第6讲 数列求和-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

第6讲　数列求和 【备考指南】　高考对数列求和的考查主要以解答题的形式呈现，考查等差、等比数列的判定，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中等偏下. 已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，2a3＝3a2＋4，且bn＝log2an. （1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn； （2）求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn； （3）求数列的前n项和An； 分组求和： 等差数列中，Sn＝； 等比数列中，Sn＝（q≠1）. （4）求数列{an＋bn}的前n项和Bn； 裂项求和： ＝（－）. （5）求数列的前n项和Cn； 含有（－1）n，对n分奇偶讨论.　 （6）求数列{（－1）nbn}的前n项和Dn. 【思维建模】　数列求和方法选择技巧 考点一　分组转化法 【通性通法】　分组求和的基本思路是把各项中结构相同的部分归为同一组，转化为若干个可求和的数列的和或差，然后再求和. 【例1】　已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝3，S4＝15. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＝an＋（－1）n（3n－1），求数列{bn}的前2n项和T2n. 【训练1】　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2n＝2an＋1，S4＝4（a3－1），n∈N*. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝其中k是正整数. ①求b1，b2，b3，b4；②求bi（n∈N*）. 考点二　裂项相消法 【通性通法】　（1）常见的裂项形式：＝（－）（k≠0）， ＝ （－）， ＝· ［－］， ＝（－）， ＝－， ln（1＋）＝ln（1＋n）－ln n； （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.　 【例2】　已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2且公比大于0的等比数列，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）若数列{cn}满足：cn＝，且数列{cn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜. 【训练2】　（2025·广东深圳一模）已知等差数列{an}满足an，an＋1是关于x的方程x2－4nx＋bn＝0的两个根. （1）求a1； （2）求数列的前n项和Sn. 考点三　错位相减法 【易错提醒】　用错位相减法求和时应注意：（1）等比数列的公比为负数的情形；（2）在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确地写出“Sn－qSn”的表达式. 【例3】　（2025·全国Ⅰ卷16题）已知数列{an}中，a1＝3，＝＋. （1）证明：数列{nan}是等差数列； （2）给定正整数m，设函数f（x）＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f'（－2）. 【瓶颈突破】　当已知条件中含有三角函数时，需等价转化，常用的三角函数等价转化有：（1）cos nπ＝（－1）n； （2）sin＝（－1）n＋1. 【训练3】　（2025·贵州贵阳模拟）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，8Sn＝＋4an－21. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足bn＝an·cos（nπ）·2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 提示：完成课后作业　专题二　第6讲 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网书城画 b.zxxk.com 第6讲 【基础·回扣】 (1)解：设数列{an}的公比为9，q>0. .243=3a2+4, ∴.2a1q2=3a1q+4, 9=2或-克（舍），a=2”, S=24=21=2m+1-2. 1-2 (2)解：由（1)得an=2m, ∴.bm=log2an=n, 7=1+n= 2 2 (3)解：由(1)得=2=， ,++++痴学=引1-( 14 (4)解：.an十bn=2n+n, ∴.Bm=2l+1+22+2++2n+n =(21+22+..+2m)+(1+2+..+n) =21-21+n1+n 1-2 2 =学-2+2+1 (5)解：“=n2=2(告-市)， ∴.C。=2(1-青+-+诗-月++合-冲2) =2×(1+-本一) =3-府一本 2 n(3+5) =+1+2j· (6)解：由(2)知（一1）bn=（-1)n·n. 当n为偶数时， Dn=(-1)×1+(-1)2×2+..+(-1)n·n 当n为奇数时，D。=学-n=受， 1 ·独家授权侵权必 品牌书店·知名教辅·正版资源 您身边的互联网+教辅专家 数列求和 )1 =-1+2-3+4-5+.-(n-1)+n=号. 究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 艺，n为偶数， ∴.Dn= -学，n为奇数. 【典例·讲解】 【例1】解：(1)设等比数列{am}的公比为q(q>0), 由a+a2=3及S4=15,得a+a4=g2(a1+a2）=12, 解得q=2,于是a41十a2=3a1=3,即a=1, 所以数列{an}的通项公式为a,=a1g”-1=2n-1. (2)由(1)知，bm=2m-1+(-1)n(3n-1), 所以T2m=(1+2+22+..+22n-1)+[(-2+5)+(-8+11)+..+(-6n+4+6n-1)]= 皆+3n=2a+3m-1. (a+(2m-1)d=2a1+2(n-1)d+1, 【训练1】 解： 1)由题意得{4a+6d=4(a+2d-1), （a=1, 解得d=2, ∴.{am}的通项公式为4m=2n一1. k,n=2k-1, (2)①：b,={bn1+k,n=2k,其中k是正整数，b1=1,b:=b1+1=2,bs=2,b4=bs+2=4 22 ②2=6+6+s++b好 =(b+b3+bs+.+b2-1）+(b2+b4+b6+.+b2） =(b1+b3+b5+.+b2-1)+[(b1+1)+(b3+2)+(b+3)++(b2-1+2m-1)] =2(b1+b3+b5+.+b2-1)+(1+2+3+.+2m-1) =3(1+2+3+..+2m-1) =3X211+21 2 =3(2n-2+22m-3). 【例2】解：(1)设{an}的公差为d,{b}的公比为9，则q>0, 因为b=2,b2+b3=b1(g十g2)=2(q十g2)=12,可得g2+q-6=0,解得g=2, 故数列{bm}的通项公式为b,=2·2m-1=2n 因为b3=a4-2a1=8,S11=11b4=11×16, 2/4 ·独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (a1+3d)-2a=8, 所以11a,+14d=11×16, 2 a=1, 解得d=3, 故数列{a}的通项公式为a,=1+3(n一1)=3n一2. 2 （2》证明：由(1）得cw-®=+=克一对， 所以1，=（克-本）十（本一本)十十（布一时)=青-2， 因为Tm+1一Tm=cn+1>0,故数列{Tm}单调递增， 所以Tm≥T1=c1==品，且Tw=青-2中<专， 因此对任意的n∈N,是≤Im<专， 【训练2】解：(1)根据题意，由根与系数的关系可得an十an+1=4n, ,数列{an}是等差数列，设公差为d, .∴.a1+（n-1)d+a1+nd=4n,即2dn+2a1-d=4n, （2d=4, （d=2, 则{2a1-d=0,解得{a=1, ∴.a41=1. (2)由(1)d=2,a1=1,则am=2n-1, ∴.bm=an·an+1=(2n-1）(2n+1), (-1)n.起=(-1)n.2m2+=(-1)"(点+2）， ∴8，=-(1+青)+（专+专）一（传+号）++（-1)”（点+点）=-1+(-1)"- 【例3】解：(1)正明：学=帝+n两边同时乘n(n+1)，得(n+1)a+1=ma,十1， 又1×a1=3,所以{nam}是首项为3，公差为1的等差数列. (2)由(1)可知数列{nan}的通项公式为na,=3+(n-1)×1=n+2, f(x)=a+2a2x+...+mamxm1, 故f(-2)=3+4×(-2)+.+(m+2)×(-2)m-1, 所以-2f(-2)=3×（-2)+4×(-2)2+..+(m+2)×(-2)m 两式相减，得3(-2)=3+(-2)十(-2)2+.+(-2)m-1-(m十2)×(-2)m=号- (m十号)×(-2)m, 3/4 ·独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 乐-（号+3）×(-2》 您身边的互联网+教辅专家 【训练3】解：（1)由8Sm=孟+4an-21 得当n≥2时，8Sm-1=-1十4am-1-21. 两式相减得8am=孟--1+4an一4am-1, 整理得4（a,十an-1)=(an十an-1)(an-a,-1）, {an}为正项数列，∴an十an-1≠0，.an一a-1=4. 当n=1时，8S1=子+4a-21=8a1,解得a4=7. ∴.{am}是以7为首项，4为公差的等差数列， ∴.数列{an}的通项公式为am=7+4×(n一1)=4n+3. (2)当n=2k+1,k∈Z时，cos(m)=-1;当n=2k,k∈Z时，cos(m)=1, ∴.bm=4·(-1)n·2n=（4n十3)·(-2)n, In=b1+62+63+...+6n =(4+3)×(-2)+(4×2+3)×(-2)2+(4×3+3)×(-2)3+..+(4n+3)×(- 2)n①， -2Tm=(4+3)×(-2)2+（4×2+3)×(-2)3+(4×3+3)×(-2)4+..+(4n+3)× (-2)n+1②， ①-②得：3Tm=(4+3)×(-2)+4[(-2)2+(-2)3+..+(-2)]-(4n+3)×(- 2)n+1 -4x2+8+6)×(-2)-6 =是×(-2)"-号+(8m十6)×(-2)”-6=22×(-2)m-9, 3 7w=24nt26k2L-29. 4/4 ·独家授权侵权必究