对训练] 2．(1)(2025·安徽六安一中高三月考)若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　C　) A．(－∞，3] B．(2,3) C．(2,3] D．[3，＋∞) (2)已知函数f(x)＝则f[f(－3)]＝__0__，f(x)的最小值是　2－3　. 解析：(1)因为f(x)＝＝＝2＋， 且x2＋1≥1⇒0<≤1⇒2<2＋≤3， 所以f(x)的值域为(2,3]，故选C. (2)因为f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， 所以f[f(－3)]＝f(1)＝0. 当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3， 当且仅当x＝时，取等号， 此时f(x)min＝2－3<0； 当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0. 所以函数f(x)的最小值为2－3. 　函数单调性的应用 角度一　比较两个函数值 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立．设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 【解析】　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<<e，所以f(2)>f>f(e)，所以b>a>c. 【答案】　D 比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题，能数形结合的尽量用图象法求解． 角度二　解函数不等式 已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，则不等式f(1－m)<f(m2－1)的解集为________． 【解析】　由已知得f(x)＝ 则f(x)在(－1,1)上单调递减， 所以 解得0<m<1， 所以所求解集为(0,1)． 【答案】　(0,1) 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域． 角度三　求参数的值或取值范围 (2024·新课标Ⅰ卷)已知函数为f(x)＝，在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1,0] C．[－1,1] D．[0，＋∞) 【解析】　逻辑分析法＋数形结合法．因为函数f(x)在R上单调递增，且当x＜0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1,0]．故选B. 【答案】　B 利用单调性求参数的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； (2)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． [针对训练] 3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　D　) A. B. C. D. 解析：因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)<f，所以0≤2x－1<，解得≤x<.故选D. 4．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则下列结论成立的是(　B　) A．f(1)<f<f B．f<f(1)<f C．f<f<f(1) D．f<f<f(1) 解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，所以f＝f，f＝f.又0<<1<<2，f(x)在[0,2]上单调递增，所以f<f(1)<f，即f<f(1)<f.故选B. 5．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为__－6__. 解析：由图象(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是，令－＝3，得a＝－6. 学科网（北京）股份有限公司 $