第4讲 等差、等比数列-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

第4讲　等差、等比数列 【备考指南】　等差数列、等比数列是高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或解答题的形式考查，难度中等偏下. 1.若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q：在等差数列中，am＋an＝ap＋aq；在等比数列中，am·an＝ap·aq. 1.（2025·山东齐鲁名校大联考一模）已知正项等比数列{an}满足a1a9＝，a3＝，则a4＝（　　） A. B. C. D. 2.等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋ . 2.（2025·全国Ⅱ卷7题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3＝6，S5＝－5，则S6＝（　　） A.－20 B.－15 C.－10 D.－5 3.等比数列的前n项和公式：Sn＝ 3.（2025·山东山师附中一模）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a3－2a1＝a2，则S6＝（　　） A.31 B.32 C.63 D.65 4.若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的. 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－2 025，且－＝1，则S2 026＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 5.等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；等比数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列（m为偶数时，q≠－1）. 5.（2025·全国Ⅰ卷13题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于　　　　.　　　 考点一　等差（比）数列的基本运算 【通性通法】　等差（比）数列基本量计算的解题策略 （1）抓住基本量，首项a1，公差d或公比q； （2）在进行等差（比）数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则可转化成关于a1和d（q）的方程（组）求解，但要注意使用消元法及整体计算，以减少计算量. 【例1】　（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S9＝6a5＋27，则S5＝（　　） A.25 B.27 C.30 D.35 （2）〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷9题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0.若S3＝7，a3＝1，则（　　） A.q＝ B.a5＝ C.S5＝8 D.an＋Sn＝8 【训练1】　 【瓶颈突破】　（1）等差数列的通项公式是关于项数n的一次函数；等比数列的通项公式是关于公比q的指数型函数；（2）前n项和为Sn＝an2＋bn（a，b为常数）形式的数列为等差数列. （1）〔创新命题角度〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，数列{an}的公差为d（d≠0），且{}是等差数列，则＝（　　） A. B. C.1 D. （2）（2025·黑龙江哈尔滨一模）已知数列{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.若3a4，a8，5a6成等差数列，则＝　　　　. 考点二　等差（比）数列的性质 【常用结论】　若{an}，{bn}（项数相同）均为等比数列，则{λan}（λ≠0），，{}，{an·bn}，仍是等比数列. 【例2】　（1）已知等比数列{an}中，若an＝2·3n－1，则＋＋＋…＋＝（　　） A.（3n－1）2 B.（9n－1） C.9n－1 D.（3n－1） 【通性通法】　等差（比）数列性质问题的求解策略：（1）抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系；（2）用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质. （2）〔多选〕（2025·黑龙江哈尔滨模拟）已知数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，若a1＜0，S2 000＝S2 024，则（　　） A.d＞0 B.a2 012＝0 C.S4 024＝0 D.Sn≥S2 012 【训练2】　 【常用结论】　若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则＝. （1）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋＝（　　） A. B. C. D. （2）（2025·江苏南京、盐城一模）已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 考点三　等差（比）数列的判定与证明 【通性通法】　等差数列、等比数列的判定方法 等差 数列 等比 数列 定 义 法 an＋1－an＝d ＝q（an≠0，q≠0） 中 项 法 2an＝an－1＋an＋1（n≥2） ＝an－1·an＋1（n≥2，an≠0） 提醒　（1）＝an－1an＋1（n≥2，n∈N*）是{an}为等比数列的必要不充分条件，判断一个数列是等比数列时，还要注意各项不为0； （2）{an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列. 【例3】　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＞0，＝－λSn＋1，其中λ为常数. （1）证明：Sn＋1＝2Sn＋λ； （2）是否存在实数λ，使得数列{an}为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由. 【训练3】　（2025·江苏南通模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn－an＝n2＋1，n∈N*. （1）求a1，a2，并证明：数列{an＋an＋1}是等差数列； （2）求S20. 提示：完成课后作业　专题二　第4讲 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲　等差、等比数列 【基础·回扣】 1.B　2.B　3.C　4.B　5.2 【典例·讲解】 【例1】　（1）A　设等差数列{an}的公差为d，则有＝6（a1＋4d）＋27，又a1＝1，则9（1＋4d）＝6（1＋4d）＋27，解得d＝2，则S5＝＝25.故选A. （2）AD　A.根据S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋a3＝＋＋1＝7，得6q2－q－1＝0，即（2q－1）（3q＋1）＝0，因为q＞0，所以q＝，故A正确；B.a5＝a3q2＝1×（）2＝，故B错误；C.a1＝＝4，所以S5＝＝＝，故C错误；D.an＝a1qn－1＝4×（）n－1＝＝23－n，Sn＝＝＝8［1－（）n］＝8－＝8－23－n，所以an＋Sn＝8，故D正确. 【训练1】　（1）B　由题意，an＝a1＋d（n－1）＝dn＋a1－d，Sn＝na1＋＝n2＋n，所以Sn－an＝n2＋n＋d－a1，因为{}是等差数列，则{}的通项是一次函数型，则n2＋n＋d－a1能整理成完全平方型，所以Δ＝－4·（d－a1）＝0，化简得＝0，所以a1＝，即＝. （2）　解析：设数列{an}的公比为q，由3a4，a8，5a6成等差数列可得3a4＋5a6＝2a8，即3a4＋5a4q2＝2a4q4，因为a4≠0，所以2q4－5q2－3＝0，解得q2＝3或q2＝－（舍），所以＝＝＝＝＝. 【例2】　（1）B　由题意可知，数列{}是首项为4，公比为9的等比数列.因此＋＋…＋＝＝（9n－1）. （2）ACD　因为S2 000＝S2 024，所以a2 001＋a2 002＋…＋a2 024＝0，所以＝0，所以a2 001＋a2 024＝a2 012＋a2 013＝2a1＋4 023d＝0，又因为a1＜0，所以d＝－a1＞0，故A正确；a2 012＝a1＋2 011d＝a1－a1＝a1＜0，故B错误；S4 024＝＝2 012（a2 001＋a2 024）＝0，故C正确；因为a2 012＜0，a2 013＝－a2 012＞0，所以当n≤2 012时，an＜0，当n≥2 013时，an＞0，所以（Sn）min＝S2 012，所以Sn≥S2 012，故D正确. 【训练2】　（1）C　由等差数列的性质可得，＋＝＋＝＝＝＝＝.故选C. （2）B　因为数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3，所以a1＋2a1＝3，解得a1＝1，故an＝2n－1，因为ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak（1＋2＋22＋…＋29）＝2k－1·＝2k＋9－2k－1＝214－24，解得k＝5，故选B. 【例3】　解：（1）证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，＝－λSn＋1， ∴＝（Sn＋1－Sn）2－λSn＋1， 则Sn＋1（Sn＋1－2Sn－λ）＝0. 由an＞0，知Sn＋1＞0， ∴Sn＋1－2Sn－λ＝0， 故Sn＋1＝2Sn＋λ. （2）由（1）知，Sn＋1＝2Sn＋λ， 当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋λ， 两式相减得，an＋1＝2an（n≥2，n∈N*）， ∴数列{an}从第二项起成等比数列，且公比q＝2. 又S2＝2S1＋λ，即a2＋a1＝2a1＋λ， ∴a2＝a1＋λ＝1＋λ＞0，得λ＞－1. ∴an＝ 若数列{an}是等比数列，则a2＝1＋λ＝2a1＝2. ∴λ＝1. 【训练3】　解：（1）当n＝1时，由题意得a1－a1＝2，所以a1＝4. 当n＝2时，由题意得（a1＋a2）－a2＝5，所以a2＝2. 因为Sn－an＝n2＋1，所以Sn－1－an－1＝（n－1）2＋1（n≥2）， 两式相减得an－an＋an－1＝2n－1，即an＋an－1＝4n－2， 所以（an＋1＋an）－（an＋an－1）＝[4（n＋1）－2]－（4n－2）＝4， 所以数列{an＋1＋an}为等差数列. （2）由（1）知数列{an＋1＋an}为等差数列，首项为a1＋a2＝6，公差为4，所以an＋an＋1＝4n＋2， 所以S20＝（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋…＋（a19＋a20）＝， 又a19＋a20＝78， 所以S20＝＝420. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $