第5讲 数列的递推关系-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

第5讲　数列的递推关系 【备考指南】　求数列的通项公式是高考的重点内容，对于等差、等比数列的通项公式可直接利用公式求解，但也有些数列以递推关系给出，需要通过构造转化为等差或等比数列再求解，体现了化归与转化思想在数列中的应用.题型既有小题也有解答题，难度中等. 1.在处理Sn，an的式子时，依据为an＝ 1.设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝（　　） A.27 B.81 C.93 D.243 2.形如an＋1－an＝f（n）的数列，利用累加法；形如＝f（n）的数列，利用累乘法. 2.已知数列{an}满足a1＝3，an＝an－1＋2n－1（n≥2，n∈N*），则数列{an}的通项公式an＝（　　） A.2n B.2n＋1 C.2n＋1－1 D.2n＋1 3.后一项与前一项成一次关系，加常数后构成等比数列. 3.若数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为　　　　. 4.若an＋1＋an＝f（n）（一次函数），则隔项构成等差数列. 4.已知数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝　　　　.　 考点一　利用an与Sn的关系 【通性通法】　利用an与Sn的关系求解问题的思路 （1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； （2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解. 【例1】　（1）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n∈N*），则an＝（　　） A.n－1 B.n C.n＋1 D.n＋2 （2）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且5an＋1＋Sn＋16＝0，则an＝　　　　. 【训练1】　（1）（2025·浙江宁波三模）已知数列{an}中，a2＝1，记Sn为{an}的前n项和，2Sn＝nan，则a2 025＝（　　） A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 【易错提醒】　由Sn与an的关系求an时，要对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，若符合，则数列的通项公式合写；若不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写. （2）〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），a1＝，an＋4Sn－1Sn＝0（n≥2），则下列命题正确的是（　　） A.Sn＝ B.an＝－ C.数列{an}为递增数列 D.数列为递增数列 考点二　构造辅助数列 【通性通法】　（1）若数列{an}满足an＋1＝pan＋q（p≠0，1；q≠0），构造an＋1＋λ＝p（an＋λ）； 【例2】　（1）在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，则数列{an}的通项公式an＝（　　） A.3n B.3n＋1 C.3n＋2 D.3n＋1 （2）若数列{an}满足an＋1＝pan＋f（n）（p≠0，1）：①构造an＋1＋g（n＋1）＝p[an＋g（n）]；②若f（n）为指数型函数，即an＋1＝pan＋qn，等号两边同除以qn＋1，再求解； （2）（2025·广东广州模拟）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝（　　） A.3n B.2n－1 C.3n－2n－1 D.3n＋2n－1 （3）形如an＋1＝（p，q≠0）的数列，等号两边取倒数构造等差数列求通项； 【训练2】　（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则a7＝　　　　； （4）形如an＋1＝p（p＞0，an＞0）的递归式，等号两边取对数有lg an＋1＝qlg an＋lg p，令bn＝lg an，则bn＋1＝qbn＋lg p，同上得bn，再求an. （2）已知数列{an}满足a1＝1，＝10an（an＞0），则an＝　　　　； （3）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝5，an＋2＝5an＋1－6an，则数列{an}的通项公式为　　　　. 考点三　“不动点法”求型如an＋1＝ 的通项 【通性通法】　对于型如an＋1＝（其中c≠0，ad－cb≠0）的递推式，求其通项可采用不动点法，即令x＝，得cx2＋（d－a）x－b＝0，方程的两个根分别为x1，x2： （1）若x1＝x2，则有＝＋p（p为参数），构造等差数列求解； （2）若x1≠x2，则有＝q·（q为参数），构造等比数列求解； （3）若一元二次方程无解，则数列{an}是周期数列. 【例3】　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝（　　） A.－＋3 B.－＋2 C. D.＋2 【训练3】　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，试求数列{an}的通项公式. 提示：完成课后作业　专题二　第5讲 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲　数列的递推关系 【基础·回扣】 1.B　2.D　3.an＝2n－1　4.4 【典例·讲解】 【例1】　（1）C　当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝　①，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝　②，①－②并整理可得an＝n＋1，代入a1＝2验证符合，所以an＝n＋1. （2）－4·　解析：当n＝1时，5a2＋a1＋16＝0，∴a2＝－，由5an＋1＋Sn＋16＝0　①，得5an＋Sn－1＋16＝0（n≥2）　②，①－②得5an＋1＝4an（n≥2），∵a2＝－≠0，∴an≠0，∴＝（n≥2），又＝，∴{an}是首项为－，公比为的等比数列，∴an＝－·＝－4·. 【训练1】　（1）B　数列{an}满足2Sn＝nan，当n≥3时，可得2Sn－1＝（n－1）an－1，两式相减，可得2an＝nan－（n－1）an－1，即（n－2）an＝（n－1）an－1，所以＝，又由a2＝1，则a2 025＝a2×××…×＝1×××…×＝2 024.故选B. （2）AD　∵an＋4Sn－1Sn＝0（n≥2），∴Sn－Sn－1＋4Sn－1Sn＝0（n≥2），∵Sn≠0，∴－＝4（n≥2），因此数列是以＝4为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；∴＝4＋4（n－1）＝4n，∴Sn＝，即A正确；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，∴an＝a1＞a2，即B、C不正确. 【例2】　（1）C　由an＋1＝3an－4，设an＋1－λ＝3（an－λ），即an＋1＝3an－2λ，故2λ＝4，λ＝2，则an＋1－2＝3（an－2），又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，即an＝3n＋2. （2）C　法一　由a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1，n∈N*，可得an＋1＋2n＝3（an＋2n－1），所以{an＋2n－1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n－1＝3n，则an＝3n－2n－1，n∈N*. 法二　an＋1＝3an＋2n－1两边同除以2n，得＝·＋，即＋1＝，而＋1＝3，于是数列是首项为3，公比为的等比数列，因此＋1＝3×，即an＝3n－2n－1. 【训练2】　（1）　解析：易知an≠0，由an＋1＝，得＝＋，所以是首项为1，公差为的等差数列，所以＝＋（n－1）×＝，an＝，所以a7＝. （2）10×　解析：等式两边取以10为底的对数可得2lg an＋1＝lg an＋1，即lg an＋1－1＝（lg an－1），所以数列{lg an－1}是以lg a1－1＝－1为首项，为公比的等比数列，所以lg an－1＝（－1）×＝－，即lg an＝1－，即an＝10×. （3）an＝3n－2n　解析：设an＋2＋λan＋1＝q（an＋1＋λan），即an＋2＝（q－λ）an＋1＋qλan，又an＋2＝5an＋1－6an，所以解得或 法一　取λ＝－2，q＝3，则an＋1－2an＝3×3n－1＝3n，所以an＋1＝2an＋3n，两边同除以3n＋1得＝·＋，即－1＝（－1），所以数列是以－为首项，为公比的等比数列，即－1＝－×（）n－1＝－（）n，故an＝3n－2n.取λ＝－3，q＝2时，同理可得an＝3n－2n. 法二　因为an＋2－2an＋1＝3（an＋1－2an），an＋2－3an＋1＝2（an＋1－3an），a2－2a1＝3，a2－3a1＝2，所以数列{an＋1－2an}是以3为首项，3为公比的等比数列，{an＋1－3an}是以2为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－2an＝3n，an＋1－3an＝2n，联立解得an＝3n－2n. 【例3】　B　令x＝，即x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，令＝＋c，由a1＝1，得a2＝，解得c＝－1，所以数列是以＝－1为首项，以－1为公差的等差数列，所以＝－n，所以an＝－＋2. 【训练3】　解：法一　由题意得an＋1＝－， 则an＋1－2＝－－2＝－＝×， 由an＋1＝－，有an＋1－＝－－＝2－＝2×， 由题意知an＋1≠，则＝·， 又＝－2，所以是以－2为首项，为公比的等比数列， 所以＝－2×，则an＝2－. 故数列{an}的通项公式为an＝2－. 法二　根据an＋1＝，令x＝，得x1＝2，x2＝， 所以是以－2为首项，为公比的等比数列， 所以＝－2×，则an＝2－. 故数列{an}的通项公式为an＝2－. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $