微突破2 衍生数列问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

微突破2　衍生数列问题 【基础·回扣】 1.B　2.C　3.A　 【典例·讲解】 【例】　解：（1）等差数列{an}中，由a3＋a4＋a11＝84，得a4＋2a7＝84，而a7＝33，解得a4＝18， 因此数列{an}的公差d＝＝5，an＝a4＋（n－4）d＝5n－2， 所以数列{an}的通项公式是an＝5n－2. （2）由题意5k＜an＜52k（k∈N*），由（1）得5k＜5n－2＜52k， 整理得5k－1＋＜n＜52k－1＋， 因此正整数n满足5k－1＋1≤n≤52k－1，从而得bk＝52k－1－5k－1， 所以{bk}的前k项和为Tk＝－＝－＋（k∈N*）. 【训练1】　解：（1）由题意可知b2－b1＝a2，即b2－1＝－1，故b2＝0， 由b3－b2＝a3，可得a3＝1， 所以数列{an}的公差d＝2，所以an＝－1＋2（n－2）＝2n－5， 由bn－bn－1＝an，bn－1－bn－2＝an－1，…，b2－b1＝a2， 累加可得bn－b1＝a2＋a3＋…＋an＝， 整理可得bn＝n2－4n＋4（n≥2），当n＝1时，满足上式， 所以数列{bn}的通项公式为bn＝n2－4n＋4. （2）不妨设am＝bn（m，n∈N*），即2m－5＝（n－2）2，可得m＝， 当n＝2k（k∈N*）时，m＝2k2－4k＋，不合题意. 当n＝2k－1（k∈N*）时，m＝2k2－6k＋7＝2k（k－3）＋7∈N*. 所以b2k－1在数列{an}中均存在公共项， 又因为b1＝b3＜b5＜b7＜…，所以cn＝b2n＋1＝（2n－1）2. 故数列{cn}的通项公式为cn＝（2n－1）2. 【训练2】　解：（1）由题意知当n＝1时，a1q＝2a1＋2　①， 当n＝2时，a1q2＝2（a1＋a1q）＋2　②， 联立①②，解得a1＝2，q＝3， 所以数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1. （2）由（1）知an＝2×3n－1，an＋1＝2×3n， 所以an＋1＝an＋（n＋2－1）dn，可得dn＝＝. 设数列{dn}中存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则＝dm·dp， 所以（）2＝·，即＝. 又因为m，k，p成等差数列，所以2k＝m＋p， 所以（k＋1）2＝（m＋1）（p＋1），化简得k2＋2k＝mp＋m＋p，即k2＝mp. 又2k＝m＋p，所以k＝m＝p与已知矛盾， 所以在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp成等比数列. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破2　衍生数列问题 【备考指南】　衍生数列是指由已知数列通过插项、去项得到新数列，或由已知的两个数列的公共项得到新数列，解决此类问题要弄清楚衍生数列与已知数列的关系，确定衍生数列的特征，以此来解决问题. 1.两个等差（比）数列的公共项所构成的数列是等差（比）数列，公差（比）是两个数列公差（比）的最小公倍数. 1.已知数列{an}，{bn}满足an＝3n－1，bn＝5n－3，将数列{an}与{bn}的公共项按由小到大的顺序构成数列{cn}，则（　　） A.a3＋b5＝c3 B.b28＝c10 C.a5b2＞c8 D.c9－b9＝a26 2.解决两数列并项问题的关键是正确区分两数列并项与集合A∪B中元素特征的区别，并准确找出两数列各有多少项. 2.将数列{2n}与{2n－1}中的项按从小到大的顺序依次排列，构成一个新数列{cn}，则数列{cn}的前50项和为（　　） A.2 052 B.2 056 C.2 062 D.2 066 3.解决插项问题，首先要清楚插入数列的项数，新插入数列与原数列各项之间的关系，然后利用分组或并项法求和. 3.已知数列{an}满足an＝n，在an，an＋1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{bn}的前100项和为（　　） A.178 B.191 C.206 D.216 【思维建模】　衍生数列问题的解题思路 【瓶颈突破】　记数列{an}落在区间（0，g（k）]内的个数为bk，解决与数列{bk}有关的问题，关键是利用数列自变量n的计数功能，通过不等式0＜an≤g（k）⇒n，由于n为正整数，从而实现对自变量n的计数.此类题目的计算背景主要分布在解下面三个不等式：①qm＜kn＋b＜qm＋1；②tm＜qn＜tm＋1；③tk＋b＜qn＜t（k＋i）＋b. 【例】　在等差数列{an}中，a3＋a4＋a11＝84，a7＝33. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若记bk（k∈N*）为{an}中落在区间（5k，52k）内项的个数，求{bk}的前k项和Tk. 【训练1】　已知数列{an}是等差数列，且a2＝－1，数列{bn}满足bn－bn－1＝an（n≥2，n∈N*），且b1＝b3＝1. （1）求数列{bn}的通项公式； （2）将数列{an}，{bn}的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列{cn}，求数列{cn}的通项公式. 【瓶颈突破】　在an和an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为dn，则an＋1－an＝（n＋1）·dn，整理得dn＝；在an和an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数构成等比数列，记这个等比数列的公比为qn，则＝（qn）n＋1，整理得qn＝. 【训练2】　（2025·海南海口二模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2（n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式； （2）在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 提示：完成课后作业　专题二　微突破2 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $