4.3 导数与函数的极值、最值-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第三节　导数与函数的极值、最值 1．函数的极值与导数 (1)极大值与导数 x x0左侧 x0 x0右侧 f′ (x) f′(x)>0 f′(x0)＝0 f′(x)<0 f(x) 增 极大值f(x0) 减 (2)极小值与导数 x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f′(x)<0 f′(x0)＝0 f′(x)>0 f(x) 减 极小值f(x0) 增 (1)f′(x0)＝0与x0是f(x)极值点的关系． 函数f(x)可导，则f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (2)极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值． (3)函数的极值点一定出现在区间内部，区间的端点不能成为极值点． 2．函数的最值与导数 求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤： 第一步求函数y＝f(x)在(a，b)内的__极值__； 第二步将第一步求得的极值与__端点处的函数值f(a)，f(b)__比较，得到f(x)在[a，b]的最大值与最小值． (1)极值是一个局部性概念，反映的是函数在某个点附近的大小情况，并不意味它在函数的整个定义域内最大或最小；最值是一个整体性的概念，函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得出的． (2)连续函数在某一个闭区间上的最值必在极值点或区间端点处取得；定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值． (3)连续函数的极值个数不确定，而函数在某一闭区间上的最大值和最小值是唯一的． 　用导数解决函数的极值问题 角度一　根据图象判断函数的极值 (多选)已知函数f(x)的定义域为[－1, 5]，部分对应值如表， x －1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．函数f(x)的极大值点有2个 B．函数f(x)在[0, 2]上是减函数 C．当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，则t的最大值为4 D．当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点 【解析】　由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数f(x)取得极大值；当x＝4时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)有两个极大值点，故A中结论正确； 易知函数f(x)在[0, 2]上是减函数，故B中结论正确； 当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5， 故C中结论错误； 令y＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a， 当f(2)≤1, 1<a<2时， 易知f(x)＝a有四个根； 当1<f(2)<2, 1<a<2时， 易知f(x)＝a不一定有四个根， 故函数y＝f(x)－a有4个零点不一定正确， 故D中结论错误，故选AB. 【答案】　AB 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 角度二　求函数的极值 (2024·新课标Ⅰ卷)(多选)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　) A．x＝3是f(x)的极小值点 B．当0<x<1时，f(x)<f(x2) C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0 D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x) 【解析】　因为f(x)＝(x－1)2(x－4)，所以f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3，当x＜1或x＞3时，f′(x)＞0，当1＜x＜3时，f′(x)＜0，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3)，故x＝1是函数f(x)的极大值点，x＝3是函数f(x)的极小值点，所以A正确． 当0＜x＜1时，x－x2＝x(1－x)＞0，即0＜x2＜x＜1，又函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(x2)＜f(x)，所以B错误． 当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，函数f(x)在(1,3)上单调递减，所以－4＝f(3)＜f(2x－1)＜f(1)＝0，所以C正确． 当－1＜x＜0时，f(2－x)－f(x)＝(2－x－1)2(2－x－4)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(－x－2)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(－2x＋2)＝－2(x－1)3＞0，所以f(2－x)＞f(x)，所以D正确．综上，选ACD. 【答案】　ACD 1．求函数f(x)的极值的一般解题步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号． 2．根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：求解后验证根的合理性． 角度三　已知函数的极值求参数 (2024·全国甲卷(理))已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x. (1)当a＝－2时，求f(x)的极值； (2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围． 解：(1)第1步：给出定义域，并求导 当a＝－2时，f(x)＝(1＋2x)ln(1＋x)－x，x∈(－1，＋∞)， f′(x)＝2ln(1＋x)＋－1＝2ln(1＋x)－＋1. 第2步：判断函数的单调性 易知f′(x)在(－1，＋∞)上单调递增，且f′(0)＝0， 所以当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0， 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 第3步：根据极值的定义给出结论 所以当x＝0时，f(x)取得极小值，为f(0)＝0，f(x)无极大值． (2)第1步：求导 f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x，x∈(－1，＋∞)， 则f′(x)＝－aln(1＋x)－，设g(x)＝－aln(1＋x)－，则g′(x)＝－－. 第2步：找出原不等式成立的一个必要条件 因为当x≥0时，f(x)≥0，且f(0)＝0，f′(0)＝0， 所以g′(0)＝－2a－1≥0，得a≤－， 故a≤－是原不等式成立的一个必要条件． 第3步：证明该必要条件也是充分条件 下面证明其充分性： 当a≤－，x≥0时，g′(x)≥－＝≥0， 所以f′(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f′(x)≥f′(0)＝0， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(x)≥f(0)＝0. 综上，a的取值范围是. [针对训练] 1．(多选)定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　ABD　) A．函数f(x)在区间[0, 4]上单调递增 B．函数f(x)在区间上单调递减 C．函数f(x)在x＝1处取得极大值 D．函数f(x)在x＝0处取得极小值 解析：根据导函数f′(x)的图象可知，f(x)在区间上单调递减，在区间[0,4]上单调递增，所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值．所以选项A、B、D正确，选项C错误． 2．(2025·全国二卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝__－4__． 解析：f′(x)＝(x－2)′[(x－1)(x－a)]＋(x－2)[(x－1)(x－a)]′＝(x－1)(x－a)＋(x－2)[(x－1)(x－a)]′，因为x＝2是函数f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即(2－1)(2－a)＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f(x)＝(x－1)(x－2)2，所以f(0)＝－4. 　利用导数求函数的最值 (2025·贵州贵阳市检测)已知函数f(x)＝－ln x. (1)求f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)． 【解】　(1)f(x)＝－ln x＝1－－ln x，f(x)的定义域为(0，＋∞)． 因为f′(x)＝－＝， 所以f′(x)＞0⇒0<x<1，f′(x)<0⇒x＞1，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)由(1)得f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f(x)在上的极大值为f(1)＝1－－ln 1＝0. 又f＝1－e－ln ＝2－e，f(e)＝1－－ln e＝－，且f<f(e)． 所以f(x)在上的最大值为0，最小值为2－e. 求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到． 提醒　求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． [针对训练] 3．函数f(x)＝在上的最小值与最大值的和为(　A　) A.　　B. C．1　　D．0 解析：f′(x)＝＝， x∈，当f′(x)＝0时，x＝0； 当－≤x≤0时，f′(x)<0；当0<x≤1时，f′(x)>0， 所以f(x)在上是减函数，在(0,1]上是增函数．所以f(x)min＝f(0)＝0.又f＝，f(1)＝.所以f(x)的最大值与最小值的和为.故选A. 4．(2025·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数． (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值． 解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1.当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．所以f(x)max＝f(1)＝－1.所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈. ①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，所以f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意； ②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0<x<－，令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－<x≤e.从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，所以f(x)max＝f＝－1＋ln. 令－1＋ln＝－3，得ln＝－2， 即a＝－e2. 因为－e2<－，所以a＝－e2为所求．故实数a的值为－e2. 　用导数解决生活中的优化问题 　某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元． (1)将y表示成r的函数f(r)，并求该函数的定义域． (2)讨论函数f(r)的单调性，并确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． 【解】　(1)因为容器的体积为立方米， 所以＋πr2l＝π，解得l＝－r， 所以圆柱的侧面积为 2πrl＝2πr＝－， 两端两个半球的表面积之和为4πr2， 所以y＝f(r)＝×3＋4πr2×4＝＋8πr2， 又l＝－r>0⇒r<2， 所以定义域为(0,2)． (2)因为y′＝－＋16πr＝， 所以令y′>0，得2<r<2； 令y′<0，得0<r<2， 当r∈(2, 2)时，f(r)为增函数； 当r∈(0, 2)时，f(r)为减函数， 所以当r＝2，l＝时， 该容器的建造费用最小为96π千元． 利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)． (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0处的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题作答． [针对训练] 5．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是　a3　. 解析：容积V＝(a－2x)2x,0<x<，则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)，由V′＝0得x＝或x＝(舍去)，则x＝为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝a3. 学科网（北京）股份有限公司 $